Universiae Feeral o Paraná Setor e Ciências Exatas Departamento e Física Física III Prof. Dr. icaro Luiz iana eferências bibliográficas: H. 7-, 7-3, 7-5 S. 5-, 5-4 T. -, -, -4 Aula 8: Capacitância Garrafa e Leyen inventaa em 745 pelo físico holanês Pieter van Musschenbroek (a Universiae e Leyen): consistia numa garrafa cheia e água e com as parees metalizaas, um arame passano por uma tampa isolante (rolha) e ligao à paree interna. Seu objetivo era armazenar energia elétrica, teno sio o antepassao os atuais capacitores. Foi largamente empregao na pesuisa sobre eletriciae os pioneiros como Benjamin Franklin. Capacitor: ispositivo ue armazena energia potencial elétrica num circuito. Também chamao conensaor. Forma genérica: ois conutores isolaos e separaos e uma certa istância, separaos pelo ar ou outro meio isolante. Os conutores têm cargas e mesmo móulo e sinais opostos. Os conutores são ambos euipotenciais, com potenciais a e b, com uma p = a - b
Capacitância: carga por uniae e p C Uniae no S.I.: [C] = []/[] = C/ = F (Fara) Capacitor e placas paralelas: cargas + e nas placas paralelas e área A, separaas por uma istância - campo elétrico entre as placas é aproximaamente uniforme (esprezano efeitos e bora) A p entre as placas é mantia por uma fonte e tensão (pilha, bateria). Como o campo é uniforme, vale = E Para calcular o campo elétrico entre as placas, usaremos a Lei e Gauss. Passano uma gaussiana cilínrica e altura h e área a base A paralela a uma as placas temos E A A A A S base base one é a carga envolvia pela gaussiana = carga na superfície externa a placa
- Base : A é paralelo ao campo E, E. A = E A cos o = E A. Como E é uniforme (constante) base A base EA E base A EA - Base : como encontra-se entro a placa conutora, E =, logo base - Lateral: A é perpenicular ao campo E, E. A = E A cos 9 o =, E. A então substituino na efinição e capacitância EA EA C C ou seja, E A A Problema resolvio: Uma capacitor e placas paralelas possui placas circulares e raio r = 8, cm e separação =,3 mm. (a) Calcule a capacitância; (b) ue carga aparecerá sobre as placas se a p aplicaa for e? Solução: (a) A r ( 8,85x ) (,8 ) C,44x F 44 pf 3,3 x (b) = C =,44x - x =,73 x -8 C = 7,3 nc Problema proposto: Sejam uas placas metálicas planas e uaraas e lao, m. ual everia ser a separação entre as placas, se com elas esejássemos construir um capacitor com capacitância e, F? É possível construir tal capacitor? esposta: 8,85 x - m. Capacitor cilínrico (garrafa e Leyen): uma casca cilínrica e raio b envolveno um cilinro conutor e raio a, ambas e comprimento L. A superfície gaussiana é um cilinro e raio r, one b < r < a. Da Lei e Gauss: E A A A A S base base one é a carga envolvia pela gaussiana = carga no cilinro e raio a 3
- Bases e : A é perpenicular ao campo E, E. A = E A cos 9 o =. Como E é uniforme (constante) A A base base - Lateral: A é paralelo ao campo E, E. A = E A cos o = E A, one E é constante apenas sobre a superfície (E epene e r). Logo A EA EA E(rL) E( rl) Isolano E, ue é uma função o raio r, temos E( r), one A é a área a Lr Para calcular a p entre os cilinros usamos a fórmula vista na Aula 7, aaptano-a: o ínice i refere-se à placa positiva, e f à placa negativa: já ue o vetor E é paralelo ao vetor s (elemento e eslocamento), logo s = E s cos o = E r s E( r) r Substituino E(r), e lembrano ue tanto, como L são constantes: rb ra r Lr L b a r r Usamos a integral elementar u u ln u C para calcular b a r r ln r substituino na efinição e capacitância b a ln b ln a b ln L a b ln a 4
C b ln L a L C a ou seja, ln( b / ) Capacitor esférico: imos (Lei e Gauss) ue uma casca esférica carregaa gera um campo elétrico nulo em pontos em seu interior. No seu exterior, o campo é o mesmo ue seria obtio se toa a carga a casca estivesse concentraa em seu centro. Seno o raio a esfera temos E 4 Por extensão, o potencial elétrico gerao pela casca para pontos no seu exterior é o mesmo ue o e uma carga puntiforme no centro. Então Na superfície a casca r =, e temos 4 r r, r, r se r 4 Supono ue a casca esférica é um conutor isolao em euilíbrio eletrostático, vimos ue toos os seus pontos têm o mesmo potencial. Logo, mesmo no interior a casca esférica, o potencial, além e ser constante, continua valeno k/, ue é o seu valor na superfície a casca. Esse resultao vale tanto para uma casca esférica como para uma esfera maciça conutora e raio. A partir essas relações, poemos mostrar ue a capacitância e um capacitor esférico: uas cascas esféricas concêntricas e raios a e b, é [vie H., 7-3]: C 4 ab b a Energia elétrica armazenaa num capacitor: suponha um capacitor inicialmente escarregao. Ligamos suas placas a uma bateria ue fornece uma p constante sobre o capacitor. A bateria tem terminais positivo (potencial maior) e negativo (potencial menor). As cargas fluem pelo circuito o ponto e maior para o ponto e menor potencial. Como o 5
capacitor não permite conução, as cargas ficam armazenaas nas placas, e um campo elétrico surge entre elas. A bateria fornece a energia necessária para realizar trabalho sobre as cargas ue se eslocam ela é um agente externo, pois realiza trabalho W contra o campo elétrico entre as placas. Logo, se a bateria transferiu uma carga aparece uma p tal ue = + W/, ou seja, W =. Para um elemento e carga transferia temos um trabalho elementar W = (lembre ue a p entre as placas é constante). Como C = / temos W = (/C). O trabalho total realizao para carregar o capacitor, ese ele escarregao ( = ) até uma carga final = é obtio por integração f W W C C i Este trabalho é armazenao no capacitor sob a forma e energia potencial elétrica: U = W Como = C, temos U = C /C, ou seja U C C C U C Problema resolvio: Um capacitor e 6 μf está carregao sob uma p e. emove-se o capacitor a bateria e aumentamos a separação entre suas placas, e, mm para 3,5 mm. (a) ual a carga no capacitor? (b) ual a energia armazenaa inicialmente no 6
capacitor? (c) De uanto é alteraa a energia epois e se aumentar a separação entre as placas? Solução: (a) = C = 6 x -6 x = 7, x -4 C (b) Antes e se aumentar a istãncia entre as placas 6 6x x U C 4,3x 3 (c) Após ter sio esligao a bateria, o capacitor mantém a carga constante nas suas placas. Como campo elétrico é ao por E = /ε A, ele também permanece constante uano suas placas são afastaas. Já ue = E, temos ue a p mua uano as placas se afastam: E, = = = constante C = / = 7, x -4 / = 3,43 x -5 C A energia armazenaa no capacitor após as placas terem sio afastaas é 6 34,3x x U C 7,56x J 3,5 3 o ue resulta num aumento e energia igual a 7,56 x -3 4,3 x -3 = 3,4 x -3 J. Problema proposto: Suponha, no problema anterior, ue uma as placas esteja fixa, a outra seno livre para se mover. Calcule o trabalho ue eve ser feito par afastar as placas e, para 3,5 mm. esposta: 3,4 x -3 J. Densiae e Energia Elétrica: Poemos imaginar ue esta energia U está armazenaa no campo elétrico entre as placas o capacitor. A ensiae e energia u é a energia U por uniae e volume o campo elétrico u U vol Uniae no S.I.: [u] = [U]/[vol] = J/m 3 (Joules por metro cúbico) J 7
Para um capacitor e placas paralelas C = ε o A/. A região entre as placas é um prisma ou um cilinro (epeneno a forma as placas) e altura e área a base A. O volume a região entre as placas é vol = A Logo u U A C A A A Como o campo elétrico E é uniforme entre as placas E = /, logo u E Essa expressão é bastante geral: a) vale para ualuer geometria o capacitor (cilínrico, esférico, etc.) b) vale para ualuer região conteno um campo elétrico, mesmo sem um capacitor (Ex.: ona eletromagnética) Problema resolvio: Uma esfera metálica isolaa cujo iâmetro é cm tem um potencial e 8. Calcule a ensiae e energia elétrica próximo à superfície a esfera. Solução: O campo elétrico e o potencial na superfície e uma esfera e carga e raio são aos, respectivamente, por E k, k Diviino as uas euações temos E = /=/ one a ensiae e energia elétrica é 8,85x x8 J u E, 33 3 Problema proposto: Calcule a ensiae e energia elétrica a cm e istância e uma barra longa e fina carregaa com uma ensiae linear e carga λ =, μc/m. esposta: 57,3 J/m 3., m 8