APLICAÇÕES ADICIONAIS DA DERIVADA Aula 05 Matemática I - Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES PDB/Ano 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 Gráfico dos gastos com armamentos dos países do antigo bloco soviético como porcentagem do PDB durante o período crucial de 1990 a 1995 que se seguiu à extinção da União Soviética. Intuitivamente, sabemos que uma função f(x) é crescente quando a curva de f se inclina para cima e decrescente quando a curva se inclina para baixo.
DEFINIÇÃO Função Crescente e Função Decrescente: Seja f(x) uma função definida no intervalo a < x < b e sejam x 1 e x 2 dois números no intervalo. Nesse caso, f(x) é crescente no intervalo se f(x 2 ) > f(x 1 ) para qualquer x 2 > x 1. f(x) é decrescente no intervalo se f(x 2 ) < f(x 1 ) para qualquer x 2 > x 1.
Como se pode ver nas figuras acima, se as inclinações das retas tangentes à curva de uma função f(x) são todas positivas no intervalo a < x < b, a inclinação da curva é para cima e f(x) é crescente no intervalo. Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada f (x), concluímos que f(x) é crescente nos intervalos em que f (x) > 0. Da mesma forma, f(x) é decrescente nos intervalos em que f (x) < 0.
30 20 10 0-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-10 -20-30
Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) à adição de fósforo x, em que 0 x 210 (ppm P), aproximou-se pela função: f x = 0,00000083x 3 + 0,0000678 x 2 + 0,061792x + 6,7287 Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e o ponto de inflexão e justifique seu significado.
USO DA DERIVADA PERA DETERMINAR OS INTERVALOS EM QUE A FUNÇÃO F É CRESCENTE E DECRESCENTE 1º passo: Determine todos os valores de x para os quais f (x) = 0 ou f (x) não é contínua e assinale estes valores em uma reta de números dividindo, assim, a reta em um certo número de intervalos abertos. 2º passo: Escolha um número de teste c para cada intervalo a < x < b determinado no 1º passo e calcule f (c). Se f (c) > 0, a função f(x) é crescente no intervalo a < x < b. Se f (c) < 0, a função f(x) é decrescente no intervalo a < x < b.
EXEMPLO 1 Determine os intervalos em que a função f(x) = 2x³ + 3x² 12x 7 é crescente ou decrescente. Valores Y 50 40 30 20 10 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4-10 -20
EXEMPLO 2 Determine os intervalos em que a função f x = x² x 2 é crescente e decrescente.
f x = 0,00000083x 3 + 0,0000678 x 2 + 0,061792x + 6,7287 16 Valores Y 14 12 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 250
f x = 0,00000249x 2 + 0,0001356x + 0,061792 f x = 0 x = 132,64 e x = 187,1 f c > 0 para x < 132,64 e 132,64 < x < 187,1 f x é crescente f c < 0 para x > 187,1 f x é decrescente
EXERCÍCIOS Determine os intervalos em que a função dada está aumentando e diminuindo: A) f x = x 2 4x + 5 B) f x = x 3 3x 4 C) f x = x 5 5x 4 + 100
30 f(x)=x²-4x+5 f (x)=2x-4 4 25 2 20 15 10 5 0-3 -2-1 0 1 2 3 4-2 -4-6 -8 0-4 -2 0 2 4 6 8-10
f(x)=x³-3x-4 20 15 10 5 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4-5 -10-15 -20-25 f (x)=3x²-3 30 25 20 15 10 5 0-4 -2 0 2 4 6-5
f x = x 5 5x 4 + 100 f x = 5x 4 20x 3 125 100 75 50 25 0-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6-25 -50-75 -100-125 -150-175 300 250 200 150 100 50 0-4 -2 0 2 4 6-50 -100-150 -200
EXEMPLO A receita obtida com a venda de um tipo de máquina t semanas após o lançamento do produto é dada por: R t = 63t t² t 2 +63 milhões de reais. 0 t 63 Em que instante a receita é máxima? Qual é esta receita? Receita máxima?
EXTREMOS RELATIVOS A simplicidade dos gráficos das figuras anteriores pode ser enganadora. A figura a seguir mostra um gráfico mais geral. Observe que existem picos e vales. Mas só é possível traçar tangentes horizontais em alguns pontos. Em x 5 temos um ponto de quebra, não existe tangente. O ponto x 1 existe uma tangente horizontal que não é um pico nem um vale.
EXTREMOS RELATIVOS Como os métodos do cálculo podem ser usados para localizar e identificar os picos e vales de uma função? (o que, por sua vez, facilita o traçado da curva associada e ajuda a resolver problemas de otimização). Os picos de uma função f são chamados de máximos relativos de f e os vales são chamados de mínimos relativos. Os máximos e mínimos relativos são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.
EXTREMOS RELATIVOS Dizemos que uma função f(x) possui um máximo relativo no ponto x = c se f(c) f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < b que contenha o ponto c. Uma função f(x) possui um mínimo relativo no ponto x = c se f(c) f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < b que contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.
NÚMEROS CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS Como uma função f(x) é crescente quando f (x) > 0 e decrescente quando f (x) < 0, os únicos pontos nos quais f(x) pode possuir um extremo relativo são aqueles em que f (x) é nula ou não existe. Estes pontos são tão importantes que recebem um nome especial. Números Críticos e Pontos Críticos um número c pertencente ao domínio de f(x) é chamado de número crítico se f (c) = 0 ou se f (c) não existe. O ponto correspondente (c, f(c)) no gráfico de f(x) é chamado de ponto crítico de f(x). Os extremos relativos podem ocorrer apenas em pontos críticos. gráficos
Três pontos críticos (c, f(c)) nos quais f (c)=0. Máximo Relativo Mínimo Relativo Nem máximo nem mínimo Relativo Como fica f (x) em cada caso?
Três pontos críticos (c, f(c)) nos quais não existe. 3 2,5 2 1,5 1 0,5 Máximo Relativo 0 0 2 4 6 4,5 4 3,5 3 18 16 14 12 2,5 10 2 1,5 1 0,5 0 0 1 2 3 4 5 0 Mínimo Relativo 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 Nem Máximo nem Mínimo Relativo
O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA PARA EXTREMOS RELATIVOS Podemos usar o sinal da derivada para determinar os pontos críticos como máximos relativos, mínimos relativos ou nenhuma coisa nem outra. Seja um número crítico de f(x) (isto é, f (c) = 0 ou f (c) não existe). Neste caso, o ponto crítico P(c, f(c)) é: Um máximo relativo se f (x) >0 à esquerda de c e f (x) < 0 à direita de c. Um mínimo relativo se f (x) < 0 à esquerda de c e f (x) > 0 à direita de c. Um ponto ordinário se f (x) > 0 ou f (x) < 0 dos dois lados de c. Representar graficamente.
EXEMPLO Determine todos os números críticos da função: f(x) = 2x 4 4x² + 3.
APLICAÇÕES Depois de determinar os intervalos nos quais a função f(x) é crescente ou decrescente e localizar os extremos relativos, podemos esboçar a curva da função. Segue uma descrição passo a passo do método para esboçar o gráfico de uma função contínua usando a derivada.
MÉTODO PARA ESBOÇAR UM GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA f(x) USANDO A DERIVADA f (x) 1º passo: Determinar o domínio de f(x). Construa uma reta de números restrita apenas aos números do domínio de f(x). 2º passo: Determine f (x) e assinale os números críticos na reta de números obtida no 1º passo. 3º passo: Para cada número crítico c, calcule o valor de f(c) e plote o ponto crítico P(c, f(c)) em um sistema de eixos coordenados, com uma copa em P se P for um máximo relativo ( ) ou um copo se P for um mínimo relativo ( ). Plote também os pontos correspondentes a interseções com eixos x e y e outros pontos fáceis de determinar. 4º passo: Desenhe o gráfico de f como uma curva suave ligando os pontos críticos de tal forma que a curva suba nas regiões em que f (x) > 0, desça das regiões em que f (x) < 0 e tenha uma tangente horizontal nos pontos em que f (x) = 0.
EXEMPLO Trace a curva da função f(x) = x 4 + 8x 3 + 18x² 8. Trace a curva da função g x = 3 2x x².
f(x)=x 4 +8x 3 + 18x²-8 30 25 20 15 10 5 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5-5 -10
g(x) = (3-2x-x²) 1/2 2,5 2 1,5 1 0,5 0-3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5
EXERCÍCIOS 1) Determine os intervalos em que a função está aumentando e diminuindo: a) f x = x 3 + 3x 2 + 1 b) f x = 3x 5 5x 3 2) Determine os pontos críticos da função dada e classifique como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário: a) f t = 10t 6 + 24t 5 15t 4 + 3 b) f x = 3 (x + 1) 3
3) Use os métodos de cálculo para traçar o gráfico da função dada: A) f x = x 3 3x 2 B) f x = x 3 (x + 5) 2
4) O custo para produzir x unidades de uma mercadoria é C(x) milhares de reais, onde C x = x 3 20x 2 + 179x + 242. A) Determine A (x), onde A(x) = C(x) x é a função custo médio. B) Para que valores de x a função A(x) é crescente? Para que valores é decrescente? C) Para que nível de produção x o custo médio é mínimo? Qual é este custo?
5) Uma empresa determina que se x milhares de reais forem investidos na propaganda de um produto, S(x) unidades do produto serão vendidas, onde S x = 2x 3 + 27x 2 + 132x + 207 0 x 17. A) Desenhe a curva de S(x). B) Quantas unidades serão vendidas se a empresa não investir em publicidade? C) Quanto a empresa deveria investir em publicidade para maximizar as vendas? Qual é o nível máximo de vendas?