PROBABILIDADE Aula 2 Probabilidade Básica Fernando Arbache
Probabilidade Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis: 1. Freqüências de ocorrências 2. Suposições teóricas.
Atribuição da probabilidade: 1. Através das frequências de ocorrências. O experimento aleatório é repetido n vezes Calcula-se a frequência relativa com que cada resultado ocorre. à Para um número grande de realizações, a frequência relativa aproxima-se da probabilidade. 2. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado à Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1) =... = P(face 6) = 1/6.
No caso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: O espaço amostral Ω = {w 1,w 2,... } A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que: 0 P(w ) i 1 e P ( Ω) = P ({w 1, w 2,...}) = i= 1 P(w ) i = 1.
Ainda no caso discreto, Se A é um evento, então P (A) = Se Ω = {w, w,..., w } e 1 2 N w A j P (w ) 1 P (w ) = (pontos equiprováveis), então i N j P (A) = nº. de elementos de A nº. de elementos de Ω
Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos. Sexo Alfabetizado Sim Não Total Masc. 39.577 8.672 48.249 Fem. 46.304 7.297 56.601 Total 85.881 15.969 101.850 Fonte: IBGE- Censo 1991 Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.
Ω : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; S : jovem sorteado é alfabetizado; N : jovem sorteado não é alfabetizado. Temos ir para a tabela 48.249 P(M) = = 101.850 85.881 P(S) = = 101.850 0,474 0,843 P(F) = P(N) = 56.601 = 101.850 15.969 = 101.850 0,526 0,157
Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos: 1. Resultado no lançamento de um dado; 2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; 3. Condições climáticas do próximo domingo; 4. Taxa de inflação do próximo mês; 5. Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso.
Espaço Amostral (Ω): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Exame de sangue (tipo sanguíneo). Ω = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar. Ω = {Fumante, Não fumante}
Eventos: subconjuntos do espaço amostral Ω Notação: A, B, C... Alguns eventos: (conjunto vazio): evento impossível Ω: evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A: sair face par A = {2, 4, 6} Ω B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} Ω C: sair face 1 C = {1} Ω
Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B = A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B = e A B = Ω Quais dos eventos são mutuamente exclusivos: 1. Chover não chover 2. Grau B em probabilidade grau C no mesmo teste 3. Dirigir um carro andar a pé 4. Dirigir um carro falar 5. Nadar sentir frio 6. Ganhar num jogo perder num jogo 7. Ganhar num jogo empatar num jogo 8. Extrair uma dama de um baralho extrair uma carta vermelha de um baralho
Exemplo: Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} sair uma face par e maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par e face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = sair uma face par ou maior que 3 A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} sair uma face par ou face 1 A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6} não sair face par A C = {1, 3, 5}
Exercícios: 1. No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de ocorrer uma face par 2. No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? 3. Qual a probabilidade de ocorrer ao menos uma cara, ao lançar três vezes uma moeda
Exercícios: 4. No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a. Pelo menos 2 caras? b. Exatamente 2 caras?
16 Permutação Dados n elementos distintos, podemos escolher de n modos o elemento que ocupará o 1º lugar da permutação; de n 1 modos, o elemento que ocupará o segundo lugar; de n 2 modos, o elemento que ocupará o 3º lugar, e assim por diante, até que a escolha do último lugar possa ser feita de apenas 1 modo. n n-1 n-2 n-3 n-4
17 Permutação O valor obtido com Pn é também chamado de fatorial do número n e indicado por n! Pn = n.(n 1).(n 2)....1 n n-1 n-2 n-3 n-4
Exercícios: 5. Em um carro com 5 assentos, viajarão 4 passageiros e o motorista. As pessoas que viajarão no carro são: José, João, Maria, Pedro e Carlos. Sendo Carlos o motorista, qual a probabilidade do João ir no banco da frente?
Exercícios: 6. Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser: a. Ímpar b. par c. múltiplo de 6 d. múltiplo de 4? e. maior que 780?
Exercícios: 6. Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens: a. ele gostar de música; b. ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
Exercícios: 6. Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens: a. ele gostar de música; b. ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
Exercícios: M 6 8 9 E 14 16 6 5 L 11
Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de Ω. Então, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Conseqüências: Se A e B forem eventos mutuamente exastivos, então P(A B) = P(A) + P(B). Para qualquer evento A de Ω, P(A) = 1 - P(A c ).
Exercícios: 7. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar? 8. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?
Exercícios: 9. No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade dos seguintes eventos: a. Duas faces pares b. Soma das faces igual a 6 c. Soma das faces igual a 6 ou duas faces pares d. Pelo menos uma face ímpar
26 Combinação Simples São agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples. p n! C n = (n p)!p!
Exemplo: Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: n = 8 total p = 2 usa A C p C n = (n n! p)!p! Corda AC = CA COMBINAÇÃO C2 8 = 8! (8 2)!2! = 28
Exemplo: Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é: n = x total p = 2 usa José Carlos Carlos José COMBINAÇÃO C p n n! = (n p)!p! x! 28 = (x 2)!2! 28 = x(x -1)(x - 2) (x 2)!2.1 56 = x 2 - x x 2 x 56 = 0 x = 8
Exercícios: 10. Uma caixa contém 3 bolas brancas e duas pretas. Extraindo aleatoriamente duas bolas, calcular as probabilidades: a. Uma de cada cor b. Ambas com a mesma cor