Mestrado Integrado em Engenharia Civil Disciplina: TRANSPORTES Prof. Responsável: José Manuel Viegas Sessão Prática 11 (Tipo A): Modelos de distribuição de 1/29
Conceitos básicos A estimação indirecta de matrizes O/D pode ser feita com base em dois modelos relativamente simples: Um modelo de geração, que estima o número de com origem ou destino em cada zona, a partir da sua carga de usos do solo (que motivam essas ) Com este modelo ficamos a conhecer uma ou ambas as bordaduras da matriz O/D Um modelo de distribuição, que estima para onde se dirigem as iniciadas em cada zona, e / ou onde tiveram origem as que se sabe terminarem numa zona Com este modelo preenche-se o miolo da matriz 2/29
Modelo de distribuição No fim do 1º passo conhece-se uma ou ambas as bordaduras da matriz O/D, e aqui o que se pretende é estimar o miolo a partir dessa bordadura completa ou parcial No caso mais simples, conhece-se apenas uma bordadura, por exemplo a das atracções. Este modelo é habitualmente chamado de modelo gravitacional a uma restrição (aqui, o somatório das por coluna é constrangido a tomar o valor obtido no 1º passo). Nesse caso, a pergunta é: do total de que chegam à zona j, quantas tiveram origem em cada uma das zonas i? Essa pergunta pode ser formulada em termos probabilísticos: para cada uma das terminadas em j, qual a probabilidade que tenha sido iniciada em i? Se conhecermos estas probabilidades p(i j), o fluxo T ij será obtido por T ij D j p( i j) 3/29
Modelo Gravitacional (I) A expressão actualmente mais utilizada é : p( i com o parâmetro β obtido por calibração C M i e C M k e A expressão do denominador é formalmente igual à do numerador e é independente da zona i cuja probabilidade de emissão se pretende estimar. De facto, esse valor do denominador depende apenas de j, e da sua distância ao conjunto das outras zonas. Pode por isso designar-se A j C p( i j) M ij i Aj e Se se considerar o caso em que se conhecem as duas bordaduras, ou seja o modelo gravitacional a duas restrições, a abordagem ingénua levaria a resolver sucessivamente o modelo a uma restrição para o lado da atracção e para o lado da geração, mas isso conduz a resultados bastante diferentes nos dois casos j) k ij kj 4/29
Modelo Gravitacional (II) A formulação que permite resolver simultaneamente as restrições nos dois sentidos deve ainda preservar o espírito gravitacional, isto é, a proporcionalidade ao produto das massas e a degradação com o aumento da distância ou custo de deslocação entre as zonas em causa. Como neste caso conhecemos a quantidade de gerada O i e atraída D j por cada zona i [são estes os resultados do 1º passo], é natural que se usem estas variáveis como massas das zonas Teríamos então uma fórmula do tipo Tij f Oi D j e sendo f tal que se verifiquem as seguintes restrições j i T T ij ij O i D j C ij 5/29
Modelo Gravitacional (III) A forma de resolver este problema é através da criação de duas novas variáveis, agora designadas A i e B j T ij O i em que a satisfação duma daquelas restrições de soma impõe que seja 1 Ai Cij D j B j e e a satisfação da outra j 1 B j Cij O A e i i i A Verifica-se que as expressões da A i e de B j se invocam uma à outra, o que levanta alguns problemas para a calibração do parâmetro i D j B j e C ij 6/29
Modelo Gravitacional (IV) A forma mais simples de fazer a calibração do modelo a duas restrições é: Começar por arbitrar valores para o parâmetro β e para a variável A (por exemplo A i = 1, para todas as zonas i), Substituir esses valores nas expressões de B j, Calibrar de seguida o valor óptimo de β e da variável A Com esse valor de β e da variável A, calculam-se os novos valores de B j que deles decorrem, passando a uma nova iteração de calibração simples de β. O processo converge normalmente em poucas iterações 7/29
Falibilidade dos processos de estimação de matrizes por modelos analíticos Os modelos de geração / atracção e de distribuição produzem frequentemente resultados de qualidade relativamente baixa Porque correspondem a escolhas em que intervêm factores mais difíceis de medir e representar adequadamente por modelos lineares baseados em variáveis contemporâneas entre esses factores sobressaem as economias de aglomeração, os hábitos dos cidadãos, e mesmo o estar na moda Admite-se por isso que poderão ser menores os erros de estimação de situações futuras se se adoptar em sua substituição uma abordagem diferencial, pela qual se projecta a matriz O/D presente para uma futura esta abordagem implica parcimónia nos horizontes de projecção que aliás a própria evolução dos padrões de actividades já implicaria na abordagem global 8/29
Estimação indirecta de Matrizes: Métodos de Projecção O problema é o seguinte: Supostos conhecidos uma matriz O/D de fluxos actuais estimativas da evolução da capacidade geradora e atractora das várias zonas a um horizonte dado estimar uma nova matriz O/D para esse horizonte que respeite os novos totais de geradas e atraídas por cada zona que tenha uma estrutura tão semelhante quanto possível com a matriz anterior 9/29
MÉTODOS MAIS COMUNS DE PROJECÇÃO DAS MATRIZES Factor Uniforme de Crescimento: Factor de Crescimento Simplesmente Restringido: T T G ou T ijtˆ ijtˆ T ijtˆ T ijt T ijt ijt G ittˆ G ttˆ jttˆ Factor de Crescimento Duplamente Restringido (Quase em paralelo, foram desenvolvidos nos anos 60 os métodos de FRATAR e FURNESS) Fratar (americano); trata linhas e colunas conjuntamente Furness (inglês)- trata alternadamente linhas e colunas da matriz 10/29
MÉTODOS DE FRATAR E FURNESS CARACTERÍSTICAS GERAIS: Usados para estimar matrizes de anos futuros com base numa matriz para o ano base e em factores de crescimento (das gerações e atracções) de cada zona; Preservam, tanto quanto possível, a estrutura da matriz original; Adequados quando se possui uma matriz original totalmente preenchida; 11/29
MODELO FURNESS Formulação Matemática (I) Dados: F 1 (i,j): matriz de fluxos O/D actuais x(i): factor multiplicativo do total de geradas por i y(j):factor multiplicativo do total de atraídas por j Somatórios R 1 (i) = soma dos fluxos actuais na linha i C 1 (j) = soma dos fluxos actuais na coluna j R 0 (i) = R1(i) * x(i) = soma dos fluxos futuros na linha i C 0 (j) = C1(j) * y(j) = soma dos fluxos futuros na coluna j Pretende-se obter F 0 (i,j): matriz de fluxos O/D futuros 12/29
MODELO FURNESS Formulação Matemática (II) O método de Furness é iterativo, procurando em cada iteração ajustar os valores de cada linha / coluna por forma a atingir os somatórios correctos futuros nessa direcção as iterações ímpares são em linha, e as pares em coluna Para isso, no início de cada iteração, obtém-se o novo conjunto de factores multiplicativos x k (i) = R 0 (i) / R k (i) ou y k (j) = C 0 (j) / C k (j) Aplicando-se de seguida esse novo factor a todos os elementos de cada linha (ou coluna) F k+1 (i,j) = F k (i,j) * x k (i) ou F k+1 (i,j) = F k (i,j) * y k (j) Deve definir-se à partida a margem de erro aceitável compatível com o rigor dos dados, raramente melhor que 2% ou mesmo 5% O processo converge muito rapidamente 13/29
Exercício 11.1 - Enunciado Calibre o modelo gravitacional para a matriz seguinte O/D 1 2 3 4 Total 1 120 86 90 155 451 2 97 92 51 134 374 3 47 42 29 62 180 4 142 126 125 205 598 Total 406 346 295 556 1603 A função de impedância é do tipo exp(β*c(ij)). A matriz de custos generalizados é a seguinte: 1 2 3 4 1 3.0 4.5 6.2 9.0 2 4.5 2.0 5.1 7.4 3 6.2 5.1 1.0 2.5 4 9.0 7.4 2.5 4.0 14/29
Exercício 11.1 Resolução (I) Expressões necessárias para a resolução do problema F( i, j) O( i)* A( i)* D( j)* B( j)*exp( * c( i, j)) A( i) B( j) k m 1 [ D( k)* B( k)*exp( *( c( i, k))] 1 [ O( m)* A( m)*exp( *( c( m, 1ª iteração (arbitrar A e Beta, calcular B e fluxos, calibrar A e Beta) j))] Os valores arbitrados inicialmente para A e beta são os seguintes: A 1 0.5 2 0.5 3 0.5 4 0.5-0.3 beta 15/29
Exercício 11.1 Resolução (II) Calcular a matriz exp(β*c(ij)) com os valores iniciais arbitrados para beta 1 2 3 4 1 0.4066 0.2592 0.1557 0.0672 2 0.2592 0.5488 0.2165 0.1086 3 0.1557 0.2165 0.7408 0.4724 4 0.0672 0.1086 0.4724 0.3012 Para estes valores calcular B e estimar os fluxos, assim como os erros quadráticos entre as previsões e os valores observados. Os valores iniciais de B são os seguintes 1 2 3 4 B(dep. de A) 0.005738408 0.004693761 0.003527242 0.00595115 B*D 2.329793493 1.624041154 1.040536527 3.3088383 16/29
Exercício 11.1 Resolução (III) As estimativas dos fluxos são 1 2 3 4 Total 1 213.6 94.9 36.5 50.1 395.2 2 112.9 166.7 42.1 67.2 389.0 3 32.6 31.6 69.4 140.7 274.3 4 46.8 52.7 147.0 298.0 544.5 Total 406 346 295 556 A soma dos erros quadráticos é 64753, e o coeficiente de correlação entre os valores observados e os valores estimados é de 0,516 Em seguida utilizar o solver do Excel para se estimar os novos beta, A e B (resolvendo o problema em ordem a A e B, de modo a minimizar a soma dos erros quadráticos) 17/29
Exercício 11.1 Resolução (IV) 18/29
Exercício 11.1 Resolução (V) Os novos valores de A e beta são beta A -0.010711048 A*O 1 0.465707975 210.0343 2 0.468194915 175.1049 3 0.453814118 81.68654 4 0.459506805 274.7851 Os novos valores de B são A matriz de fluxos resultante da 1ª iteração é 1 2 3 4 Soma 1 118.6 98.5 81.6 152.5 451.3 2 97.3 84.4 68.8 129.4 379.9 3 44.6 38.1 33.5 63.6 179.8 4 145.5 125.0 111.0 210.5 592.1 Soma 406 346 295 556 A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é 1 2 3 4 1 0.9684 0.9529 0.9357 0.9081 2 0.9529 0.9788 0.9468 0.9238 3 0.9357 0.9468 0.9893 0.9736 4 0.9081 0.9238 0.9736 0.9581 1 2 3 4 B(dep. de A) 0.00143631 0.001423013 0.00140711 0.00143826 B*D 0.583142051 0.492362407 0.415097566 0.79967446 O valor da soma dos erros quadráticos é 917, e o coeficiente de correlação é 0,986 19/29
Exercício 11.1 Resolução (VI) 2ª iteração Calcular A a partir de B, calcular B e fluxos, calibrar beta Os novos valores de A calculados a partir de B são A A*O 1 0.465439 209.913 2 0.460958 172.398 3 0.454322 81.778 4 0.46411 277.538 Em seguida calcula-se B e calibra-se beta de modo a reduzir a soma dos erros quadráticos entre os fluxos observados e os fluxos estimados. Os resultados da calibração de beta (após a utilização do solver) dão o seguinte valor: -0.010701077 A soma dos erros quadráticos é 934,86 e o coeficiente de correlação é 0,986 Estes parâmetros são piores que os da 1ª iteração, mas tal deve-se ao facto de que acrescentámos mais uma restrição na 2ª iteração 20/29
Exercício 11.1 Resolução (VII) A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é 1 2 3 4 1 0.9684 0.9530 0.9358 0.9082 2 0.9530 0.9788 0.9469 0.9239 3 0.9358 0.9469 0.9894 0.9736 4 0.9082 0.9239 0.9736 0.9581 Os valores finais de B (após a calibração de beta) são 1 2 3 4 B 0.001436456 0.001423 0.001407 0.001438 B*D 0.583201226 0.492433 0.415026 0.799494 dif.rel.iter.ant. 0.00010147 0.000143 0.000172 0.000226 Os fluxos estimados são Calcula-se também a diferença relativa entre B e o B da iteração anterior, a qual serve de critério de paragem. 1 2 3 4 1 118.6 98.5 81.5 152.4 2 95.8 83.1 67.7 127.3 3 44.6 38.1 33.6 63.7 4 147.0 126.3 112.1 212.6 21/29
Exercício 11.1 Resolução (VIII) 3ª iteração Os passos são semelhantes aos da iteração anterior. Estimação inicial de A (com base nos B s finais da iteração anterior) A A*O 1 0.465435 209.911 2 0.460958 172.398 3 0.454331 81.780 4 0.46411 277.538 Em seguida calcula-se B e calibra-se beta de modo a reduzir a soma dos erros quadráticos entre os fluxos observados e os fluxos estimados Os resultados da calibração de beta (após a utilização do solver) dão o seguinte valor: -0.010963354 A soma dos erros quadráticos é 934.496 e o coeficiente de correlação é 0,986 22/29
Exercício 11.1 Resolução (IX) A matriz exp(β*c(ij)) estimada para os novos valores de beta é 1 2 3 4 1 0.9676 0.9519 0.9343 0.9060 2 0.9519 0.9783 0.9456 0.9221 3 0.9343 0.9456 0.9891 0.9730 4 0.9060 0.9221 0.9730 0.9571 Os valores finais de B (após a calibração de beta) são 1 2 3 4 B 0.001438672 0.001423 0.001407 0.001438 B*D 0.584101014 0.492433 0.415026 0.799494 dif.rel.iter.ant. 0.001541654 0 0 0 A matriz resultante de fluxos é a seguinte: 1 2 3 4 1 118.6 98.4 81.4 152.1 2 95.9 83.1 67.7 127.1 3 44.6 38.1 33.6 63.6 4 146.9 126.0 112.1 212.4 Os resultados das diferenças entre B e o B anterior são suficientemente pequenos para se considerar que o processo iterativo pode terminar nesta iteração. Nota: Os resultados da calibração são melhores que o habitual com o modelo gravitacional porque este exercício foi feito com poucos graus de liberdade (variáveis a estimar menos parâmetros calibrados). 23/29
EXERCÍCIO 11.2 (MODELO FURNESS) Dados do Problema Somas iniciais Coefs. Somas finais Matriz inicial Dados do problema 1 2 3 4 5 6 Soma_ini Coef.Mult Soma_fin 1 7877 4484 6812 7317 992 1805 29287 1,05 30751 2 457 1892 1965 4639 1004 4468 14425 1,115 16084 3 5688 869 1293 5184 7144 9076 29254 0,94 27499 4 9522 4782 8683 1928 6069 4238 35222 1,04 36631 5 2258 2432 2818 9476 1388 2203 20575 0,98 20164 6 5966 3366 5101 4606 2304 5724 27067 1,17 31668 162797 Soma_ini 31768 17825 26672 33150 18901 27514 155830 Coef.Mult 1,06 1,125 0,92 1,07 0,95 1,13 Soma_fin 33674 20053 24538 35471 17956 31091 162783-14 Tolerância pretendida na convergência 2% Somas iniciais Coefs. erro de fecho Somas finais 24/29
EXERCÍCIO 11.2 - Iteração 1 em linha Após iteração nº 1 / Em linha 1 2 3 4 5 6 soma dos inteiros 1 8270.76 4708.15 7152.52 7682.76 1041.59 1895.23 30752 2 509.56 2109.60 2190.99 5172.53 1119.47 4981.86 16085 3 5346.77 816.87 1215.43 4873.00 6715.42 8531.51 27499 4 9902.91 4973.30 9030.35 2005.13 6311.78 4407.53 36631 5 2212.89 2383.42 2761.71 9286.71 1360.27 2158.99 20164 6 6980.13 3938.17 5968.10 5388.95 2695.65 6697.00 31668 soma dos inteiros 33224 18929 28319 34410 19244 28673 coef. 1.014 1.059 0.866 1.031 0.933 1.084 erro 1.4% 5.9% 13.4% 3.1% 6.7% 8.4% Erros maiores que a tolerância coefs. para prox. iteração 25/29
EXERCÍCIO 11.2 - Iteração 1 em coluna Após iteração nº 1 / coluna 1 2 3 4 5 6 soma dos inteiros coef erro 1 8383.03 4987.58 6197.53 7919.86 971.87 2055.12 30516 1.008 0.8% 2 516.48 2234.81 1898.46 5332.16 1044.53 5402.14 16428 0.979 2.1% 3 5419.34 865.35 1053.15 5023.39 6265.90 9251.26 27877 0.986 1.4% 4 10037.34 5268.47 7824.64 2067.01 5889.28 4779.37 35865 1.021 2.1% 5 2242.93 2524.88 2392.97 9573.31 1269.22 2341.13 20344 0.991 0.9% 6 7074.88 4171.91 5171.25 5555.27 2515.20 7261.98 31750 0.997 0.3% soma dos inteiros 33673 20053 24538 35470 17956 31090 coefs. para prox. iteração Erros maiores que a tolerância 26/29
EXERCÍCIO 11.2 - Iteração 2 em linha Após iteração nº 2 / linha 1 2 3 4 5 6 soma dos inteiros 1 8447.58 5025.99 6245.26 7980.85 979.35 2070.94 30750 2 505.66 2188.01 1858.70 5220.50 1022.66 5289.02 16086 3 5345.86 853.62 1038.87 4955.28 6180.94 9125.82 27501 4 10251.71 5380.99 7991.76 2111.15 6015.06 4881.45 36632 5 2223.09 2502.54 2371.80 9488.61 1257.99 2320.42 20165 6 7056.61 4161.14 5157.90 5540.92 2508.71 7243.22 31669 soma dos inteiros 33832 20113 24665 35298 17965 30930 coef. 0.995 0.997 0.995 1.005 0.999 1.005 erro 0.5% 0.3% 0.5% 0.5% 0.1% 0.5% Erros inferiores à tolerância coefs. para prox. iteração 27/29
EXERCÍCIO 11.2 - Solução Final Solução final, após 2 iterações (incompletas) 1 2 3 4 5 6 soma dos inteiros 1 8448 5026 6245 7981 979 2071 30750 0,0% 2 506 2188 1859 5221 1023 5289 16086 0,0% 3 5346 854 1039 4955 6181 9126 27501 0,0% 4 10252 5381 7992 2111 6015 4881 36632 0,0% 5 2223 2503 2372 9489 1258 2320 20165 0,0% 6 7057 4161 5158 5541 2509 7243 31669 0,0% soma dos inteiros 33832 20113 24665 35298 17965 30930 erro 0,5% 0,3% 0,5% 0,5% 0,1% 0,5% erro 28/29
MODELO FURNESS Problemas com estes métodos As iterações só podem começar depois de ter factores multiplicativos que conduzam a bordaduras equilibradas normalmente este ajuste faz-se com facilidade Uma célula da matriz com o valor zero no ano base fica sempre com o valor zero Genericamente, o método não consegue ser sensível a dois factores importantes de evolução da matriz real de deslocações (que de facto mudam a estrutura dessa matriz) instalação de novos geradores em terrenos antes vazios construção de novas infra-estruturas de transportes que facilitem algumas ligações antes muito difíceis A melhor forma de ultrapassar estas debilidades é por aplicação externa de um modelo gravitacional na linhas / colunas onde ocorrem essas situações (calibrado na situação de base e aplicado com as novas massas na situação futura) 29/29