O SOFTWARE WINPLOT EM CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO 1 - Plano Cartesiano 1 - Funções Afins 1.1 - Definição: Toda função do tipo, é denominada função polinomial do primeiro grau ou função afim. 1.2 - Plotar o gráfico de uma função afim no Winplot. 1) Use os comandos Janela 2 dim Equação Explícita. 2) Digite sua equação no campo f(x) = e se quiser um intervalo específico defina os valores para x mín e x max, clique em travar intervalo e em OK. Exemplo: Plote a equação, no intervalo -2 x 2. 3) A janela do inventário: A janela apresenta os seguintes recursos: 1. Editar: Nesta opção é possível modificar a fórmula da função, determinar um novo intervalo, alterar a cor ou a espessura do traço. 2. Apagar: Elimina uma equação selecionada do inventário. 3. Dupli: Duplica a função selecionada. 4. Copiar: Copia a fórmula da equação.
5. Derivar: O programa gera o gráfico da derivada da função. 6. Nome: Útil quando se trabalha com muitas funções. 7. Mostrar gráfico: Oculta ou mostra o gráfico. 8. Mostrar equação: Exibe a sentença da função no gráfico. 9. Família: converte a equação em uma família de curvas ou pontos. 10. Tabela: Exibe uma tabela com valores da função dentro do intervalo plotado. 2 - Função definida por mais de uma sentença. 2.1- Plotar o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença no Winplot: Para visualizar o gráfico de uma função definida por mais de uma lei basta digitar no campo f(x) = joinx(lei 1 a, lei 2 b,..., lei n). O Winplot interpreta lei 1 no intervalo x < a, a lei 2 no intervalo a < x < b e assim sucessivamente. Exemplo: A Receita Federal divulgou a seguinte tabela progressiva para cálculo anual do imposto de renda de pessoa física: Base de cálculo em R$ Alíquota em % Parcela a reduzir do imposto em Até 12.696,00 0,0 0,00 Acima de 12.696,01 até 25.380,00 15,0 1.904,40 Acima de 25.380,00 27,5 5.076,90 De acordo com a tabela acima, se a renda anual de um cidadão é reais, então o imposto anual a pagar pode ser descrito pela função:
3 - Sistemas de equações: 3.1- Plotar um sistema de equações no Winplot: Para construir um sistema devemos primeiro construir duas funções na mesma tela de gráficos, para isso construiremos a primeira função e usaremos o comando dupli do inventário para construirmos a segunda, mas sem apagar a fonte. Para encontrar os pontos de interseção dos gráficos de duas funções entre em dois e a seguir em interseções. Caso haja mais de um ponto de interseção basta clicar em prox interseção. No gráfico aparecerá a marcação no ponto correspondente. Para marcar os pontos de interseção nos gráficos, devemos clicar em marcar ponto. 4-Coeficiente angular da reta ou taxa de variação da função afim. 4.1-Sejam uma função definida por, variando a constante em IR obtemos retas diferentes. Veja qual a mudança ocorrida nessa reta utilizando o Winplot, utilizando e variando de -2 a 2. 1) Utilize os comandos Janela 2 dim Equação Explícita; 2) Digite e clique em OK. 3) utilize os comandos Anim Parâmetros A-W...; 4) Escolha o parâmetro A, digite -2 e clique em def L, em seguida digite 2 e clique em def R, role a barra, clique em auto rev ou em auto cícl. 5 - Coeficiente linear da reta que é gráfico de uma função afim. 5.1- Sejam uma função definida por, variando a cosntante em IR obtemos retas distintas. Veja qual a mudança ocorrida nessa reta utilizando o Winplot, utilizando e variando de -3 a 3. Utilize os paços do exemplo anterior. 6 - Funções Quadráticas 6.1-Definição: Toda função do tipo denominada função polinomial do 2º grau ou função quadrática., é 6.2-Plotar o gráfico de uma função afim no winplot: 1) Use os mesmos comandos da função afim 2) Ao invés de x², use x^2.
Exemplo: Plote a equação no intervalo de -3 x 3. Obs: os a tecla page up para aumentar o zoom e a tecla page down para diminuí-lo. Use também as setas para enquadrar melhor o gráfico. 6.3-Variação dos coeficientes de uma função quadrática: 1) Plote o gráfico da equação e varie de -2 a 2. O que acontece? 2) Plote o gráfico da equação e varie de -3 a 3. O que acontece? 3) Plote o gráfico da equação e varie de -4 a 4. O que acontece? obs: utilize os mesmos comandos usados na função afim para animação. 6.4-O vértice da parábola que é gráfico de uma função quadrática: 1) O vértice é calculado pelas fórmulas e, em que. 2) Se tiver, será o ponto máximo e será o valor máximo da função. 3) Se tiver, será o ponto mínimo e será o valor mínimo da finção. 4) Você pode verificar se achou e corretamente através do Winplot, usando os comandos Um Extremos... Exemplo
Ache o ponto mínimo de e o ponto máximo de, em seguida confira seus resultados com os do Winplot. 6.5-Zeros de uma função quadrática: 1) Zero ou raiz da função quadrática é o ponto onde o gráfico toca o eixo X. Uma função quadrática pode ter nenhuma, uma ou duas raízes. 2) O zero de uma função quadrática é calculado pela fórmula: onde. 3) Se a equação terá dois zeros, se a equação terá um zero e se a equação não terá nenhum zero (não tocará o eixo X). 4) No Winplot o zero de uma função é calculado com os comandos Um Zeros... Clique em próximo para ver se há outro zero. Para marcar o ponto no gráfico permanentemente clique em marcar ponto. Exemplo Calcule o ponto (ou pontos) onde a equação toca o eixo X. Confira seu resultado com o do Winplot. 7 - Funções exponenciais 7.1-Sendo um número real e um número inteiro, tem-se que: 7.2-Plotar uma equação exponencial no Winplot: 1) Use os comandos Janela 2 dim Equação Explícita. 2) Em f(x)= digite ax^n. 7.3-Funções pares e ímpares:
Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que. Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical Y. Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, temse que. Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo: Plote os gráficos semelhanças e diferenças entre eles. e verifique as 8 - Funções logarítmicas 8.1-Definição: Sejam e números reais positivos e. Chama-se logaritmo de na base o expoente tal que. Em símbolos:. 8.2-Plotar gráfico de uma equação logarítmica no Winplot: 1) Use os comandos Janela 2 dim Equação Explícita. 2) Digite em f(x)=, log(x), considerando logaritmo de x na base 10 ou log(b,x), para considerar logaritmo de x na base b. 9 - Relação entre as funções e. 9.1-A função é a inversa da função e por isto seus gráficos são simétricos em relação a reta. Exemplo: Plote os gráficos comando dupl) e faça, todos na mesma janela (utilizando o variar de 0 a 4. Observe o que acontece. 10 - Função modular 10.1-Definição: Considere no eixo real de origem um ponto A de abscissa x Chama-se módulo de x, e indica-se por, a distância entre os pontos A e :
logo 10.2-Plotar o gráfico de uma função logarítmica no Winplot: 1) Use os comandos Janela 2 dim Equação Explícita. 2) Em f(x)= digite abs(f(x)). Exemplo Plote o gráfico das funções e. Qual a diferança entre eles. 11-Translação de gráficos 11.1-Definição: Transladar um gráfico significa mudar sua posição no plano cartesiano, fazendo um deslocamento na horizontal e/ ou na vertical. Para isso basta trocar, na equação, x por (x+a) e/ ou y por (y+b), onde a e b são números reais. Podemos tomar também a e b como parâmetros e fazer suas variações. Trocando x por (x+a) ou y por (y+b) resulta em uma translação do gráfico, Trocando x por ax ou y por ay observamos uma expansão ou contração do gráfico na horizontal ou vertical. 11.2-Comandos no Winplot: 1) Use os comandos Um Transladar... 2) Aparecerá a caixa Transladar por [a,b] 3) Atribuindo valores para a o gráfico se deslocará no eixo X (valores positivos se deslocará para a direita, valores negativos para a esquerda), atribuindo valores para b o gráfico se deslocará no eixo Y (valores positivos para cima e valores negativos para baixo). Obs.: para transladar um gráfico você deve primeiro plotá-lo. 12 - Estudo do ponto
12.1 Para criar um ponto qualquer utilize os comandos Equação Ponto (x,y)... Digite os valores para X e Y e clique em OK. 12.2 Para calcular a distância entre dois pontos deve-se plotar o primeiro ponto e clicar em Dupli para plotar um segundo ponto, mas sem apagar a fonte. Em seguida utilize os comandos Dois Distâncias... Na sequência, seleciona os pontos e clica-se em distância. 12.3 Animação de pontos: Podemos animar um ponto no Winplot desde que ele esteja definido por parâmetros. Atividade 1: Plote os pontos A(1,2), B(2,3), C(2,1), D(-3,0) e E(-4,-3). Observando a representação de pontos no registro gráfico é possível verificar o alinhamento de 3 pontos? Para verificar clique em Inventário Editar e reescreva as coordenadas do ponto A(1+t,2+t). Observe que ao clicar em OK temos o ponto A(1,2). Que valor assumiu a letra t? A solução está correta: Sim, t = 0. Para obter essa solução deve-se observar que dos cinco pontos apresentados apenas três destes estão alinhados. Segundo, ao adicionar um parâmetro às coordenadas do ponto A, obtém no plano cartesiano do Winplot a representação do ponto A(1,2), logo o parâmetro t adicionado vale 0. Figura 1: Representação para as Atividades 1 e 2
Atividade 2: Em Anim, Parâmetros A-W, escolha a letra T, ao abrir uma nova janela movimente a barra a barra de Rolagem. Perguntas: Descreva o que vocês observaram na tela? Qual o valor de T para obter o ponto B? E o ponto E? Uma descrição correta: Observamos um ponto se movendo como trajetória de uma curva, no caso, uma reta, ou, que o ponto móvel assume a posição dos pontos B e E que pertencem ao alinhamento de pontos. Uma descrição incorreta: Apenas um ponto se movimentando. Neste caso não fazem uma reflexão sobre as atividades anteriores. Nesta atividade proposta, primeiramente utilizam como recurso a adição do parâmetro t no ponto A(1+t,2+t) e animação deste parâmetro tornando-o um ponto móvel validam outros pontos que estão alinhados com o ponto A(1,2). A interpretação global entre os registros de representação do tipo algébrico, numérico ou gráfico facilita o entendimento do ponto móvel como trajetória de uma curva, no caso a reta. Solução correta: para obter o ponto B, T = 1 e para obter o ponto E, T= - 5. Uma solução incorreta ocorrerá se apresentarem quaisquer outros valores para T em ambos os pontos que não sejam os valores corretos por meio de cálculos errados. Nestas atividades os valores de T devem ser calculados pelo método dedutivo, por substituição ou por tabelas. Atividade 3: Faça um ponto deslizar sobre a função 2x² sem sair do traçado. Primeiro será preciso plotar o gráfico da função e para isso use os comandos Janela 2 dim Equação Explícita. A seguir, em uma nova tela, digite sua expressão no campo f(x) = (ao invés de 2x², digite 2x^2) e em seguida, como feito anteriormente, digite o ponto com coordenadas x=a e y=2a^2, conforme Figura 2 abaixo.
Figura 2 : Valores do ponto no Winplot Observe bem os valores dados para x e y, para que o ponto não saia do traçado. No início o ponto ficará na coordenada (0,0), mas ao definirmos os parâmetros ele deslizará sobre o gráfico. 13 - Circunferência 13.1- Na Geometria Euclidiana, uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma certa distância, chamada raio, de um certo ponto, chamado centro. Num sistema de coordenadas cartesianas, uma circunferência pode ser descrita pela equação geral (x a)² + (y - b)² = r², onde os pontos (a, b) são o centro da circunferência e r é o raio da circunferência. Exemplo: Plote uma circunferência de raio 2 e centro no ponto O(2,-1). Para isso use os comandos Janela 2 dim Equação Implícita. A seguir no menu curva implícita, entre com a expressão (x-2)^2+(y+1)^2=4 e a seguir OK.
Figura: Circunferência centrada no ponto O(2,-1) e raio 2. Exercício: Plote uma circunferência de raio 2 e centro no ponto (2,1). Equação paramétrica da circunferência: x-a=rcos(t); y-b=rsen(t). 14 - Elipse 14.1 - A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante. A elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados, tem como equação geral ( x m) 2 a 2 ( y n) 2 b 2 1, onde os ponto (m,n) é o centro da elipse e a e b são dois parâmetros que definem os eixos maior e menor da elipse. 2 2 x y A equação na forma reduzida da elipse é 1. 2 b 2 a uma animação da elipse de equação x 2 2 y 1. 16 9 A Figura 14 mostra Figura: Animação da elipse de equação reduzida centrada na origem com raio maior 4 e menor 3.
Exemplo: Utilizando os mesmos comandos da Atividade 15, plote a elipse de centro de origem no ponto (-1,2), raio menor 2 e raio maior 3. Exercício: Plote uma elipse de centro de origem no ponto (-1,2), raio menor 2 e raio maior 3. 15 - Parábola 15.1- A parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa desse plano. Seja F(p,0) o foco da parábola e r uma reta paralela ao eixo y, ou seja r: x = -p. Um ponto P(x,y) está na parábola se e somente d(p,f)=d(p,r). Neste 2 caso, sua equação é dada por y 4px. Escolhendo outros sistemas de coordenadas, é claro que a equação da parábola muda. Por exemplo, se F(-p,0) 2 e r: x = p, y 4 px. Se F(0, p) e r: y = -p, y x. Se F(0,-p) e r: y = p, 4 p 1 2 y x 4p. 1 2 Exercício: Faça uma animação das diferentes equações da parábola variando o parâmetro p. 16 Derivadas e Integrais Existem atividades variadas que envolvem o conceito de derivada de uma função. Uma delas é a relação da derivada com a reta tangente ao gráfico. Considere o problema de definir a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p,f(p)). Evidentemente, tal reta deve passar no ponto (p,f(p)); assim a reta tangente fica determinada se dissermos quem deve ser o coeficiente angular. Consideremos, então, a reta s que passa pelos pontos (p,f(p)) e (x,f(x)). O x f ( x) f ( p) coeficiente angular de s x é. Quando x tende a p, o coeficiente angular x p f ( x) f ( p) de s x tende a f (p), em que f ( p) lim é o coeficiente angular da x p x p reta tangente ao gráfico da função, no ponto (p,f(p)). 16.1 Equação da reta tangente À medida que x vai se aproximando de p, a reta s x vai tendendo para a posição da reta t de equação y f ( p) f ( p)( x p)
É natural, então, definir a reta tangente em (p,f(p)) como sendo a reta de equação acima. Atividade 1: Plote o gráfico da função f ( x) x 3 x no intervalo 2 x 2 e plote a reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f (1) ). A seguir plote a reta secante que passa pelos pontos (1, f (1) ) e (x, f (x) ), 1 x 1. Faça uma animação que mostre que, à medida que o ponto (x,f(x)) se aproxima sobre o gráfico de f do ponto (1, f (1) ) as retas secantes convergem para a reta tangente de f no ponto (1, f (1) ). Atividade 2: Fazer uma animação da reta tangente deslizando sobre o gráfico de f ( x) x 3 x no intervalo 2 x 2. 16.2 Cálculo de áreas. Um dos recursos do Winplot é o de calcular integrais numericamente. Em particular, é possível obter a área limitada entre duas curvas y=f(x) e y=g(x). O programa calcula as aproximações da integral f-g ou g-f no intervalo em que você especificar.
Atividade 3: Qual a área da curva y=x no intervalo 0 x 1? Passo1: Plote o gráfico da função y=x no intervalo 0 x 1; Passo 2: Plote o gráfico da função y=0 no intervalo 0 x 1; Passo 3: Use os comandos Dois e depois Interseções do Winplot para achar as interseções dessas curvas; Passo 4: Usando os pontos de interseção encontrados, e os comandos Dois e Integrações, faça o programa calcular a integral f-g (ou g-f) por algum dos métodos apresentados. Selecione visualizar e definida para ver os retângulos construídos ao longo dos sub-intervalos. 3 Atividade 4: Qual a área limitada entre as curvas f ( x) x 3x 3e g( x) 2x 2 3 no intervalo 2 x 3?