Lista de Exercícios de SMA000 - Geometria Analítica 1) Indique qual das seguintes afirmações é falsa: a) Os vetores (m, 0, 0); (1, m, 0); (1, m, m 2 ) são L.I. se, somente se, m 0. b) Se u, v 0, então u + v, u v são L.I. c) Se u, v, w são L.I, então u + v, u + w e v + w são L.I. d) Se E = { e 1, e 2, e } é uma base de V, então u = (1, 2, ) E é uma combinação linear dos vetores v = (2, 2, 4) E e w = (0, 1, ) E. 2) Marque a única alternativa incorreta: a) Os vetores (, 5, 1); (2, 0, 4) e (1, m, ) são L.I. se, somente se, m 1. b) Se { e 1, e 2, e } gera V, então { e 1 e 2, e 2 e, e } são L.D. c) Se { e 1 e 2, e 2 e, e } são L.D., então { e 1, e 2, e } são L.D. d) Se v 1, v 2 são L.I. em V e w V com w 0 tal que { v 1 + w, v 2 + w} são L.I. em V, então { v 1, v 2, w} são L.I. ) Considere as afirmações: I) Se { v 1, v 2 } são L.I. em V, então { v 1, v 2, w} são L.I. para qualquer w 0. II) Seja { v 1, v 2, v } vetores L.D. em V, então existem a, b R tal que v = a v 1 + b v 2. III) Os vetores (m, 1, m) e (1, m, 1) são L.D. se, somente se, m = 1 As afirmações corretas são somente: a) (I) e (III) b) (II) e (III) c) (II) d) (III) e) (I), (II) e (III) 4) Assinale a afirmação incorreta. a) Seja o conjunto B = ( u, v, w) linearmente dependente. Então qualquer vetor de B é combinação linear dos demais. b) Se AX + Y B = AB, então necessariamente X = Y. c) Sejam AB e CD vetores não-nulos e paralelos de mesmo sentido de modo que AB = α CD. Então pode-se afirmar que necessariamente AB = α CD. d) Se 0 + u = v e v u = 0, então necessariamente u é o vetor nulo. 1
5) Considere um triângulo ABC e seja X um ponto pertencente ao segmento AB. Assinale a alternativa que apresenta uma expressão correta para o vetor CX. a) CX = b) CX = c) CX = d) CX = CB + CB CB + CB 6) Considere um tetraedro ABCO. Seja G o baricentro da face ABC e F = { OA, BO, OC} uma base. Se (x, y, z) são as coordenadas do vetor OG na base F, então é verdade que x + y + z é igual a: a) 1 b) 1/2 c) 1/ d) 2/ 7) Seja { e 1, e 2 } uma base ortonormal de R 2 e v = 6 e 1 + 7 e 2 e u = e 1 + 4 e 2, qual é projeção de v na direção do vetor u? a) 4 e 1 + 7 e 2 b) e 1 + 4 e 2 c) e 1 + 4 e 2 d) 2 e 1 + 8 e 2 e) 4 e 1 + e 2 8) Se a e b são dois vetores não nulos e a b = 0, então considere as seguintes afirmações: I) a + b e a b são ortogonais. II) a + b 2 = a 2 + b 2 + 2 a b III) a + b 2 = a 2 + b 2 IV) ( a b) ( a + b) a + b 2 + a b 2 V) ( a + b) ( a b) = a 2 + b 2 Marque a alternativa correta. 2
a) os itens (I) e (III) são corretos. b) os itens (III) e (IV) são corretos. c) os itens (IV) e (V) são corretos. d) os itens (V) e (II) são corretos. e) os itens (I) e (II) são corretos. 9) Em cada item abaixo temos duas bases ordenadas de R. Marque o único item em que as bases tem a mesma orientação. a) {(0, 1, 0), (1, 0, 0)(0, 0, 1)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} b) {(2, 0, 0), (0, 2, 0)(0, 0, 1)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} c) {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} d) {(1, 0, 0), (0, 0, 1)(0, 1, 0)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} e) {(0, 1, 1), (2,, 2)(5, 0, )} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} 10) Sejam u, v, w vetores L.I. em R. Qual é a única das alternativas abaixo que nos dar o volume da pirâmide de base quadrangular inscrito no paralelepípedo gerado por u, v, w? a) ( u v) w b) ( u v) w c) u ( v w) d) 1 u ( v w) e) ( 1 u v) w 2 11) Considere os vetores u = (1, 2, 0) e v = (1, 0, 2) em R. Qual é área do paralelogramo gerado por u e v? a) 10 b) 20 c) 24 d) 26 e) 1 12) Sejam (x 1, x 2, x ) E R na base E e (y 1, y 2, y ) na base F tal que x 1 = 2y 1 + y 2 y, x 2 = y 1 2y 2 y e x = y 1 y 2 2y, então a matriz de mudança da base F para a base E é:
a) 2 1 1 2 1 1 1 2 b) 2 1 1 2 1 1 1 2 c) 1 1 2 2 1 2 1 1 d) 1 1 2 1 2 2 1 1 e) 2 1 1 1 1 2 2 1 1) Sejam os vetores u = (, 1, 2) e v = (1, 0, ), então a expresão 2( u v) ( u 2 + v) 2 ) é igual a: a) 4 b) -2 c) 6 d) -4 e) -6 14) Sejam os vetores v 1, v 2 L.I em V, então podemos afirmar que: a) existe w V tal que { v 1, v 2, w} é uma base de V. b) { v 1, v 2, v 1 + v 2 } gera V c) Não existe w V, diferente do vetor nulo tal que w seja combinação linear de v 1 e v 2. d) Se w V tal que { w, v 1 } e { w, v 2 } seja conjuntos L.D., então w 0 15) Consideremos em R três pontos distintos A, B, C não colineares. Se P, Q, M são pontos médios dos segmentos AB, BC, AC, respectivamente, então é correto afirmar que: a) o conjunto { AQ, CP, BM} é L.I. b) o conjunto { AB, AC, AQ} é L.I. c) BM = 1 BA + 1 BC 2 2 d) Se E é um ponto qualquer diferente de A, B, C, então { AB, AC, AE} são L.D. 16) Seja ABCD um losango no plano R 2 como na figura, A B C D Marque a única alternativa correta, a) DC + DB = DA b) AB AC = BC 4
c) AC + CD = CB d) + DB = AB e) AB + = AD ) Para o vetor a nós definimos o vetor unitario e a := a. Sejam a e b dois vetores tais que a a = b = a b então qual é ângulo entre e a e e a+b? a) 0 b) 60 c) 45 d) 90 e) 7 18) Sejam { i, j, k} a base canônica de R, a = 2 i + j + k e b = i j + k. Quem é cos θ onde θ é o ângulo entre a b e b? a) 0 b) 5 c) d) e) 5 19) Considere o retângulo ABCD e seja O o ponto de interseção das diagonais do retângulo. Sabendo que = 12 e BC = 5. Calcule AO AB + AO AD. a) 169 2 b) 97 2 c) 97 d) 61 2 e) 61 20) Dada as bases E = ( e 1, e 2, e ) e F = ( f 1, f 2, f ) tal que f 1 = 2 e 2 + e, f 2 = e 1 2 e 2 + e e f = e 1 + e 2, logo podemos afirmar que: a) (1, 0, 2) F = (2,, 0) E 5
b) (1, 2, 0) F = (2, 1, 2) E c) (0, 1, 2) F = (1, 2, 0) E d) (, 1, 2) F = (1, 2, 5) E e) (1, 1, 1) F = (, 0, 2) E 21) Sejam E = { e 1, e 2, e } uma base de V e f 1 = e 1 e 2 e, f2 = e 1 + 2 e 2 + e e f = e 1 + e 2 + 4 e. Então é correto afirmar que : a) F = { f 1, f 2, f 1 1 1 } é LI e a matriz mudança de base E para F é dada por 1 2 1 2 1 4. b) { f 1, f 2, f } é L.D. c) F = { f 1, f 2, f } é LI e a matriz mudança da base E para F é dada por d) f 1, f 2 e f são vetores coplanares. 1 1 2 1 2 1 1 1 4 22) Fixada a base canônica { i, j, k} de R, considere os vetores u = (1,, 1) e v = (,, ) representados nesta base. Então os vetores ortogonais tanto a u quanto a v podem ser representados por: a) (x, x, x), para x um número real não nulo. b) (x, 2x, 1), para x um número real qualquer. c) (0, 0, 2x), para x um número real não nulo. d) (2x, x, x), para um número real qualquer. 2) Sejam { i, j, k} a base canônica de R e u, v, w vetores quaisquer. Quais das afirmações abaixo é falsa? a) u. v = u v se, e somente se, u e v são LD. b) u v = u v cos θ. c) Se w 0 e w = u v então u, v, w são LI. d) Se a base canônica é positivamente orientada então i j = k, k i = j e j k = i.. 6