Apresentação do curso

Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números reais e intervalos. Funções reais: domínio, contradomínio, imagem, gráfico, monotonicidade, injetividade, sobrejetividade, bijetividade, composição, inversa, par, ímpar, extremos. Transformação de gráficos. Função exponencial e função logarítmica. Funções trigonométricas. Funções polinomiais gerais (com foco em resultados de fatoração) Bibliografia Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. Coleção MatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002. Parte 1 Pré-Cálculo 3 Parte 1 Pré-Cálculo 4

Bibliografia Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2003. Bibliografia James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, 2001. Parte 1 Pré-Cálculo 5 Parte 1 Pré-Cálculo 6 Bibliografia Bibliografia George B. Thomas. Cálculo, volume 1, Décima edição, Editora Addison-Wesley, 2003. Howard Anton. Cálculo Um Novo Horizonte, volume 1, Sexta edição, Editora Bookman, 2000. Parte 1 Pré-Cálculo 7 Parte 1 Pré-Cálculo 8

Outras informações Datas das provas Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/. Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda. Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, material extra, notas das provas. Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA. 1 a VE 26/10/2016 (peso 2) 2 a VE 04/01/2017 (peso 3) VR 11/01/2017 VS 18/01/2017 Vamos definir agora um horário de atendimento para esta turma. Frequência mínima: 75%. Parte 1 Pré-Cálculo 9 Parte 1 Pré-Cálculo 10 Como estudar? Tenha uma cópia impressa destes slides sempre consigo! Após cada aula, estude o material apresentado (estes slides): marque o que é importante, refaça os exemplos e as demonstrações apresentadas por conta própria, anote dúvidas, etc. Faça uma lista com as definições e teoremas principais! A reta numérica Tem uma dúvida? Converse com seus colegas, com os monitores e com os professores. Não fique acanhado em perguntar em sala de aula. Não deixe para estudar na última hora: estude todo dia! Parte 1 Pré-Cálculo 11 Parte 1 Pré-Cálculo 12

A reta numérica A reta numérica Importante: no que se segue, ao contrário da convenção usual, empregaremos o ponto como separador decimal no lugar da vírgula. (Ir para o GeoGebra) Parte 1 Pré-Cálculo 13 Parte 1 Pré-Cálculo 14 = 1 4 + 3 10 + 7 1 100 + 5 1 1000 = 1 4 + 3 10 + 7 1 10 2 + 5 1 10 3. Como representar o número 4.375 em uma reta numérica? Parte 1 Pré-Cálculo 15 Parte 1 Pré-Cálculo 16

0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Parte 1 Pré-Cálculo 17 Parte 1 Pré-Cálculo 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4????????? 5 Parte 1 Pré-Cálculo 19 Parte 1 Pré-Cálculo 20

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 Parte 1 Pré-Cálculo 21 Parte 1 Pré-Cálculo 22 4.3????????? 4.4 4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4 Parte 1 Pré-Cálculo 23 Parte 1 Pré-Cálculo 24

4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4 4.37????????? 4.38 Parte 1 Pré-Cálculo 25 Parte 1 Pré-Cálculo 26 4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38 4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38 Parte 1 Pré-Cálculo 27 Parte 1 Pré-Cálculo 28

0.3 = 0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38 = 3 1 10 + 3 1 100 + 3 1 1000 + 1 = 3 10 + 3 1 10 2 + 3 1 10 3 + [ ( ) 1 1 2 ( ) 1 3 = 3 10 + + + ] 10 10 [ ] ( ) 1/10 = 3 1 (1/10) = 1 3. Em ( ) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. Parte 1 Pré-Cálculo 29 Parte 1 Pré-Cálculo 30 0 1 Parte 1 Pré-Cálculo 31 Parte 1 Pré-Cálculo 32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Parte 1 Pré-Cálculo 33 Parte 1 Pré-Cálculo 34 0????????? 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Parte 1 Pré-Cálculo 35 Parte 1 Pré-Cálculo 36

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.3????????? 0.4 Parte 1 Pré-Cálculo 37 Parte 1 Pré-Cálculo 38 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 Parte 1 Pré-Cálculo 39 Parte 1 Pré-Cálculo 40

0.33????????? 0.34 0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34 Parte 1 Pré-Cálculo 41 Parte 1 Pré-Cálculo 42 E assim por diante... 0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34 0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34 Parte 1 Pré-Cálculo 43 Parte 1 Pré-Cálculo 44

Expansões decimais: exemplo 3 Expansões decimais: exemplo 3 0.9 = 0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + = 9 1 10 + 9 1 100 + 9 1 1000 + 1 = 9 10 + 9 1 10 2 + 9 1 10 3 + [ ( ) 1 1 2 ( ) 1 3 = 9 10 + + + ] 10 10 [ ] ( ) 1/10 = 9 1 (1/10) 0.9 = 1 Moral: existem números reais que possuem duas expressões decimais diferentes! = 1. Em ( ) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. Parte 1 Pré-Cálculo 45 Parte 1 Pré-Cálculo 46 Expansões decimais Exercício Na reta numérica abaixo, estão indicados quatro pontos: A, B, C e D. Qual ponto corresponde ao número 2/5? 3 2 1 0 1 2 3 Resposta: B. A B C D (Ir para o GeoGebra) Parte 1 Pré-Cálculo 47 Parte 1 Pré-Cálculo 48

Exercício Na reta numérica abaixo, a = 2/3eb = 3/10. O intervalo [a, b] encontra-se dividido em sete partes iguais. Determine o valor de x indicado na figura. a x b Resposta: x = 41/105. Parte 1 Pré-Cálculo 49 Parte 1 Pré-Cálculo 50 Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b Parte 1 Pré-Cálculo 51 Parte 1 Pré-Cálculo 52

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto Parte 1 Pré-Cálculo 53 Parte 1 Pré-Cálculo 54 Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) é fechado à esquerda Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) é fechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita Parte 1 Pré-Cálculo 55 Parte 1 Pré-Cálculo 56

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) é fechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) é fechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: (, b] é a semirreta esquerda, fechada, de origem b. Parte 1 Pré-Cálculo 57 Parte 1 Pré-Cálculo 58 Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) é fechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: (, b] é a semirreta esquerda, fechada, de origem b. Os demais têm denominações análogas. Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) é fechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: (, b] é a semirreta esquerda, fechada, de origem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-se intervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso, são vazios. Parte 1 Pré-Cálculo 59 Parte 1 Pré-Cálculo 60

Observações Observações Outras notações para intervalos (notação francesa): ]a, b[ para indicar o intervalo (a, b), [a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc. Quais as vantagens desta notação? Resposta: para resolver ambiguidades. Por exemplo, (2, 3) representa um intervalo ou um par ordenado? Se I é um intervalo não vazio e não degenerado, então para todo a, b I com a < b, todos os números que estão entre a e b também pertencem ao conjunto I! Assim, o conjunto A =], 1] [3, + [ não é um intervalo! 1 3 e + não são números! Eles são apenas símbolos usados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto, não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualquer operação considerando-os como se fossem números. desempenharão um papel fundamental na disciplina de Cálculo I -A-. De fato, esta disciplina deveria se chamar Cálculo em! Parte 1 Pré-Cálculo 61 Parte 1 Pré-Cálculo 62 [a, b] ={x R a x b} (a, b) ={x R a < x < b} a b a b Parte 1 Pré-Cálculo 63 Parte 1 Pré-Cálculo 64

[a, b) ={x R a x < b} (a, b] ={x R a < x b} a b a b Parte 1 Pré-Cálculo 65 Parte 1 Pré-Cálculo 66 (, b] ={x R x b} (, b) ={x R x < b} b b Parte 1 Pré-Cálculo 67 Parte 1 Pré-Cálculo 68

[a, + ) ={x R a x} (a, + ) ={x R a < x} a a Parte 1 Pré-Cálculo 69 Parte 1 Pré-Cálculo 70 A = {2, 3}, B =[2, 3], C =]2, 3[. Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais que pertençam ao intervalo [2, 3]. (1) Quantos elementos tem cada conjunto? Resposta: A tem 2 elementos, B e C têm infinitos elementos. (2) Qual é o menor elemento de cada conjunto? Resposta: o menor elemento dos conjuntos A e B é2,c não possui um menor elemento. Racionais: x 1 = 2.01, x 2 = 2.001, x 3 = 2.0001,...,x n = 2. 0 }...0 {{} 1,... n zeros Irracionais: y 1 = 5 + 0.01, y 2 = 5 + 0.001,...,y n = 5 + 0. 0 }...0 {{} 1,... n zeros Parte 1 Pré-Cálculo 71 Parte 1 Pré-Cálculo 72