Erivaldo. Revisão ENEM

Erivaldo Revisão ENEM

ENEM 2013 01) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? A) 1/2 B) 5/8 C) 1/4 D) 5/6 E) 5/14

ENEM 2013 RESOLUÇÃO Total: 1200 alunos Inglês: 600 alunos Espanhol: 500 alunos Não falam Inglês nem Espanhol: 300 alunos I E 1200 300 = 900 400 300 600 + 500 = 1100 1100 900 = 200 300

ENEM 2013 Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? I E P = 300 600 400 200 300 P = 1 2 300 Gabarito: A

ENEM 02) A tabela abaixo abresenta uma pesquisa quanto ao n de jovens que ouvem música enquanto praticam exercício na academia. Idade Resolução: X= Jovens 14 5 16 4 18 8 20 2 TOTAL 28 14.5 +16.4 +18.8 + 20.2 5+4+8+2 318 = 19 = 16, 73 Com base nesses dados calcule a média, a idade modal e a mediana das idades dos jovens da pesquisa. Rol: 14, 14, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 20, 20. Idade Modal: M o = 18 Posição da mediana: n+1 2 19 +1 = 10ª 2

ENEM 2013 Uma falsa relação 03) O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média.

ENEM 2013 Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é A) Finlândia. B) Holanda. C) Israel. D) México. E) Rússia.

ENEM 2013 RESOLUÇÃO notas abaixo da média maior quantidade de horas Gabarito: C

ENEM 04) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso

ENEM O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é A) Marco, pois a média e a mediana são iguais. B) Marco, pois obteve menor desvio padrão. C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. D) Paulo, pois obteve maior mediana. E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

ENEM 2013 05) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I. é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 9; II.é a parábola de equação y = x 2 1, com x variando de 1 a 1; III. é o quadrado formado pelos vértices ( 2, 1), ( 1, 1), ( 1, 2) e ( 2, 2); IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V. é o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

I. circunferência: x 2 + y 2 = 9 RESOLUÇÃO (x 0) 2 + (y 0) 2 = 3 2 Centro: C(0,0) Raio: r = 3 II. prábola: y = x 2 1

I. circunferência: x 2 + y 2 = 9 (x 0) 2 + (y 0) 2 = 3 2 Centro: C(0,0) Raio: r = 3 II. prábola: y = x 2 1 Gabarito: E

ENEM 06) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Supondo-se que, no Sudeste, 14900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? A) 5513 B) 6556 C) 7450 D) 8344 E) 9536

ENEM Resolução: Sudeste : 14900 estudantes. Estudantes que possuem telefone móvel celular: 0,56. 14900 = 8344 estudantes. Gabarito: d

ENEM 2013 07) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

ENEM 2013 A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = (3/2).x 2 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é A) 1. B) 5. C) 2. D) 6. E) 4.

RESOLUÇÃO ENEM 2013 Função: f(x) = 3 2.x2 6x + C x V = b 2.a x V = ( 6) 2.(3 / 2) Vértice: (2,0) x V = 2

ENEM 2013 Função: f(x) = 3 2.x2 6x + C (2,0) 0 = 3 2.(2)2 6.(2) + C 0 = 6 12 + C C = 6 Gabarito: D

BAIANO 08) Num terreno triangular de lados 13, 14 e 15 será construído um galinheiro no formato circular de maneira a estar inscrito no terreno, calcule quantos frangos cabem neste galinheiro sabendo que teremos 3 animais por m 2. (considere π = 3 ) 13 r r 14 r S=p.a 15 A = π.r 2 3 ----- 1 m 2 A = 84 m 2 A = (3).4 2 x ----- 48m 2 S = p.a A = 48m 2 x= 144 animais 84 = 21.r r = 4 m 13+14 +15 p= 2 42 = 2 = 21 A = p(p-a)(p-b)(p-c) A= 21(21-13)(21-14)(21-15) A= 21(8)(7)(6) A = 3.7.2.2.2.7.2.3 A = 84 m 2

ENEM 2013 09) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção da banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

ENEM 2013 Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é a) (62 6 )/(10) 6 b) 62!/10! c) 62!.4!/10!.56! d) 62! 10! e) 62 6 10 6

ENEM 2013 RESOLUÇÃO Primeira senha: seis dígitos utilizando os algarismos de 0 a 9. Segunda senha: seis dígitos utilizando os algarismos de 0 a 9, as 26 letras maísculas e as 26 minúsculas do alfabeto. Primeira senha: 10p. 10p. 10p. 10p. 10p. 10p = 10 6 Segunda senha: 62p. 62p. 62p. 62p. 62p. 62p = 62 6 Razão entre novo e antigo: 62 6 10 6 Gabarito: A

ENEM 10) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça é igual a a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 6 - r r r 6 - r r r 8 - r 8 - r Resolução: S =p.a 6.8/2 = (6+8+10)/2.r 24 = 12.r 2 = r Gabarito: b 6 r + 8 r = 10 r = 2

ENEM 2013 11) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de uma material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A.(2,7) k.t, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

ENEM 2013 Considere 0,3 como aproximação para log 10 2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? A) 27 B) 36 C) 50 D) 54 E) 100

ENEM 2013 A meia-vida do césio-137 é 30 anos RESOLUÇÃO t = 30 M = A 2 Função: M(t) = A.(2,7) k.t, onde A é a massa inicial. M(t) = A. ( 2,7) k.t ( 2,7) 30.k = 2 1 A 2 = A. ( 2,7 )k.30 log( 2,7) 30.k = log( 2 1 ) 1 2 = ( 2,7)k.30 30.k.log( 2,7) = 1.log( 2)

ENEM 2013 30.k.log( 2,7) = 1.log( 2) log( 2,7) = 3 10 30.k 30.k.log( 2,7) = 1. ( 0,3) log( 2,7) = 0,3 30.k ( ) = 3 log 2,7 log 2,7 ( ) = 1 100.k 10. 1 30.k

ENEM 2013 Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa se reduza a 10% da quantidade inicial? t =? M = 1 10.A M(t) = A. ( 2,7) k.t ( 2,7) k.t = 10 1 1.A = A. 2,7 10 ( )k.t log( 2,7) k.t = log( 10 1 ) 1 10 = ( 2,7)k.t k.t.log( 2,7) = 1.log( 10)

ENEM 2013 log( 2,7) = 1 100.k k.t.log( 2,7) = 1.log( 10) k.t. 1 100.k = 1.log ( 10 ) k.t. 1 100.k = 1. 1 ( ) t = 100 Gabarito: E

ENEM 12) O projeto de uma vela decorativa no formato de uma pirâmide quadrangular regular com altura x e à partir dela são produzidas duas outras, uma no formato de uma nova pirâmide e outra na forma de um tronco, ambas são geradas no mesmo instante por uma secção transversal a 4 cm da sua base e tem uma área igual a ¼ da área da base, calcule x Resolucão: h 4 ¼ AB A B h H 2 = A A b B 1 2 A h 4 = h+ 4 A B B h 1 = h+ 4 2 2h = h + 4 h= 4 x = 4+ 4 = 8

ENEM 2009 13) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 (0,2%) 4. b) 4 (0,2%) 2. c) 6 (0,2%) 2 (99,8%) 2. d) 4 (0,2%). e) 6 (0,2%) (99,8%). Resolução: D e D e ND e ND P 2,2 4 = 4! 2!.2! (0,2%) x (0,2%) x (99,8%) x (99,8%) P 4 2,2 = 6 Gabarito: c 6. (0,2%) 2 x (99,8%) 2

ENEM 14) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observálas. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beijaflores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de: ENEM 2013 Baiano

Dados: (uma parte de açúcar para cinco partes de água), copo cilíndrico, com 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro Resolução: (utilize π = 3) De acordo com o texto, temos: Volume de açúcar = x Volume de água = 5x Volume do copo = π.r 2.h = 3.2 2.10 = 120 cm 3 Então x + 5x = 120 6x = 120 x = 20 cm 3 Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.20 = 100 cm 3 = 100 ml. Gabarito: C a) 20 ml. b) 24 ml. c) 100 ml. d) 120 ml. e) 600 ml.

ENEM 2009 15) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. N de bolas (x) Nível da água (y) 5 6,35 cm 10 6,70 cm 15 7,05 cm

ENEM 2009 Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x. b) y = 25x + 20,2. c) y = 1,27x. d) y = 0,7x. e) y = 0,07x + 6. Resolução: N de bolas (x) Nível da água (y) 5 6,35 cm 10 6,70 cm 15 7,05 cm Gabarito: e Função: y = ax + b 6,35 = 5a + b 6,70 = 10a + b a = 0,07 e b = 6 y = ax + b y = 0,07x + 6

Erivaldo 16) De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada. O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é: UDESC MATEMÁTICA

Resolução : Área do quadrado: S Q = x 2 Área do trapézio: S S T T UDESC (B + b).h = 2 (14 + x).(12 x) = 2 Área hachurada: 2 (14 + x).(12 x) S = x + 2 12 - x 2 x S = x + 84 2 MATEMÁTICA

Resolução : Gráfico: S 84 2 x S x 84 2 = + (função quadrática) O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é: 83,5 x V b 2.a = x V = ( 1) 2.(1/2) xv = 1 0 UDESC 1 x MATEMÁTICA

ENEM 2009 17) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é a) V = 10.000 + 50x x 2. b) V = 10.000 + 50x + x 2. c) V = 15.000 50x x 2. d)v = 15.000 + 50x x 2. e) V = 15.000 50x + x 2.

ENEM 2009 Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$1,50 cada litro. Para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é Resolução: Desconto Preço litros Arrecadação (V) 0 1,50 10000 (1,50).(10000) 1 1,50 1/100 10000 + 100 (1,50 1/100).(10000+100) 2 1,50 2/100 10000 + 100.2 (1,50 2/100).(10000+100.2) 3 1,50 3/100 10000 + 100.3 (1,50 3/100).(10000+100.3) x 1,50 x/100 10000 + 100.x (1,50 x/100).(10000+100.x)

ENEM 2009 Desconto Preço litros Arrecadação (V) x 1,50 x/100 10000 + 100.x (1,50 x/100).(10000+100.x) Arrecadação: V = 1,50 x 100.( 10000 + 100.x) V = 15000 + 150x 100x x 2 V = 15000 + 50x x 2 Gabarito: d

BAIANO 18) Em uma empresa, para reaproveitar os materiais que sobram, eles são fundidos e moldados com formas diferentes da original. Numa determinada sobra, alguns cones de geratriz 10 cm e raio 6cm, serão transformados em esferas. Sabe-se que a cada três cones, consegue-se construir um esfera. Em seguida essas esferas são colocadas de duas em duas em embalagens cilíndricas, de tal maneira que as esferas se tangenciam e também tangenciam lateralmente o cilindro e as suas bases. Podemos afirmar que, o volume interno do cilindro não ocupado pelas esferas é: a) 864πcm³ b) 576πcm³ c) 288πcm³ d) 144πcm³ ENEM 2013 Baiano

BAIANO Em uma empresa, para reaproveitar os materiais que sobram, eles são fundidos e moldados com formas diferentes da original. Numa determinada sobra, alguns cones de geratriz 10 cm e raio 6cm, serão transformados em esferas. Sabe-se que a cada três cones, consegue-se construir um esfera. Resolução: 8 6 10 3V c = Ve πr c²h 4πr e³ 3 = 3 3 2 3π6²8 = 4πr ³ e r³=6³ e r e =6 ENEM 2013 Baiano

BAIANO Em seguida essas esferas são colocadas de duas em duas em embalagens cilíndricas, de tal maneira que as esferas se tangenciam e também tangenciam lateralmente o cilindro e as suas bases. Podemos afirmar que, o volume interno do cilindro não ocupado pelas esferas é: a) 864πcm³ b) 576πcm³ c) 288πcm³ d) 144πcm³ Resolução: Gabarito C 6 6 24 V =V -2V nc c e 4πr e³ V nc =πr c²h-2 3 4π6³ V nc =π6².24-2 3 V nc =864π -576π =288πcm³

ENEM 2009 19) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03,..., 59, 60}, custava R$1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

ENEM 2009 Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, a) 1 vez menor. b) 2 vez menor. c) 4 vezes menor. d) 9 vezes menor. e) 14 vezes menor. Resolução: Primeiro caso: 84 cartões, cada um com 6 dezenas. Segundo caso: 1 cartão com 9 dezenas.

ENEM 2009 Primeiro caso: 84 cartões, cada um com 6 dezenas. Segundo caso: 1 cartão com 9 dezenas. Primeiro caso: Seis dezenas, tomadas 5 a 5. C 6 5 = 6! 5!.(6 5)! C 6 5 = 6 Total de possibilidades: 02, 07, 23, 40, 41, 57 84.C 6 5 = 84.6 = 504

ENEM 2009 Primeiro caso: 84 cartões, cada um com 6 dezenas. Segundo caso: 1 cartão com 9 dezenas. Segundo caso: Nove dezenas, tomadas 5 a 5. C 9 5 = 9! 5!.(9 5)! C 9 5 = 126 Total de possibilidades: 126 02, 07, 10, 23, 25, 37, 41, 53, 59

ENEM 2009 Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente, a) 1 vez menor. b) 2 vez menor. c) 4 vezes menor. d) 9 vezes menor. e) 14 vezes menor. Resolução: Primeiro caso: 504 Segundo caso: 126 504 126 = 4 Gabarito: c

BAIANO 20) A quantidade de animais de uma determinada espécie em extinção pode ser descrita, simplificadamente, pela função seno f(t) = 6 + 4.sen(π.t/6), em que t é o tempo em meses e f(t) a quantidade de animais passados t meses do início das observações. Assinale quantas proposições são corretas. I. A quantidade mínima de animais é 2. II. O momento da observação em que ocorreu a função máxima foi no 3 mês. III. O período de variação é de 12 meses. IV. O momento da observação em que a quantidade de animais é igual à 8 ocorreu no 1 e 5 mês. D f = R Im f = [6-4, 6 + 4] = [2, 10] P f = 2π m 2π = π6 Resolução: = 12 Paridade = Sem paridade 10 6 2 0 3 6 9 12

Trigonometria IV. f(t) = 6 + 4.sen(π.t/6 ) 8 = 6 + 4.sen(π.t/6 ) 1/2 = sen(π.t/6 ) + + 150º 30º π.t/6 = π/6 t = 1 π.t/6 = 5π/6 t = 5 - - Correto

ENEM 2010 21) Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade?

ENEM 2010 De 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível.

Progressões 22) Um professor lançou um desafio aos seus alunos de sabendo que três números que estão em P.A. Crescente, a soma destes números é 18 e o seu produto 120. Qual o número deve ser somado a cada um dos termos extremos e subtraído do termo médio desta PA, para que passe a ser uma PG Sejam ( x r ), x, ( x + r ) os números em PA. ( x r ) + x + ( x + r ) = 18 x = 6 ( 6 r ). ( 6 + r ). 6 = 120 36 - r 2 = 20 r = ± 4 Logo, os números são 2, 6 e 10 (2 + a, 6 - a, 10 + a ) b 2 = a.c (6 - a) 2 = (2 + a).(10 + a) 36-12a + a 2 = 20 + 2a + 10a +a 2 16 = 24a a = 2/3

ENEM 2009 23) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$20,00. Nos dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.

ENEM 2009 Nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$20,00. Nos dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. 130 110 90

ENEM 2009 De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de a) R$ 90,00. b) R$110,00. c) R$130,00. d) R$150,00. e) R$170,00. Resolução: 7 dias fora da promoção 8 dias na promoção Qual a economia?

ENEM 2009 7 dias fora da promoção 7x150 = 1050 8 dias na promoção 130 110 90 3x( ) + ( ) + ( ) + 3x( ) = 150 130 110 90 960 Economia: 1050 960 = 90 Gabarito: a

ENEM 2010 13) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.

ENEM 2010 Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8 L 0,5 N 0,2 O 0,1 S 0,4 N 0,3 L. Ao final, desce verticalmente até pousar no solo. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m.

E( 20,6 ; 60,8) F( 20,9 ; 60,8) C( 20,6 ; 60,5) D( 20,6 ; 60,4) B( 20,8 ; 60,5) A( 20,8 ; 60) Posição inicial: X (20; 60). Percurso: 0,8 L 0,5 N 0,2 O 0,1 S 0,4 N 0,3 L.

ENEM 2010 Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8 L 0,5 N 0,2 O 0,1 S 0,4 N 0,3 L. Ao final, desce verticalmente até pousar no solo. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m. Gabarito: a

ENEM 2010 14) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

ENEM 2010 Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é a) E1E3. b) E1E4. c) E2E4. d) E2E5. e) E2E6.

ENEM 2010 Trajetos de A para B: ( E1E4 ) ou ( E1E3 ) ou ( E2E6 ) ou ( E2E5 ) Probabilidade de não ter engarrafamento: 0,5 0,7 0,2 0,6 0,4 0,3

ENEM 2010 Probabilidade de não ter engarrafamento: Trajeto E1E4 Prob. de não ter engarrafamento (0,2).(0,7) = 0,14 0,5 0,7 0,2 E1E3 E2E6 (0,2).(0,5) = 0,10 (0,3).(0,4) = 0,12 0,6 0,4 0,3 E2E5 (0,3).(0,6) = 0,18 Melhor trajeto: E2E5 Gabarito: d

ENEM 2010 15) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função T(t) = 7.t + 20,para 0 t < 100 5 2 125.t2 16.t + 320, para t 100 5

ENEM 2010 T(t) = Temperatura tempo 7.t + 20,para 0 t < 100 5 2 125.t2 16.t + 320, para t 100 5 em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 C e retirada quando a temperatura for 200 C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a a) 100. b) 108. c) 128. d) 130. e) 150.

ENEM 2010 Resolução: T(t) = 7.t + 20,para 0 t < 100 5 2 125.t2 16.t + 320, para t 100 5 T(t) = 7.t + 20 5 T(100) = 7.(100) + 20 5 T(100) = 160 o C Colocar a peça quando a temperatura for 48 C. Retirar quando a temperatura for 200 C. O tempo de permanência no forno é, em minutos, igual a:

ENEM 2010 Resolução: T(t) = 7.t + 20,para 0 t < 100 5 2 125.t2 16.t + 320, para t 100 5 T(t) = 7.t + 20 5 48 = 7.t + 20 5 t = 20 minutos Colocar a peça quando a temperatura for 48 C. Retirar quando a temperatura for 200 C. O tempo de permanência no forno é, em minutos, igual a:

ENEM 2010 Resolução: Retirar quando a temperatura for 200 C. T(t) = 7.t + 20,para 0 t < 100 5 2 125.t2 16.t + 320, para t 100 5 T(t) = 2 125 t2 16 5 t + 320 200 = 2 125 t2 16 5 t + 320 t 2 200t + 7500 = 0 t = 150 ou t = 50 t = 150 minutos

ENEM 2010 Resolução: A temperatura estará em 48 C aos 20 minutos A temperatura estará em 200 C aos 150 minutos O tempo de permanência no forno é, em minutos, igual a: 150 20 = 130 minutos Gabarito: d

ENEM 2010 16) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Tamanho dos calçados Número de funcionárias 39,0 1 38,0 10 37,0 3 36,0 5 35,0 6

ENEM 2010 Tamanho dos calçados Número de funcionárias 39,0 1 38,0 10 37,0 3 36,0 5 35,0 6 Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de ela calçar 38,0 é a) 1/3 b) 1/5 c) 2/5 d) 5/7 e) 5/14

ENEM 2010 Resolução: Tamanho dos calçados Número de funcionárias 39,0 1 38,0 10 37,0 3 36,0 5 35,0 6 Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0 a probabilidade de ela calçar 38,0 é: 10 5 P = P = 14 7 Gabarito: d

ENEM 2010 17) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

ENEM 2010 Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de a) 60 min. b) 90 min. c) 120 min. d) 180 min. e) 360 min.

ENEM 2010 Resolução: Trajeto Custo ABCDEFA 49 AFEDCBA 49 Total de Trajetos: A B C D E F A P 5 = 5! P 5 = 120

ENEM 2010 Total de Trajetos: P 5 = 120 Como João gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, o tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de: Tempo: 120 2.(1min.30s) = ( 60).(1,5 min.) = 90 min. Gabarito: b

ENEM 2010 18) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será

ENEM 2010 18) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. a) menor que 1150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1150 e menor que 1200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1200. Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será

ENEM 2010 Resolução: 218 968 1186 218 2010 2016 Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será Gabarito: c

ENEM 2011 19) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em terremos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M W e M 0 se relacionam pela fórmula: 2 M W = 10, 7+.log 10( M0) 3

2 M W = 10, 7+.log 10( M0) 3 Onde M 0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M W = 7,3.

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M 0 do terremoto de Kobe (em dina cm)? A) 10 5,10 B) 10 0,73 C) 10 12,0 D) 10 21,65 E) 10 27,0

Resolução: Dados: 2 M W = 10, 7+.log 10( M0) 3 Magnitude M W = 7,3 M 0 =? 2 7, 3 = 10, 7+.log 10( M0) 3

Resolução: 2 7, 3 = 10, 7+.log 10( M0) 3 2 7, 3+ 10, 7 =.log 10( M0) 3 18 = 2 3. log 10( M0)

Resolução: 2 3.log 10 ( M0) = 18 log 10 ( M 0 ) = 27 log 10 ( M 0 ) = 18. 3 2 27 10 = M0 log 10 ( M 0 ) = 27 Gabarito: E

ENEM 2011 20) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é:

Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é: n (kg) m (R$) 1 1,75 2 2.(1,75) 3 3.(1,75) Lei de Formção: m = 1,75.n

Lei de Formção: m = 1,75.n

Lei de Formção: m = 1,75.n

Lei de Formção: m = 1,75.n Gabarito: E

ENEM 2011 21) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas ao lado, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros

ENEM 2011

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P( 5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê a r g u m e n t o u c o r r e t a m e n t e q u e i s s o s e r i a automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto A) ( 5, 0). B) ( 3, 1). C) ( 2, 1). D) (0, 4). E) (2, 6).

Resolução: Equação da reta: y = x + 4 Pontos: A) ( 5, 0). B) ( 3, 1). C) ( 2, 1). D) (0, 4). E) (2, 6).

Eq. da Reta: y = x + 4 Pontos: A) ( 5, 0) B) ( 3, 1) C) ( 2, 1) D) (0, 4) E) (2, 6) 0 = -5 + 4 0 = -1 Não pertence 1 = -3 + 4 1 = 1 Pertence 1 = -2 + 4 1 = 2 Não pertence 4 = 0 + 4 4 = 4 Pertence 6 = 2 + 4 6 = 6 Pertence

Distância entre o ponto P(-5,5) e os pontos que pertencem a reta: B) ( 3, 1) 2 dpb ( ) 2 ( ) 2 = -5 + 3 + 5 1 d PB = 20 D) (0, 4) E) (2, 6) 2 dpd 2 dpe ( ) 2 ( ) 2 = -5 0 + 5 4 d PD = 26 ( ) 2 ( ) 2 = -5 2 + 5 6 d PB = 50 A única distância menor que 5km é: d PB = 20 Gabarito: A

ENEM 2012 22) Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101 produto vendido. Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é: ENEM 2012 Erivaldo

Valor fixo: R$ 750,00. De 0 a 100 produtos: R$ 3,00 por produto. Acima de 100 produtos: R$ 9,00 por produto. ENEM 2012 Erivaldo

Valor fixo: R$ 750,00. De 0 a 100 produtos: R$ 3,00 por produto. Acima de 100 produtos: R$ 9,00 por produto. ENEM 2012 Erivaldo

Valor fixo: R$ 750,00. De 0 a 100 produtos: R$ 3,00 por produto. Acima de 100 produtos: R$ 9,00 por produto. ENEM 2012 Erivaldo

Valor fixo: R$ 750,00. De 0 a 100 produtos: R$ 3,00 por produto. Acima de 100 produtos: R$ 9,00 por produto. ENEM 2012 Erivaldo

Valor fixo: R$ 750,00. De 0 a 100 produtos: R$ 3,00 por produto. Acima de 100 produtos: R$ 9,00 por produto. ENEM 2012 Erivaldo

23) Observe a figura abaixo, formada por números inteiros de 1 a 17 escritos várias vezes. EXTRA Erivaldo

Determine a soma de todos os números utilizados na figura. Se necessário utilize: - Soma dos n primeiros números inteiros positivos: n.(n + 1) 1+ 2 + 3 + 4 +... + n = 2 - Soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +... + n 2 = n.(n + 1).(2n + 1) 6 EXTRA Erivaldo

Resolução: Número Quantidade 1 1 2 2 3 3...... 16 16 17 17 A soma será: S = 4.(1.1 + 2.2 + 3.3 +... + 16.16 + 17.17) S = 4.(1 2 + 2 2 + 3 2 +... + 16 2 + 17 2 ) 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +... + n 2 = n.(n + 1).(2n + 1) 6 EXTRA 17.(17 + 1).(2.17 + 1) S = 4. 6 S = 7140 Erivaldo

Matemática Básica A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção. Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é a) S = k.b.d b) S = b.d Resolução: c) S = k.b.d 2 DIRETAMENTE : a/b S d) S = k.b/d 2 INVERSAMENTE : a.b = k e) S = k.d 2 /b b.d 2 S = k.b.d 2 Gabarito: c

Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. Supondo-se que, no Sudeste, 14900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? A) 5513 B) 6556 C) 7450 D) 8344 E) 9536 Matemática Básica

Matemática Básica Resolução: Sudeste : 14900 estudantes. Estudantes que possuem telefone móvel celular: 0,56. 14900 = 8344 estudantes. Gabarito: d

Matemática Básica Uma rede de postos de combustíveis anunciou um aumento de 25% no preço do álcool, justificando o elevado preço da matéria prima. Com o aumento as vendas desse combustível caíram drasticamente o que fez com que a rede tomasse a decisão de voltar a praticar o preço anterior ao aumento. Qual deve ser o desconto que a empresa deve anunciar para que o preço do álcool volte a ser o mesmo de antes do aumento? Resolução: 1,25. x = 1 x = 0,8 DESCONTO DE 20% 1 1,25 1000 125-1000 0, 8 0

Matemática Básica Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: ENEM 2013 Baiano

Matemática Básica Dia do mês Temperatura (em ºC) 1 15,5 3 14 5 13,5 7 18 9 19,5 11 20 13 13,5 15 13,5 17 18 19 20 21 18,5 23 13,5 25 21,5 27 20 29 16 Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a a) 17 C,17 C e 13,5 C b) 17 C,18 C e 13,5 C c) 17 C,135 C e 18 C d) 17 C,18 C e 21,5 C. e) 17 C, 13,5 C e 21,5 C.

Matemática Básica Resolução: ROL : 13,5/ 13,5/ 13,5/ 13,5/ 14/ 15,5/ 16/ 18/ 18/ 18,5/ 19,5/ 20/ 20/ 20/ 21,5; A média é 17 o C, pois todas as alternativas apresentam este valor como resposta. A mediana é o termo central de distribuição em ordem crescente. Portanto, a mediana é o oitavo termo, ou seja, 18; A moda é 13,5, pois é o termo que apresenta maior frequência.

Matemática Básica Devido as chuvas na região Norte, em especial no estado do Amazonas, as populações ribeirinhas sofrem com a falta de água potável e comida. Uma ONG arrecadou 72 fardos d água e 108 cestas básicas que serão distribuídas entre as famílias de um vilarejo as margens do Rio Solimões. A distribuição será feita de modo que o maior número possível de famílias sejam contempladas e todas recebam o mesmo número de fardos d água e o mesmo número de cestas básicas, sem haver sobra de qualquer um deles. Nesse caso, quantas famílias podem contempladas? E quantos fardos d águas e quantas cestas básicas cada família receberá? Resolução: Você procura um número comum? Sua resposta é número maior ou menor? Múltiplo ou divisor? MMC OU MDC? MDC: 2.2.3.3 = 36 Famílias: 36 Fardos d água: 2 Cestas básicas: 3 Fardos 72, 108 36, 54 18, 27 6, 9 2, 3 Cestas 2 2 3 3

Geometria Plana Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A área do trapézio ANMB equivale a quantas vezes a área do triângulo CMN? Resolução: CA/CN = K K 2 A ABC /A MNC = A ABC /A MNC = (2) 2 ( TRIPLO ) A ABC = 4.A MNC A ANMB = A ABC - A MNC A ANMB =4.A MNC - A MNC A ANMB =3.A MNC

Geometria Plana Um cliente encomendou a um joalheiro um pingente especial, sendo a sua unica exigência, apenas o fato de ser um polígono regular e possuir 30 diagonais que não passam pelo centro. O formato do pingente seria exatamente qual poligono regular Solução : Diagonais que não passam pelo centro : diagonais diagonais passam centro d = d dc 0 = n 2 4n 60 d = n.(n 3)/2 - n/2 30 = (n 2 3n n)/2 60 = n 2 4n n`= 10 e n``= - 6 DECÁGONO ENEM 2013

Geometria Plana Um terreno possui o formato retangular, Após um aumento de 30% em sua base e um redução de 30% em sua altura, quanto iria afetar a sua área? A) não se altera B) aumento de 30% C) redução de 30% D) aumento de 9% E) redução de 9%

Geometria Plana 0,7h h 1,3.b b A = b. h A = 1,3b. 0,7h A = 0,91.b.h 1 0,91 = 0,09 0,09. 100 = 9% de redução

Geometria Espacial Um cristal de rocha foi achado e o seu valor varia de acordo com o número de vértices que ele possui. Sabendo que este cristal é formado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais e que cada vértice representa um ganho de R$ 50,00, calcule o seu valor. + F = 8 6F4 2F6 A = A = 24 + 12 2 V + F = A + 2 V + 8 = 18 + 2 V = 12 ENEM 2013 6(4) + 2(6) 2 A = 18 50.12 R$600,00

Trigonometria 8. Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação : Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30 0 e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será : Resolução:

Dados : α = 30 0 e AB = 2000m 22222 Resolução: Sen 60 0 = x/2000 3/2 = x/2000 2000 30 0 1000. 3 = x 120 0 ENEM 2010 Baiano

Resolução: 30 0 120 0 Sen 60 0 = x/2000 3/2 = x/2000 1000. 3 = x

Trigonometria Uma pessoa encontra-se no ponto A e observa a ponta de uma torre, no ponto T sob um ângulo de 30, conforme desenho abaixo. A altura da torre em metros é: T y B 20 2m x 60 30 45 A Resolução: a senaˆ = b senbˆ 20 2 x = o o sen45 sen60 20 2 x = 2 3 o y tg30 = 20 3 y= 3 y = 3 20 3 20 3. 3 3 C 2 2 y=20m x=20 3m

Erivaldo FIM