Matemática e suas Tecnologias

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1 Matemática e suas Tecnologias ENEM 9 Resoluções Matemática 9A 1. b f ( = log( f( 1 = log( 1 = f( = log( f( 16 = log( 16 = log( = log( A sequência [(, f 1 f(, f( 16,...] é uma progressão aritmética de razão log(.. c f ( = log ( f( = log ( = a a ( = a a = a+ a a a = a+ = = a = Portanto, após dias, o número de indivíduos será igual a centenas, ou seja,.. d log8= log = log. e f ( = log f( 1 = log 1= f( = log = 1 f( = log= log = f( 8 = log8= log = f( 16 = log16 = log = f( = log = log = f( 1+ f( + f( + f( 8 + f( 16 + f( = = 1. c log1 = log1 = 6. b f ( = g ( = log log ( f g( = = 7. c a INCORRETO. fa ( = 1 b INCORRETO. fa ( = log a a = c CORRETO. fa ( 1 = log a a 1 = 1 d INCORRETO. e INCORRETO. fa ( = log a a = 8. a a= 1 f( = log1 Condição de eistência de Da interseção de (I e (II, temos: log 1 : < < 1 > ( I ] 1,[ f ( < log1 < log1 < log11 < 1 (II 9. a A linha em destaque é semelhante ao gráfico da função definida por y= log( em um determinado intervalo. 1. e y(m h/ h/ a 1 (a, h/ y = log( n a + n y= log( h = log( a+ n h a n = log( + h h = log( = log( a a log( a+ n = log( a log( a+ n + log( a = log( a + an = 1 = a + an + = = n a n a a ± n 1 + n n Como a >, então a = + + h= log( a+ n n+ n + h = log + n n+ n + + n h = log n+ n + h = log (a + n, h/ (m. h Matemática e suas Tecnologias 1

2 Matemática 9B 1. e Eistem pacientes internados por problemas respiratórios causados pelas queimadas. Desses, eatamente 1 são crianças. Logo, a probabilidade de que o paciente seja uma criança dado que foi internado por problemas respiratórios causados pelas queimadas é igual a 1/ =,7, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de pediatria seja reforçado.. a Da probabilidade da união de eventos, pode-se escrever: p(p ou Q = p(p + p(q p(p e Q % = 6% + 16% p(p e Q p(p e Q = 1%. e Eistem regiões possíveis para Rafael se mudar do Centro. Dessas, eatamente possuem temperatura inferiores a 1 C. Logo, a probabilidade é igual a /.. e Sendo M o seo masculino e F o seo feminino do filho, eistem 8 possibilidades em relação à sequência dos três filhos: MMM, MMF, MFM, MFF, FFF, FFM, FMF, FMM Em dessas, são filhos do seo masculino e 1 do seo feminino. Logo, a probabilidade de que eatamente filhos sejam do seo masculino é igual a: p = =, 7 = 7, % 8 Como a probabilidade é inferior a %, o casal precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento.. d Considerando, para o cálculo, a probabilidade de Paula não pegar engarrafamento em qualquer dos dois trajetos escolhidos, tem-se as seguintes probabilidades em cada trajeto: p(e1e = (1,8 (1, = (, (, =,1 p(e1e = (1,8 (1, = (, (,7 =,1 p(ee = (1,7 (1, = (, (,6 =,18 p(ee6 = (1,7 (1,6 = (, (, =,1 O caminho EE não constitui um possível trajeto para se ir de A até B. A escolha do melhor caminho deve levar em conta a menor probabilidade de pegar engarrafamento no trajeto escolhido. Tal probabilidade é calculada pela diferença entre 1 (1% e a probabilidade calculada anteriormente. Assim, em cada trajeto, as probabilidades de engarrafamento em pelo menos um dos trajetos são: 1 p(e1e = 1,1 =,9 1 p(e1e = 1,1 =,86 1 p(ee = 1,18 =,8 1 p(ee6 = 1,1 =,88 O trajeto EE possui a menor probabilidade de pegar engarrafamento. 6. b As áreas de alcance das emissoras constituem setores circulares de mesmo raio cujos ângulos são suplementares, ou seja, somam 18. Logo, a justaposição das áreas de alcance das emissoras corresponde a um semicírculo de raio 1 km. Portanto, a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras é dada por: π. 1 p = π. 1 1, = = = =, = % d Se o espaço amostral é constituído por 6 elementos (pares, tem-se: Tadeu (Soma : (1, 1 p = 1 6 Pedro (Soma 6: (1, ; (, ; (, ; (, ; (, 1 p = 6 Ricardo (Soma 1: (6, 6 p = 1 6 A soma das probabilidades de Tadeu e Ricardo é menor que a probabilidade de Pedro. Logo, Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro. 8. d A quantidade de domicílios pesquisados é igual a: = 1 A quantidade de domicílios com pelo menos 1 Mbps é igual a: = Logo, a probabilidade é igual a /1 =,. 9. c O número total de pessoas atendidas é igual a: = pessoas Destas, eatamente apresentaram doenças crônicas. Logo, a probabilidade de a pessoa ser portadora de doenças crônicas é igual a: p = = 11, = 11% 1. d As informações podem ser organizadas em diagramas: Rock MPB Samba Desta forma, em um universo de 1 pessoas, se for selecionado ao acaso um estudante no grupo pesquisado, a probabilidade de ele preferir somente MPB é igual a: 11 p = = 11, = 11% 1 Etensivo Terceirão

3 ENEM 9 Matemática 9C 1. e A circunferência de equação raio 9 =. + y = 9 tem centro no ponto (, e A parábola de equação y= 1 tem a concavidade voltada para baio. = 1 y= ( 1 1= = y= 1= 1 = 1 y= 1 1= Os pontos ( 1,, (, 1 e ( 1, pertencem à parábola. Com isso, juntamente com os dois quadrados e o ponto (,, conclui-se que a figura desenhada pelo professor foi a da alternativa e.. d A circunferência de equação + y = 1 tem centro no ponto (, e raio 1= 1. O comprimento da circunferência é π = 1 π (em cm. Como a formiga não passa por um mesmo ponto mais de uma vez, então S < π.. d A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte de uma semicircunferência com centro no ponto (, e raio metros, em que y < e < <. + y = y = y=, com < <. b Sendo r o raio da circunferência da bola, temos: π r = 7 r= cm π Assim, a equação da circunferência é: ( + ( y = π + y = π. c A circunferência do prato tem centro no ponto (, e raio = 1. Como para cada giros completos da roldana, o prato completa uma volta, então o raio da roldana é 1 =. Assim, o centro da roldana é o ponto (, 1+ = (, 1. A equação da circunferência da roldana é: ( + ( y ( 1 = + ( y+ 1 = 9 + y + y + 1 = 9 + y + y + 1 = 6. d Coordenadas do ponto N: + = 6,, Coordenadas do ponto Q: 1, + =, Coordenadas do ponto P: 6 1, + = 6, O centro da semicircunferência é o ponto médio do segmento QP =,, O raio da semicircunferência é MN = = 1. Equação da semicircunferência: ( + y = 1 y = 1 ( y =+ 1 ( O sinal positivo da raiz quadrada corresponde à semicircunferência acima do segmento QP. y= + 1 ( 7. e + y + 8y 16 = a= a= b= 8 b= a + b r = 16 + ( r = 16 r = 6 r= 6 A distância do centro C(, da circunferência à reta de equação + y = é: d = + ( = 8 8 = + Como a distância d é menor que o raio r, a reta é secante à circunferência, ou seja, a rua atravessa a praça. 8. c Determinamos o ponto em que a reta de equação y= 1+ tangencia a circunferência de equação ( + ( y 6 =. y= 1+ ( + ( y 6 = ( + ( 1+ 6 = ( + ( = = + = 6+ 9= = y= 1+ = 1+ = 7 A distância d percorrida pela moça é a distância entre os pontos A( 1, e B( 7., Matemática e suas Tecnologias

4 d AB = ( + ( 7 1 d AB = 9+ 6 = = 9. d A região assinalada na figura é uma circunferência de raio r. πr = π r= Sendo R o raio da circunferência maior, temos: P R = + Assim, a equação da circunferência com centro em P é: ( + ( y = ( y 6y+ 9= y 8 6y+ 1 8 = 1. 1 m Sejam Op (,, Q( 8, e P(, 18 pontos da circunferência com centro no ponto ( pb., ( p + ( b 8 = ( p + ( b 18 p + b 16b+ 6 = p + b 6b+ b = 6 b = 1 ( p p + ( 1 = ( p + ( = p + p= 1 OC = 1 m Matemática 9D 1. d Como a metade do vinho foi bebido, restou na taça a outra metade. V = v V = v h v 8 8 = h = h = 6 v h Como 6 = 16 e 7 =, a altura do vinho restante está entre 6 cm e 7 cm. Portanto, a figura que melhor representa a quantidade de bebida que restou na taça é a da alternativa d.. d Na figura a seguir as medidas indicadas estão em metros. 6. b Volume da boia: Vboia = Vcone + Vsemiesfera 1 1 Vboia = πr + r πr Vboia = πr Aumentando-se r em %, obtemos uma nova boia cujo volume é: 1 1 Vnovaboia = πr R+ πr Vnovaboia = πr r R= 1, r= V novaboia = r 7 π = πr 8 Portanto, o volume da boia é multiplicado por a A planificação é de um tronco de pirâmide com base triangular = 6 1 1= = 1 A altura da torre é 1 metros.. e O volume de um tronco de cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura média. Vtronco = Sbase hmédia Vtronco =π 8 Vtronco = 96πcm 6. e A planificação da superfície lateral do bebedouro é um retângulo de dimensões 1 cm e π cm (comprimento de uma semicircunferência de raio cm, enquanto as bases correspondem a semicírculos de raio cm. 7. e Observe na figura o sinalizador revestido até a metade da altura, desde sua base, com adesivo fluorescente. Etensivo Terceirão

5 ENEM 9 Portanto, a forma do adesivo deverá ser: 9. e Observe na figura a projeção ortogonal da circunferência sobre o plano do chão: B 8. b R 1 A r 6º No triângulo retângulo da figura, temos: 1 tg6 = 1 = = m Como R= r+ e r= m, temos: R= m+ m R= 6 m Área da tampa: Stampa = πr S tampa = π ( 6 Stampa = 18π m A projeção é um segmento de reta. 1. d Área da superfície da semiesfera: 1 Ssemiesfera = R π S semiesfera = π Ssemiesfera = π m Como com 1 galão de tinta pode-se pintar 1 metros quadrados da superfície, temos: π 1, 8, 1 1 Portanto, devem ser comprados no mínimo galões de tinta. Matemática 9E 1. e z1 = (cos 18 + i sen18 z = (cos 9 + i sen9. c z z 1 z = [cos( i cos( ] z z = (cos7 + i cos7 1 O afio de z z é o ponto G. 1 = (cos 1 + i sen1 z = (cos 1 + i sen1 z = [cos( isen( 1 1 ] z z = (cos18 + isen 18 z O afio de z z. b z w= z w é o ponto E. O módulo do produto de dois números compleos é igual ao produto dos módulos desses dois números compleos.. d a INCORRETO. 1 1 z = z = = 1 b INCORRETO. z = z = ( = c INCORRETO. arg( z = 1 arg( z = 1 = d CORRETO. 1 arg( z = arg( z = 1 = e INCORRETO. z = 9 z =. c z= 1 (cos 18 + i sen18 z = 1 [cos( 18 + i sen( 18 ] z = 1 (cos 9 + isen 9 z = 1 (cos + i sen Portanto, o afio de z é o ponto G. 6. d Uma equação algébrica do ọ grau admite eatamente raízes compleas. Matemática e suas Tecnologias

6 7. e ( = = = ( raiz commultiplicidade Portanto, o conjunto solução tem apenas um elemento. 8. b = = 1 = iou= i O conjunto solução da equação é: {1, i, i} 9. a ( ( = = ( = = ou = = ou= ou + + 1= = 1( raiz dupla O conjunto solução da equação é: {,,, 1} Portanto, a equação tem quatro soluções distintas. 1. a Se o gráfico da função polinomial passa pelo ponto ( 1,, então P( 1 =. P ( = a + b + c + d P( 1 = a 1 + b 1 + c + 1 d= a+ b+ c+ d= A soma dos coeficientes do polinômio é igual a zero. 6 Etensivo Terceirão