Álgebra Linear e Geometria Analítica Cursos Ano/Semestre Ano Lectivo Área Científica Dpt. EA, EACI, EB, EEC, EI, EM 1º / 1º 2011/2012 Matemática Matemática Professor Responsável da Disciplina Carlos Luz Docente Co-Responsável Vanda Rosado Corpo Docente Carla Rodrigues Carlos Luz Cristina Almeida Dina Salvador Júlia Justino Mariana Dias Miguel Moreira Paula Reis Vanda Rosado Tipo de Aulas T TP P L Tipo de disciplina ECTS Nº de Horas por Semana 4 Ponderação na Média Final 6 1. Requisitos Prévios Conhecimentos adquiridos até ao 12º ano de escolaridade. 2. Objectivo A presente disciplina constitui uma abordagem introdutória à Álgebra Linear e Geometria Analítica. Podem destacar-se dois importantes objectivos a atingir com a sua leccionacção: por um lado, proporcionar o contacto com o raciocínio matemático abstracto, indispensável à formação superior dos alunos de Engenharia; por outro, fornecer um conjunto de técnicas matemáticas de grande importância na resolução de múltiplos problemas de Engenharia. 1
3. Programa 1. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (9 aulas / 18 horas) a) Definição de matriz. Matrizes especiais. Operações algébricas com matrizes. Matriz inversa. b) Dependência e independência linear de linhas e colunas de uma matriz. Operações elementares e característica de uma matriz. Sistemas de equações lineares. Inversão de matrizes. 2. ESPAÇOS VECTORIAIS (6 aulas / 12 horas) a) Definição de espaço vectorial real. Subespaço vectorial. b) Combinação linear de vectores. Subespaço gerado. Dependência e independência linear. Bases e dimensão de um espaço vectorial. 3. DETERMINANTES (4 aulas / 8 horas) a) Definição axiomática de determinante. Propriedades dos determinantes. Métodos para cálculo de determinantes. b) Aplicações dos determinantes: cálculo da matriz inversa utilizando a matriz adjunta, resolução de sistemas pela regra de Cramer. 4. CÁLCULO VECTORIAL (4 aulas / 8 horas) a) Produto interno de vectores. Norma de um vector e respectivas propriedades. b) Produto externo e produto misto de vectores. Interpretação geométrica e propriedades. 5. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS (2 aulas / 4 horas) Definição de valor e vector próprio de uma matriz. Cálculo dos valores próprios e vectores próprios de uma matriz: polinómio característico, subespaço próprio, multiplicidades algébrica e geométrica, espectro. 4. Bibliografia Bibliografia base: Apontamentos editados pelo Departamento de Matemática (disponíveis na webpage da disciplina, no Moodle e na reprografia). Bibliografia complementar: 2
- Apostol, T., Calculus, Vol 2, Editorial Reverté, 1975. - Giraldes, E., Fernandes, V. H. e Smith, M. P. M, Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, Editora McGraw-Hill de Portugal, 1995. - Cabral, I., Perdigão, C., Saiago, C., Álgebra Linear, Escolar Editora, 2008. - Luz, C., Matos, A. e Nunes, S., Álgebra Linear (Volume I), ESTSetúbal, 2002. - Magalhães, L. T., Álgebra Linear como Introdução a Matemática Aplicada, Texto Editora, 1991. - Monteiro, A., Pinto, G. e Marques, C., Álgebra Linear e Geometria Analítica (Problemas e Exercícios), McGraw-Hill, 1997. - Strang, G., Linear Algebra and its Applications, Hartcourt Brace Jonovich Publishers, 1998. 5. Método de Ensino As aulas são teórico-práticas, pelo que terão: uma parte expositiva, onde são apresentados os conceitos fundamentais das diferentes rubricas do programa juntamente com a demonstração dos principais resultados, pretendendo-se deste modo que os alunos adquiram uma visão global dos temas abordados e suas interligações; uma parte prática, onde os alunos aplicarão os conhecimentos adquiridos melhorando a sua compreensão das matérias leccionadas. Avaliação por testes 6. Método de Avaliação A avaliação por testes terá por base a realização de dois testes. As condições de acesso aos testes são as seguintes: 1. Realização de um resumo manuscrito de 2/3 páginas da matéria a avaliar em cada teste, o qual só será considerado caso tenha boa apresentação, não possua erros graves e seja entregue ao professor da respectiva turma até uma semana e meia antes da realização do teste. 2. A realização dos testes por parte dos alunos do 1º ano 1ª vez está dependente da presença em pelo menos 80% das aulas até uma semana antes da realização dos mesmos. Designando por MT a média das classificações dos testes (arredondada às unidades e calculada a partir das notas dos testes arredondadas às décimas), as condições de aprovação são as seguintes: 1. Se MT for maior ou igual a 10 e inferior a 17, o aluno é aprovado com nota final igual a MT, desde que em qualquer dos testes a classificação tenha sido maior ou igual a 6,5; 3
2. Se MT for maior ou igual a 17, o aluno terá que apresentar-se a uma prova oral, obtendo como nota final a média das classificações da referida prova oral e de MT. Caso não compareça à prova oral a classificação final será de 16 valores. Avaliação por Exames A avaliação tendo por base a realização de exames segue as regras habituais. Em particular, se a nota do exame escrito (arredondada às unidades) for maior ou igual a 17, o aluno terá que apresentar-se a uma prova oral, obtendo como nota final a média das classificações da referida prova oral e do exame escrito. Caso não compareça à prova oral a classificação final será de 16 valores. Observação: Os testes e exames terão uma parte de resposta múltipla (com penalização nas questões erradamente respondidas) e outra de desenvolvimento. Os testes terão a duração de 2 horas e os exames de 2 horas e trinta minutos. 7. Programa dos Momentos de Avaliação 1º Teste: período de 28 de Novembro (segunda) a 3 de Dezembro (sábado) de 2011 2º Teste: período de 6 (segunda) a 10 de Fevereiro (sexta) de 2012 Exames das épocas normal e de recurso: 13 de Fevereiro a 3 de Março de 2012 Exame de época de trabalhador estudante: 3 a 14 de Setembro de 2012 Exame de época especial: 29 de Outubro a 10 de Novembro de 2012 c) Matéria a ser avaliada no 1º teste (sujeita a alteração): MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES, ESPAÇOS VECTORIAIS (Definição de espaço vectorial real. Subespaço vectorial); d) Matéria a ser avaliada no 2º teste (sujeita a alteração): ESPAÇOS VECTORIAIS (Combinação linear de vectores. Subespaço gerado. Dependência e independência linear. Bases e dimensão de um espaço vectorial); DETERMINANTES, CÁLCULO VECTORIAL, VALORES E VECTORES PRÓPRIOS. 4
8. Observações NORMAS PARA REALIZAÇÃO DE TESTES E EXAMES É necessária a apresentação de um documento de identificação. É obrigatória a inscrição para os testes e exames até uma semana antes da realização do teste/exame. Só se aceitam provas escritas em folhas de teste/exame da ESTSetúbal. O abandono da sala em caso de desistência só poderá efectuar-se decorrida uma hora a partir do início do teste/exame. O abandono da sala implicará a entrega definitiva do teste/exame. Não poderão utilizar-se máquinas de calcular nem tabelas. Não é permitido o manuseamento ou exibição de telemóveis durante a prova. Não se deverá responder a diferentes grupos de questões na mesma folha de resposta. Os Estudantes Trabalhadores, Atletas de Alta Competição, Dirigentes Associativos e Estudantes ao abrigo da Lei da Liberdade Religiosa devem dirigir-se, até à segunda semana de aulas, ao Docente Responsável para apresentarem as suas especificidades pertinentes, nos termos previstos nos respectivos diplomas. 9. Informações Úteis Página da Disciplina: http://ltodi.est.ips.pt/alga/ Página do MOODLE: http://moodle.ests.ips.pt/ Página do Departamento de Matemática: http://ltodi.est.ips.pt/dmat/ 5