UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1.1. Pnt, reta e plan Letras maiúsculas d nss Letras minúsculas d nss alfabet: A, B, C, alfabet: a, b, c, Gemetria Plana I Prf.: Rgéri Dias Dalla Riva Letras minúsculas d alfabet greg: α, β, π, 4 Gemetria Plana I 1.. Pstulads u aximas 1.Primeirs cnceits.ânguls 3.Triânguls 4.Quadriláters 5.Plígns 6.Ânguls na circunferência 7.Cngruência 8.Terema de Tales 9.Semelhança de plígns 10.Semelhança 11.Relações métricas n triângul Além ds cnceits primitivs, aceits sem definiçã, há prpriedades gemétricas aceitas sem demnstraçã. Tais prpriedades sã chamadas pstulads u aximas. Pr exempl, um ds pstulads da Gemetria afirma que: Pr dis pnts distints A e B passa uma única reta. Essa reta é dentada pel símbl, AB que se lê reta AB. 5 1. Primeirs cnceits 1.3. Psições de duas retas distintas num plan Cnceits Primitivs: Sã cnceits aceits sem uma definiçã n camp da Gemetria. De cada um destes terms tems um cnheciment intuitiv decrrente da experiência e bservaçã. Enquadram-se nessa categria s cnceits de pnt, reta e plan. 3 6 1
1.4. Subcnjunts da reta. Ânguls A medida de um ângul AOB será dentada pr AOB. Assim, se <) AOB é um ângul de 60 (60 graus), escrevems: AOB = 60 O 7 10 1.5. Subcnjunts da reta. Ânguls A medida de AB será dentada pr AB. Desse md, se AB é um segment de reta de 3 cm, escrevemsab = 3cm. Dis ânguls de medidas iguais sã denminads cngruentes. ABC DEF ABC DEF 8 11 1.5. Subcnjunts da reta.1. Bissetriz de um ângul Dis segments que pssuem medidas iguais sã chamads cngruentes. Se AB e CD sã segments cngruentes, escrevems AB CD. Lê-se AB é cngruente a CD. 9 Bissetriz é a semi-reta de rigem n vértice de um ângul e que divide em dis ânguls cngruentes. Se OC é bissetriz de AOB, Entã AOC BOC 1
.. Ânguls ntáveis.3. Ânguls psts pel vértice AOB 360 Exercíci 1: Calcule x, em graus, na figura abaix: AOB 180 AOB 90 13 16.3. Ânguls psts pel vértice.3. Ânguls psts pel vértice Exercíci : Na figura, sabe-se que ABC é dbr de CBD. Calcule as medidas desses ânguls, sabend que ABD = 81. Duas retas cncrrentes determinam dis pares de ânguls chamads psts pel vértice (.p.v.). 14 17.3. Ânguls psts pel vértice.3. Ânguls psts pel vértice Dis ânguls sã chamads cmplementares se a sma de suas medidas é igual a 90. Cada um é chamad cmplement d utr. Exercíci 3: Na figura seguinte, é bissetriz OX de AOB e OY é bissetriz de BOC. Calcule XOY. Observaçã: AOC é um ângul de meia-vlta. Dis ânguls sã chamads suplementares se a sma de suas medidas é igual a 180. Cada um é chamad suplement d utr. 15 18 3
.3. Ânguls psts pel vértice.4. Ânguls de duas paralelas crtadas pr uma transversal Exercíci 4: Dis ânguls sã chamads cmplementares se a sma de suas medidas é igual a 90. Cada um é chamad cmplement de utr. Calcule a medida de dis ânguls cmplementares, sabend que: a) elas sã expressas pr 3x e 7x; b) uma delas é quádrupl da utra; c) a diferença entre elas é 18. Nmenclatura Crrespndentes: a e e; b e f; c e g; d e h Claterais interns: c e f; d e e Prpriedade Cngruentes Suplementares Claterais externs: a e h; b e g Suplementares Alterns interns: c e e; d e f Cngruentes 19 Alterns externs: a e g; b e h Cngruentes.3. Ânguls psts pel.4. Ânguls de duas paralelas vértice crtadas pr uma transversal Exercíci 5: Dis ânguls sã chamads suplementares se a sma de suas medidas é igual a 180. Cada um é chamad suplement d utr. Calcule a medida de dis ânguls suplementares, sabend que: Exercíci 7: Calcular x e y na figura. a) eles sã cngruentes; b) uma delas é quíntupl da utra; c) a diferença entre elas é 36. 0 3.3. Ânguls psts pel vértice.4. Ânguls de duas paralelas crtadas pr uma transversal Exercíci 6: Calcule a medida de um ângul, sabend que seu suplement é tripl de seu cmplement. Resluçã: Inicialmente vams imaginar a reta r deslcand-se até cincidir cm s. 1 4 4
.4. Ânguls de duas paralelas crtadas pr uma transversal.4. Ânguls de duas paralelas crtadas pr uma transversal Fica clar que s ânguls de medidas x e 3x sã suplementares. Exercíci 10: Calcule x na figura, sabend que r // s. 3x + x = 180 x = 36 Pr utr lad, tems y = x (ânguls.p.v.). Lg, y = 7. 5 8.4. Ânguls de duas paralelas crtadas pr uma transversal.4. Ânguls de duas paralelas crtadas pr uma transversal Exercíci 8: Calcule x e y nas figuras, sabend que r // s. Exercíci 11: Qual é valr de a + b + c? 6 9.4. Ânguls de duas paralelas crtadas pr uma transversal 3. Triânguls Exercíci 9: Sabend que a // b // c, calcule as medidas ds ânguls indicads na figura. A sma das medidas ds ânguls interns de um triângul qualquer é igual a 180. 7 Se A, B e C sã as medidas ds ânguls interns de um triângul ABC, vams prvar que: A + B + C = 180 30 5
3. Triânguls 3.1. Classificaçã em funçã ds ânguls Para iss, traçams pel vértice A a reta r paralela a lad BC, determinand s ânguls de medidas X e Y. Entã tems: A + X + Y = 180 (1) 31 Seus três ânguls sã aguds, ist é, menresd que 90. A < 90, B < 90 e C < 90 34 3. Triânguls 3.1. Classificaçã em funçã ds ânguls Pr utr lad, sabems que: X = B (ânguls alterns interns) Y = C (ânguls alterns interns) Um de seus ânguls é ret. O lad pst a ângul ret é a hiptenusa AC. Os lads adjacentes a ângul ret sã s catets ABe BC. 3 35 3. Triânguls 3.1. Classificaçã em funçã ds ânguls Substituind X pr B e Y pr C na igualdade (1) btems: A + B + C = 180 Um de seus ânguls é btus, ist é, mair d que 90. B > 90 33 36 6
3.. Classificaçã em funçã ds lads 3.. Classificaçã em funçã ds lads Exercíci 1: Calcule as medidas ds ânguls de um triângul isósceles em que ângul d vértice é tripl de um ângul da base. Seus três lads têm medidas diferentes. AB AC, AB BC, BC AC Os três ânguls interns têm medidas diferentes. A B, A C, B C 37 40 3.. Classificaçã em funçã ds lads 3.. Classificaçã em funçã ds lads Exercíci 13: Calcule x, sabend que ABC é um triângul equiláter e que AC = AD. Pssui dis lads cngruentes(ab = AC). O ângul frmad pels lads cngruentes é denminad ângul d vértice ( A). O lad pst a ângul d vértice é denminad base BC. Os ânguls da base sã cngruentes, ist é, 38 B = C 41 3.. Classificaçã em funçã ds lads 3.. Classificaçã em funçã ds lads Exercíci 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y. Seus três lads sã cngruentes (AB = BC = AC). Os três ânguls interns sã cngruentes. A = B = C E, uma vez que a sma ds três ânguls é igual a 180, cnclui-se que cada um deles mede 39 60. 4 7
3.3. Terema d ângul extern 3.3. Terema d ângul extern Exercíci 15: Calcule x. Num triângul, prlngament de um lad qualquer determina cm um utr lad um ângul denminad extern. 43 46 3.3. Terema d ângul extern 3.3. Terema d ângul extern Em td triângul, a medida de um ângul extern qualquer é igual à sma das medidas ds dis ânguls interns nã adjacentes a ele. Exercíci 16: Calcule m n, sabend que a // b. Vams prvar que: e = A + B 44 47 3.3. Terema d ângul extern 3.3. Terema d ângul extern Exercíci 17: Na figura, calcule x em funçã de α. Cm e + C = 180 e A + B + C = 180, tems : e + C = A + B + C e = A + B 45 48 8
3.3. Terema d ângul extern 3.4. Cevianas d triângul Exercíci 18: Se na figura seguinte AB = AF, calcule x em funçã de a, b e c. Os pnts A 1, A e B 1 sã s pés das cevianas. As cevianas AA1 e AA sã relativas a vértice A, u relativas a lad BC. A ceviana BB 1 é relativa a vértice B u relativa a lad AC. 49 5 3.3. Terema d ângul extern 3.5. Cevianas ntáveis Exercíci 19: Na figura a seguir, qual é valr de a + b + c + d + e? É qualquer ceviana que divide um ângul intern em dis ânguls cngruentes. 50 53 3.4. Cevianas d triângul 3.5. Cevianas ntáveis Ceviana é qualquer segment de reta que tem uma extremidade num vértice de um triângul e a utra num pnt qualquer da reta suprte d lad pst a esse vértice. É qualquer ceviana que tem cm pé pnt médi de um lad. Na figura, AA sã cevianas d triângul 1, AA e BB1 ABC. 51 54 9
3.5. Cevianas ntáveis 3.5. Cevianas ntáveis Exercíci 0: Na figura, AS e AH sã a bissetriz e a altura relativas a vértice A d triângul ABC. Calcule α. É qualquer ceviana perpendicular a um lad. 55 58 3.5. Cevianas ntáveis 3.5. Cevianas ntáveis Exercíci 1: Num triângul escalen ABC, em que C = 36, as bissetrizes internas relativas as vértices A e B interceptam-se n pnt I. Calcule AIB. De um md geral, bissetriz interna, mediana e altura sã cevianas distintas. AH é altura AS é bissetriz AM é mediana 56 59 3.5. Cevianas ntáveis 3.5. Cevianas ntáveis Exercíci : Na figura, BB e CC sã alturas d triângul. Calcule x. Prém, as três cincidem num únic segment se frem relativas à base de um triângul isósceles. é bissetriz, mediana e altura simulta- AM neamente. 57 60 10
3.6. Mediatriz de um segment de reta 3.7. Pnts ntáveis d triângul Mediatriz de um segment AB é a reta perpendicular a AB cnduzida pel seu pnt médi. É pnt de encntr das alturas. 61 64 3.7. Pnts ntáveis d triângul 3.7. Pnts ntáveis d triângul É pnt de encntr das bissetrizes internas. O incentr é centr da circunferência inscrita n triângul. 6 É pnt de encntr das mediatrizes ds lads. O circuncentr é centr da circunferência circunscrita a triângul. 65 3.7. Pnts ntáveis d triângul 3.7. Pnts ntáveis d triângul É pnt de encntr das medianas. O baricentr divide cada mediana em dis segmentsque estã na razã de para 1. AG BG CG = = = GM GN GL 1 63 N triângul eqüiláter, incentr, baricentr, rtcentr e circuncentr cincidem num únic pnt O, chamad centr d triângul eqüiláter. 66 11
3.7. Pnts ntáveis d triângul 3.7. Pnts ntáveis d triângul Exercíci 5: Na figura seguinte, ABC é um triângul equiláter de lad igual a 6 cm, M é pnt médi de AB e CD = BC. Calcule AN. Cm O é também baricentr d triângul, esse pnt divide a altura AH em segments prprcinais a e 1. Assim, se r e R sã s rais das circunferências inscrita e circunscrita, e h é a altura, é imediat que: 1 r = h e R = h 3 3 67 70 3.7. Pnts ntáveis d triângul 3.7. Pnts ntáveis d triângul Exercíci 3: Se I é incentr de um triângul ABC e BIC = 116, calcule A. Exercíci 6: O pnt I da figura é centr da circunferência inscrita n triângul ABC e a reta r, cnduzida pr I, é paralela a BC. a) Mstre que triângul PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9, qual é perímetr d triângul APQ? 68 71 3.7. Pnts ntáveis d triângul 4. Quadriláters Exercíci 4: Na figura, G é baricentr d triângul. Calcule x, y e z, sabend que AM = 1 cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm. A sma das medidas ds quatr ânguls internsde um quadriláteré igual a 360. 69 7 1
4. Quadriláters 4.1. Trapézis Seja ABCD um quadriláter qualquer. Traçand a diagnal AC, decmpms quadriláter em dis triânguls. Cm em cada triângul a sma das medidas ds ânguls é igual a 180, deduz-se que: A + B + C + D = 360 73 Trapézi é td quadriláter que pssui um par, e smente um par, de lads psts paralels. AB // CD AB e CD sã as bases d trapézi AC e BD sã s lads transversais 76 4. Quadriláters 4.. Classificaçã ds trapézis Exercíci 7: Calcule x e y. 74 Trapézi escalen: s lads transverss têm medidas diferentes. AD BC O trapézi escalen nã pssui ânguls cngruentes. 77 4. Quadriláters 4.. Classificaçã ds trapézis Exercíci 8: ABC é um triângul n qual A= 5 e C = 7. Calcule a medida d ângul btus frmad pelas mediatrizes ds lads AB e BC. 75 Trapézi isósceles: s lads transverss têm medidas iguais. AD = BC Os ânguls de uma mesma base de um trapézi isósceles sã cngruentes. 78 A = B e C = D 13
4.. Classificaçã ds trapézis 4.. Classificaçã ds trapézis Exercíci 31: ABCD é um trapézi em A e em D. Se B = 100, calcule a medida d ângul btus frmad pelas bissetrizes de C e D. Trapézi : um ds lads transverss é perpendicular às bases. A = D = 90 79 8 4.. Classificaçã ds trapézis 4.3. Paralelgrams Exercíci 9: Calcule as medidas ds ânguls d trapézi da figura. Paralelgram é td quadriláter que pssui s lads psts respectivamente paralels. 80 83 4.. Classificaçã ds trapézis 4.4. Prpriedades válidas para tds s paralelgrams Exercíci 30: Num trapézi ABCD isósceles, de bases AB e CD (AB M CD), sabe-se que A = 10x + 7 e C = 4x + 5. Calcule as medidas ds quatr ânguls desse trapézi. 81 Os ânguls psts sã cngruentes. Quaisquer dis ânguls adjacentes a um mesm lad sã suplementares. A = C e B = D α + β = 180 84 14
4.4. Prpriedades válidas para tds s paralelgrams 4.5. Paralelgrams ntáveis Os lads psts sã cngruentes. As diagnais dividem-se a mei pel seu pnt de intersecçã. AB = CD e BC = AD AM = MC e BM = MD 85 É td paralelgram que é e lsang simultaneamente, ist é, seus ânguls sã rets e seus lads sã cngruentes. As diagnais sã cngruentes, sã perpendiculares e sã bissetrizes ds ânguls interns. 88 4.5. Paralelgrams ntáveis 4.5. Paralelgrams ntáveis Exercíci 3: Uma diagnal de um frma cm um ds lads um ângul de 35. Calcule a medida d ângul agud frmad pelas duas diagnais. É td paralelgram que pssui seus quatr ânguls rets. As diagnais sã cngruentes. 86 89 4.5. Paralelgrams ntáveis 4.5. Paralelgrams ntáveis Exercíci 33: Uma diagnal de um lsang frma cm um ds lads um ângul de 5. Calcule as medidas ds ânguls desse lsang. É td paralelgram que pssui quatr lads cngruentes. As diagnais sã perpendiculares e sã bissetrizes ds ânguls interns. 87 90 15
4.5. Paralelgrams ntáveis 5.1. Sma ds ânguls interns de um plígn Exercíci 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMN sã quadrads e ABC é um triângul equiláter. Calcule CBN e BNE. Tmand um pnt I qualquer n interir d plígn e unind esse pnt a cada vértice, plígn fica decmpst em n triânguls (cada lad d plígn dá rigem a um triângul). 91 94 5. Plígns Plígn côncav 5.1. Sma ds ânguls interns de um plígn Plígn cnvex Um plígn é cnvex se, quaisquer que sejam s pnts X e Y d seu interir, segment de reta XY está inteiramente cntid em seu interir. 9 Entã, a sma das medidas ds ânguls ds n triângulsé igual a: n 180 Subtraind s ânguls d vértice I dessa sma, que resta é a sma ds ânguls d plígn. Assim, 95 5.1. Sma ds ânguls interns de um plígn 5.1. Sma ds ânguls interns de um plígn Sejam i 1, i, i 3,, i n as medidas ds ânguls internsde um plígn de n lads. S = n 180 360 i S = 180 ( n ) i 93 96 16
5.1. Sma ds ânguls interns de um plígn 5.. Sma ds ânguls externs de um plígn Exercíci 35: A sma das medidas ds ânguls interns de um plígn é igual a 340. Quants lads tem esse plígn? Sejam e 1, e, e 3 e n as medidas ds ânguls externsde um plígn de n lads. 97 100 5.1. Sma ds ânguls interns de um plígn Exercíci 36: Na figura, calcule x e y. 98 5.. Sma ds ânguls externs de um plígn e1 + i1 = 180 e + i = 180 e3 + i3 = 180 en + in = 180 Se + Si = n 180 S + 180 ( n ) = n 180 e S + n 180 360 = n 180 e S = 360 e 101 5.. Sma ds ânguls externs de um plígn 5.. Sma ds ânguls externs de um plígn Exercíci 37: Calcule x. Em td plígn cnvex, a sma das medidas ds ânguls externs é cnstante e igual a 360. S = 360 e 99 10 17
5.. Sma ds ânguls externs de um plígn 5.3. Plígns regulares Exercíci 38: Qual é plígn em que a sma ds ânguls interns é dbr da sma ds ânguls externs? 360 e = n 103 Desse md, cm a sma das medidas ds ânguls externs de um plígn é igual a 360, a medida de um ângul extern de um plígn regular de n lads é igual a 360. n 106 5.3. Plígns regulares 5.3. Plígns regulares Hexágn regular Exercíci 39: Num plígn regular, um ângul intern é quádrupl de um ângul extern. Qual é esse plígn? Um plígn é regular se, e smentese: 1 ) tds s seus ladssã cngruentes; ) tds s seus ânguls internssã cngruentes. 104 107 5.3. Plígns regulares 5.3. Plígns regulares Exercíci 40: Na figura ABCDE é um pentágn regular. Calcule as medidas ds ânguls d triângul ACD. Da definiçã decrre que s ânguls externs de um plígn regular também sã cngruentes. 105 108 18
6. Ânguls na circunferência 6.1. Ângul central AB é uma crda CD é um diâmetr Crda: Segment de reta que une dis pnts quaisquer de uma circunferência. Diâmetr: Qualquer crda que passa pel centr de uma circunferência. Arc: Qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida pr dis quaisquer de seus pnts. Esses dis pnts sã as extremidades ds 109 arcs. Um ângul é central em relaçã a uma circunferência se seu vértice cincide cm centr da mesma. O arc interceptad pr um ângul central é denminad arc crrespndente a ângul. 11 6. Ânguls na circunferência 6.1. Ângul central Ạ própria circunferência é chamada arc de vlta inteira e sua medida é 360. Um arc de extremidades A e B é chamad arc AB. A medida de um arc AB será dentada pel símbl AB. 110 AOB = AB EOF = EF A medida de um ângul central é igual à medida d arc crrespndente a ele. 113 6. Ânguls na circunferência 6.1. Ângul central Exercíci 41: Calcule x, nas figuras abaix. AB = medida d arc AB Quand necessári, para diferenciar s dis arcs determinads pels pnts A e B de uma circunferência, marcams um pnt C qualquer pertencente a um deles (de um md geral a 111 mair deles) e denminams arc ACB. 114 19
6.1. Ângul central 6.. Ângul inscrit Exercíci 4: Calcule as medidas ds ânguls interns d pentágn ABCDE. A medida de um ângul inscrit é igual à metade da medida d arc crrespndente a ele. A demnstraçã cmpleta abrange s cass em que centr pertence a um lad, está n interir u está n exterir d ângul. 115 118 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit 1 Cas: Um ângul é inscrit numa circunferência se seu vértice é um pnt da circunferência e cada um de seus lads cntém uma crda dessa circunferência. 116 Traçand rai OA, btems triângul isósceles OAC. Entã, se C = α terems OAC = α. Cm AOB é ângul extern desse triângul, tems AOB = α. E, cm AOB é um ângul central, tems: 119 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit 1 Cas: Na figura, em vez de dizer que ângul está inscrit na circunferência, pde-se dizer que ele está inscrit n arc ACB. O arc interceptad pr um ângul inscrit também é chamad arc crrespndente a ângul. 117 AOB = α AB = α AB α = 10 0
6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Cas: 3 Cas: ACB Traçand diâmetr CD, fica dividid em dis ânguls inscrits de medidas α 1 e α. Cm esses dis ânguls têm um ds lads passand pel centr, pel 1 cas tems: 11 AD DB α1 e α AD DB α1 α AB α = 14 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Cas: AD DB α1 e α AD + DB α1 + α AB α = 1 Dis u mais ânguls inscrits num mesm arc sã cngruentes. AB α = β = γ = 15 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit 3 Cas: Traçand diâmetr CD, s ânguls inscrits ACD e BCD, de medidas α 1 e α, têm ambs um ds lads passand pel centr. Entã, nvamentepel 1 cas, terems: 13 Td ângul inscrit numa semicircunferência é ret. 180 AB = ACB = 90 16 1
6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Resluçã: Unind-se centr O as vértices B e C btém-se triângul equiláter OBC. Cm OBC é um ângul central, tems: BOC = 60 BC = 60 É pssível demnstrar também que: td ângul ret e, prtant, td triângul é inscritível numa semicircunferência. Entã, cm BAC é um ângul inscrit, BC BAC = BAC = 30 17 130 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Exercíci 44: ABC é um triângul em A. Calcular ângul frmad pela altura e a mediana relativasà hiptenusa, sabend que C = 0. Nte que a hiptenusa é diâmetr da semicircunferência. 18 131 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Exercíci 43: N triângul ABC da figura, lad BC e rai da circunferência sã cngruentes. Calcular BAC. Resluçã: Inicialmente, nte que triângul ABC é inscritível numa semicircunferência de centr M e diâmetr BC. Entã, triângul AMC é isósceles, pis MA = MC (pr serem rais da semicircunferência). Lg, cnclui-se que: C = 0 M AC = 0 19 13
6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Exercíci 46: Na figura seguinte, ABCD é um quadriláter qualquer inscrit numa circunferência. Prve que α + γ = 180. é um ângul extern d tri- Pr utr lad, AMH ângul AMC. Lg, AMH = 0 + 0 = 40 133 136 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Pr fim, n triângul AMH tems: x + + = 0 90 40 180 x = 50 Exercíci 47: Num triângul ABC, em A, sabe-se que C = 6. Calcule a medida d ângul frmad pela bissetriz e a mediana relativas a vértice A. 134 137 6.. Ângul inscrit 6.. Ângul inscrit Exercíci 45: Na figura seguinte, BC é um diâmetr da circunferência. Calcule APB, sabend que ABC = 70. Exercíci 48: Um ds catets de um triângul é a metade da hiptenusa. Qual é a medida d ângul pst a esse catet? 135 138 3
7. Cngruência 7.1. Critéris de cngruência Critéri L.A.L. Dis triânguls sã cngruentes se s seus lads e ânguls frem rdenadamente cngruentes. AB DE A D ABC DEF BC EF e B E AC DF C F 139 Dis triânguls sã cngruentes se dis lads de um sã cngruentes a dis lads d utr e s ânguls cmpreendids entre esses lads sã também cngruentes. AB = DE A = D B = E ABC DEF AC = DF BC = EF C = F 14 7.1. Critéris de cngruência 7.1. Critéris de cngruência Critéri A.L.A. Embra a definiçã cngruentes exija seis cngruências, três entre lads e mais três entre ânguls, há situações em que a cngruência de dis triânguls fica garantida cm apenas três determinadas cngruências. Tais situações cnstituem s critéris de cngruência. 140 Dis triânguls sã cngruentes se dis ânguls de um sã cngruentes a dis ânguls d utr e s lads adjacentes a esses ânguls sã também cngruentes. B = E AB = DE BC = EF ABC DEF A = D C = F AC = DF 143 7.1. Critéris de cngruência 7.1. Critéris de cngruência Critéri L.L.L. Critéri L.A.A Dis triânguls sã cngruentes se s lads de um sã respectivamente cngruentes as lads d utr. AB = DE A = D BC = EF ABC DEF B = E AC = DF C = F 141 Dis triânguls sã cngruentes se um lad e um ângul adjacente sã cngruentes a um lad e um ângul adjacente d utr e s ânguls psts a esses lads sã também cngruentes. BC = EF AB = DE C = F ABC DEF B = E A = D AC = DF 144 4
7.1. Critéris de cngruência 7.1. Critéris de cngruência Exercíci 49: A figura seguinte apresenta um par em que elements cngruentes sã identificads pr marcas iguais. Critéri L.L.A r Dis triânguls s sã cngruentes se a hiptenusa e um catet de um deles sã respectivamente cngruentesà hiptenusa e a um catet d utr. BC = EF B = E AC = DF ABC DEF F = C A D 90 = = AB = DE 145 148 7.1. Critéris de cngruência 7.1. Critéris de cngruência A partir das infrmações cntidas na figura é pssível cncluir que s triânguls sã cngruentes e deduzir cngruências que nã cnstam ns dads. Tud iss pde ser feit de frma resumida neste esquema: Quand escrevems, pr exempl, PXQ LTU, a rdem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, se pudéssems deslcar um desses triânguls até fazê-l cincidir perfeitamente cm utr, s vértices que ficariam sbrepstsseriam P e L, X e T, Q e U. 146 M = K MN = = = KO A. L. A. MT KR MTN KRO N O ( Critéri ) ( Cnclusã ) T = R NT = OR ( Dads ) ( Cnsequências ) 149 7.1. Critéris de cngruência 7.1. Critéris de cngruência Estabeleça esquemas semelhantes para cada um ds seguintes pares. Cm iss, a linguagem escrita já infrma quais lads e quais ânguls sã cngruentes, ist é, escrevend PXQ LTU já sabems que P = L, X = T, Q = U e PX = LT, PQ = LU, XQ = TU 147 150 5
8. Terema de Tales 8. Terema de Tales Se um feixe de paralelas determina segments cngruentes sbre uma transversal, entã esse feixe determina segments cngruentes sbre qualquer utra transversal. Assim, pel critéri L.A.A, cnclui-se que ' ' DED EFE Lg, DE = EF. 151 154 8. Terema de Tales 8. Terema de Tales ' ' Pr D e E traçams DD e EE paralels à reta AC. Entã s quadriláters ABD D e BCE E sã paralelgrams e, cnsequentemente, DD = AB e EE = BC. 15 Um feixe de paralelas separa, sbre duas transversais quaisquer, segments de uma prprcinais as segments crrespndentes na utra. AB DE Se r // s // t, entã = BC EF 155 8. Terema de Tales 8. Terema de Tales E já que AB = BC (pr hipótese), cnclui-se que DD = EE. Além diss, tems: D (ânguls 1 = E 1 ' ' crrespndentes em DD // EE ) e E (ânguls = F crrespndentes em s // t). 153 Seja u um segment que divide AB em m partes iguais e BC em n partes iguais. Lg, AB m u AB m = = (1) BC n u BC n 156 6
8. Terema de Tales 8. Terema de Tales Exercíci 51: Na figura, a reta r é paralela a BC. Calcule AD, sabend que AB = 18, AC = 7 e EC = 1. Tracems, agra, as retas que passam pr esses pnts de divisã e sã paralelas a r, s e t. Pel terema anterir, as retas traçadas dividem DE em m partes iguais a u e EF em n partes iguais a u. Entã, ' DE m u DE m = = () ' 157 EF n u EF n 160 8. Terema de Tales 8. Terema de Tales Exercíci 5: Calcule x e y, sabend que r // s // t. Entã, de (1) e (), AB DE = BC EF 158 161 8. Terema de Tales 8. Terema de Tales Exercíci 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t. Calcule x. Exercíci 53: Se r // s // t, calcule a, b e c. 159 16 7
9. Semelhança de plígns 9. Semelhança de plígns Exercíci 54: Na figura, sabe-se que ABCD LMNP. Calcular: a) a razã de semelhança entre ABCD e LMNP e, b) x, y e u. Dis plígns ABCDE e A B C D E cm mesm númer de vértices, sã semelhantes se, e smente se, 1 ) seus ânguls crrespndentes (u hmólgs) sã cngruentes, ist é: ' ' ' 163 A = A, B = B, C = C, 166 9. Semelhança de plígns 9. Semelhança de plígns Resluçã: a) Para calcular a razã de semelhança, basta bter a razã de semelhança entre dis lads hmólgs quaisquer de medidas cnhecidas. N cas, entre s ladsab e LM. Dis plígns ABCDE e A B C D E cm mesm númer de vértices, sã semelhantes se, e smente se, ) seus ladshmólgssã prprcinais,ist é: AB BC CD = = = = K ' ' ' ' ' ' A B B C C D 164 AB 8 7 k = k = k = LM 0 5 167 9. Semelhança de plígns 9. Semelhança de plígns Resluçã: b)já que a razã entre quaisquer dis lads hmólgs é igual à razã de semelhança, tems: A cnstante k, de prprcinalidade entre s lads, é chamada razã de semelhança ds plígns. 165 x 7 = x = 49 35 5 y 7 = y = 56 40 5 35 7 = u = 5 u 5 168 8
9. Semelhança de plígns 10. Semelhança Exercíci 55: Sabend que s pentágns ABCDE e KLMNO sã semelhantes, calcule: a) a razã de semelhançae b) u, v, x e y. 169 Apenas uma dessas duas cndições nã garante que dis plígns sejam semelhantes. Pr exempl, s quadriláters da figura acima pssuem seus ânguls respectivamente cngruentes, mas nã sã semelhantes, pis seus lads nã sã prprcinais. 17 9. Semelhança de plígns 10. Semelhança Exercíci 56: Na figura, s s ABCD e BCFE sã semelhantes. Se AEFD é um quadrad, calcule valr de m/n. Prém, exclusivamente n cas ds triânguls, a semelhança fica garantida cm um menr númer de infrmações sbre eles. Tais infrmações cnstituem s critéris de semelhança. 170 173 10. Semelhança 10.1. Critéris de semelhança Cnfrme vist anterirmente, para que dis plígns sejam semelhantes sã necessárias duas cndições: 1 ) s ânguls crrespndentes têm de ser cngruentes; ) s lads hmólgs têm de ser prprcinais. 171 Critéri A.A. (Ângul, Ângul) Dis triânguls sã semelhantes se dis ânguls de um sã cngruentesa dis ânguls d utr. ' B = B ' ' ' A. A. ABC A BC ' 174 C = C 9
10.1. Critéris de semelhança 10.1. Critéris de semelhança Critéri L.L.L. (Lad, Lad, Lad) Dis triânguls sã semelhantes se s lads de um sã prprcinais as lads d utr. a b c ' ' ' = = L. L. L. ABC A BC ' ' ' a b c 175 BC AC AB = = LM LN MN 178 10.1. Critéris de semelhança 10.1. Critéris de semelhança Exercíci 57: Calcule x e y nas figuras abaix. r / / BC r / / AB Critéri L.A.L. (Lad, Ângul, Lad) Dis triânguls sã semelhantes se pssuem um par de ânguls cngruentes cmpreendids entre lads ' prprcinais. A = A ' ' ' b c L. A. L. ABC A B C = 176 ' ' b c 179 10.1. Critéris de semelhança 10.1. Critéris de semelhança Exercíci 58: Na figura seguinte, bserve s dads cm atençã e calcule x e y. N recnheciment ds lads hmólgs em triânguls semelhantes, deve-se identificar s pares de ânguls cngruentes pr mei de marcas iguais, u cm letras d alfebet greg. Esse prcediment visa facilitar recnheciment ds lads hmólgs. 177 180 30
10.1. Critéris de semelhança 10.. Razã entre elements lineares de figuras semelhantes Exercíci 59: Qual é a medida d lad d quadrad ABCD da figura? Até agra trabalhams cm a prprcinalidade ds lads de plígns semelhantes. Prém, essa prprcinalidade nã crre apenas entre s lads e sim entre quaisquer dis elements lineares hmólgs de figuras semelhantes. 181 184 10.1. Critéris de semelhança 10.. Razã entre elements lineares de figuras semelhantes Exercíci 60: Calcule x nas figuras abaix: 18 Pr exempl, para dis triânguls semelhantes, se a razã de semelhança é igual a k, entã: (a) a razã entre lads hmólgs é k; (b) a razã entre alturas hmólgas é k; (c) a razã entre medianas hmólgas é k; (d) a razã entre s perímetrsé k; etc a h m a + b + c = = = = = k ' ' ' ' ' ' 185 a h m a + b + c 10.1. Critéris de semelhança 10.. Razã entre elements lineares de figuras semelhantes Exercíci 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e que AB = AC = CD =. Calcule s valresde α e x. Exercíci 6: Na figura, LMNP é um quadrad inscrit n triângul ABC. Calcular x em funçã de a e h. 183 186 31
10.. Razã entre elements lineares de figuras semelhantes 10.. Razã entre elements lineares de figuras semelhantes Resluçã: Cm LM / / BC ALM ABC Entã, cm a razã entre alturas hmólgas é igual à razã entre lads hmólgs, tems: Exercíci 64: A figura seguinte mstra um inscrit n triângul ABC. Calcule as medidas ds lads d, sabend que sua base é dbr de sua altura. 187 190 10.. Razã entre elements lineares de figuras semelhantes 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales x h x = hx = ah ax ax + hx = ah a h ah ( a + h) x = ah x = a + h 188 Pel terema de Tales, verifica-se de imediat que: A reta que passa pel pnt médi de um lad de um triângul e é paralela a um utr lad intercepta terceir lad em seu pnt médi. 191 10.. Razã entre elements lineares de figuras semelhantes 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales Exercíci 63: Os quadriláters ABCD e A B C D da figura sã semelhantes. Se perímetr d segund é igual a 3, calcule as medidas de seus lads e de sua diagnal B D. 189 Se r // BC e M é pnt médi de AB, entã N é pnt médi de AC. Nte entã que a reta que passa pels pnts médis de dis lads de um triângul é paralela a terceir lad. 19 3
10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales Exercíci 65: Na figura dada, ABC é um triângul equiláter de lad l = 6 e M é pnt médi de AB. Calcular NC, sabend que CD = 8. Observand ainda que AMN R ABC, pis r // BC, pdems escrever: MN AM = BC AB E cm AM é a metade de AB, cnclui-se que MN é a metade de BC. 193 196 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales Resluçã: Unind M a pnt P, médi de BC, tems: AC MP / / AC e MP = ist é, MP = 3. Resumind, segment que une s pnts médis de dis lads de um triângul é paralel a terceir lad e sua medida é a metadeda medida d terceir lad. Mas, se MP / / AC, entã NCD MPD 194 197 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales Se M e N sã pnts médis de AB e AC. entã 1) MN // BC BC ) MN = 195 NC CD x 8 = = MP PD 3 11 4 x = 11 198 33
10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales Exercíci 66: Os lads de um triângul medem 10, 1 e 16. Os pnts médis ds lads desse triângul sã vértices de um nv triângul. Calcule as medidas ds lads d segund triângul. 199 0 10.3. Prpriedade decrrente d Terema de Tales Exercíci 67: Na figura, L, M e N dividem AB em quatr partes iguais e as retas r, s e t sã paralelas a BC. Calcule valr de a + b + c. Nte que a altura AH divide triângul ABC ns triânguls HBA e HAC. Entã, ABC R HBA, pis A = H = 90 e B é ângul cmum. Além diss ABC R HAC, pis A = H = 90 e C é ângul cmum. Lg, ABC HBA HAC 00 03 ABC HBA Se ABC é um triângul em A, traçandse a altura AH, relativa à hiptenusa, ficam definids s seguintes elements: a hiptenusa; b e c catets; h altura relativa à hiptenusa; m prjeçã de c sbre a hiptenusa; n prjeçã de b sbre a hiptenusa. 01 a b = b c = a h c h a c = c = a m c m (1) () 04 34
ABC HAC a b b n = b = HBA HAC a n h m h = = m n n h (3) (4) Se x, p e q sã númers u segments que satisfazem a equaçã x = p q dizems que x é a média gemétrica entre p e q. Desse md, há três médias gemétricas entre as relações métricas n triângul. 05 08 Terema de Pitágras b = a n + () + (3) c = a m b c a m n + = ( + ) a Cada catet é média gemétrica entre a hiptenusa e a sua prjeçã sbre ela. b = a n e c = a m A altura é média gemétrica entre as prjeções ds catets sbre a hiptenusa. b + c = a (5) h = m n 06 09 Resumind: a = b + c b c h = a n = a m = m n b c = a h Exercíci 68: Os catets de um triângul medem 5 e 5. Calcular: a) a hiptenusa, b) as prjeções ds catets e c) a altura relativa à hiptenusa. 07 10 35
Resluçã: a) Calculams a hiptenusa pel terema de Pitágras. a = 5 ( 5 ) ( 5 ) a = b + c a = + a = 5 + 4 5 a = 5 c) Finalmente, pdems calcular h pr mei de qualquer uma das relaçõesh = m n u b c = a h. h m n h h = = 1 4 = 11 14 b) Pdems determinar m pela fórmula c = a m, pis já calculams a hiptenusa. ( ) c = a m 5 = 5 m 5 = 5 m m = 1 Exercíci 69: Os catets de um triângul medem 13 e 3 13. Calcule: a) a hiptenusa; b) as prjeções ds catets; e c) a altura relativa à hiptenusa. 1 15 Pr utr lad, cm m + n = a, tems: Exercíci 70: Na figura, AB é diâmetr da semicircunferência. Calcule AP e PB. m + n = a 1+ n = 5 n = 4 13 16 36
Exercíci 71: O perímetr de um lsang é igual a 40 e sua diagnal mede 16. Calcule rai da circunferência inscrita nesse lsang. Exercíci 74: Na figura, as circunferências de centrs O e O têm rais R e r, sã tangentes entre si e tangenciam a reta t ns pnts A e B. Calcule AB em funçã de R e r. 17 0 Exercíci 7: O triângul ABC da figura é em A. AH e AM sã a altura e a mediana relativas à hiptenusa. Calcule b e c. Exercíci 75: Na figura seguinte, ABCD é um trapézi de bases AB e CD. A semicircunferência de diâmetr AD tangencia lad BC em T. Calcule rai da semicircunferência. 18 1 Exercíci 73: N plan cartesian sã dads s pnts A(; 1) e B(6;4). Calculea distância de A e B. Exercíci 76: Vista de trás, a carrceria de um cert caminhã tem frma retangular. Sua altura, medida desde sl, é de 3,6 m. O caminhã se dirige a um clube, cuja entrada é um arc semicircular de 3,9 m de rai. Para que ele pssa passar pel arc, é necessári que sua largura seja menr que um cert valr l. Calcule l. 19 37
Exercíci 79: Calcule s rais das circunferências inscrita e circunscrita num quadrad de lad l = 4. 3 6 Exercíci 77: Na figura seguinte, O é centr da circunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule rai da circunferência. Exercíci 80: Calcule a área de um triângul equiláter de lad l. 4 7 Exercíci 78: Qual é cmpriment da diagnal de um quadrad de lad l? Exercíci 81: Calcule s rais das circunferências inscrita e circunscrita num triângul equiláter de lad l = 6. 5 8 38