Monitoria Cálculo Numérico 207-02 NOME Email Dia / Horário Local Ana Sofia Nunez de Abreu nunez.asofia@gmail.com Sex. 0-2h D- Luiz Eduardo Xavier luizeduardosxavier@gmail.com Ter, 5-7h Lab Rafael Mendes mendesrafa.c@gmail.com Ter. 2-h / 5-6h Sala DCC Tiago Elias Silva tiagoabiramia@poli.ufrj.br Ter. Qui. 2-h G-27 Victor Garritano Noronha victortaichou@gmail.com Ter. -5h Sala DCC Victor Pimenta de Melo victormelo@poli.ufrj.br Qui. 0-2h D-20 Figura : Monitoria Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 / 6
Sistemas Lineares e método de Gauss Alan Costa de Souza 0 de Agosto de 207 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 2 / 6
O que é sistema linear? Um sistema linear com m equações e n variáveis é definido como: a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m x + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m a ij são os coeficientes. i i m, j n. x j são as variáveis. j n b i são constantes. i m Resolver o sistema é encontrar os valores de x i que satisfaçam as m equações ao mesmo tempo. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 / 6
Exemplo. x + 2x 2 + x = 4 4x + 5x 2 + 6x = 7 8x + 9x 2 + 0x = 2 + x 2 + 4x = 5 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 4 / 6
Notação matricial A = A x = b a 2... a n a 22... a 2n a a 2. a m a m2... a mn x x 2 x =. x n b = b b 2. b m Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 5 / 6
Exemplo. x + 2x 2 + x = 4 4x + 5x 2 + 6x = 7 8x + 9x 2 + 0x = 2 + x 2 + 4x = 5 A = b = 2 4 5 6 8 9 0 2 4 4 7 5 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 6 / 6
A x = x = 2 4 5 6 8 9 0 2 4 x x 2 x A x = b. x x 2 x = 4 7 5 = b Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 7 / 6
Matriz aumentada C = x + 2x 2 + x = 4 4x + 5x 2 + 6x = 7 8 + 9x 2 + 0x = 2 + x 2 + 4x = 5 2 4 4 5 6 7 8 9 0 2 4 5 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 8 / 6
Tipos de soluções. Um sistema linear pode ter três tipos de soluções. solução única. infinitas soluções. sem solução. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 9 / 6
Figura : [Ruggiero and LOPES, 996] Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 0 / 6 Solução única. { 2x + x 2 = x x 2 = 2 ( ) x =
Infinitas Soluções { 2x + x 2 = 4x + 2x 2 = 6 ( ) α x = 2α α R. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 / 6
Sem Solução. { 2x + x 2 = 4x + 2x 2 = 2 Figura : [Ruggiero and LOPES, 996] Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 2 / 6
Métodos para resolver sistemas lineares. Nesse curso serão resolvidos apenas sistemas n n. Existem dois tipos de métodos: Métodos diretos: Encontram soluções exatas dos sistemas, a menos dos erros de arredondamento. Método de Gauss. Fatoração LU. Métodos iterativos: Encontram uma sequência de vetores, a partir de uma aproximação inicial, que convergem para uma aproximação da solução, sob algumas condições de convergência. Método de Gauss-Jacobi. Método de Gauss-Seidel. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 / 6
Método de Gauss. O método consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz de coeficientes triangular superior. Dois sistemas lineares são equivalentes se eles apresentam a mesma solução. O sistema com com matriz de coeficientes triangular é de imediata solução, como veremos a seguir. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 4 / 6
Resolução de Sistemas com matriz Triangular. 4x + 5x 2 + 6x = 7 0x + 9x 2 + 0x = 0x + 0x 2 + 4x = 5 4 5 6 0 9 0 0 0 4 x x 2 x = 7 5 4x = 5 x = 5, 07 4 9x 2 + 0x = 9x 2 + 0, 07 = x 2 0, 074. 4x +5x 2 +6x = 7 4x +5 0, 074+6, 07 = 7 x 0, 0. 0, 0 x 0, 074, 07 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 5 / 6
Teorema. Seja A x = b um sistema linear, se fizer Trocar duas linhas de lugar Multiplicar a linha por uma constante Substituir uma linha por uma combinação linear das outras linhas. Obtemos um novo sistema linear A 2 x = b 2 que é equivalente ao sistema original. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 6 / 6
Exemplo. { 2x + x 2 = x x 2 = 2 ( ) x = { x x 2 = 2 2x + x 2 = ( ) x = Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 7 / 6
Exemplo 2. { 2x + x 2 = x x 2 = 2 ( ) x = { 20x + 0x 2 = 0 x x 2 = 2 ( ) x = Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 8 / 6
Exemplo. { 2x + x 2 = x x 2 = 2 ( ) x = L = 2L + L 2 { 7x 7x 2 = 0 x x 2 = 2 ( ) x = Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 9 / 6
Método de Eliminação de Gauss. Vamos supor que o sistema tenha n equações e n variáveis. O objetivo do método é encontrar um sistema linear equivalente, cuja matriz A seja triangular. Após encontrar o sistema equivalente, usar substituição reversa para encontrar a solução. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 20 / 6
Exemplo x + 2x 2 + 4x = x + x 2 + 2x = 2 4x + x 2 2x = 2 4 2 2 4 2 a 0 m 2 = a 2 = a L 2 = L 2 m 2 L = ( 2 2 ) ( ) 2 4 L 2 = L 2 m 2 L = ( ) 2 5 0 2 4 2 0 5 4 2 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 2 / 6
2 4 0 2 5 4 2 a 0 m = a a = 4 L = L m L = ( 4 2 ) 4 L = L m L = ( 0 2 4 2 5 0 0 22 5 22 ( 2 4 ) 5 ) Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 22 / 6
2 4 0 2 0 22 5 5 a 22 = 0 m 2 = a 2 = a 22 L = L m 2 L 2 = ( 0 22 5 ) ( 0 2 L = L m 2 L 2 = ( 0 0 8 0 ) 2 4 2 0 5 0 0 8 0 5 ) Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 2 / 6
2 4 0 2 5 0 0 8 0 8x = 0 x = 0. x 2 + 2 x = 5 x 2 = 5. x + 2x 2 + 4x = x =. x = 5 0 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 24 / 6
estratégias de pivoteamento. Quando usamos um pivô a ii para anular as entradas da matriz que ficam abaixo, pode acontecer dois problemas: a ii = 0. Nesse caso não podemos calcular o m, já que m = a ji a ii. a ii 0. Nesse caso, m é um número muito grande e pode causar grandes erros de arrendondamento. Para contornar esses problemas temos que usar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, realizar uma troca de linhas de forma a evitar as condições acima. Veremos adiante duas estratégias: pivoteamento parcial. pivoteamento completo. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 25 / 6
Pivoteamento Parcial. + + 2 + + 5 +0 + + 0 + + 6 +0 5 + 7 + 7 +0 + 2 + 4 + 0 + 5 + + 2 + + 5 +0 5 + 7 + 7 +0 + + 0 + + 6 +0 + 2 + 4 + 0 + 5 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 26 / 6
primeira fase já foi concluída, ou seja, todas as entradas abaixo de a são nulas. próxima fase usaria como pivô o elemento a 22. Mas os respectivos m seriam maiores que, o que pode acarretar em grandes erros de arredondamento. Solução: Usar como pivô o elemento com maior módulo entre a 22 e todos os elementos abaixo dele. Nesse caso seria o elemento -. para ele ser o pivô troque as linhas 2 e de lugar. Note que agora todos os m têm módulos menores que. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 27 / 6
Pivoteamento completo. + + 2 + + 5 +0 + + 0 + + 6 +0 5 + 7 + 7 +0 + 2 + 4 + 0 + 5 + + + 2 + 5 +0 + + 0 + + 6 +0 + 7 5 + 7 +0 + 0 + 4 + 2 + 5 + + + 2 + 5 +0 + 7 5 + 7 +0 + + 0 + + 6 +0 + 0 + 4 + 2 + 5 Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 28 / 6
Escolher como pivô o número de maior módulo entre todas entradas que ainda participam do processo de eliminação. Nesse exemplo era a entrada a 24 que tinha módulo 7. Para fazer esse elemento como pivô, basta trocar as colunas 2 e 4 de lugar e depois as linhas 2 e. Essas alterações criarão um sistema equivalente com o maior pivô possível. Vantagem: os m terão os menores módulos possíveis. Desvantagem: A busca pelo elemento de maior módulo pode ser muito custosa, caso a matriz seja muito grande. O pivoteamento parcial é o mais utilizado. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 29 / 6
Exemplo. Suponha uma máquina que use três casas decimais para a mantissa. ( ) 0, 0002 2 5 2 2 6 ( 0, 2 0 0, 2 0 0, 5 0 ) 0, 2 0 0, 2 0 0, 6 0 a = 0, 2 0 m = L 2 = L 2 m L 0, 2 0 0, 2 0 = 0, 05. a 2 = a 2 m a = 0, 2 0 0, 0 5 0, 2 0 = 0, 2 0 0, 2 0 = 0. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 0 / 6
( 0, 2 0 0, 2 0 0, 5 0 ) 0, 2 0 0, 2 0 0, 6 0 a 22 = a 22 m a 2 = 0, 2 0 0, 0 5 0, 2 0 = 0, 2 0 0, 2 0 5 = 0, 00002 0 5 0, 2 0 5 0, 2 0 5. b 2 = b 2 m b = 0, 6 0 0, 0 5 0, 5 0 = 0, 6 0 0, 5 0 5 = 0, 00006 0 5 0, 5 0 5 0, 5 0 5. ( 0, 2 0 0, 2 0 0, 5 0 ) 0 0, 2 0 5 0, 5 0 5 0, 2 0 5 x 2 = 0, 5 0 5 x 2 = 0, 25 0 = 2, 5. 0, 2 0 x + 0, 2 0 x 2 = 0, 5 0 x = 0. ( ) 0 x = 2, 5 2x + 2x 2 = 2 0 + 2 2, 5 = 5 6. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 / 6
Exemplo 2. ( 0, 0002 2 5 ) 2 2 6 ( 0, 2 0 0, 2 0 0, 5 0 0, 2 0 0, 2 0 0, 6 0 ( 0, 2 0 0, 2 0 0, 6 0 ) ) 0, 2 0 0, 2 0 0, 5 0 a = 0, 2 0 m = 0, 2 0 0, 2 0 = 0, 0. L 2 = L 2 m L a 2 = a 2 m a = 0, 2 0 0, 0 0, 2 0 = 0, 2 0 0, 2 0 = 0. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 2 / 6
( 0, 2 0 0, 2 0 0, 6 0 ) 0, 2 0 0, 2 0 0, 5 0 a 22 = a 22 m a 2 = 0, 2 0 0, 0 0, 2 0 = 0, 2 0 0, 2 0 = 0, 2 0 0, 00002 0 0, 2 0. b 2 = b 2 m b = 0, 5 0 0, 0 0, 6 0 = 0, 5 0 0, 6 0 = 0, 5 0 0, 00006 0 0, 5 0. ( 0, 2 0 0, 2 0 0, 6 0 ) 0 0, 2 0 0, 5 0 0, 2 0 x 2 = 0, 5 0 x 2 = 0, 25 0 = 2, 5. 0, 2 0 x + 0, 2 0 x 2 = 0, 6 0 x = 0, 5 0 0. ( ) 0, 5 x = 2, 5 2x + 2x 2 = 2 0, 5 + 2 2, 5 = 6. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 / 6
Resumo do método de Gauss. Inicialmente montamos a matriz aumentada, que é formada pela matriz A de coeficientes mais o vetor b de constantes. Triangularizamos a matriz usando as operações por linhas. No caso de algum pivô for nulo, usamos o pivoteamento para encontrar um novo pivô não-nulo. Mesmo que o pivô não seja nulo, podemos usar o pivoteamento para minimizar os erros de arredondamento. Usamos a substituição reversa para encontrar a solução do sistema. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 4 / 6
Bibliografia Ruggiero, M. A. G. and LOPES, V. L. (996). Cálculo numérico. Aspectos Teóricos e Computacionais. 2a edição, Makron. Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 5 / 6
Exercício 4x x 2 + x = 8 2x + 5x 2 + 2x = x + 2x 2 + 4x = x = x 2 = x = Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e método de Gauss 0 de Agosto de 207 6 / 6