Variáveis Aleatórias Discretas

Costa, S.C. 1 Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estatística Variáveis Aleatórias Discretas Silvano Cesar da Costa Londrina - Paraná

Costa, S.C. 2 Variáveis Aleatórias Discretas Exemplo: Um pesquisador desenvolveu uma nova técnica de inseminação artificial que, segundo ele, garante 60% de sucesso. Um fazendeiro resolveu aplicar esta nova técnica em seus animais. Para isso ele selecionou 3 animais de seu rebanho. Considere inicialmente, o experimento: aplicar a nova técnica de inseminação e observar o resultado. Sejam os eventos: E o animal emprenhar e Ē o evento o animal não emprenhar. a) Construir o espaço amostral associado a esse experimento; b) Calcular as probabilidades associadas a cada um dos elementos do espaço amostral; c) Considerar Y o número de animais prenhes e associar um valor y a cada um dos elementos do espaço amostral.

Costa, S.C. 3 Resultados Possíveis Probabilidades y E E Ē E EEE 0,216 3 Ē EEĒ 0,144 2 E EĒE 0,144 2 Ē EĒĒ 0,096 1

Costa, S.C. 4 Resultados Possíveis Probabilidades y Ē E E ĒEE 0,144 2 Ē ĒEĒ 0,096 1 Ē E ĒĒE 0,096 1 Ē ĒĒĒ 0,064 0

Costa, S.C. 5 Variável Aleatória Discreta Uma função definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num conjunto enumerável de pontos do conjunto real é dita uma variável aleatória discreta. Distribuição de uma Variável Aleatória O conjunto dos valores da variável e as respectivas probabilidades, ou seja, y i e P (y i ), i = 1,..., n é chamado distribuição da variável aleatória Y. n Observação: P (y i ) = 1. i=1 Costuma-se adotar, também, a notação P (Y = y i ) para designar a probabilidade de a variável aleatória Y assumir o valor y i. Portanto, a distribuição da variável aleatória (v.a.) Y é dada por:

Costa, S.C. 6 Tabela 1: Distribuição da variável aleatória Y = Número de animais prenhe. y P(Y=y) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 cuja representação gráfica é apresentada na Figura 1.

Costa, S.C. 7 0.40 0.35 0.30 Probabilidades 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 1 2 3 Número de Sucessos Figura 1: Gráfico das probabilidades de prenhez dos animais.

Costa, S.C. 8 Qual é a porcentagem esperada de : i) três animais emprenharem? ii) nenhum animal emprenhar? iii) pelo menos um animal emprenhar?

Costa, S.C. 9 Para elaborar a Tabela 1 e construir o gráfico usando o R, bastam os comandos: vacas = 0:3 prob_suc = 0.6 prenhe = data.frame(pr = dbinom(vacas, 3, prob_suc)) rownames(prenhe) = 0:3 cbind(prenhe) plot(vacas, dbinom(vacas, size=3, prob=prob_suc), xlab="número de Sucessos", ylab="probabilidades", main=, axes=f, type="h", col= blue ) points(vacas, dbinom(vacas, size=3, prob=prob_suc), pch=16,, col= blue ) axis(1, vacas) axis(2, seq(0, 0.45,.05), las=1) abline(h=0, col="gray", cex=2.5, lwd=2) box(bty= l )

Costa, S.C. 10 Função de Probabilidade A função que fornece as probabilidades de ocorrências dos valores que a variável aleatória pode assumir é chamada função de probabilidades. Exemplo: A função de probabilidades da variável Y ={ Número de animais prenhe} é dada por: P (Y = y) = ( ) 3 y 0, 3 y (1 0, 3) 3 y, y = 0,..., 3. em que ( ) 3 y = 3! y!(3 y)!

Costa, S.C. 11 Exercícios: Calcular P (Y = 0), P (Y = 1), P (Y = 2) e P (Y = 3), através da função de probabilidades e interpretar o resultado. Valor médio ou Esperança Matemática de Y Para responder sobre qual o número médio esperado de animais emprenhados? é necessário calcular o valor médio definido por: Dada a variável aleatória Y, assumindo os valores y 1, y 2,..., y n com as respectivas probabilidades P (y 1 ), P (y 2 ),..., P (y n ), chamamos valor médio ou esperança matemática de Y ao valor: µ Y = E(Y ) = n y i P (y i ) (1) i=1

Costa, S.C. 12 Exemplo: Para os dados da Tabela 1, calcula-se a esperança de Y como: y P (Y = y) y P (Y = y) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1,000 Portanto, E(Y ) = animais emprenhados. animais em- Interpretação: Espera-se obter um número médio de prenhados.

Costa, S.C. 13 Propriedades da Esperança Matemática Supondo k uma constante e X e Y variáveis aleatórias, podemos definir as seguintes propriedades da esperança matemática: a) E(k) = k b) E(kX) = ke(x) c) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ) d) E(X ± k) = E(X) ± k e) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: E(XY ) = E(X)E(Y )

Costa, S.C. 14 Variância de Y Dada a variável aleatória Y, chamamos de variância de Y, ao valor: σ 2 Y = V (Y ) = Logo, para o exemplo dado: n i=1 [ y i E(Y )] 2 P (yi ). (2) y P (Y = y) [ ] 2 [ 2 y i E(Y ) y i E(Y )] P (Y = y) 0 0,064 3,24 0,20736 1 0,288 0,64 0,18432 2 0,432 0,04 0,01728 3 0,216 1,44 0,31104 Total 1,000 0,72

Costa, S.C. 15 Portanto, V (Y ) = 0, 72. Assim, o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação são dados, respectivamente, por: σ Y = 0, 8485281 e CV = σ Y µ Y 100 = 47, 14%. Uma maneira mais prática para o cálculo da variância de Y é: σ 2 Y = V (Y ) = E(Y 2 ) [ ] 2 E(Y ) em que E(Y ) = E(Y 2 ) = n i=1 n i=1 y i P (Y = y i ) y 2 i P (Y = y i )

Costa, S.C. 16 Logo, y P (Y = y) yi 2 yi 2 P (Y = y) 0 0,064 0 0,000 1 0,288 1 0,288 2 0,432 4 1,728 3 0,216 9 1,944 Total 1,000 3,960 Assim, V (Y ) = E(Y 2 ) [ E(Y ) ( ) 2 V (Y ) = 3, 96 1, 8 V (Y ) = 0, 72. ] 2

Costa, S.C. 17 Propriedades da Variância Supondo k uma constante e X e Y variáveis aleatórias, pode-se definir as seguintes propriedades para a variância: a) V (k) = 0 b) V (kx) = k 2 V (X) c) V (X ± Y ) = V (X) ± V (Y ) + 2 COV (X, Y ) d) V (X ± Y ) = V (X) ± V (Y ), se X e Y são independentes. e) V (X ± k) = V (X) f) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: COV (XY ) = E(XY ) E(X) E(Y ) = 0. Obs.: O fato de COV (X, Y ) = 0 não implica que X e Y sejam independentes.

Costa, S.C. 18 Distribuição acumulada de uma variável aleatória O conjunto dos valores da variável e as probabilidades acumuladas até os respectivos valores, ou seja, y i e F (y i ) = P (Y y i ) i = 1, 2,..., n é chamada distribuição acumulada da variável aleatória Y. Obter a tabela de distribuição acumulada de probabilidades da variável aleatória Y ou distribuição acumulada de Y relativos à inseminação artificial dos apresentados na Tabela 1. y P (Y = y) F (y) = P (Y y) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216

Costa, S.C. 19 Distribuição acumulada de uma variável aleatória O conjunto dos valores da variável e as probabilidades acumuladas até os respectivos valores, ou seja, y i e F (y i ) = P (Y y i ) i = 1, 2,..., n é chamada distribuição acumulada da variável aleatória Y. Obter a tabela de distribuição acumulada de probabilidades da variável aleatória Y ou distribuição acumulada de Y relativos à inseminação artificial dos apresentados na Tabela 1. y P (Y = y) F (y) = P (Y y) 0 0,064 0,064 1 0,288 0,352 2 0,432 0,784 3 0,216 1,000

Costa, S.C. 20 Os valores completos da função de distribuição são os seguintes: 0 se y < 0; 0, 064 se 0 y < 1 F (y) = 0, 352 se 1 y < 2 0, 784 se 2 y < 3 1 se y > 3 cujo gráfico é apresentado na Figura 2

Costa, S.C. 21 1.0 0.8 Probabilidades 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Número de Sucessos Figura 2: Distribuição acumulada da prenhez dos animais. Interpretar o valor F (1) = P (Y 1) = P (Y = 0) + P (Y = 1).

Costa, S.C. 22 Exercício 1: Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0, 4. Para dois lançamentos independentes dessa moeda, estude o comportamento da variável número de caras e faça um gráfico de sua função de probabilidade. Exercício 2: Considere um pasto com 3 vacas da raça Holandesa e 5 vacas da raça Gir. Serão retirados do pasto 3 animais, através de sorteio e sem reposição. Defina a variável Y como sendo o número de animais da raça Gir. Pede-se: a) obter uma tabela contendo todos os possíveis resultados desse experimento e as probabilidades associadas a cada um deles; b) obter a distribuição da variável aleatória Y e um gráfico que a represente. Exercício 3: Seja Y a variável aleatória discreta número de óbitos observados mensalmente no Hospital Veterinário, cuja distribuição de probabilidades é dada por: y 0 1 2 3 4 5 P (y) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1

Costa, S.C. 23 Pede-se: a) obter a função de distribuição acumulada F (y) para a variável aleatória Y e um gráfico que a represente; b) calcular o número médio de ovos; c) calcular: E(4Y ), E(Y + 1), E(Y 2 ) e a variância de Y; d) calcular V ar(2y ) e V ar(y + 1). Exercício 4: Em um experimento com chocadeira automática são colocados 5 ovos e observado o número de ovos eclodidos. Sabendo-se que teoricamente, 90% dos ovos eclodem, obter: a) a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y = {número de ovos eclodidos} e um gráfico que a represente; b) a probabilidade de pelo menos 3 ovos eclodirem; c) a esperança e a variância de Y.

Costa, S.C. 24 Principais Distribuições de Probabilidades Distribuição de Bernoulli; Distribuição Binomial; Distribuição de Poisson; Distribuição Geométrica; Distribuição Hipergeométrica; Distribuição Uniforme; Distribuição Binomial Negativa. Serão estudadas apenas as 5 primeiras.

Costa, S.C. 25 Distribuição de Bernoulli Nos experimentos de Bernoulli a o espaço amostral é composto por apenas dois resultados possíveis: sucesso (resultado de interesse) ou fracasso (resultado pelo qual não estamos interessados). Exemplos: a) Lançar uma moeda. Pode sair cara ou coroa; b) Inseminar um animal. Pode emprenhar ou não; c) Colocar uma estaca em um vaso com terra. Pode enraizar ou não; d) Plantar uma semente. Pode germinar ou não; a Jakob Bernoulli (Nascido em 27/12/1654 em Basel, Suíça e falecido em 16/08/1705), também conhecido como Jacob, Jacques ou James Bernoulli.

Costa, S.C. 26 Seja Y a variável aleatória número de sucessos e p a probabilidade de ocorrer sucesso. Assim, Resultados Possíveis Probabilidades y S (Sucesso) p 1 F (F racasso) 1 p 0 A distribuição de probabilidade de Y com distribuição de Bernoulli, com parâmetro p é dada por:

Costa, S.C. 27 Tabela 2: Distribuição da v.a. Y de Bernoulli. y P(Y=y) 0 1 p 1 p Total 1 Pode-se calcular a média desta distribuição utilizando-se a Equação (1). Assim: n µ Y = E(Y ) = y i P (Y = y i ) i=1 µ Y = E(Y ) = 0 (1 p) + 1 p µ Y = E(Y ) = p

Costa, S.C. 28 Da Equação (1), pode-se calcular a variância que é: Portanto, V (Y ) = n i=1 [ y i E(Y )] 2 P (Y = yi ) V (Y ) = (0 p) 2 (1 p) + (1 p) 2 p V (Y ) = p 2 (1 p) + p(1 p) 2 V (Y ) = p(1 p) E(Y ) = p Notação: Y Be(p). e V (Y ) = p(1 p) Função de Probabilidades: A função de probabilidades de uma distribuição de Bernoulli é dada por: P (Y = y) = p y (1 p) 1 y, y = 0, 1.

Costa, S.C. 29 Distribuição Binomial a) Supor uma série de n experimentos independentes (o resultado de um experimento não é afetado pelo resultado dos outros) de Bernoulli; b) A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre igual a p; c) O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n. Então diz-se que a variável aleatória Y = {número de sucessos} nos n ensaios tem distribuição binomial com parâmetros n e p. Notação: Y Bin(n, p).

Costa, S.C. 30 Função de Probabilidades: A função de probabilidades de uma variável Y com distribuição binomial Bin(n, p) é dada por: P (Y = y) = ( ) n p y (1 p) n y, y = 0, 1,..., n. y em que ( ) n y = n! y!(n y)!.

Costa, S.C. 31 É a mais importante das distribuições de probabilidades discretas. Tem esse nome devido ao cálculo das probabilidades ser feito usando termos da expansão do binômio de Newton. O teorema do binômio de Newton é dado por: n ( ) (x + y) n n = x n k y k k k=0 = ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n x n 0 y 0 + x n 1 y 1 + x n 2 y 2 +... + x n n y n 0 1 2 n (x + y) n = ( ) ( ) n n x n + n x n 1 y 1 + x n 2 y 2 + x n 3 y 3 +... + y n 2 3 em que ( ) n k = n! k!(n k)!.

Costa, S.C. 32 Exemplo: Se considerarmos uma variável aleatória com distribuição binomial Bin(10; 0, 3), ou seja, o estudo de uma variável, cujo número de ensaios seja igual a 10 realizações e a probabilidade de sucesso é igual a 30%, o gráfico desta situação (apresentado na Figura 3) será:

Costa, S.C. 33 0.25 0.20 Probabilidades 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de Sucessos Figura 3: Gráfico da distribuição Binomial, para n = 10 ensaios com probabilidade de sucesso p = 0, 30.

Costa, S.C. 34 A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição binomial Bin(n, p) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = np e V (Y ) = np(1 p) Para gerar o gráfico da distribuição no R bastam os seguintes comandos: db <- 0:10 plot(db, dbinom(db, size=10, prob=0.3), las=1, main=, type="h", xlab="número de Sucessos", ylab="probabilidades", bty= l, col= blue ) points(db, dbinom(db, size=10, prob=0.3), pch=16,, col= blue ) abline(h=0, col="gray") Se o interesse for apenas nos valores das probabilidades, os mesmos podem ser obtidos com: data.frame(pr=dbinom(0:10, size=10, prob=0.3))

Costa, S.C. 35 Exemplo 1: Uma moeda é lançada dez vezes; qual a probabilidade de se obter duas caras? Determine a esperança e a variância. Exemplo 2: Uma infecção experimental em camundongos determina morte de 30% dos animais a ela submetidos. Qual a probabilidade de obter num lote de 10 animais, uma mortalidade de, no máximo 20%? Exemplo 3: Você leva sua cadela ao veterinário e descobre através de um exame de ultrasonografia que ela está grávida com uma ninhada de 8 filhotes. a) Qual é a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam fêmeas? b) Qual é a probabilidade de que existam um número igual de machos e fêmeas? c) Qual é a probabilidade de que existam mais machos do fêmeas?

Costa, S.C. 36 Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson a é largamente empregada quando se deseja contar o número de ocorrências de um evento de interesse, por unidade de tempo, comprimento, área ou volume. É também chamada de distribuição dos eventos raros. Exemplos: a) Número de insetos de uma espécie coletados por armadilha por dia; b) Número de furos em pneus por km rodado; c) Número de bactérias por ml de urina; d) Número de pacientes que chegam a um pronto atendimento de uma pequena cidade durante a madrugada; e) Número de árvores de uma certa espécie, por ha. Note que os possíveis valores que as variáveis descritas podem assumir são: 0, 1,...,. a Siméon-Denis Poisson, matemático Francês, 1781 1840.

Costa, S.C. 37 O comportamento dessas variáveis pode ser descrito pela chamada distribuição de Poisson. Função de Probabilidades: A função de probabilidades de uma variável Y com distribuição Poisson, Y P ois(λ) é dada por: P (Y = y) = e λ y! λ y, y = 0, 1,... em que λ é igual ao número médio de ocorrências do evento de interesse por unidade de tempo, distância, área,... Notação: Y P oi(λ). O gráfico gerado pela função de probabilidades de uma distribuição de Poisson, para λ = 4, é apresentado na Figura 4. Obs.: Para valores de Y maiores que 12, com λ = 4, as probabilidades tendem a zero.

Costa, S.C. 38 0.20 0.15 Probabilidades 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Figura 4: Gráfico da distribuição de Poisson, cuja média (λ) é 4,0. Os pressupostos básicos para a utilização do modelo são: x

Costa, S.C. 39 1) as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; 2) intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo. A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição Poisson P ois(λ) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = λ e V (Y ) = λ

Costa, S.C. 40 Exemplo 1: Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a 0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes: a) três animais b) dois animais ou mais Exemplo 2: Um pesquisador está interessado no número de ovos depositados por uma espécie de pássaro. Na primavera, ele procura e acha 80 ninhos. O número médio de ovos por ninho foi 3,8 e a variância foi 3,1. Porque a variância é aproximadamente igual á média, ele acha que pode ser razoável descrever o número de ovos por ninho como tendo uma distribuição Poisson com média 3,8. a) Construa o gráfico dessa distribuição de probabilidades; b) Se esta realmente representa a distribuição populacional, qual seria a probabilidade de não encontrar ovo num ninho? c) Qual seria a probabilidade de encontrar um ninho com mais que 5 ovos? d) Qual a probabilidade de encontrar de 3 a 6 ovos?

Costa, S.C. 41 Exemplo 3: O número de consultas médicas anuais (Y) de um associado de um plano de saúde é, naturalmente, um número finito. Uma aproximação, que simplifica a especificação de sua distribuição, é supor que Y pode assumir qualquer valor do conjunto {0, 1, 2,... }. Em um plano de saúde com 5.694 filiados, ao fim de um ano, foram realizadas 13.098 consultas, de acordo com a Tabela 3. Tabela 3: Número de consultas realizadas pelos associados. Número de consultas Frequências Número de consultas Frequências 0 589 5 304 1 1.274 6 126 2 1.542 7 39 3 1.144 8 10 4 663 9 3 Pede-se: a) Especifique o modelo de Poisson para esses dados. b) Qual a probabilidade de se ter 7 consultas ou mais? c) Compare os valores observados com o esperado pelo modelo.

Costa, S.C. 42 Distribuição Geométrica Destinada ao cálculo de probabilidades de situações em que são feitas sucessivas tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório até que apareça o 1 o sucesso. As principais características da distribuição geométrica são: a) experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso; b) a variável aleatória é o número de falhas até obter o primeiro sucesso. Assim, se designarmos S como sucesso e F como fracasso, e realizarmos n ensaios até que ocorra o primeiro sucesso, o espaço amostral deste experimento será o conjunto: Ω = {S, F S, F F S,..., F F F S,...} c) as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p;

Costa, S.C. 43 Função de Probabilidade Y é o número de falhas até obter o primeiro sucesso; as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; A função de probabilidade é dada por: P (Y = y) = (1 p) y p y = 0, 1, 2,... Notação: Y G(p). A esperança e a variância de uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica é dada por: E(Y ) = 1 p p e V (Y ) = 1 p p 2

Costa, S.C. 44 Exemplo 1: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Exemplo 2: Um casal com problemas para engravidar, recorreu a uma técnica de inseminação artificial no intuito de conseguir o primeiro filho. A eficiência da referida técnica é de 0, 40. Qual a probabilidade de que o casal obtenha êxito na terceira tentativa?

Costa, S.C. 45 Distribuição Hipergeométrica Exemplo: Em uma sala há 40 alunos, dos quais 32 são mulheres. Serão selecionados 5 alunos para um estágio. Qual a probabilidade de que 4 sejam homens? Exemplo: Num canil para adoção há 20 animais, dos quais 15 são SRD (Sem Raça Definida). Todo final de semana são adotados 4 animais. Qual a probabilidade de, no próximo final de semana, serem adotados 3 animais SRD? Construa a distribuição de probabilidades para SRD. Exemplo: Um baralho de cartas tem 4 naipes de 13 cartas: espadas, paus, ouros e copas. a) Qual é a probabilidade de que em uma mão de 5 cartas exatamente 3 sejam paus? b) Qual é a probabilidade de que em uma mão de 5 cartas exatamente 3 sejam do mesmo naipe?

Costa, S.C. 46 As principais características da distribuição hipergeométrica são: a) a distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se baseia em amostragem feita sem reposição; b) Este tipo de modelo surge da contagem de objetos de certo tipo, retirados ao acaso e sem reposição, de um conjunto contendo dois tipos de objetos. Esquematicamente, teremos: n elementos { m Tipo 1 n m Tipo 2 r amostras { k Tipo 1 r k Tipo 2

Costa, S.C. 47 Assim, há ( m k ) formas diferentes de se escolher k elementos em m do Tipo 1. Da mesma forma, haverá ( n m r k ) formas diferentes de se escolher (r k) elementos em (n m) do Tipo 2. Logo, o número de resultados favoráveis ao evento que se quer estudar será dado por: ( )( ) m n m k r k O número total de resultados possíveis será dado por: ( ) n r

Costa, S.C. 48 Função de Probabilidade Se a população tem n elementos, m de um tipo e (n m) de outro e é retirada uma amostra de r elementos, sem reposição, a função de probabilidade é dada por: ( m )( n m ) k r k P (Y = k) = ( n, k = 0, 1,..., min(r, m) r)

Costa, S.C. 49 A esperança e a variância de uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica é dada por: E(Y ) = r m V (Y ) = m [ (n m) 1 r 1 ] n n n n 1 e

Costa, S.C. 50 Exemplo: Em uma sala há 40 alunos, dos quais 32 são mulheres. Serão selecionados 5 alunos para um estágio. Qual a probabilidade de que 4 sejam homens?

Costa, S.C. 51 Exemplo: Num canil para adoção há 20 animais, dos quais 15 são SRD (Sem Raça Definida). Todo final de semana são adotados 4 animais. Qual a probabilidade de, no próximo final de semana, serem adotados 3 animais SRD? Construa a distribuição de probabilidades para SRD.

Costa, S.C. 52 Exemplo: Probabilidades de acerto na megasena.

Costa, S.C. 53 1. Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena? 2. Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8 números?