Aula: Equações diferenciais lineares de ordem superior Profa. Ariane Piovezan Entringer DMA - UFV
Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n a n (x) d n y dx + a n n 1 (x) d n 1 y dx n 1 y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0,1 y (x 0 ) = y 0,2... y (n 1) (x 0 ) = y 0,n 1, onde y 0, y 0,1,..., y 0,n 1 são constantes. + + a 1 (x) dy dx + a 0(x)y = g(x) Teorema [Existência e Unicidade de Solução] Sejam a n ( ), a n 1 ( ),..., a 1 ( ), a 0 ( ), g( ) funções contínuas em um intervalo I com a n ( ) 0 para todo x em I. Se x 0 I, então existe uma única solução y = y(x) para o PVI acima no intervalo I.
Exemplo: Solução. 3y + 5y y + 7y = 0 y(1) = 0 y (1) = 0 y (1) = 0
Dependência e Independência Linear Um conjunto de funções f 1, f 2,, f n é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes c 1, c 2,, c n não todas nulas tais que para todo x I. c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x) = 0, Se o conjunto f 1, f 2,, f n não é linearmente dependente no intervalo, dizemos que este conjunto é linearmente independente (L.I.). Exemplo.
Critérios para independência linear de funções Sejam f 1 ( ), f 2 ( ),, f n ( ) funções diferenciáveis até a ordem n 1 (pelo menos). Se o determinandte (Wronskiano) f 1 f 2 f n f 1 f 2 f n W (f 1 (x), f 2 (x),, f n (x)) = f 1 f 2 f n... f (n 1) 1 f (n 1) 2 f n (n 1) for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções f 1, f 2,, f n são linearmente independentes neste intervalo. Exemplo.
Princípio da Superposição - Eq. Homogêneas Sejam y 1, y 2,, y k soluções para a EDO linear de ordem n homogênea a n (x) d n y dx n + a n 1(x) d n 1 y dx n 1 + + a 1(x) dy dx + a 0(x)y = 0 (1) em um intervalo I. Então a combinação linear y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c k y k (x), com c i constante arbitrátia para cada i = 1, 2,, k, é também solução no intervalo. O conjunto de soluções y 1, y 2,, y n, com n soluções para a EDO linear homogênea acima é L. I. se, e somente se, W (y 1,, y n ) 0, x I.
Qualquer conjunto y 1, y 2,, y n, com n soluções linearmente independentes para a EDO linear homogênea de ordem n é chamado conjunto fundamental de soluções desta EDO no intervalo I. Teorema Toda solução Y (x) para (1) é uma combinação linear de n soluções L. I., y 1, y 2,, y n. Ou seja, existem constantes c 1,, c n tais que Y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x). Teorema Existe um conjunto fundamental de soluçõe para a EDO (1) em um intervalo I.
Portanto, A solução geral para a EDO (1) no intervalo I é definida por y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) onde c 1,, c n são constantes arbitrárias e y 1, y 2,, y n são soluções de (1) linearmente independentes no intervalo I. Exemplo.
Equações lineares não homogêneas a n (x) d n y dx n + a n 1(x) d n 1 y dx n 1 + + a 1(x) dy dx + a 0(x)y = g(x) (2) Definição Seja y p uma solução para a EDO (2) em um intervalo I. A solução geral para esta EDO no intervalo I é definida por y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) + y p (x) = y c (x) + y p (x). Exemplo.
Princípio de superposição Teorema [Princípio da Superposição - Equações não homogêneas] Seja y pi uma solução particular para a equação diferencial ordinária de n-ésima ordem a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g i (x), em um intervalo I, para cada i = 1, 2, k. Então é uma solução particular para y p = y p1 (x) + y p2 (x) + + y pk (x) a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) + +a 1 (x)y +a 0 (x)y = g 1 (x)+g 2 (x)+ +g k (x).
Exemplo Verifique que y p1 = 4x 2 é uma solução particular para y 3y + 4y = 16x 2 + 24x 8, y p2 = e 2x é uma solução particular para y 3y + 4y = 2e 2x, y p3 = xe x é uma solução particular para y 3y + 4y = 2xe x e x. Assim, pelo Teorema anterior, é uma solução para y = y p1 + y p2 + y p3 = 4x 2 + e 2x + xe x y 3y + 4y = 16x 2 + 24x 8 + 2e 2x + 2xe x e x.
Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0, (3) onde a i é constantes, para todo i = 0, 1, 2,, n. Assim como para equações lineares de ordem 1 e 2 homogêneas com coeficientes constantes, todas as soluções de (3) são funções exponenciais ou construídas a partir de funções exponenciais. Equação auxiliar Se tentarmos uma solução da forma y = e mx, substituindo y, y e y em (3), obtemos a equação auxiliar a n m n + a n 1 m n 1 + + a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0. (4)
Se todas as raízes de (4) são reais e distintas, então a solução geral para (3) é y = c 1 e m1x + c 2 e m2x + + c n e mnx. Os demais casos não são tão simples de resumir porquê as raízes de uma equação auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer com várias combinações. Por exemplo: Uma equação de grau 5 pode ter: cinco raízes reais e distintas, ou três raízes reais e distintas e duas raízes complexas, ou uma raiz real e quatro complexas, ou cinco raízes reais e iguais, ou cinco raízes reais, sendo duas iguais, etc.
Quando m 1 é uma raiz de multiplicidade k de uma equação auxiliar de grau n (isto é k raízes são iguais a m 1 ), pode ser mostrado que as soluções linearmente independnetes são e m1x, xe m1x, x 2 e m1x,, x k 1 e m1x e a solução geral tem de conter a combinação linear c 1 e m1x + c 2 xe m1x + c 3 x 2 e m1x + + x k 1 e m1x. Exemplos.
Equações lineares não homogêneas de ordem n - solução particular Coeficientes a determinar Análogo ao aplicado às EDOs lineares de 2 a ordem não-homogêneas. Pode-se utilizar o Teorema 10. Exemplos.
Equações lineares não homogêneas de ordem n - solução particular Variação dos Parâmetros Pode-se generalizar o que fizemos para EDOs lineares de 2 a ordem não-homogêneas, desde que coloque-se a EDO (3) na sua forma padrão y (n) + P n 1 (x)y (n 1) + + P 1 (x)y + P 0 (x)y = f (x). (5) Se y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + + c n y n é a função complementar de (5), então uma solução particular é y p = u 1 (x)y 1 + u 2 (x)y 2 + + u n (x)y n, em que os u k s são determinados pelas n equações
y 1 u 1 + y 2 u 2 +... + y n u n = 0 y 1u 1 + y 2u 2 +... + y nu n = 0. y (n 1) 1 u 1 + y (n 1) 2 u 2 +... + y n (n 1) u n = f (x). As primeiras n 1 equações são suposições feitas para simplificar as primeiras n 1 derivadas de y p. A última equação resulta da substiutição em (5) da derivada de ordem n de y p e as derivadas de ordem menor simplificadas.
Pela Regra de Cramer, obtemos u k = W k, k = 1, 2,... n, W em que W é o Wronskiano de y 1, y 2,..., y n e W k é o determinante obtido substituindo a k-ésima coluna do Wronskiano pela coluna 0 0. 0 f (x)
Equações Diferenciais com Coeficientes Variáveis Equação de Cauchy-Euler EDO da forma a n x n y (n) + a n 1 x n 1 y (n 1) + + a 1 xy + a 0 y = g(x), onde a i é constante para todo i = 0, 1, 2,, n. Método de solução Procurar solução da forma y = x m, onde m deve ser determinado. Substituindo y e suas derivadas até ordem n na equação acima, chegamos na equação auxiliar, que é um polinômio em m de grau n. Três casos possíveis: Raízes reais e distintas Neste caso, se m 1, m 2,, m n são as raízes da equação auxiliar,então as soluções da EDO são y = x m i, com i = 1, 2,, n. Raízes reais e repetidas Raízes complexas Estes dois últimos casos não são tão simples, pois dependem da multiplicidade das raízes e etc.
Exemplo: Resolva x 3 y + 5x 2 y + 7xy + 8y = 0. Solução. Observação: Para resolver uma equação de Cauchy-Euler não-homogênea, usa-se o método de variação de parâmentros, uma vez que o método dos coeficientes a determinar não se aplica, em geral, a equações com coeficientes variáveis.
Referências Bibliográficas Zill, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. 2 a Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2014. Zill, Dennis G., Cullen, Michael R. Equações diferenciais, vol. 1, 3 a Edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.