Equações do Movimento

Equações do Movimento João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 1 / 43

Sumário Referenciais Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Matrizes de rotação Velocidades angulares Equações de Euler Equações do movimento Forças aplicadas Equações do movimento no referencial do avião Resumo Flight Path Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 2 / 43

Referenciais Sumário Referenciais Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Matrizes de rotação Velocidades angulares Equações de Euler Equações do movimento Forças aplicadas Equações do movimento no referencial do avião Resumo Flight Path Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 3 / 43

Referenciais Referenciais: fixo na Terra e do avião F E (Ox E y E z E ) : referencial «inercial», fixo na Terra; (supõe-se Terra plana e g vertical, segundo z E ) F B (Cxyz) : referencial com origem no centro de massa da aeronave e que se move solidário com ela; João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 4 / 43

Referenciais Definições Podemos usar referenciais diferentes para medir/definir o vector e para escrever as suas componentes. V a b o expoente a identifica o referencial relativamente ao qual medimos o vector o índice b identifica o referencial no qual escrevemos as componentes do vector João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 5 / 43

Referenciais Exemplos Velocidade relativamente à Terra: V E V E E = (ẋ E, ẏ E, ż E ) V B E = (u E, v E, w E ) «Airspeed»: V B = (u, v, w) Note-se que, se o vento tiver velocidade W, V E = V + W João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 6 / 43

Ângulos de Euler Sumário Referenciais Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Matrizes de rotação Velocidades angulares Equações de Euler Equações do movimento Forças aplicadas Equações do movimento no referencial do avião Resumo Flight Path Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 7 / 43

Ângulos de Euler Orientação relativa dos referenciais Orientação relativa dos dois referenciais (F E fixo na Terra e F B solidário com o avião): Ângulos de Euler Muitas definições possíveis. Em Aeronáutica: guinada (yaw), picada/cabragem (pitch), pranchamento ou rolamento (banking, rolling). João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 8 / 43

Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Ângulos de Euler: ângulo de guinada ψ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 9 / 43

Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Ângulos de Euler: ângulo de picada/cabragem θ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 10 / 43

Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Ângulos de Euler: ângulo de pranchamento φ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 11 / 43

Ângulos de Euler Matrizes de rotação Rotação em torno do eixo Ox z 1 0 0 L x (α) = 0 cos α sin α 0 sin α cos α α α y x João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 12 / 43

Ângulos de Euler Matrizes de rotação Rotação em torno do eixo Oy z β cos β 0 sin β L y (β) = 0 1 0 sin β 0 cos β x β y João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 13 / 43

Ângulos de Euler Matrizes de rotação Rotação em torno do eixo Oz z cos γ sin γ 0 L z (γ) = sin γ cos γ 0 0 0 1 γ x γ y João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 14 / 43

Ângulos de Euler Matrizes de rotação Rotação: referencial Terra para referencial do avião Matriz de rotação do referencial fixo na Terra F E para o referencial fixo na aeronave F B : L BE = L x (φ) L y (θ) L z (ψ) Transformação de vectores: V B = L BE V E João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 15 / 43

Ângulos de Euler Matrizes de rotação Rotação: referencial do avião para referencial Terra Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave F B para o referencial fixo na Terra F E : L EB = L 1 BE = L z( ψ) L y ( θ) L x ( φ) Transformação de vectores: V E = L EB V B João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 16 / 43

Ângulos de Euler Matrizes de rotação Rotação: referencial Terra para referencial do avião (2) Matriz de rotação do referencial fixo na Terra F E para o referencial fixo na aeronave F B : L BE = L x (φ) L y (θ) L z (ψ) = cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ = sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ sin φ cos θ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ cos φ cos θ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 17 / 43

Ângulos de Euler Matrizes de rotação Rotação: referencial do avião para referencial Terra Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave F B para o referencial fixo na Terra F E : L EB = L 1 BE = L z( ψ) L y ( θ) = cos θ cos ψ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ = cos θ sin ψ sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ sin θ sin φ cos θ cos φ cos θ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 18 / 43

Ângulos de Euler Velocidades angulares Velocidade angular Nos eixos do corpo Por outro lado ω = p i B + q j B + r k B ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B Mas, pela definição dos ângulos de Euler: i 3B = i B j 2B k 1B = cos φ j B sin φ k B = cos θ(sin φ j B + cos φ k B ) sin θ i B João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 19 / 43

Ângulos de Euler Velocidades angulares Velocidade angular (2) Usando i 3B j 2B k 1B = i B = cos φ j B sin φ k B = cos θ(sin φ j B + cos φ k B ) sin θ i B em ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B obtém-se ω = ψ k 1B + θ j 2B + φ i 3B = ψ[cos θ(sin φj B + cos φk B ) sin θi B ]+ θ[cos φj B sin φk B ] + φ i B = ( φ ψ sin θ) i B + ( ψ cos θ sin φ + θ cos φ) j B + + ( ψ cos θ cos φ θ sin φ) k B João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 20 / 43

Ângulos de Euler Velocidades angulares Velocidade angular (3) Logo ( ω) B = p i B + q j B + r k B = ( φ ψ sin θ) i B + ( ψ cos θ sin φ + θ cos φ) j B + + ( ψ cos θ cos φ θ sin φ) k B p = φ ψ sin θ q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ r = ψ cos θ cos φ θ sin φ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 21 / 43

Equações de Euler Sumário Referenciais Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Matrizes de rotação Velocidades angulares Equações de Euler Equações do movimento Forças aplicadas Equações do movimento no referencial do avião Resumo Flight Path Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 22 / 43

Equações de Euler Equações do movimento Equações do movimento no referencial inercial Equação da dinâmica de translação: [ ] d f = m dt ( V E ) Equação da dinâmica de rotação: [ ] d G C = dt ( h C ) F E F E f : força resultante G C : momento resultante relativo ao CM do avião hc : momento angular relativamente ao CM do avião João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 23 / 43

Equações de Euler Equações do movimento Equações do movimento no referencial do avião O referencial do avião é um referencial em rotação com velocidade angular ω. Equação da dinâmica de translação: [ ] ( f d ] ) B = m dt ( V E ) = m [( V E ) B + ( ω) B ( V E ) B F E Equação da dinâmica de rotação: [ ] ] d ( G C ) B = dt ( h C ) [( hc ) B + ( ω) B ( h C ) B F E = João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 24 / 43

Equações de Euler Forças aplicadas Forças aplicadas a uma aeronave Principais forças externas aplicadas: força gravítica: m( g) B forças aerodinâmicas: A força de propulsão: T João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 25 / 43

Equações de Euler Forças aplicadas Forças Força gravítica: ( g) B = [L BE ][( g) E ] = [ cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ sin φ sin θ sin ψ+cos φ cos ψ sin φ cos θ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ cos φ cos θ m( g) B = mg ( sin θ i B + cos θ sin φ j B + cos θ cos φ k B ) ][ ] 0 0 g Forças aerodinâmicas e de propulsão: ( A) B + ( T ) B = X i B + Y j B + Z k B João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 26 / 43

Equações de Euler Equações do movimento no referencial do avião Equação da dinâmica de translação [ ] ( f d ] ) B = m dt ( V E ) = m [( V E ) B + ( ω) B ( V E ) B F E No referencial do avião: ( V E ) B = u E ib + v E jb + w E kb ( ω) B = p i B + q j B + r k B Logo X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 27 / 43

Equações de Euler Equações do movimento no referencial do avião Equação da dinâmica de rotação Equação da dinâmica de rotação: [ ] ] d ( G C ) B = dt ( h C ) [( hc ) B + ( ω) B ( h C ) B F E = ( G C ) B = L i B + M j B + N k B ; [( h C ) B ] = [I B ][( ω) B ] I xx I xy I xz Matriz de inércia: [I B ] = I xy I yy I yz I xz I yz I zz em que I xx = (y 2 + z 2 )dm, etc. e I xy = xydm, etc. João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 28 / 43

Equações de Euler Equações do movimento no referencial do avião Equação da dinâmica de rotação (2) Depois de efectuadas todas as operações, obtém-se: L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 29 / 43

Equações de Euler Resumo Resumo das equações do movimento X mg sin θ = m( u E + qw E r v E ) Y + mg cos θ sin φ = m( v E + r u E pw E ) Z + mg cos θ cos φ = m(ẇ E + pv E qu E ) L = I xx ṗ I yz (q 2 r 2 ) I zx (ṙ + pq) I xy ( q r p) (I yy I zz )qr M = I yy q I zx (r 2 p 2 ) I xy (ṗ + qr ) I yz (ṙ pq) (I zz I xx )r p N = I zz ṙ I xy (p 2 q 2 ) I yz ( q + r p) I zx (ṗ qr ) (I xx I yy )pq p = φ ψ sin θ q = ψ cos θ sin φ + θ cos φ r = ψ cos θ cos φ θ sin φ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 30 / 43

Equações de Euler Resumo Resumo das equações do movimento Sistema de equações diferenciais 9 equações 9 incógnitas (u, v, w, p, q, r, ψ, θ, φ) Sistema não linear Equações acopladas Simplificação: se a aeronave é simétrica, I xy = 0 = Iyz João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 31 / 43

Flight Path Sumário Referenciais Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Matrizes de rotação Velocidades angulares Equações de Euler Equações do movimento Forças aplicadas Equações do movimento no referencial do avião Resumo Flight Path Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 32 / 43

Flight Path Flight path A trajectória é determinada no referencial da Terra, F E. Mas V E E = (ẋe, ẏ E, ż E ) V B E = (ue, v E, w E ) u E, v E e w E obtidos pelas equações do movimento [ V E E ] = [L EB][ V B E ] Daqui obtém-se o sistema de equações para a trajectória. João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 33 / 43

Flight Path Flight path Sistema de equações diferenciais para as coordenadas: ẋ E = u E cos θ cos ψ + v E (sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ)+ w E (cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ) ẏ E = u E cos θ sin ψ + v E (sin φ sin θ sin ψ + cos φ cos ψ)+ w E (cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ) ż E = u E sin θ + v E sin φ cos θ + w E cos φ cos θ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 34 / 43

Rotores em movimento Sumário Referenciais Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Matrizes de rotação Velocidades angulares Equações de Euler Equações do movimento Forças aplicadas Equações do movimento no referencial do avião Resumo Flight Path Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 35 / 43

Rotores em movimento Efeito de rotores Mesmo desprezando os efeitos de elasticidade, um avião não é um corpo rígido. Exemplo de partes em movimento: Hélices (motores a hélice) Turbinas e compressores (motores a jacto) Como introduzir o efeito dos rotores nas equações de Euler? João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 36 / 43

Rotores em movimento Equações de Euler quando há rotores Somamos [( h C ) B ] = [I B ][( ω) B ] + [ h B ] h B : momento angular dos rotores (devido ao seu movimento de rotação relativo ao avião). [I B ][( ω) B ]: momento angular do avião e usamos o novo momento angular na equação para a dinâmica de rotação: [ ] ] d ( G C ) B = dt ( h C ) [( hc ) B + ( ω) B ( h C ) B F E = João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 37 / 43

Rotores em movimento Equações de Euler quando há rotores Logo, aparecem os seguintes termos adicionais na equação dos momentos: Na equação segundo x: Na equação segundo y: Na equação segundo z: qh z r h y r h x ph z ph y qh x (Nota: admitimos que a velocidade angular dos rotores é constante) João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 38 / 43

Sistemas de eixos do corpo Sumário Referenciais Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler Matrizes de rotação Velocidades angulares Equações de Euler Equações do movimento Forças aplicadas Equações do movimento no referencial do avião Resumo Flight Path Rotores em movimento Sistemas de eixos do corpo João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 39 / 43

Sistemas de eixos do corpo Sistemas de eixos Podemos usar qualquer sistema de eixos solidários com o corpo Na prática: xz no plano de simetria do avião Cx apontando «para a frente» Cz apontando «para baixo» Cy formando um triedro directo Ainda temos muitas possibilidades de escolha de Cx e Cz João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 40 / 43

Sistemas de eixos do corpo Sistemas de eixos: Cx linha de sustentação nula João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 41 / 43

Sistemas de eixos do corpo Sistemas de eixos principais de inércia Vantagens: h x = I x p I xy = I xz = I yz = 0 h y = I y q h z = I z r Nota: γ: ângulo de subida (ou de rota) João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 42 / 43

Sistemas de eixos do corpo Sistemas de eixos de estabilidade (x S, y S, z S ) Eixo dos x segundo a direcção do vector velocidade. Vantagens: α x = 0 w = 0 Novos momentos e produtos de inércia: I xs = I xp cos 2 ɛ + I zp sin 2 ɛ I zs = I xp sin 2 ɛ + I zp cos 2 ɛ I xs z S = 1 2 (I z P I xp ) sin 2ɛ João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 43 / 43