Matemática E Extensivo V. 8

Matemática E Extensivo V. 8 Resolva Aula 9 9.) D x + x 7x 6 = x = é raiz. Aula.) x + px + = Se + i é raiz, então i também é. 5 7 6 Soma = b a = p p = + i + i p = p = Q(x) = x + 5x + Resolvendo Q(x) =, temos: x' = ; x" = 9.) P(x) = x x + x + a P() = + + a = a = P(x) = x x + x Como é raiz, usamos Briott-Rufinni. Q(x) = x + Resolvendo Q(x) =, obtemos: x' = i; x" = i S = {, i, i} 9.) B x x x + 5x = x = 5 R = R = R = R =/ Como o resto foi nulo três vezes, x = é raiz tripla. Produto = c a = = ( + i). ( i) = + 6 = 7 Logo, p = 7 ( ) = 9.) C x 6x m x + = + x = Soma x x x = 6 c + x = 6 a x = 5 Substituindo, temos: 5 6. 5 m. 5 + = 5 5 5m + = 5m = 5 m = m =.) x 7x + mx 8 = x a) Raízes: P.G., x, x Produto: x. x. x = 8 x = 8 x = Substituindo, encontramos: 8 8 + m 8 = m = 8 m = b) Euação x 7x + x 8 = x = é raiz. 7 8 5 Q(x) = x 5x + Raízes: x =, x = e x = Matemática E

Aula.) a) x x 6x + = Pesuisando, achamos a raiz x =. Raiz racional p p é divisor de. é divisor de. p =,,, =,,, Possíveis raízes: p =,,,,,,, Pesuisando, encontramos a raiz x =. / 6 6 Q(x) = x 6 Resolvendo Q(x) =, temos: x = S =,, b) x + 5x + x + x 8 = p divide 8. divide. p =,,,,,, 8, 8 =,,, Possíveis raízes: p =,,,,,, 8, 8 Procurando, encontramos x = como raiz. 5 8 Q(x) = x x + x Vamos aplicar o mesmo teorema para obter as raízes de Q(x). p divide. divide. p =,, =, p =,,,,, / P(x) = x + Resolvendo, obtemos: x + = x = x = x = i S =,, i, i.) P(x) = x a)p(x) = x + 6 + 6x x x P(x) = x + x b) Como o coeficiente de x é, as possíveis raízes racionais são os divisores de, ou seja,, e. Procurando, encontramos a raiz x =. Q(x) = x + x + Resolvendo Q(x) =, temos: =.. = 5 x = 5 x = 5 i S =, 5 i, 5i Matemática E

Aula.) P(x) = x 6x a)p() = = P(5) = 5 = 55 Como p(). p(5) <, p(x) tem uma raiz real no intervalo (, 5). Logo, tem uma raiz menor do ue 5. b) x 6x = Pela pesuisa das raízes racionais, encontramos x = como raiz. 6 Q(x) = x + x + = 6.. = Assim, P(x) é negativo para x < e positivo para x >. Além disso, o eixo é cortado em P() =. x = x = 6 i x = 6 i S = {, + 6 i, 6 i} c) Pelo item b, temos: P(x) = (x ). (x + x + ) Vamos estudar o sinal de cada fator. = x e = x + x + d) Ineuação P(x) > Pelo item anterior, P(x) > para x >..) D f(x) = x x + x k f() = + k = k f() = 8 8 + 6 k = 6 k f(). f() < ( k).( 6 k) < +++++ +++ +++++ +++++ +++ +++ 6. +++++. +++ +++ 6 < k < 6 Matemática E

Testes Aula 9 9.) x x + x = Q(x) = x x + x' = ; x" = 7 S = {,, 7} 9.) x x 5x + 9 = 5 9 6 Q(x) = x 6x + = 6.. = 6 x = 6 6 x = 6 i x = i S = {, i} 9.) x x 7x + 6 = 7 6 6 Q(x) = x + x 6 x' = ; x" = S =,, 9.) x + x 7x + = Testando os elementos do conjunto,,, encontramos x = como raiz. 7 5 Q(x) = x + 5x x' = ; x" = S =,, 9.5) x x + x = Q(x) = x x + =.. = x = x = i S =, i 9.6) C x x + kx + t = Substituindo, obtemos: x = 6 k + t = k + t = x = 5 9 + k + t = k + t = 5 k t k t 5.( ) k t k t 5 5k = 65 k = t = 6 Substituindo na euação, temos: x x x 6 = Usando as raízes e, baixamos o grau por Ruffini: 6 5 Q(x) = x + x + = x = 9.7) x + x x = Q(x) = x x' = ; x" = S,, Matemática E

9.8) x 7x + 6 = 7 6 6 Q(x) = x + x 6 x' = ; x" = S = {,, } 9.9) x x + 5x 5x + 6 = 5 5 6 / 6 9 6 Q(x) = x x + x x + = x 7x + 6 = x' = ; x" = S =,,, 9.) P(x) = x 9x + 6x + x 6 e são raízes. 9 6 6 7 6 7 Q(x) = x 7x + x' = ; x" = S =,,, P(x) = (x + ). (x ). (x ). x 9.) D P(x) = x x = Se i é raiz, então i também é. Assim (x i). (x + i) = x + é um fator de P(x). x x x x x x + x + x Resolvendo x =, obtemos x =. S = { i, } 9.) P(x) = x + mx + x 6 a) é raiz P() = + m + 6 = m = b)p(x) = x + x + x 6 6 5 6 Q(x) = x + 5x + 6 x' = ; x" = S = {,, } P(x) = (x ). (x + ). (x + ) 9.) x + = Q(x) = x x + =.. = x = x = i S =, i 9.) P(x) = 9x 6x + 9x 6 P(x) é divisível por x. P() = é raiz. 9 6 9 6 9 9 Q(x) = 9x 9x + x' = ; x" = S =,, 9.5) C P(x) = x x + 7x 6 Se x é um fator de P(x), então a raiz de x x também é raiz de P(x). / 7 6 Q(x) = x x + x x + = x 5x + 6 = x' = ; x" = S =,, Maior raiz: x = Matemática E 5

9.6) C x x x + 5x = 5 R = R = R = R =/ Como obtivemos três restos nulos, a multiplicidade da raiz x = é três. 9.7) x x + 8x 6x + 6 = 8 6 6 8 Q(x) = x + x' = i; x" = i S = {, i, i} 9.8) x x + 5x 96x + 6 = 5 96 6 8 6 Q(x) = x x + x' = x" = S = {, } 9.9) x 6x 8x = 6 8 5 Gabarito Q(x) = x x = x = S = {, } 9.) 7. Correta. P(x) = mx + x P( ) = + m + = m = m =. Correta. P(x) = x n a n P(a) = a n a n =. Correta. P(x) = x + x x x = = x. (x + ) x. (x + ) = = (x + ). (x x) = = (x + ). (x). (x ) = = x. (x + ). (x ). (x + ) G(x) = x. (x ). (x + ) Px ( ) x.( x ).( ).( ) Gx ( ) x.( ). ( x ) 8. Incorreta. x x + x = Independentemente das raízes, a soma é b =. a 6. Incorreta. x x + (p )x + p = p = x x = x. (x ) = (x ). (x ). (x ) = Zero é raiz dupla. = x + Aula.) D x x 7 = Soma: + x = Produto:. x = 7 ( + x ) = x +. x + x ( + x ). x = + x. ( 7) = + x = + x.) E ax x 6 = Substituindo x =, temos: 6a 6 6 = 6a = a = x x 6 = x x 8 = Soma x' + x" = + x" = x" = 6 Matemática E

.) A ax + ax + = Seja r a raiz de multiplicidade. Então: ax + ax + = a. (x r) = = a. (x xr + r ) = = ax arx + ar = = ar a.7) C x x + kx + t = + x + x = + + x = x = r = e ar = a = a =.) C x + bx + = Raízes: e x. x = x + x + = Raízes: e x. x = + x = = + 7; x = x + 7. x = ( + 7). ( x + 7) = x + 7 + 7 x + 9 = + 7. ( + x ) + 9 = 7. ( ) + 9 7 = 9 = 7.5) B x x + x = x. (x ) +. (x ) = (x + ). (x ) = x + = x = x = i ou x = x = S = {, i}.6) x 7x + x = Raízes:, x, + x + = 7 + x = 7 + x = 6 + x = 8 x =.8) C x 6x x + = a + b + 5 = 6 a + b =.9) C x 9x + x = Produto = =.) D 9x x = Raízes: p,, Usando Ruffinni, obtemos: 9 9 8 5 9x + 8x + 5 = tem p e como raízes. Soma: p + = Produto: p. = 5 9 p + = (p + ) = ( ) p + p + = p + = p p + =. 5 9 p + = 9 p + = 6 9.) Verdadeira. x x x x x x = x + x + 6x x x x = x 8x + 6x = Soma: 8.) E x + mx 6x + = Raízes opostas: = r; x = r Soma: m x + r r = m x = m Matemática E 7

Substituindo essa raiz na euação, m m 6m m 6.) P(x) = x x + m a)raízes: P.A. (x r, x, x + r) Soma = x r + x + x + r = x = x = Substituindo em P(x), encontramos: + m = m = b) x x + = Por Ruffinni, temos: 8 Matemática E x x = =.. ( ) = x = x = x = S = {, }.) x x 6x + 9 = Raízes: x r, x, x + r Soma = x r + x + x + r = x = x = Baixando o grau, obtemos: 6 9 8 8 x 8x 8 = x' = ; x" = S = {,, }.5) x 9x + 6x + a = Raízes: x, x, x + Soma = 9 x + x + x + = 9 x = 9 x = Substituindo na euação, encontramos: 7 9. + 6. + a = 7 8 + 78 + a = a =.6) D x x x + = Raízes simétricas: = r; x = r Soma: r r + x = x =.7) C x 9x + x 5 = Raízes: x r, x, x + r Soma = 9 x r + x + x + r = 9 x = 9 x = Baixando o grau, temos: 9 5 6 5 x 6x + 5 = x' = ; x" = 5 S = {,, 5} Menor raiz: x =.8) C x 6x + kx + 6 = Raízes: x, x, x Produto: 6 x. x. x = 6 x = 6 x = Substituindo na euação, obtemos: 6 6. 6 k + 6 = 96 = k k =.9) E x + ax + bx + c = Raízes: x, x, x Produto: c x. x. x = c x = c x = c Substituindo na euação, encontramos: c + a. c + b. c + c = c + a c + b c + c = a c b c a c c c. c = b a = b = = b c a c = b a a c b =

.) 6. Incorreta. P(x) = x 5x + 5x 5x Substituindo x =, temos: P() = 5 + 5 5 = 6 Seria raiz se P() =. Correta. x + ax + bx + = As relações de Girard são satisfeitas com,,. + x + x = a + = a a =. x +. x + x. x = b. ( ) +. + ( ). = b + = b b =. x. x =. ( ). = Conclusão: Se tomarmos a = e b =, os números, e serão raízes da euação x + ax + bx + =.. Correta. x + x tem grau ímpar e todos os coeficientes são reais. 8. Incorreta. f(x) = x + mx 5 Para m =, encontramos: f(x) = x + x 5 f() = 7 + 5 Logo f(x) não é divisível por x..) E x + mx + x + n = Se + i é raiz, então i também é. Raízes: = + i; x = i; x = r Relação de Girard:. x +. x + x. x = ( + i). ( i) + ( + i). r + ( i). r = + + r + ri + r ri = r = r = + x + x = m + i + i = = m m =. x. x = n ( + i). ( i). = n n =.) B x x + mx = Raízes: = + i; x = i; x = r Usando Girard, obtemos: + x + x = + i + i + r = r = r = Substituindo x =, encontramos:. 8. 7 9 + m. 8 9 56 9 + m = 8 56 6m 9 9 9 6m = 8 m =.) C x 8px + x = Raízes: = ; x = ; x = r Utilizando Girard, temos:. x +. x + x. x =. +. r +. r = r = r = + x + x = 8p + + = 8p = p =.) E x 5x + ax + b = Raízes: = ; x = ; x = r Empregando Girard, obtemos: + x + x = 5 + + r = 5 r =. x. x = b.. = b b = Substituindo x =, encontramos: 5 + a + b = + a = a = 8 Logo, b = 8 = a.5) C P(x) = x + Ax + 675 Raízes: = p; x = p; x = Usando Girard, obtemos: + x + x = b a p + p + = p + = = p. x. x = d a p. p. = 675 p. ( p) = 675 p = 675 p = 75 p = 5 Logo, =. Matemática E 9

.6) B x + 5x + 5x x + = Soma: b = 5 a.7) B x x x + x = Soma: b = a.8) 7x 5 x + 9x x + 5 = Soma: b = a.9) B x + ax + bx + cx + d = Raízes: = i x = + i x = + i x = i. x. x. x = d ( i). ( + i). ( + i). ( i) = d 5. = d 65 = d.) D x 7x + 8x x = Raízes: = i x = + i x p x reais. x. x. x = ( i). ( + i). p. = ( + i). p. = p. = p. =.) x x + 7x = Raízes: a, b, c a + b + c = ab + ac + bc = 7 a. b. c = A nova euação, com raízes = a + ; x = b + ; x = c +, admitirá: + x + x = a + + b + + c + = = a b c + = = + = 5 (I). x +. x + x. x = = (a + ). (b + ) + (a + ). (c + ) + (b + ).. (c + ) = = (ab+ a + b +) + (ac + a + c + ) + (bc + b + c + ) = = ab ac bc a b c.( ) = = 7 +. + = = (II). x. x = (a + ). (b + ). (c + ) = = (ab + a + b + ). (c + ) = = abc + ab + ac + a + bc + b + c + = = abc ab ac bc a b c = = + 7 + + = = (III) Usando I, II e III, criamos a euação: x 5x + x =.) E P(x) = cx + ax + bx + c Raízes: = x = x = r. x. x = c c.. x = x =.) P(x) = x x + 5x + d. Incorreto. P() = + 5 + d = d =. Correto. Se d =, então: P(x) = x x + 5x x x + 5x = x. (x x + 5) = x = ou x x + 5 = = 6 = x = i = i. Correto. P(x) = x x + 5x + d Raízes: a, b, c Usando Girard, obtemos: ab + ac + bc = 5 S t =. (ab + ac + bc) = =. 5 = = 8. Correto. Para d =, temos: P(x) = x x + 5x P() = + 5 = Matemática E

6. Incorreto. P(x) = x x + 5x + d independentemente de a = + d.) B x x + x = = i x = i x = r Soma: i i r P(a )=(a ). (a ) +5. (a ) +d = r =.5) Na euação x x + 5x =, temos: a + b + c = 5 e abc = Logo: log ab bc ac = c a b = log abc = 5 +d 5 = log = = log = =.6) A x rx + = Substituindo as raízes a, b e c, encontramos: a ra b rb c rc a + b + c r. (a + b + c) + 6 = a + b + c r. + 6 = a + b + c = 6.7) x + x + 5 = Se a, b, c e d são raízes, então: a a 5 b b 5 c c 5 d d 5 a + b + c + d +. (a + b + c + d) + = a + b + c + d +. = a + b + c + d = Aula.) D x x + x = Possíveis raízes racionais: p divide p =,. divide p =,. "Candidatos" a raízes: p =,, A única alternativa em ue encontramos valores entre os "candidatos" é a d..) a) x x = Como o coeficiente do termo dominante é, as possíveis raízes racionais são os divisores do termo independente:,,. Testando (por Ruffini), obtemos x = como raiz. x + x + = =.. = x = x = i x = i S = {, + i, i} b) x 7x + 6 = Pela mesma justificativa do item a, as possíveis raízes racionais são,,, 6. Pesuisando, encontramos a raiz x =. 7 6 6 x + x 6 = x' = x" = S = {,, } Matemática E

c) x 9x + 6x = Pela mesma justificativa da letra a, as possíveis raízes racionais são:,,,, 6, 8,,. Procurando, achamos a raiz x =. 9 6 7 x 7x + = x' = ; x" = S = {,, } d) x + x + 8x + 9 = p divide 9 p =,, 9. divide p =,. Possíveis raízes racionais: p =,,,, 9, 9 Pesuisando, encontramos a raiz x =. 8 9 9 9 x + 9x + 9 = x' = ; x" = S =,, e) (x ) = x x. x. +. x. = x x 6x + x 8 = x x 6x + x = "Candidatos" a raízes racionais:,,,, 6,. Procurando, achamos x = como raiz. 6 x x + = = 9.. = 7 x = 7 i S =, 7 i.) a) x x + = = 6.. = x = x = x = S = { +, } b) x + x x = x. (x + x ) = x = ou x + x = =.. ( ) = x = x = 5 x = 5 S = {, + 5, 5 } c) x + x = Substituição: x = + = ' = ; " = x = x = i x = x = S = {i, i,, }.) B 5x 5x 5x = 5 x x x = "Candidatos" a raízes racionais:,, Pesuisando, encontramos x = como raiz. x + x + = =.. = x = x = i S =, i.5) B x x + = Pesuisa de raízes racionais: p divide p =. divide =,,. Possíveis raízes: p =,, x = é raiz. Matemática E

x x + = = 6.. = x = 8 x' = x" = S =,.6) a) x x + x x + = Possíveis raízes racionais: x = é raiz. x x + x = x. (x ) + x = (x + ). (x ) = x + = x = i ou x = x = S = {, i, i} b) x 5x 5x + x = p divide p =,,,, 6,. divide =,. "Candidatos" a raízes: p =,,,,,, 6, x = é raiz. 5 5 8 x x 8x + = x. (x ). (x ) = (x ). (x ) = x = x = ou x = x = S =,,, c) x x x + x + = "Candidatos" a raízes:,, x = é raiz. x x x + = x. (x ). (x ) = (x ). (x ) = x = x = ou x = x = S = {,,, }.7) P(x) = x 9x + 6x + x 6 Pesuisa das raízes racionais: p divide 6 p =,,, 6. divide =,. Possíveis raízes: p =,,,,, 6 x = é raiz. 9 6 6 7 6 x x + 7x 6 = Nessa euação, como a e a n são os mesmos de P(x), os "candidatos" a raízes serão também os mesmos. p =,,,,, 6 x = é raíz. 7 6 7 x 7x + = x' = ; x" = S =,,, Logo: P(x) =. (x + ). (x ). (x ). x.8) A x + 8 = x = é raiz (teorema das raízes racionais). 8 x x + = =.. = x Matemática E

i x i S, i, i.9) x 5 x 6x + 6x + 8x 8 = x. (x ) 6x. (x ) + 8. (x ) = (x ). (x 6x + 8) = x = x = ou x 6x + 8 = x = 6 + 8 = ' = " = para x x para x x S,,,,.) C x 8x + 9x x = x. (x 8x + 9x ) = x = ou x 8x + 9x = Possíveis raízes:,,,, 6, x = é raiz. 8 9 7 x 7x + = x' = ; x" = S = {,,, } Soma dos fatoriais:! +! +! +! = = + + 6 + = =.) C P(x) = x 6 8x 5 + x + x = x. (x 8x + x + ) = x = ou x 8x + x + = x = é raiz (teoremas das raízes racionais). 8 5 x 5x = x' = ; x" = S =,,,.) x + x = (x + ) + 7 x ( ).( ) + x = x + x + + 7 x ( ).( ).( ) = x + ; x ( x ) x + x + x + = x + x + x = x = é raiz (teorema das raízes racionais). 5 x + x + 5 = =.. 5 = 6 x = 6 x = i x = i S = {, + i, i}.) P(x) = x + 5x + 7x x Q(x) = x + x + x 5 Como p e tem uma raiz em comum, existe x ue satisfaz: x + 5x + 7x x = x + x + x 5 x + x + x x 5 = x = é raiz. 5 5 9 5 Como P() = e Q() =, x = é raiz comum. Raízes de Q(x): 5 5 x + x + 5 = = 6.. 5 = x = x = i x = i Q(x): S = {, + i, i} Raízes de P(x): Matemática E

5 7 6 x + 6x + x + = x = é raiz. 6 5 x + x + 5 = x' = + i x" = i P(x): S = {,, + i, i} Raízes comuns de P e Q:, + i, i.) f(x) = x + x x + g(x) = f(x) f() g(x) = f(x) f() = x + x x + (8 + + ) = x + x x = Possíveis raízes:,, 5, x = é raiz. 5 x + x + 5 = = 9.. 5 = x = i S =, i.5), R ; ; a) Como as euações possuem uma raiz comum, existe x ue satisfaz. x x x ( ) = x x ( ) x + x. ( ) = x. ( x ) = x = ou x = x = + x = (*) Se x =, substituindo-o em x x ( + ) =, temos: ( + ) = = (Contraria a hipótese de.) Se x =, substituindo em x x ( + ) =, obtemos:. ( + ) =. ( + ) = = + = +. ( ) = Resolvendo essa euação do o grau e considerando a variável, encontramos: = ( ).. ( ) = + + 8 = + + = ( + ) = ( ) ( ) = ( ) ' = = (Contraria a hipótese.) " = = Logo, = b)em (*) do item a, substituiremos =, x = x = x = x =.6) C x x + 7x 5 = Possíveis raízes., 5 x = é raiz. 7 5 5 x x + 5 = =.. 5 = 6 x = 6 Matemática E 5

x = i x = i Módulo das raízes: = i = = 5 Maior módulo: 5.7) D x + ax + bx + = As possíveis raízes racionais são. Como há duas raízes racionais distantes, elas são x = e x =. Para x = + a + b + = Para x = + a b + = a b a b a = a = ; b = P(x) = x x x + x = x = x' = ; x" = ; x"' = P(x) = (x ). (x + ) Sinal de P(x) = (x ). (x + ): = (x ) ; = x + P(x) > para x >.8) P(x) = x 6x + 9x + 6x = Como a euação tem coeficientes racionais e + 5 é raiz, então 5 também será. Portanto P(x) é divisível por D(x) = [x ( + 5 )]. [x ( 5 )]. D(x) = x x + x 5 x x 5 + ( + 5 ). ( 5 ) = = x x + 5 = = x x Dividindo P(x) por D(x), obtemos: x 6x +9x +6x x +x +x x +x +6x x 8x 6x 5x x 5x +x + x x x x + 5 Q(x) Resolvendo Q(x) =, encontramos: x x + 5 = = 6.. 5 = x = i x = i S = { 5, i} +++ +++ + P(x) =. ++++ +++ ++++ +++ 6 Matemática E

Aula.) C x x + x = P() = + = P() = 8 8 + = Pelo teorema de Bolzano, existe raiz real no intervalo ], [..) D P(x) = x x x + x x = é raiz. / / / / x x + = x = é raiz. / / / x x + = P() > Existe raiz real em [, ].. Correta. Como o grau é e já existem duas raízes reais, (pelos itens 6 e ), concluímos ue a terceira raiz também é real. 8. Incorreta. Veja o item..5) P(x) = x + x + 5x + P( ) = 8 + + = + P() = P( ). P() < ( + ). < < + + < <.6) E P(x) = x x + x k P() = 8 8 + 6 k = 6 k P() = 7 8 + 9 k = 8 k P(). P() < ( 6 k).( 8 k) < a x' = x" = +++ 6 S =,,.) A P( ) > e P() > Pelo teorema de Bolzano, existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo ], [..) 5 x x + = x +. x x + =. Incorreta. Produto: d = a =. Incorreta. Soma: b = a = 6. Correta. P() = P() = + = P() > P() < Existe raiz real em [, ].. Correta. P() = P() = 8 8 + = P() <. +++ +++ 8 +++ +++ 6 8 6 < k < 8.7) P(x) x + x x a) x + x x = x. (x + x ) = x = ou x + x = x' = ; x" = S = {,, } b) Sinal de P(x) P(x) = ( x ).( ).( x ) P(x) =.. ++++ ++ ++ + +++ +++ +++ Matemática E 7

Esboço de P(x) Sinal +++ + +++ +++.8) a)p(x) = x 7x + x Raízes: x 7x + x = x. (x 7x + ) = x = ou x 7x + = x' = ; x" = 5 S = {,, 5} P(x) = ( x ).( x ).( x 5) Sinal de P(x) x + + +++ P(x) =.. 6 ++ ++ ++ x ++ + ++++ ++ +++ ++++ P(x) =.. + ++ +++ 5 + +++ 5 c) P(x) = x x + 9 Raízes: = x + 9 = ' = 9; " = x = 9 x = x = x = P(x) = (x ). (x + ). (x ). (x + ) P(x) = ( x 9).( ) Sinal ++ +++ 5 x b)p(x) = x x + x + 6 Raízes: x x + x + 6 = x. (x + ) +. (x + ) = ( x + ). (x + ) = x + = x = ou x + = x = Logo: P(x) =. (x + ). (x ). (x + ) P(x) = ( x ).( x ).( x ) ++ ++ ++ + + ++ P(x) =. ++ +++ ++ 9 ++ + + ++ x 8 Matemática E

.9) B P(x) = ax + bx + cx + d Como o gráfico intercepta o ponto (, ), então P() = d =. I. Incorreta. x' = ; x" = ; x"' = II. Correta. d = III.Incorreta Incorreta. Veja item I..) A f(x) = x + ax + bx + c Pelo gráfico, f() = f() = c = Além disso, f =. 7 8 7 + a. 9 + b. + = + 9 a + b + = 7 9a 6b 9a + 6b = 5 ( ) a + b = 5 (*) Como a soma é igual ao produto, então a c. a = c a = Substituindo em (*), obtemos:. + b = 5 b = b = Logo, a + b + c = + =.) E Pelo esboço do gráfico, x = é raiz de multiplicidade par e x = é raiz simples. Pelas alternativas apresentadas, é raiz dupla. Assim: P(x) = a. (x ). (x ) P(x) = a. (x x + ). (x ) P(x) = a. (x x x + x + x ) P(x) = a. (x x + 5x ) Como P() =, temos: P() = a. ( ) = a = Assim: P(x) =. (x x + 5x ) P(x) = x + x 5x +.) P(x) = x x + 5x + 6 a)p( + i) ( + i). ( + i) + 5. ( + i) + 6 = = ( + i). (+i). ( + i 9) + +5i + 6 = = ( + i). ( 5 + i). ( 5 + i) + 6 + 5i = = i 5i 6 i 6 5i = = + i é raiz de P(x). Já podemos cancluir ue, como os coeficientes de P(x) são reais, i também é raiz. b)p(x) = x x + 5x + 6 Raízes: + i, i, r Soma: b a i i r r = Logo, P(x) = (x + ). [x ( + i)]. [x ( i)] P(x) = (x + ). [x x + ix x ix + ( + i). ( i)] P(x) = (x + ). (x x + + 9) P(x) = ( x ).( x x ) P(x) =. Gráfico + +++++++ +++ +++++++ +++++++ 6 ++++++ c) Pelo gráfico, P(x) > para x > x Matemática E 9

.) a)p(x) = x x Possíveis raízes racionais:,, x = é raiz. x + x + = =.. = 7 x = 7 i S =, 7i Raiz inteira: x = b) Pelo item a, temos: P(x) = (x ). (x + x + ) c) P(x) <. (x ) (x ). (x + x + ) <. (x ) (x ). (x + x + ). (x ) < (x ). [x + x + ] < ( x ).( x x ) <. ++ ++ +++ +++ ++ ++ x < ou < x <.) B f(x) = x + x + x Raízes: x + x + x = x. (x + x + ) = x = ou x + x + = x' = ; x" = S = {,, }.5) B P(x) = x + Raiz: x = Q(x) = x x Raízes: x x = x. (x ) = x' = ; x" = ; x"' = Como P() = Q(), o gráfico de P(x) intercepta o gráfico de Q(x)..6) E P(x) = x + kx + x Raízes: x + kx + x = x. (x + kx + ) = x = ou x + kx + = Pela linha anterior, concluímos ue x = é raiz simples. Assim, o gráfico d não pode representar P(x), pois nele encontramos x = como raiz dupla. Como o produto das raízes da euação x + kx + = é igual a, eliminamos também o gráfico a. Se uma das raízes de x + kx + = for x =, teremos: + k + = k = x x + = x' = ; x" = Nesse caso, x = seria raiz dupla e o gráfico tangenciaria o eixo x no ponto x =. Assim, eliminamos o gráfico c. Se k for raiz de x + kx + =, teremos k + k + = k = / Note ue é impossível, já ue k R. Logo, o único gráfico possível é o do item e..7). Correto. P(x) = (x + ) (x + ) P( ) = ( ) = P( ) = = Logo, P(x) é divisível por (x + ). (x + ).. Correto. Teorema de Bolzano P(x) = x x + x P() = P() = 6 + = P() < e P() >. Correto. (x + ) = x 8 + x 6. + 6x. + x. + = = x 8 + x 6 + 5x + 8x + 8 Produto: 8 8. Incorreto. x x = x. (x ) = x = ou x = x = S = {,, } 6. Correto. Raiz: = i x = + i x =? Soma + x + x = i + + i + x = x = 6.8) E I. Correta. Note ue P() = e ue x = é raiz de multiplicidade par. Como o polinômio é de grau e x = é raiz simples, x = é raiz dupla. II. Incorreta. III.Incoreta Incoreta. IV. Correta. Matemática E