MATEMÁTICA A - 11.º Ano TRIGONOMETRIA NOME: N.º 1. Na figura ao lado [ABCD] é um quadrado de lado 5 cm. O é o ponto de interseção das diagonais. Calcula: 1.1. AB BC 1.2. AB DC 1.3. AB BD 1.4. AO DC 2. Na figura ao lado [ABCDEF] é um hexágono regular de lado 1 cm. Calcula: 2.1. AB BC 2.2. OF AO 2.3. AO OC 3. Calcula: 3.1. 3 u 4u 6v, sendo u v 3 e u v 1 3.2. 2 u 2v v sendo 3.3. u 2; v 3 4. Sabe-se que 3 perpendiculares. e u^ v 6 1 u 3; v 1 e cos u^ v. Calcule k de modo que ku 2v e u sejam dois vetores 5. Determine um vetor de norma 5 que seja perpendicular ao vetor, 1. 6. Na figura [LUA] é um triângulo. Determine a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo. 7. Considere os vetores: u 2, 5 ; v 3, 2 e 2, -5 7.1. Calcule: u ; v e w. 7.2. Calcule: u v ; v w e u w. 7.3. Determine: v u^ ; v^ w e w u^. 8. Sendo A 3, 4 ; B 2, 1 e 4, 2 8.1. Calcule AB BC e AC BA. C : 8.2. Determine o ângulo entre os vetores AB e BC. w. IMP.CM.003-01 1/6
9. Sendo a 1,0,3, b 2, 5,0 e c 0,1, 9.1. a b 9.2. a c 9.3. b c 10. Considere os pontos A 0, e B 2, 1, calcule: 10.1. Uma equação da mediatriz do segmento de reta [AB]. 10.2. Uma equação da circunferência de diâmetro [AB]. 11. Considere a circunferência : x 1 y 1 5 11.1. Verifique que o ponto 1, 2 2 C.. Recorrendo à definição de produto escalar, determine: A pertence a C. 11.2. Determine uma equação da reta tangente à circunferência C no ponto A. 12. Considere os pontos A 4, e 2, 1 B. 12.1. Escreva as coordenadas do vetor AB. 12.2. Usando a definição de produto escalar, escreva uma equação: 12.2.1. da mediatriz de AB ; 12.2.2. da circunferência de diâmetro AB ; 12.2.3. da tangente à circunferência de diâmetro AB, no ponto B. 13. Sendo u 4, 2, 1, escreva: 13.1. As coordenadas de 3 vetores perpendiculares a u. 2 13.2. A expressão geral que representa todos os vetores do espaço perpendiculares ao vetor u. 14. Determine um vetor que no espaço seja perpendicular ao vetor 1, 0, 2 15. Seja O i, j, um referencial ortonormado do plano. a e tenha norma 5. 15.1. Escreva uma equação da reta que passa em A 2, e é perpendicular a 1, 4 15.2. Escreva uma equação da reta que passa em 3, 4 15.3. Sejam A 2,1 e 1, 5 16. Considere o plano de equação y z 3 0 u. B e é perpendicular à reta de equação 2x 5y 1 0. B dois pontos do plano. Determine uma equação da mediatriz AB. x e a reta que passa por A 1,1,1 e tem a direção do vetor 1, 1,1 16.1. Qual a posição da reta em relação ao plano? Justifique. 16.2. Determine o ponto de interseção da reta com o plano. 17. Sabe-se que: O ponto A tem coordenadas, 5, 2 0 ; O ponto B pertence ao plano xoz ; O ponto C pertence ao plano xoy ; x, y, z 5, 4, 1 k 1, 2, 1, k IR é uma equação vetorial da reta BC. 17.1. Mostre que o ponto B tem de coordenadas 3, 0,1 e que o ponto C tem de coordenadas 4, 2, 0. 17.2. Mostre que o triângulo ABC é retângulo em C. 17.3. De um plano sabe-se que passa em A e é perpendicular a BC. Determine uma equação de. u. IMP.CM.003-01 2/6
, 1, considere o ponto A 1, e as retas r e s tais que: 2 x r : 2y 1 e s : x, y 2, 0 k 2,1, 2 k IR 18.1. Mostre que o ponto A não pertence à reta r mas pertence à reta s. 18.2. Determine o ângulo formado pelas retas r e s (resultado arredondado às décimas). 18.3. Escreva a equação reduzida da reta que passa por A e é paralela à reta r. 18.4. Escreva a equação reduzida da reta que passa por A e é perpendicular à reta s. 18. Num referencial o.n. O i, j 19. No referencial da figura está representado um octógono regular [ABCDEFGH]. Sabe-se que os vértices A e B têm de coordenadas 2,0 e 4,0, respetivamente. 19.1. Mostre que: 19.1.1. 45º 19.1.2. 2, 2 2 são as coordenadas do vértice H. 19.2. Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta AH com o eixo das ordenadas. 19.3. Escreva uma equação da reta CD. 19.4. Escreva a equação reduzida da reta que passa por A e é perpendicular à reta AH., 2x y, considere os pontos A 3, 2 e B 1, 0 e a reta r de equação 1. 3 20.1. Determine as inclinações das retas AB e r. Apresente os resultados arredondados às unidades. 20.2. Mostre que as retas r e AB são perpendiculares. 20.3. Escreva uma equação vetorial da mediatriz de [AB]. 20. Num referencial o.n. O i, j 21. No referencial o.n. da figura está representada uma circunferência de centro no ponto 1, tangente no ponto A 4, 1. C e uma reta t que lhe é 21.1. Escreva a equação reduzida da reta t. 21.2. Sabe-se que a reta t, distinta de t, é tangente à circunferência e paralela à reta t. 21.2.1. Determine as coordenadas do ponto de tangência. 21.2.2. Escreva uma equação vetorial da reta t. 21.3. Apresente uma condição que caracterize os pontos do 4º quadrante que pertencem à região limitada pela circunferência e pela reta t, incluindo a fronteira. 22. Num referencial o.n. O i, j, k uma aresta de um cubo.,, os pontos A 2, -1,0 e 0,1, 2 B são extremos de O plano mediador de [AB] é designado por. 22.1. Mostre que o plano pode ser definido pela equação x y z 0. 22.2. O ponto C de coordenada, 2,1 3 pode ser o centro do cubo? Justifique. IMP.CM.003-01 3/6
Trigonometria IMP.CM.003-01 4/6
IMP.CM.003-01 5/6
IMP.CM.003-01 6/6