I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 utilizaçã da funçã perda de Taguchi sb a ótica das regiões de máxim e mínim RL para timizar s parâmetrs estatístics d gráfic de cntrle CUSUM Custdi da Cunha lves (UNIVILLE) custdi.alves@univille.br Elisa Henning (UDESC) elisa.henning.@gmail.cm Rbert Wayne Samhyl (UFSC) samhyl@deps.ufsc.br Claitn Emíli d maral (UNIVILLE/UFSC) claitn.emili@univille.net ltair Carls da Cruz (UNIVILLE/UDESC) altaircruz@yah.cm.br Resum: O prjet de timizaçã de um gráfic de cntrle tem cm referência tamanh de mudança d prcess que é cnsiderad imprtante a ser detectad. O gráfic de cntrle de Sma cumulada (CUSUM - Cumulative SUM) é uma das melhres alternativas dispníveis para detectar de frma eficiente, pequenas mudanças de um prcess. Neste trabalh prpõe-se um métd para a timizaçã ds parâmetrs estatístics d gráfic CUSUM a partir da utilizaçã da funçã perda de Taguchi sb a ótica de regiões de máxim e mínim RL. Nessa abrdagem este gráfic de cntrle é prjetad para mnitrament de prcesss em situações nde a relevância nã é detectar apenas desvis de pequena magnitude, mas que a mesm temp seja efetivamente eficaz suficiente para detectar mudanças cnsideradas imprtantes. Um exempl numéric é utilizad para ilustrar mdel matemátic que é desenvlvid para determinar s pnts ótims que delimitam as regiões de máxim e mínim RL d gráfic. Palavras chave: Funçã Perda de Taguchi, Gráfic CUSUM, Parâmetrs Estatístics. The use f Taguchi's lss functin frm the view pint f the regins f maximum and minimum RL t ptimize the statistical parameters f the CUSUM cntrl chart bstract The ptimizatin prject f a cntrl chart has as reference the size f the change f the prcess that is cnsidered imprtant t be detected. The Cumulative Sum (CUSUM) cntrl chart is ne f the best alternatives available t efficiently detect small changes in ne prcess. This paper prpses a methd fr ptimizatin f the statistical parameters f the CUSUM chart based n the use f the Taguchi's lss functin frm the view pint f the regins f maximum and minimum RL. In this apprach this cntrl chart is designed fr the prcess mnitring in situatins where the relevance is nt nly detect deviatins f small magnitude, but at the same time is actually effective enugh t detect changes that are cnsidered imprtant. numerical example is used t illustrate the mathematical mdel that is develped t determine the ptimal pints that delimit the regins f maximum and minimum RL f the chart. Key-wrds: Taguchi Lss Functin; CUSUM Chart; Statistical Parameters.
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 1. Intrduçã O gráfic de cntrle mais cnhecid e amplamente aplicad n mnitrament da estabilidade d valr médi de uma característica de qualidade cntrlada em uma escala cntínua é ainda, sem dúvida, tradicinal gráfic de Shewhart. cnsideraçã feita a este gráfic é fat de nã ser eficiente na detecçã de pequenas magnitudes de mudanças, uma vez que, leva em cnta apenas as infrmações da última amstra. Esta ferramenta estatística, apesar de eficaz nã é a única dispnível para mnitrar a qualidade de um prcess. Em alguns cass, utrs tips de gráfics de cntrle pdem ser utilizads cm a mesma finalidade, e cm vantagens. É cas d gráfic de Sma cumulada (CUSUM - Cumulative Sum). principal vantagem deste gráfic é que seu prcess de decisã baseia-se na sma acumulada ds resultads, e nã em bservações isladas de amstras. Cm resultad, apresenta um desempenh muit melhr d que gráfic d tip Shewhart quand tamanh da amstra e a freqüência de amstragem sã s mesms (MONTGOMERY, 004). N entant, pdem surgir situações nde nã é relevante detectar pequenas magnitudes de mudanças. Pr exempl, quand prcess é muit capaz, tentar ajustar mudanças muit pequenas pde levar a fenômen de sbre ajuste e a intrduçã de variabilidade extra n prcess (WOODLL, 1985). lém diss, a tentativa de garantir a cntinuidade absluta n valr médi pde parecer utópic, uma vez que valr especificad para a média é muitas vezes esclhid arbitrariamente u estimad de frma incrreta. Na realidade, quand valr médi é arredndad um pequen interval de valres é desenvlvid adequadamente para a média atual. Prtant, parece razável tlerar uma pequena mudança n prcess quand se pta em aceitar uma pequena variabilidade n mnitrament da característica de qualidade. Diante das cnsiderações descritas acima, Wdall (1985) desenvlve um prjet para gráfic de cntrle de qualidade basead em valres de parâmetrs estatístics sb a ótica de regiões d gráfic sb cntrle e fra de cntrle para definir inicialmente qual tamanh de mudança é imprtante para ser detectad rapidamente. Na abrdagem desse prjet estatístic, autr frnece também uma justificativa para a esclha entre s diferentes gráfics de cntrle. Neste trabalh prpõe-se desenvlviment de um métd de timizaçã que permita a usuári determinar s parâmetrs estatístics d gráfic de cntrle CUSUM para mnitrar prcesss em situações nde a relevância nã é detectar apenas desvis de pequena magnitude, mas que seja a mesm temp efetivamente eficaz suficiente para detectar mudanças imprtantes. Este métd apresenta um prcediment simples basead em RL cnfrme prjet ótim para gráfic de cntrle CUSUM recmendad pr Gan (1991, 1993), prém cm a prpsta de adicinar a algritm de prcediments uma etapa extra, baseada na funçã perda de Taguchi (1985,1993) sb a ótica de regiões de máxim e mínim RL (Wdall, 1985) para timizar s parâmetrs estatístics deste gráfic. Esta funçã é utilizada para determinar através da ferramenta slver n ambiente MS-Excel s valres ds pnts ótims que delimitam essas regiões de máxima e mínima ptência d gráfic capaz de maximizar a capacidade de detecçã de mudanças reais. O artig está estruturad da seguinte frma: a seçã apresenta gráfic CUSUM. seçã 3 abrda RL cm um indicadr estatístic para avaliar desempenh de gráfics de cntrle. seçã 4 apresenta as etapas d algritm de prcediments e a definiçã das regiões de máxim e mínim RL d métd de timizaçã prpst. determinaçã dessas regiões é bjet de estud da seçã 5 cm a utilizaçã da funçã perda de qualidade de Taguchi. Na seçã 6 é mstrad um exempl numéric de aplicaçã e, finalmente, a seçã 7 apresenta as cnsiderações finais.
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011. Gráfic de Cntrle CUSUM O mnitrament de pequenas alterações ns parâmetrs de um prcess é uma tarefa realmente imprtante numa perspectiva de aumentar a cnsistência da qualidade de prcesss e prduts. Os gráfics de cntrle cm memória sã ferramentas alternativas de grande sensibilidade, mais aprpriadas para a rápida detecçã de pequenas alterações, em cntraste cm s tradicinais gráfics de cntrle d tip Shewhart nde apenas a infrmaçã d últim pnt demarcad n gráfic é cnsiderada. idéia de gráfics cm memória é que sua representaçã gráfica nã se fundamenta em bservações individuais, u médias de subgrups racinais, mas n acúmul de bservações. É pr iss que eles sã chamads de gráfics cm memória (ZGO, 009). Os mdels de gráfics de cntrle cm memória, também denminads de gráfics de cntrle avançads tais cm gráfic de Média Móvel Expnencialmente Pnderada EWM (Expnentially Weighted Mving verage) e de Smas cumuladas CUSUM (Cumulative Sum) sã aprimraments ds gráfics d tip Shewhart desenvlvids para em situações específicas minimizar simultaneamente a crrência de alarmes falss e alarmes nã dads (SMOHYL, 009). O gráfic de cntrle de Sma cumulada (CUSUM), bjet de estud deste trabalh, inicialmente prpst na Inglaterra pr Page (1954) é uma alternativa a gráfic d tip Shewhart. Este gráfic incrpra diretamente, tda a seqüência de infrmações demarcand as smas acumuladas ds desvis em relaçã a valr-alv (valr nminal). É um prcediment que utiliza a sma acumulada ds desvis de cada média aleatória previamente bservada em relaçã a valr nminal para mnitrar a média de um prcess (LVES ET L, 011). mtivaçã básica para a aplicaçã desse gráfic segund Jia e Hel (008), pde ser a dificuldade para detectar pequenas mudanças de status através da aplicaçã de utrs métds de cntrle estatístic de prcesss. Diverss prcediments de decisã fram desenvlvids para s gráfics de cntrle de sma acumulada, entre eles destaca-se CUSUM tabular, nde estatísticas C e C sã utilizadas para detectarem tendências psitivas e negativas, respectivamente. Estas estatísticas sã denminadas CUSUM superir e CUSUM inferir, cnfrme equações (1) e (): + C i = máx.[ + 0, i ( + k) + Ci 1] i X µ (1) C = máx. [,( k) X + C ] ndec + = C 0. Se 0 0 = 0 i i 1 µ () + Ci u C i, excede interval de decisã H, prcess é cnsiderad fra de cntrle. Um valr razável para H é cinc vezes desvi padrã σ d prcess. Nas equações (1) e (), k é denminad de valr de referência e, crrespnde aprximadamente a metade d valr n qual há interesse em detectar rapidamente determinada mudança entre µ (valr nminal) e valr da média fra de cntrle µ 1. utilizaçã destes gráfics de cntrle para mnitrar características da qualidade de um prcess cm pequenas variações apresentam vantagens, cnsiderand-se aspects estatístics e ecnômics. Sb pnt de vista estatístic, pde haver uma reduçã n númer médi de amstras até que gráfic sinalize a crrência de uma causa especial. Sb pnt de vista ecnômic, pde haver uma reduçã ns custs relacinads a cntrle d prcess, causada pela reduçã na taxa de amstragem quand gráfic estiver indicand um prcess sb cntrle (LVES, 003). + i i
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 3. O RL - Númer médi de amstras cletadas até à emissã de um sinal avaliaçã e a cmparaçã de diferentes tips de gráfics de cntrle sã realizadas mediante a utilizaçã de indicadres de desempenh estatístics e ecnômics (LVES, 009). O RL (verage Run Length) é númer médi de amstras cletadas até à emissã de um sinal. Este sinal, pde ser tant um alarme fals cm um sinal de que prcess realmente está fra de cntrle. É indicadr estatístic mais utilizad para avaliar desempenh de um gráfic de cntrle. Este parâmetr leva em cnta s valres ds errs Tip I e Tip II, ist é, cust assciad à prcura d prblema inexistente e cust assciad à fraca qualidade que se btém n prdut final desde quand a mudança crre até que seja detectada. Pr este mtiv, para avaliar s parâmetrs de um gráfic de cntrle, cstuma-se estudar cmprtament de RL diante das várias amplitudes de mudança uma vez que, pretende-se que RL d gráfic seja grande quand prcess está sb cntrle e pequen quand prcess está fra de cntrle. Quand prcess está sb cntrle, e s pnts que se marcam n gráfic sã independentes, RL é dad pr RL = 1 0 (3) α nde RL é númer médi de amstras cletadas até que crra um alarme fals, quand prcess está sb cntrle e α é a prbabilidade de cmeter um err Tip I ( prbabilidade de alarme fals). N cntrle estatístic para cas univariad cm, pr exempl, gráfic X de Shewhart cm s limites 3 σ, tma-se α = 0, 007 que supõe um RL 370, ist é, mesm que prcess permaneça sb cntrle, um sinal fra de cntrle será emitid a cada 370 amstras, em média. Na bibligrafia relativa a gráfic de cntrle s valres α = 0, 005, α = 0,00 e α = 0, 001, crrespnde a um RL =00, RL =500 e RL =1000, respectivamente. 1 Para determinada mudança de valr d, RL é dad pr RL 1 = que é númer 1 β médi de amstras cletadas até que seja sinalizad uma situaçã de fra de cntrle e β é a prbabilidade de cmeter um err Tip II (prbabilidade de nã detectar que prcess está fra de cntrle supnd independência das amstras). ssim, a equaçã (3) só é aplicável as gráfics de cntrle d tip Shewhart uma vez que s gráfics cm memória tais cm CUSUM, EWM, etc, s pnts demarcads nã sã independentes. determinaçã exata ds parâmetrs de um gráfic de cntrle CUSUM tais cm RL nem sempre é pssível pel fat das estatísticas de cntrle serem variáveis aleatórias dependentes. N entant, existem alguns métds numérics que permitem timizar estes parâmetrs, entre as quais pdems destacar Métd de Equaçã Integral, Métd de Cadeias de Markv e Métd de Simulaçã. Em análise de prcesss, em geral, nã é viável que prcediment de cntrle esclhid gere muits falss alarmes. Prtant, a estratégia utilizada n prjet de um gráfic de cntrle baseia-se na esclha de um valr de RL grande quand prcess estiver sb cntrle. Este valr é representad pr RL e indica em média númer de amstras cletadas até que crra um fals alarme. De psse d valr de RL gráfic de cntrle deve ser prjetad de md que tamanh da mudança d, que se deseja detectar, seja sinalizad n gráfic a partir de um númer de amstras cletadas até que seja sinalizada uma situaçã fra de cntrle referente a um desvi d valr nminal. O par de parâmetrs (k,h) é ótim, n sentid que para uma prbabilidade de err tip I
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 fixad (RL ) prduz a menr prbabilidade de err tip II (RL 1 ) pssível para uma mudança especificada. Este par de valres (k,h) ótim, em geral, dependerá da magnitude da mudança. Uma análise de sensibilidade pde mstrar cm varia a prbabilidade d err tip I para diferentes pares (k,h) próxims da cmbinaçã (k,h) ótima (Gan, 1991). 4. Métd de Otimizaçã d Gráfic CUSUM Em situações em que prcess é muit capaz u dificilmente ajustável pde nã ser interessante detectar mudanças de pequena magnitude. Segund Wdall (1985), tentar ajustar um prcess quand a mudança da média é muit pequena pde levar a fenômen de sbre ajuste e da intrduçã de variabilidade extra n prcess. Prtant, é mais interessante decidir que tamanh de mudança é realmente imprtante detectar, e tend ist cm base, selecinar aquele gráfic de cntrle que seja muit eficiente quand realmente é necessári, e que tenha uma prbabilidade baixa de alarmes falss. O desenvlviment d métd de timizaçã prpst nesse trabalh permite usuári determinar s parâmetrs estatístics ótims d gráfic de cntrle CUSUM para mnitrar prcesss em que nã resulte apenas a detecçã de mudanças de pequena magnitude, mas, sbretud, seja a mesm temp um métd muit eficaz para detectar mudanças realmente imprtantes. Neste métd um prcediment simples basead em RL é desenvlvid para prjet estatístic ótim de um gráfic CUSUM sugerid pr Gan (1991), prém cm a prpsta de adicinar a algritm de prcediment prpst uma etapa extra que cntemple a timizaçã de parâmetrs suficiente para maximizar a capacidade de detecçã de mudanças reais deste gráfic. Esta etapa extra se cnstitui cm uma alternativa de avaliaçã prévia para timizar s parâmetrs deste gráfic basead em RL e sb a ótica de regiões de máxim e mínim RL. Iss é imprescindível para detectar n prcess mudanças cnsideradas imprtantes. Cm esta alternativa, trna-se pssível detectar mudanças significativas, e que, simultaneamente, apresente uma prbabilidade de alarme fals, realmente baixa quand se prduzem mudanças cuja detecçã nã seja de interesse prátic. s etapas para desenvlviment d prjet estatístic para timizar s parâmetrs d gráfic CUSUM prpstas neste trabalh cnfrme a seguir: Etapa 1: Esclher menr RL aceitável. Etapa : Decidir menr deslcament (tamanh de mudança) aceitável, d na média d prcess que é extremamente imprtante ser detectad rapidamente. Para iss, é fundamental esclher crretamente parâmetr ótim d gráfic, k capaz de prduzir RL mínim para deslcament da média, d, basead n RL especificad na etapa 1. Etapa 3 (Prpsta): plicar n métd de timizaçã da funçã perda de Taguchi cuj prcediment dessa etapa é utilizad para bter s pnts ótims e que delimitam as regiões de máxim e mínim RL. Cm iss, é pssível determinar a regiã sb cntrle, d e a regiã fra de cntrle, d para detectar mais rápid pssível uma mudança. lém diss, utiliza-se esse valr d, para quantificar desvi entre a média e valr nminal da característica de qualidade cnsiderada. Neste trabalh, bjetiv principal é sem dúvida minimizar este valr d, cm a implementaçã de um mdel matemátic para bter pnt ótim, u seja, pnt que tenha um deslcament mínim da média em relaçã a valr nminal. Etapa 4: Cnhecid valr ótim de k, determinar limite de cntrle h, de md que gráfic CUSUM prduza RL especificad na etapa 1.
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 4.1 Otimizaçã ds Parâmetrs Estatístics d gráfic CUSUM basead em Regiões de Máxim e Mínim RL O métd usual de cmparaçã da ptência de diferentes gráfics de cntrle se fundamenta ns valres de RL. Para que dis prjets de gráfics de cntrle sejam cmparads, ambs devem apresentar mesm RL quand prcess se encntra sb cntrle, ist é, quand nã existe nenhuma mudança na média da característica da qualidade mnitrada. O gráfic de cntrle mais eficiente u de mair ptência para detectar mudanças é aquele que apresenta um RL grande quand prcess se encntra sb cntrle e um RL pequen quand prcess está fra de cntrle. Pr utr lad, é sabid que sb pnt de vista ecnômic se cnsidera que cust de peraçã d prcess (cust médi pr hra de prduçã quand há uma mudança na média d prcess) é prprcinal a númer de alarmes falss, e que sb pnt de vista estatístic pde crrer que númer de alarmes falss seja uma fnte de variabilidade extra n prcess. Diante d que anterirmente fi expst, Wdall (1985) sugere um prjet estatístic para gráfic de cntrle e recmenda tmar cm critéri deste prjet, a seleçã d tamanh da mudança que seja imprtante detectar. Para iss, prpõe a definiçã de três regiões de cntrle: regiã sb cntrle, regiã indiferente, e regiã fra de cntrle. Estas regiões sã delimitadas pr dis valres ( e ) d tamanh da mudança (medid em unidades de desvis padrã) a ser detectada cnfrme figura 1. 3,0,5,0 Shewhart CUSUM Lg (RL) 1,5 1,0 0,5 Regiã sb de Cntrle Regiã Indiferente Regiã fra de Cntrle 0,0 0 3 Magnitude de mudança Figura 1 - Pnts e que delimitam as regiões de máxim e mínim RL d gráfic Cnfrme figura 1, as regiões de máxim e mínim RL pdem ser definidas cm: a) Regiã Sb Cntrle, [0,]. Esta regiã crrespnde a um estad equivalente a de estad sb cntrle e crrespnde a tamanh de mudança cmpreendid entre d=0 e d=. Nesta regiã nã se deseja detectar alguma mudança. N entant, deseja-se um RL máxim. Se gráfic mstrar um sinal fra de cntrle cnsidera-se entã este sinal cm um fals alarme. b) Regiã Fra de Cntrle, [, ), crrespnde a valr de mudança d=, a partir d qual se requer a máxima eficácia de detecçã. lém diss, se deseja um RL mínim. c) Regiã Indiferente, (,), cmpreendida entre d= e d=. Nesta regiã é indiferente detectar u nã uma mudança n prcess.
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 Cm exempl, pde-se bservar através da curva de RL (figura 1) que ambs s gráfics de cntrle CUSUM e d tip Shewhart cm RL =370, pssuem mesm RL para d = 0 nde gráfic ótim é aquele que apresenta mair RL na regiã sb cntrle e menr RL na regiã fra de cntrle. Esta situaçã caracteriza gráfic de cntrle cm menr prbabilidade de alarme fals e sbretud mais eficaz para detectar mudanças que devem ser rapidamente detectadas. O enfque de Wdall (1985) que abrda a utilizaçã de regiões de máxima e mínima ptência em prjets de timizaçã para gráfics de cntrle se encntra justificad em situações que aparecem freqüentemente na indústria. Entre utrs, e cm exempl, vams analisar três tips de prcesss característics: a) Prcesss muit capazes: um tip de prcess nde pde resultar puc interesse em detectar pequenas mudanças na média d prcess referente a valr nminal sã aqueles que apresentam elevada capacidade real ( C = 1, 5 ), típics de setres cm da autmaçã. pk b) Prcesss dificilmente ajustáveis: em alguns prcesss industriais, independentemente de cnsiderações ecnômicas, acntece que pr razões técnicas u físicas tenham um cmprtament que s transfrma em dificilmente ajustáveis, quand n iníci prcess já está fra d valr nminal, típics de prcesss nde uma ferramenta de crte sfre desgastes cntínus e graduais. c) Prcesss cm um elevad cust ecnômic de ajuste: em muits prcesss ajuste para que se trabalhe n valr nminal centrad nas especificações requer a parada d prcess e a regulagem da máquina utilizada neste prcess. Esta peraçã pde requerer um períd elevad de temp cm a cnseqüente perda de prduçã assciada a esse temp prdutiv. 5 Funçã Perda de Qualidade de Taguchi Um sistema de avaliaçã da qualidade de prduts é basead em um cnceit atribuíd pr Taguchi. Segund Taguchi (1986,1993), a qualidade de um prdut é a perda mínima impsta pr este prdut à sciedade n decrrer de sua utilizaçã. D pnt de vista scial este cnceit de qualidade é únic prque incluem fabricantes, clientes e a sciedade cm um td. Esta filsfia enfatiza a imprtância ecnômica de alcançar uma baixa variabilidade, uma cerência funcinal e, sbretud uma alta qualidade. N cnceit tradicinal de avaliaçã de um sistema de qualidade, um prdut é classificad cm nã cnfrme se a característica da qualidade d prdut sb cntrle e, se encntra fra ds limites de especificaçã incrrend em uma determinada perda ecnômica. Cas cntrári, prdut é classificad cm cnfrme e sem perda ecnômica. Neste enfque (filsfia cidental), utiliza-se uma avaliaçã binária de qualidade cm especificações u tlerâncias nde pr exempl, uma peça é classificada cm abslutamente cnfrme se está dentr de tlerâncias e cm nã cnfrme quand está fra de tlerâncias. D pnt de vista de Taguchi, esta perda é nula quand a característica da qualidade se encntra dentr das tlerâncias e que a perda é ttal quand se encntra fra das especificações. O enfque japnês de Taguchi cntempla a avaliaçã cntínua da qualidade de um prdut basead na perda ecnômica que significa a variaçã das características da qualidade referente as valres nminais definids. Para Taguchi a perda é nula smente quand valr da característica da qualidade cincide cm valr nminal e aumenta de frma cntínua à medida que se afasta d valr nminal ainda que se cumpram as especificações. s idéias anterires se mdelam na cnhecida funçã perda de Taguchi para à tmada de decisões.
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 Seja L(y) a funçã da medida da perda de qualidade assciada à característica de qualidade e y uma funçã diferenciável na vizinhança de T, nde T é valr nminal. expansã da série de Taylr L(y), na vizinhança de T pde ser escrita cm uma série infinita cnfrme a seguir: L ( T ) L ( T ) L ( y) = L( T ) + ( Y T ) + ( Y T ) +..., (4) 1!! Observa-se que a meta T(valr alv) é desenvlvida de md que a perda de qualidade seja mínima em T e, prtant, L (T)=0. lém diss, supõe-se que a perda de qualidade cm valr alv seja zer tal que L ( T ) = 0. Cm esses dis pressupsts, a série de Taylr se reduz a: L ( T ) L ( y) = ( Y T ) +..., (5)! ssumind que terms de rdem superir além d term de ª rdem sã cnsiderads desprezíveis, lg uma aprximaçã truncada para a funçã perda de qualidade pde ser dada cm uma simples funçã quadrática que avalia a perda, em terms ecnômics, de um prdut em relaçã a valr de uma de suas características quantitativas da qualidade mediante uma funçã quadrática d tip L( y) T = k( y ) (6) nde y é valr da característica quantitativa da qualidade de Y cnsiderada, T é valr nminal (valr alv), k é ceficiente psitiv de perdas (cnstante de prprcinalidade) basead nas perdas estimadas relativas a um limite de especificaçã. Em utras palavras, k = =, nde representa a perda devid a desvi σ de desempenh d σ ( LSE T ) prdut a partir de T, u seja, cust de se prduzir um prdut fra d especificad e LSE limite superir especificad para a característica da qualidade em questã. (cust, dentr ds limites de especificaçã). lém diss, é sabid que valr esperad da funçã perda de qualidade L(y) é dad pr uma equaçã que representa a frma geral de perdas esperadas cuj valr pde ser aplicad a tdas as distribuições da variável aleatória y, cnfrme a seguir: E [ L( y)] = k[( µ T) + σ )] (7) nde µ e σ sã respectivamente, a média e a variância d prcess. É imprtante salientar que, para reduzir a perda, viés d prdut igual a reduzids. µ T e a variância σ precisam ser utilizaçã da funçã perda ecnômica L(y) prduzida pel fat da característica da qualidade de interesse desviar-se d valr nminal cnfrme equaçã (6) é fundamental para atender prpósits gerenciais cm valr mnetári da cnseqüência de qualquer aperfeiçament em qualidade. Essa expressã matemática estabelece uma medida financeira para cálcul d desvi de uma característica d prdut cm relaçã a valr nminal. Quand se fala da fabricaçã de um prdut se faz referência a cnjunt de unidades fabricadas pel prcess cnsiderad. Tais unidades fabricadas apresentarã variabilidade referente a característica da qualidade cnsiderada nde cada uma delas terá qualidade diferente. Esta qualidade se btém encntrand valr esperad da funçã de perdas. Nesta seçã prpõe-se a utilizaçã da funçã perda de qualidade de Taguchi para determinar n gráfic s valres de RL que delimitam as regiões sb cntrle e fra de cntrle. Seja Y uma variável aleatória cm distribuiçã nrmal de média µ e desvi padrã σ que representa uma característica de qualidade quantitativa. Cnsidera-se que prcess se
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 encntra sb cntrle e centrad n valr nminal T. Os limites das especificações sã T 1 e T. Supnha C cust máxim admissível para a empresa devid a mudanças de prcess. Este cust representa a perda insignificante incrrida quand desvi em relaçã a valr nminal T é y. Neste cas, a empresa nã está interessada na detecçã de mudanças d prcess que prduzem um cust menr d que C, pis esta açã nã é rentável. Supnha C cust inaceitável de prduçã da empresa devid a mudanças de prcess. Cnseqüentemente, prcess de mudanças que prduzem um cust mair C que devem ser rapidamente detectad. Este cust representa a perda significante incrrida quand desvi em relaçã a valr nminal T é y. Pde-se escrever C =L( y ) e C =L( y ). Cm iss, se cumpre que T y y T u, também, T1 y y T cnfrme figura. C C k L(y) = k ( y -T) C C T1 T T y Figura - Funçã perda de Taguchi cm cust máxim admissível e cust inaceitável Cm se pde bservar, à medida que valr da característica de qualidade se afasta d valr nminal a perda aumenta de frma cntínua e sem salts abrupts, mesm que ultrapassem s limites de especificações. Ist representa a mair perda de qualidade inferir que tem prdut. Quand prdut está n valr nminal T, a perda d prdut é mínim que se pde bter. O valr da cnstante k pde ser determinad mediante cnheciment da perda assciada a um valr da característica de qualidade diferente d valr nminal. Pr exempl, se é cnhecida a perda assciada a valr y=, k se pde bter mediante a seguinte equaçã: k L( ) ( T ) = (8) funçã perda de Taguchi dada pela equaçã (6), pde ser escrita da seguinte frma: L( y ) = k( y T) e L( y ) = k( y T) (9) nde para determinar k deve-se cnhecer valr de L ( y) assciad a um valr da variável Y diferente d valr nminal que pde ser tant cust cm a perda assciada a um valr que se encntra fra ds limites de especificações. este valr de, L y ), chamams de C k e L( yk ) aplicand a equaçã (8) se btém valr de k =. ( y T ) k ( k
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 Em cntrle estatístic de prcesss uma característica da qualidade quantitativa é mnitrada cm média µ e desvi padrãσ, tamanh da mudança d prduzid na média quand, esta passa de µ para µ 1, e se mantém cnstante a dispersã, é medida pela expressã: d µ µ = 1 (10) σ nde d=0 quand prcess está sb cntrle e d > 0 quand está fra de cntrle. y T Cnhecid valr de descentralizaçã d =, s valres ds custs C, C e C k e s σ desvis d valr nminal y e y é pssível determinar desvi relativ a valr nminal em unidade de σ. d = y T e d = y T (11) Esses sã s valres ds pnts de (máxim e mínim RL) que delimitam n gráfic as regiões sb cntrle e fra de cntrle, u seja, = d e = d. figura ilustra estes pnts que delimitam tais regiões. 6 Exempl de plicaçã Para esclarecer a sistemática d prjet de timizaçã ds parâmetrs estatístics d gráfic CUSUM utilizand a funçã perda de Taguchi sb a ótica de regiões de máxim e mínim RL prpst neste trabalh é apresentad a seguir um exempl numéric ilustrativ. Seja um prcess de fabricaçã que prduz eixs nde diâmetr é a característica de qualidade de interesse. O valr nminal é 50 mm e as especificações de fabricaçã sã 50 ± 0,5 mm. Se diâmetr de um eix se encntra fra de especificaçã se prduz cm uma perca de 80 unidades mnetárias (u.m.). empresa cnsidera um cust u perda insignificante de 8.u.m. e, prtant a empresa nã está interessada em detectar mudanças d prcess cuj cust assciad seja inferir desse cust insignificante u aceitável. N entant, ela cnsidera inaceitável um cust u perda de 40 u.m. e, prtant, está muit interessada em detectar mudanças que prduzem perdas acima desse valr inaceitável. Neste cas, C = 8 e C =0 e C k =80. funçã perda de Taguchi, L(y), pde ser determinada calculand valr de k através da equaçã (8) sabend que C k = L(y k ) = L(T 1 ) + L(T ). Neste cas, tems: 80 80 = L(50,5) = L(49,5) e, prtant, k = = 30u. m / mm send a funçã perda de (50,5 50) Taguchi L ( y) = 30.( y 50). Das equações (9), pde-se bter = 30.( y 50) y = 50, 16 mm e 0 = 30.( y e y, u seja, 8 y 50) y = 50, 35 mm e s valres ds desvis, d em relaçã a valr nminal em unidade de σ sã btids através das equações (11) da seguinte frma: d = y T = 50,16-50 = 0,16 e d = y T = 50,35 50 = 0,35, u seja, estams interessads em detectar mudanças na média d prcess que gerem desvis superires a 0,35σ mas nã detectar desvis inferires a 0,16σ. detecçã entre 0,16 e 0,35σ é indiferente. Um simples mdel matemátic em ambiente MS-Excel usand a ferramenta Slver pde ser aplicad para determinar esses pnts que timizam (minimizam) desvi d, u seja, s menres desvis em relaçã a valr nminal T cnfrme figura 3 que ilustra apenas cálcul de d.
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 Figura 3 - Mdel matemátic que timiza desvi d (pnts máxim u mínim RL) d gráfic lcalizaçã ds pnts de (máxim e mínim RL) que delimita as regiões sb cntrle e fra de cntrle estatístic d gráfic CUSUM deste exempl é ilustrad cnfrme figura 4. 1000 RL Sb Cntrle 1 Indifere nte Fra de Cntrle 0,16 0,35 0 3 d Figura 4 - Pnts e que delimitam as regiões de máxim e mínim RL d gráfic Cnhecids s pnts ótims e que delimitam as regiões de máxima e mínima ptência d gráfic cnfrme etapa 3 prpsta para algritm de prcediments d prjet estatístic ótim d gráfic CUSUM, cnclui-se que para este exempl tamanh da mudança desejad é d=0,35 (d=). Prtant, interesse nesse cas deve estar fcad d > 0, 35 ( d > 0, 35). partir destes pnts ótims determina-se na etapa 4 valr de referência, k e selecina-se limite de cntrle h, u seja, par de parâmetrs (k,h) de md que gráfic CUSUM prduza RL especificad na etapa 1. lém diss, nesse exempl analisu-se cas em que prcess estava centrad n valr nminal T. Vams agra, dar seqüência a este estud
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 para cas em que prcess nã está centrad n valr nminal, situaçã mais real que a anterir. Quand prcess nã está centrad a variável aleatória Y se distribui segund uma nrmal de média µ e desvi padrã σ, send agra, µ T. Supnhams que µ >T e µ y a y b y µ T entã tems que d = e desvi nã centrad em unidades de σ σ é d = y µ = d1. Quand prcess estava sb cntrle centrad n valr nminal T é d = y T = d que cnfirma d 1 < d, delimitand a regiã sb cntrle. À medida que prcess se descentraliza se reduz a regiã sb cntrle alcançand máxim quand se tem prcess centrad n valr nminal T. reduçã da regiã sb cntrle é, prtant: d % de reduçã = 1 1 y.100 = 1 µ. 100. Para determinar iníci da regiã nde d y T ns interessa detectar uma mudança na média utilizams a equaçã d = y µ. gra, supõe-se que este prcess prduz eixs cuj diâmetr segue uma distribuiçã nrmal de média 50,1 mm e desvi padrã 0,1 mm. Em primeir lugar, analisa-se a capacidade real T µ 50,5 50,1 de nss prcess: C pk = = = 1, 33. Lg prcess é realmente capaz. 3σ 3.(0,1) Cm iss, a pergunta é: que perda média de qualidade pr peça fabricada estams tend? través da equaçã (7) btém-se E [ L( y)] = 30.[(0,1) + (50,1 50) ] = 6, 4. Lg, bservase ainda que prcess seja realmente capaz se prduz perda. Se agra fcarms centralizar prcess n valr nminal a perda média pr peça fabricada n que se incrre é apenas a metade, u seja, E [ L( y)] = 30.[(0,1) = 3,. regiã sb cntrle pde ser determinada pr d = y µ = 50,16 50,1 = 0, 06σ. regiã de máxima detecçã iniciará em d = y µ = 50,35 50,1 = 0, 5σ. Lg estams interessads em detectar mudanças na média d prcess que gerem desvis nã centrads superires a 0,5σ, mas nã detectar desvis nã centrads inferires a 0,06σ. Já a detecçã entre 0,06 e 0,5σ é indiferente. Finalmente pde-se determinar a percentagem de reduçã btida da regiã sb cntrle, através da equaçã: 50,16 50,1 % de reduçã = 1.100 = 63%. ssim, s valres ds pnts e (máxim 50,16 50 e mínim RL) que delimitam n gráfic as regiões sb cntrle e fra de cntrle d prcess centrad sã =0,16 e =0,35 e d prcess nã centrad sã =0,06 e =0,5. 7. Cnsiderações Finais Em determinadas situações de um prcess pde nã ser de interesse prátic detectar alterações de pequena magnitude, send mais interessante detectar mudanças cnsideradas imprtantes. Cm iss, trna-se pssível detectar mudanças realmente significativas, e que, simultaneamente, apresente uma baixa prbabilidade de alarme fals. frma cnveniente para especificar as mudanças cnsideradas imprtantes para detectar rapidamente, é a utilizaçã da funçã perda de Taguchi ns permite definir as regiões sb cntrle, indiferente e fra de cntrle prpstas pr Wdall. Uma vez que definidas estas regiões (utilizand u nã), bjetiv é desenvlver um gráfic de cntrle CUSUM que satisfaça s requisits de desempenh de RL através destas áreas. Nestas situações, gráfic de cntrle CUSUM, embra riginalmente desenvlvid para detectar pequenas mudanças d prcess, pde ser prjetad para bter um desempenh cmpatível sb a perspectiva dessas regiões.
I CONGRESSO RSILEIRO DE ENGENHRI DE PRODUÇÃO Pnta Grssa, PR, rasil, 30/11, 01 a 0 de dezembr 011 timizaçã ds parâmetrs estatístics sb a ótica de regiões de máxim e mínim RL para gráfic CUSUM pde ser uma excelente alternativa em situações práticas cm prcesss muit capazes, prcesss dificilmente ajustáveis u cuj cust de ajuste seja elevad. É imprtante salientar ainda que a implementaçã de qualquer gráfic de cntrle que se cnsidere, pressupõe uma esclha adequada ds seus parâmetrs estatístics, uma vez que a sua eficiência depende em parte desta esclha (LVES, 003). Referências LVES, C.C. Gráfics de cntrle CUSUM: um enfque dinâmic para a análise estatística de prcesss. Dissertaçã de Mestrad em Engenharia de Prduçã, UFSC, Flrianóplis, 003. LVES, C.C.; ZGO, V..; HENNING, E.; SMOHYL,R.W. plicaçã de gráfics de cntrle cm memória para mnitrament de prcesss industriais: um estud cmparativ. XLIII Simpósi rasileir de Pesquisa Operacinal, Ubatuba-SP, 011. LVES, C.C.; CRUZ.C.; HENNING,E.; Cruz, NETO,.S. Utilizaçã de Gráfics de Cntrle de Sma cumulada (CUSUM) para Mnitrament de um Prcess de Usinagem. Caderns d IME Série Estatística, vl..7, pág. 45-58, Institut de Matemática e Estatística, Universidade d Estad d Ri de Janeir (UERJ), 009. LVES, C.C, O métd de Equaçã Integral cm Quadratura Gaussiana para timizar s parâmetrs d gráfic de cntrle multivariad de Smas cumuladas. Tese de Dutrad. Prgrama de Pós-Graduaçã em Engenharia de Prduçã e Sistemas. Universidade Federal de Santa Catarina, 009. GN, F. F. n ptimal design f CUSUM quality cntrl charts. Jurnal f Quality Technlgy. 3, 79-86, 1991. GN, F. F. The Run Length f a Cumulative Sum Cntrl Chart. Jurnal f Quality Technlgy, 5, 05-15, 1993. MONTGOMERY, D. C. Intrduçã a Cntrle Estatístic da Qualidade. 4 a ed., LTC, Ri de Janeir, 004. PGE, E.S. Cntinuus Inspectin Schemes. imetrika, v.41, p.100-115, 1954. JIO, J.R. ; HELO, P.T. Optimizatin design f a CUSUM cntrl chart based n taguchi s lss functin. Int J dv. Manuf. Technl. v. 35:134 143, 008. SMOHYL, R.W. Cntrle Estatístic da Qualidade. Ri de Janeir: Elsevier, 009. TGUCHI, G. Intrductin t quality engineering. While Plains, NY: UNIPU/Kraus Internatinal publicatins, and Dearbrn, MI: merican Supplier Institute Inc., 1986. TGUCHI, G. Taguchi n rbust technlgy develpment. NewYrk: SME Press, 1993. WOODLL,W.H. The statistical design f quality cntrl charts. The Statistician;34: 155 60,1985 ZGO, V.. valiaçã da aplicaçã de gráfics de cntrle cm memória em uma indústria de papel e embalagens. Dissertaçã de Mestrad em Engenharia de Prduçã, UFSC, Flrianóplis, 009.