Universidade Federal do Paraná semestre 015. Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic Lista de exercícios 5 Determinantes Exercício 1: Seja A := 3 1 3 3 Encontre os valores dos menores det(m,1 ), det(m, ) e det(m,3 ), Encontre os valores dos cofatores,1,,,,3. Use suas respostas da parte para calcular det(a). Exercício : Use determinantes para determinar se as seguintes matrizes são não singulares. 3 5 3 6 3 6 Exercício 3: Calcule os seguintes determinantes: 3 5 4 3 0 d) 5 5 1 4 8 4 1 3 5 e) 4 1 5 1 3 f) g) 1 1 3 5 1 6 0 0 1 1 6 0 1 1 3 h) 1 1 3 0 1 1 1 1 3 3 1 Exercício 4: Calcule os seguintes determinantes por inspeção: 3 5 0 0 3 0 0 4 1 0 1 1 7 3 0 d) 4 0 1 5 0 4 0 3 4 1 0 3 Exercício 5: Calcule o seguinte determinante. Escreva sua resposta como um polinômio em x. a x b c 1 x 0 0 1 x 1
Exercício 6: Ache todos os valores de λ para os quais o seguinte determinante será igual a 0. λ 4 3 3 λ. Exercício 7: Avalie cada um dos seguintes determinantes por inspeção: 0 0 3 1 1 1 3 0 4 1 3 1 0 3 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 Exercício 8: Para cada uma das seguintes matrizes, determine e diga se a matriz é singular ou não. 3 1 3 3 1 1 3 1 1 1 1 6 0 1 e) 1 f) 1 3 0 3 1 4 0 0 1 1 0 0 7 3 1 1 3 1 d) 4 3 5 4 1 Exercício 9: Considere a matriz de Vandermonde 3 3: V = 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 3 x 3 Mostre que det(v ) = (x x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x ). [Sugestão: use a operação em linhas III.] Que condições devem os escalares x 1, x e x 3 vericar para que V seja não singular? Exercício 10: Suponha que uma matriz 3 3 é fatorada em um produto: 1 0 0 u 1,1 u 1, u 1,3 A = l,1 1 0 0 u, u,3 l 3,1 l 3, 1 0 0 u 3,3 Determine o valor de det(a). Exercício 11: Seja A e B matrizes n n. Demostre que o produto AB é não singular se e somente se A e B ambas são não singulares.
1 Correções Correção do Exercício 1: Os menores da segunda linha de A := 3 1 3 3 são dados por: det(m,1 ) = 3 = 8, det(m, ) = 3 4 =, det(m,3 ) = 3 3 = 5. O cofator i,j é obtido multiplicando o menor det(m i,j ) por ( 1) i+j. Usualmente, este sinal obtémse usando simplesmente a seguinte tabela: + + +. + + Neste caso, obtemos os seguintes cofatores:,1 = ( 1) +1 det(m,1 ) = det(m,1 ) = 8,, = ( 1) + det(m, ) = + det(m,1 ) =,,3 = ( 1) +3 det(m,3 ) = det(m,1 ) = 5. Deduzemos o determinantes de A desenvolvendo na segunda linha: 3 det(a) = 1 3 3 = 1 3 + ( ) 3 4 3 3 3 = ( 1) ( 8) ( ) 3 5 = 3 Correção do Exercício : Calculemos: 3 5 3 5 = 3.4.5 = 0, logo a matriz é não singular. 3 6 3 6 = 3.4.6 = 0, logo a matriz é singular. 3
3 6 ( 3 6 = 3.4.( 6) = 4 0, logo a matriz ) é não singular. Correção do Exercício 3: Calculemos os determinantes. Sempre vale a pena efetuar algumas operações em linhas ou colunas para simplicar as contas: Aplicando a formula para o determinante de matrizes, obtemos: 3 5 = 4 ( ) 5 =, Aplicando a formula para o determinante de matrizes, obtemos: 5 8 4 = 5 4 8 ( ) = 36, Efetuando a operação em colunas (C C C 1 ) pois desenvolvendo na segunda coluna, obtemos: 5 5 = 3 1 6 0 5 0 5 = 5 5 5 = 0, d) Efetuando a operação em colunas (L 3 L 3 +L ) pois desenvolvendo na terceira coluna, obtemos: 4 3 0 5 1 4 = 4 3 0 11 1 0 = 4 3 11 1 = 58, e) Efetuando sucessivamente as operações em linhas (L L L 3 ) e (L 1 3L 3 ), pois desenvolvendo na segunda coluna, obtemos: 1 3 4 1 1 3 = 1 3 0 5 1 3 = 5 0 7 0 5 1 3 = 1 5 7 5 = 39, 4
f) Efetuando sucessivamente as operações em linhas e colunas, pois a formula para o determinante de matrizes 3 3, obtemos: 1 1 3 5 1 6 = 1 1 1 3 1 (C 3 C 3 /) 5 1 3 = 1 4 1 (C C + C 3 ) 5 4 3 = 8 1 1 1 (C C /4) 5 1 3 = 8 1 1 1 (L 3 L 3 L ) 4 0 = 8 1 1 0 (C 3 C 3 C ) 4 0 = 8 0 1 0 (C 1 C 1 C ) 4 0 = 0, g) Efetuando a operação em linha (L 4 L 4 + L 3 ), desenvolvendo na terceira coluna, pois aplicando a formula do determinante para matrizes 3 3, obtemos: 0 0 1 0 0 1 1 6 0 = 1 6 0 = 0 1 0 = ( 1 3 1 1 ) = 8, 1 1 3 7 0 3 7 3 h) Usando técnicas semelhantes, pode-se calcular facilmente que: 1 1 3 0 1 1 1 1 = 0. 3 3 1 Correção do Exercício 4: Calculemos direitamente que: 3 5 = 3.4.5 =. 5
Desenvolvendo na ultima coluna, vemos que: 0 0 4 1 0 7 3 = 0 4 1 Desenvolvendo na primeira linha, vemos que: 3 0 0 1 1 0 = 3 1 1 = 4. = 0. d) Desenvolvendo na segunda coluna, vemos que: 4 0 1 5 0 4 0 3 4 = 0. 1 0 3 Correção do Exercício 5: Calculemos que: a x b c 1 x 0 = (a x) ( x) ( x) + 1 1 c + 0 b 0 c ( x) 0 0 1 (a x) ( x) b 1 0 1 x = (a x) x + c + b x = x 3 + ax + bx + c. Correção do Exercício 6: Calculemos o determinante em relação a λ: λ 4 3 3 λ = ( λ) (3 λ) 3 4 = λ 5λ 6. Esta expressão é um polinômio de grau na variável λ, para saber quando se anula, basta fatorar = λ 5λ + 6. Usando o método de Báscara, calculemos que = ( 5) 4 ( 6) = 49, logo λ 5λ 6 tem duas raízes reais: λ 1 = 5 + 49 = 6, e λ = 5 49 = 1. ou seja, temos que λ 5λ 6 = (λ + 1) (λ 6). Concluamos que: λ 4 3 3 λ = λ 5λ 6 = (λ + 1) (λ 6). Logo este determinante é igual a 0 se e somante se: λ = 5 + 49 = 6, ou λ = 5 49 = 1. 6
Correção do Exercício 7: Desenvolvendo na primeira linha 0 0 3 0 4 1 3 1 = +3 0 4 3 = 3 ( 8) = 4. Usando a operação em linha (L 4 L 4 + L 1 ), pois desenvolvendo na cada vez na ultima linha: 1 1 1 3 0 3 1 1 0 0 1 1 1 = 1 1 1 3 0 3 1 1 0 0 0 0 0 5 = 5 1 1 1 0 3 1 0 0 = 5 1 1 0 3 = 5 3 = 30. Usando a operação em linha (C 1 C 4 ), obtemos: 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = 1. Correção do Exercício 8: Usando técnicas semelhantes ao exercício 3, obtemos: 3 1 6 = 0, logo esta matriz não é invertível, 3 1 4 = 0, logo esta matriz é invertível, 3 3 1 0 1 = 3 0, logo esta matriz é invertível, 0 3 1 1 d) 4 3 5 = 0, logo esta matriz é invertível, 1 1 3 e) 1 = 0, logo esta matriz não é invertível, 1 4 0 1 1 1 1 f) 1 3 0 1 1 = 0, logo esta matriz não é invertível. 0 0 7 3 7
Correção do Exercício 9: Efetuando operações em linhas, calculemos facilmente que: 1 x 1 x 1 det(v ) = 1 x x 1 x 3 x 3 1 x 1 x 1 = 0 x x 1 x x 1 0 x 3 x 1 x 3 x 1 = 1 x x 1 x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 = (x x 1 ) (x 3 x 1) (x 3 x 1 ) (x x 1) = (x x 1 ) (x 3 x 1 ) (x 3 + x 1 ) (x 3 x 1 ) (x x 1 ) (x + x 1 ) = (x x 1 ) (x 3 x 1 ) (x 3 + x 1 x x 1 ) = (x x 1 ) (x 3 x 1 ) (x 3 x ). A matriz V seja não singular se e somente se x 1, x, e x 3 são distintos dois a dois (isso é, se e somente se x 1 x, x x 3, e x 3 x 1 ). Correção do Exercício 10: Calculando os determinantes separadamente, obtemos: 1 0 0 det l,1 1 0 = 1 1 1 = 1, l 3,1 l 3, 1 u 1,1 u 1, u 1,3 det 0 u, u,3 = u 1,1 u, u 3,3. 0 0 u 3,3 Logo, usando a propriedade multiplicativa do determinante, obtemos facilmente que: 1 0 0 u 1,1 u 1, u 1,3 det(a) = det l,1 1 0 0 u, u,3 l 3,1 l 3, 1 0 0 u 3,3 = det 1 0 0 l,1 1 0 l 3,1 l 3, 1 det u 1,1 u 1, u 1,3 0 u, u,3 0 0 u 3,3 = u 1,1 u, u 3,3. Correção do Exercício 11: É uma consequência da propriedade multiplicativa do determinante, pois temos: det(a B) = det(a) det(b). Logo det(a B) é diferente de zero se e somente se ambos det(a) e det(b) são diferentes de zero. Concluemos que o produto AB é não singular se e somente se A e B ambas são não singulares. 8
Referências [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC 011. 9