Lista de exercícios 8 Mudança de Bases

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1 Universidade Federal do Paraná 1 semestre 015. Algebra Linear CM 005 Olivier Brahic Física - TA Lista de exercícios 8 Mudança de Bases Observação: no livro do Leon [1] o autor chama de matriz de transição de B 1 para B o que a maioria dos outros autores chamam de matriz de transição de B para B 1 (as duas terminologias fazem sentido mas para razões diferentes!). No presente documento usamos a terminologia do Steven J. Leon. Exercícios da Seção 3.5 Exercício 1: Para cada um dos itens seguintes encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de {u 1 u } para {e 1 e }. a) u 1 () u ( 1) b) u 1 (1 ) u ( 5) c) u 1 (0 1) u (1 0). Exercício : Para cada uma das bases oredenadas {u 1 u } no Exercício 1 encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de {e 1 e } para {u 1 u }. Exercício 3: Sejam v 1 (3 ) e v (4 3). Para cada base ordenada {u 1 u } dada no Problema ache a matriz de transição de {v 1 v } para {u 1 u }. Exercício 4: Seja E [(5 3) (3 ) ] e sejam x () y ( 1) e z (10 7). Determine os valores de [x] E [y] E e [z] E. Exercício 5: Sejam u 1 : ( 1) u : (1 ) e u 1 : ( 3 4). a) Encontre a matriz de transição corespondente à mudança de base de {e 1 e e 3 } para {u 1 u u 3 }. b) Encontre as coordenadas dos vetores seguintes em relação a {u 1 u u 3 }. i) (3 5) ii) ( ) iii) ( 3 ). Exercício 6: Sejam v 1 : (4 6 7) v : (0 ) v 3 : (0 1 ) e u 1 u u 3 os vetores do Exercício 5. a) Encontre a matriz de transição de {v 1 v v 3 } para {u 1 u u 3 }. b) Se x v 1 + 3v 4v 3 encontre o vetor de coordenadas de x em relação a {u 1 u u 3 }. 1

2 Exercício 7: Dados: v 1 : v : ( ) 3 S : ( ) encontre vetores w 1 e w tais que S seja a matriz de transição de {w 1 w } para {v 1 v }. Exercício 8: Dados: v 1 : ( ) 6 v : 4 S : ( ) encontre vetores w 1 e w tais que S seja a matriz de transição de {v 1 v } para {u 1 u }. Exercício 9: Sejam {x 1} e {x 1 x + 1} bases ordenadas para P. a) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {x 1 x + 1} para {x 1}. b) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {x 1} para {x 1 x + 1}. Exercício 10: Encontre a matriz de mudança de coordenadas em P 3 {1 x x } para a base ordenada { + x 1 + x + x }. da base ordenada

3 Coreçoẽs: Correção do Exercício 1: A matriz de transição correspondente à mudança de base de {u 1 u } para {e 1 e } é a matriz cujas colunas são os vetores coordenadas dos vetores {u 1 u } na base {e 1 e }. Segue que: a) M (B1 B ) ( 1 ) b) M (B1 B ) onde notemos as bases B : {u 1 u } e B 1 : {e 1 e }. c) M 5 (B1 B ) ( ) Correção do Exercício : A matriz de transição da base B 1 {e 1 e } para a base B {u 1 u } é a inversa da matriz de transição de B para B 1. Segue que: ( ) a) M (B B 1 ) M 1 (B 1 B ) [ ] ( ) b) M (B B 1 ) M 1 (B 1 B ) [ ] 5 ( ) c) M (B B 1 ) M 0 1 (B 1 B ) [ ] 1 0 ( ) 1/ 1/ / 1/ ( ) 5 1 ( ) Correção do Exercício 3: Notemos B 3 a base B 3 : {v 1 (3 ) v (4 3) }. A matriz de transição de B 3 para B é obtida multiplicando a matriz de transição de B 3 para B 1 com a matriz de transição de B 1 para B. A matriz de transição de B 3 para B 1 é dada por: ( ) 3 4 M (B1 B 3 ). 3 Segue que: 1/ 1/ 3 4 5/ 7/ a) M (B B 3 ) M (B B 1 ) M (B1 B 3 ) [ ] / 1/ 3 / / b) M (B B 3 ) M (B B 1 ) M (B1 B 3 ) [ ] c) M (B B 3 ) M (B B 1 ) M (B1 B 3 ) [ ] Correção do Exercício 4: Notemos B 1 : {e 1 e } a base padrão de R. A matriz de transição da base E {(5 3) (3 ) } para a base padrão é dada por: ( ) 5 3 M (B1 E). 3 A matriz de transição da base padrão B 1 para a base E {(5 3) (3 ) } é dada pela inversa ou seja: ( ) ( ) M (E B1 ) M (B 1 E) [ ]

4 Os vetores de coordenadas [x] E [y] E e [z] E de x () y ( 1) e z (10 7) na base E são obtidos multiplicando M (E B1 ) para os vetores de coordenadas [x] B1 () [y] B1 (1 ) e [z] B1 (10 7) na base padrão calculemos que: 3 1 [x] E M (E B1 ) [x] B [y] E M (E B1 ) [y] B [z] E M (E B1 ) [z] B Correção do Exercício 5: a) Notemos B 1 : {e 1 e e 3 } a base padrão de R 3 e B a base B : {u 1 ( 1) u : (1 ) u 3 : ( 3 4) }. A matriz de transição da base B para a base padrão é dada por: M (B1 B ) A matriz de transição da base padrão B 1 para a base B é dada pela inversa ou seja: M (B B 1 ) M (B 1 B ) [ ]. 0 1 b) O vetor de coordenadas na base B sendo obtido por multiplicação para M (B B 1 ) do vetor de coordenadas na base B 1 temos que: i) [x] B M (B B 1 ) [x] B ii) [y] B M (B B 1 ) [y] B iii) [z] B M (B B 1 ) [z] B Correção do Exercício 6: a) Notemos: B 1 a base padrão de R 3 B 1 : {e 1 e e 3 } B a base B : {u 1 ( 1) u : (1 ) u 1 : ( 3 4) } B 3 a base B 3 : {v 1 (4 6 7) v (0 ) v 3 (0 1 ) }. 4

5 A matriz de transição da base B 3 para a base padrão é dada por: M (B1 B 3 ) Jà calculàmos no Exercício 5 que a matriz de transição da B 1 para a base B era: 0 M (B B 1 ). 0 1 A matriz de transição da base B 3 para a base B é obtida por multiplicação: M (B B 3 ) M (B B 1 ) M (B1 B 3 ) 6 [ ] b) O vetor x v 1 + 3v 4v 3 tem coordenadas [x] B3 ( 3 4) na base B 3. As coordenadas de x em B podem ser obtidas por multiplicação de [x] B3 com M (B B 3 ) da forma seguinte: Correção do Exercício 7: Notemos: 1 [x] B M (B B 3 ) [x] B B 1 a base padrão de R B a base B : {v 1 (1 ) v ( 3) } B 3 a base incógnita B 3 : {w 1 w }. 3 4 A estratégia é a seguinte: as colunas da matriz de transição de B 3 para B 1 sendas dadas para os vetores coordenadas de {w 1 w } na base padrão é so calcular M (B1 B 3 ). Queremos que S seja a matriz de transição de B 3 para B isso é: S M (B B 3 ) M (B B 1 ) M (B1 B 3 ). Multiplicando à esquerda os dois lados dessa expressão para M (B B 1 ) obtemos: M (B1 B 3 ) M (B B 1 ) S M (B1 B ) S ( ) ( ) ( ) Concluemos que: Correção do Exercício 8: Notemos: w 1 : ( ) 5 9 w : 4 5

6 B 1 a base padrão de R B a base B : {v 1 ( 6) v (1 4) } B 3 a base incógnita B 3 : {u 1 u }. A estratégia é a seguinte: as colunas da matriz de transição de B 3 para B 1 sendas dadas para os vetores coordenadas de {u 1 u } na base padrão é so calcular M (B1 B 3 ). Queremos que a matriz S seja a matriz de transição de B para B 3 isso é: S M (B3 B ) M (B3 B 1 ) M (B1 B ). Multiplicando à direita os dois lados dessa expressão para M (B 1 B ) obtemos: Passando aos inversos temos que: M (B1 B 3 ) M (B 3 B 1 ) ) M (B3 B 1 ) S M (B 1 B ) S M (B B 1 ) ( S M (B B 1 ) M (B B 1 ) S ( ) ( ) M (B1 B ) S ( ) ( ) 1/ / ( 0 ) 1 5 Concluemos que: u 1 ( ) 0 u 5 Correção do Exercício 9: Notemos: B 1 a base de P 3 dada por B 1 : {x 1} B a base de P 3 dada por B : {x 1 x + 1}. a) É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B na base B 1 são: [x 1] B1 ( ) [x + 1] B1 ( 1). Logo a matriz de mudança de base de B para B 1 é dada por M (B1 B ) ( ). 1 b) A matriz de transição de B 1 para B sendo a matriz inversa da matriz de transição de B para B 1 calculemos que: ( ) M (B B 1 ) M 1/4 / (B 1 B ) [ ]. 1/4 1/ Correção do Exercício 10: Notemos: 6

7 B 1 a base de P 3 dada por B 1 : {1 x x } B a base de P 3 dada por B : { + x 1 + x + x }. É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B na base B 1 são dados por: [1] B1 (1 0 0) [1 + x] B1 ( 0) [1 + x + x ] B1 ( 1). Logo a matriz de transição de B para B 1 é dada por 1 M (B1 B ) A matriz de transição de B 1 para B sendo a matriz inversa da matriz de transição de B para B 1 calculemos que: 1 0 M (B B 1 ) M (B 1 B ) [ ] Referências [1] Steven J. Leon Álgebra Linear com aplicações 8 a edição LTC