16/11/016 Fisica I IO Movimento Periódico Prof. Cristiano Oliveira Ed. Basilio Jafet sala 0 crislpo@if.usp.br Movimento Periódico A compreensão de movimentos periódicos é essencial para o estudo de ondas, som, correntes alternadas, luz, radiação, etc. Um corpo que está em movimento periódico está em uma situação de equilíbrio estável. Quando é colocado fora deste ponto de equilíbrio surge uma força, ou torque, restaurador e o coloca de volta no equilíbrio. Existem vários tipos de sistemas que seguem movimentos periódicos, mas utilizaremos como exemplos simples pêndulos e sistemas massa mola. Estes sistemas servem de base para a descrição de outros casos mais complexos. 1
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16/11/016 Descrevendo oscilações Tirando uma mola de sua posição de equilibrio, surge uma força restauradora. Amplitude, frequência e frequência angular A amplitude do movimento, denotada por A, é o valor em módulo do máximo deslocamento a partir do equilíbrio ( x ), É um valor sempre positivo. A unidade dependerá do tipo de oscilação que estivermos olhando. Se for a oscilação de uma mola, a unidade seria o metro (m). O período, T, é o tempo que leva para termos um ciclo. É uma quantidade sempre positiva. No SI sua unidade é em segundos mas algumas vezes se utiliza "segundos por ciclo". A frequência, f, é o numero de ciclos que se tem por unidade de tempo. É uma quantidade sempre positiva. No SI sua unidade é o hertz: A frequência angular,, é vezes a frequência f: Da definição de f,t e é obvio que, 3
16/11/016 Movimento Harmônico Simples O tipo mais simples de oscilação ocorre quando uma força restauradora F x é diretamente proporcional com o deslocamento a partir do equilíbrio, x. Isto ocorre em uma mola que segue a Lei de Hooke. A constante de proporcionalidade entre F x exéaconstantedemola,k. Quando se tira o corpo da posição de equilíbrio, F x e x sempre possuem sinais opostos. A componente x da força que a mola exerce no corpo é: Esta equação fornece o modulo e sinal corretos para a força, independente do valor de x (positivo, negativo ou nulo). A constante de mola k é sempre positiva e tem unidade de N/m. Como não assumimos atrito, equação acima provê a força resultante no corpo. Quando a força resultante é diretamente proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio, a oscilação é chamada movimento harmônico simples, MHS (simple harmonic Movement SHM) 4
16/11/016 Movimento Harmônico Simples Da segunda lei de Newton, d x Mas, a, logo dt k a x m F x ma d x k x dt m Equação diferencial de segunda ordem Um corpo cujo movimento satisfaz esta equação é denominado oscilador harmônico. Este caso é extremamente importante na física pois nem todos os movimentos periódicos são harmônicos simples, ou seja, a força restauradora pode depender de outras potencias do deslocamento. No entanto o oscilador harmônico simples serve como primeira aproximação em diversos casos onde as oscilações são pequenas. Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples Iremos demonstrar que a projeção da bola no eixo horizontal (ou no vertical) descreve um movimento harmônico simples. 5
16/11/016 Na animação abaixo é possível intuir que tal afirmação é verdadeira. Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples Quando o ponto Q se move em torno do circulo de referencia com velocidade angular constante, ovetor OQ gira com a mesma velocidade angular. Este vetor girante é denominado fasor. A componente x do fasor no instante t é a coordenada x do ponto Q: Esta é também a coordenada x da sombra P, que é a projeção de Q no eixo x. Assim a velocidade x da sombra P ao longo do eixo x é igual à componente x do vetor velocidade no ponto Q. Como o ponto Q está em um movimento circular uniforme, sua aceleração a Q é sempre direcionada na direção de O. Assim, o modulo de a Q éconstanteedado por: v aq, v. A aq A A 6
16/11/016 Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples A componente de a Q é a x = a Q cos, assim A aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao deslocamento x e sempre tem sinal oposto a este. Como mostrado antes, estes são os requisitos do MHS. Esta equação é a mesma obtida para o oscilador harmônico se substituirmos a velocidade angular do ponto de referencia Q pela relação entre a constante de mola k e a massa m: Esta relação permite entender porque a velocidade angular do ponto Q pode ser entendida como frequência angular do ponto P. Se o ponto Q faz uma volta completa no tempo T então opontopvaievoltaemumciclocompletodeoscilaçãonestemesmotempo.assimtéo período de oscilação. DuranteotempoTopontoQsedeslocaderadianos, logo, sua velocidade angular é = /T, o que justifica a relação entre frequência angular e frequência, Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples Deste modo, podemos interpretar a frequência angular do movimento harmônico simples para um corpo de massa m sob a ação de uma força restauradora com constante de mola k: Desta forma, para um corpo oscilando em MHS o valor de épré definido pelos valores de k e m. A unidade de K é N/m, ou, kg/s, assim, k/m =(kg/s )/kg = s. Quando tiramos a raiz obtemos s 1, ou mais precisamente rad/s pois esta é uma frequência angular. (lembre que o radiano é uma medida angular vinda da razão entre dois comprimentos, ie, é um número puro) Assim, Quanto maior a massa, maior sua inercia, e assim menor sua aceleração: ela se move mais lentamente e leva mais tempo para completar um ciclo. Por outro lado, quanto mais dura a mola (k maior) maior a força restauradora e assim maior a aceleração: maiores velocidades e menores tempos T por ciclo. 7
16/11/016 Diapasão de som Período e Amplitude no MHS O período e a frequência no MHS são determinados pela massa m econstantedemola k. Sendo assim, no MHS a o período e frequência não dependem da amplitude A. Definidos os valores de m e k, o tempo de uma oscilação é o mesmo independente de a amplitude ser grande ou pequena. Deslocamentos maiores acabam por causar forças restauradoras maiores e em consequência maiores acelerações. Este ganho de velocidade compensa o deslocamento maior e assim o tempo do ciclo se mantem constante. 8
16/11/016 Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS ParatermosoconhecimentocompletodoMHSénecessáriotermosasoluçãoda equação diferencial para o deslocamento x. Existem várias formas de obter a solução. Pela analogia com o movimento circular uniforme, fica claro que a solução envolve uma função seno ou cosseno pois a projeção do fasor era x=acos. Agora,noMHS, = t + onde =(k/m) 1/ e o ângulo inicial do fasor. Assim, Veja que a escolha da função cosseno é arbitraria. A solução também pode ser escrita em termos de uma função seno pois No movimento harmônico simples, a posição é periódica e com perfil senoidal em função do tempo. Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS O valor da função cosseno varia entre 1 e1, logo, x sempre está entre A ea.assimaéa amplitude do movimento. O período T é o tempo para um ciclo completo de oscilação. A função cosseno repete a si mesma sempre que a quantidade nos parênteses aumenta pela quantidade radianos. Assim, Se iniciamos em t=0, o tempo T para um ciclo completo é, Que repete a equação obtida anteriormente. 9
16/11/016 Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS Aconstante é chamada de angulo de fase, e nos fornece o ponto de inicio do movimento para t=0. Para t=0 temos o ponto x 0. Assim, Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS Definida a função que descreve o deslocamento podemos obter a velocidade e a aceleração do sistema, A velocidade v x oscila entre v max = +A e v max = A, e a aceleração varia entre a max =+ A e a max = A. Como =k/m, que é o mesmo resultado obtido para o MHS. 10
16/11/016 Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS Se nos é dado uma posição inicial x 0 e uma velocidade inicial v x0 para um corpo em movimento oscilatório, pode se determinar a amplitude A e o angulo de fase. Se a velocidade inicial é v x0, colocamos t=0 na equação da velocidade e obtemos, Para obtermos, dividimos a equação de v 0x pela equação de x 0 : Para obtermos A, temos, x0 Acos x0 A cos v x (1) v0 x Asin 0 Asin v 0 x A cos () (1) () A cos A sin x A 0 x 0x v 0 A cos sin x 0 0x v 0x v 11
16/11/016 Energia no MHS Para um oscilador massa molaaforçafeitapelamolaéaúnicaforçahorizontalagindo no corpo. A força feita por uma mola ideal é conservativa, e as forças verticais não realizam trabalho. Logo a energia mecânica é conservada. A energia cinética é K=½mv e a energia potencial U=½kx. Logo, como E=K+U, Quando o corpo atinge a máxima amplitude, x=a, ele para momentaneamente e volta no sentido oposto. Logo, quando x=a (ou A), v x =0. neste ponto a Energia é totalmente potencial sendo, E=½kA. Como E é constante temos, Este resultado pode ser demonstrado diretamente, utilizando as expressões de v x e x, e lembrando que =k/m 1
16/11/016 Podemos obter a velocidade do corpo em MHS em termos da amplitude e da posição: Os dois possíveis sinais indicam que o corpo pode estar se movendo em ambos os lados da posição de equilíbrio. Veja que a máxima velocidade ocorre quando x=0 (posição de equilibrio), sendo Energia no MHS : Interpretando U, K e E 1 U kx 1 Parábola com concavidade para baixo 1 K mvx k A Parábola com concavidade para cima 1 E U K kx x 1 k Energia mecânica constante! 1 A x ka 13
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16/11/016 MHS na vertical APLICAÇÕES DO MHS Vamos supor que uma mola de constante k suspende um corpo com massa m. As oscilações agora ocorrerão na vertical. Inicialmente o corpo é sustentado parado, em equilíbrio. Nesta posição a mola é esticada de uma quantidade dl de modo que a força exercida pela mola equilibra o peso mg: Quando o corpo está a uma distancia x acima da posição de equilíbrio, a distensão da mola édl x. A força resultante no corpo é então, k(l x) e a componente resultante será: Ouseja, umaforçaparabaixocommodulokx. Similarmente, quando a distensão é para baixo, surge uma força para cima. Sendo assim a oscilação ocorre em torno da nova posição de equilíbrio induzida pelo peso do corpo. 15
16/11/016 MHS angular Um relógio mecânico mantem a hora baseado nas oscilações de uma roda de balanço. A roda possui momento de inércia I em torno do eixo. Uma mola helicoidal exerce um torque restaurador z que é proporcional ao deslocamento angular, a partir de sua posição de equilíbrio. Escrevemos z =, onde (kappa) éaconstantede torsão. Usando a segunda Lei de Newton Rotacional, =I =Id /dt,obtemos A forma desta equação é a mesma da anterior, alterando x por e k/m por / I. Assim, temos uma forma angular do movimento harmônico simples. Com isso podemos escrever : O movimento de uma roda de balanço oscilando é harmônico simples! 16
16/11/016 Pendulo simples O pendulo simples é um modelo idealizado de um ponto material suspenso por uma corda sem massa e inextensível. Quandoopontomaterialémovidoparaumdosladosde sua posição de equilíbrio, ele oscila em torno desta posição de equilíbrio. O caminho do ponto material não é uma linha reta, mas sim um arco de circulo com raio L igual ao comprimento da corda. Vamos definir a coordenada x como sendo a distancia aolongodoarco Se o movimento é harmônico simples, a força restauradora deve ser diretamente proporcional a x, ou, como x = L, a. Iremos demonstrar isso. Nafiguraaoladorepresentamosasforçasna massa em termos das componentes tangenciais e radiais. Pendulo simples Galileu Galilei Percebeu que independentemente da distância percorrida pelo pêndulo, o tempo para completar o movimento é sempre o mesmo. A duração do movimento pendular não é afetada pelo peso do corpo suspenso, mas sim pelo tamanho da corda que o suspende. 17
16/11/016 Interessantemente, Galileo Galilei morreu sem ver seu relogio ser 4300USD$ implementado, em 1641. Seu filho, Vincenzo Galilei decidiu tentar finalizar o projeto em 1649, usinando ele proprio as engrenagens. Infelizmente morreu alguns meses depois sem ter o relogio funcionando. Em 1659, Vincenzo Viviani, amigo e biografo de Galileo recuperou os desenhos e levou para o Principe de Florentina. Somente o desenho sobrou pois todas as partes mecanicas feitas pelos Galilei haviam desaparecido. http://www.panerai.com/en/collections/clocksand instruments/pendulum clock/643 pendulumclock pam00500 Tida como primeira invenção de Galileo, o relogio de pendulo foi finalmente implementado pelo mestre relojoeiro de Florentina, Eustachio Porcellotti in 1887. Atualmente a Empresa PANERAI reproduz replicas do relogio de Galileo. Pendulo simples A força restauradora F é a componente tangencial da força resultante: A força restauradora é feita pela gravidade. A tensão T faz o ponto material se mover no arco. A força restauradora não é proporcional a mas a sin, logo, em principio, não é um movimento harmônico simples. Porém se o angulo é pequeno, sen épraticamente igual a, quando o angulo é dado em radianos. Por exemplo, quando =0.1 rad (~6º), sin =0.0998, uma diferença de 0.%. Com essa aproximação, A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos com constante de mola k = mg/l. Assim a frequência angular do pendulo para pequenas oscilações é, 18
16/11/016 Pendulo simples Assim, para um pendulo simples com pequenas oscilações: Note que estas formulas não envolvem a massa da partícula. Isso ocorre pois a força restauradora é o peso da partícula, o qual é proporcional a m. Para pequenas oscilações o período do pendulo, para um dado g, depende somente do comprimento do mesmo. Deve se ter em mente que o pendulo é aproximadamente harmônico simples. Quando a amplitude não é pequena a diferença para o harmônico simples é substancial. Para se ter uma ideia do qual pequeno, significa, pode se ter a solução do pendulo em termos de uma serie de potencias do ângulo máximo : Por exemplo, se =15º, a diferença é menor que 0,5%. Como mencionado antes, um dos principais usos de pêndulos é para medida de tempo, uma vez que o período praticamente não depende da amplitude da oscilação. Assim, em relógios de pendulo, mesmo que a amplitude da oscilação diminua, o relógio continua marcando o tempo corretamente! 19
16/11/016 Pendulo Físico Um pendulo físico é qualquer pendulo real composto por um corpo extenso, então por uma massa concentrada em um único ponto como no pendulo simples. Para pequenas oscilações, o movimento de um pendulo real é muito semelhante ao de um pendulo simples. O corpo está preso a um pivô, que o permite girar sem atrito. A distancia deste pivô para o centro de gravidade (massa) do corpo é d eomomentodeinérciadestecorpo para com o eixo de rotação passando pelo pivô é I, com massa total m. Quando o corpo se deslocado de seu equilíbrio, surge um torque restaurador dado por, O sinal negativo mostra que o torque é oposto ao deslocamento do corpo. Quando o corpo é solto, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. Novamente o movimento não é harmônico simples pois o torque é proporcional a sen enãoa. Pendulo Físico Similarmente ao caso do pendulo simples, se for pequeno, podemos aproximar sin por, em radianos. Assim, o movimento será aproximadamente harmônico simples. Assim, Da Segunda Lei de Newton para os torques, Novamente temos a equação diferencial de segunda ordem, característica do movimento harmônico simples. Neste caso, a relação k/m édadapormgd/i, assim, Esta equação para o período é utilizada para a determinação experimental do momento de inércia de um corpo com forma complicada. Se suspendemos o corpo por um eixo passando pelo centro de gravidade, e medimos o período para pequenas oscilações, pode se determinar I. 0
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16/11/016 Oscilações amortecidas Ate agora abordamos sistemas oscilatórios sem atrito. Todas as forças são conservativas, a energia mecânica é constante e o sistema pode oscilar infinitamente sem a perda de amplitude. Sistemas reais sempre possuem forças dissipativas e assim as oscilações acabam a não ser que a perda da energia mecânica dissipada seja reposta de alguma maneira. Na ausência desta reposição, as oscilações cessam. A diminuição da amplitude de oscilação causada por forças dissipativas é denominada amortecimento e assim teremos as chamadas oscilações amortecidas. Oscilador Ideal Oscilador Amortecido Oscilações amortecidas O caso mais simples para se analisar é o oscilador harmônico com amortecimento por atrito que é proporcional à velocidade do corpo oscilatório. Temos este caso quando o corpo se move em um fluido viscoso, como em amortecedores de carro ou superfícies em contato lubrificadas por óleo. Na prática teremos uma força adicional, onde é a velocidade e b a constante que descreve a força da força de amortecimento. O sinal negativo mostra que a força é sempre oposta à direção da velocidade. A força resultante será, A segunda Lei de Newton para o sistema será, Tratar se de uma equação diferencial em x, similar à anterior, mas com o termo bdx/dt. A resolução desta equação é feita com técnicas de resolução de equações diferenciais. Como Resolver?
16/11/016 Oscilações amortecidas Se o amortecimento é fraco, o movimento será descrito por, A frequência angular de oscilação será, Comparado com o caso sem amortecimento temos duas diferenças. Primeiro a amplitude de oscilação, dada por Ae (b/m)t, não é constante e decresce com o tempo devido ao termo exponencial e (b/m)t. Nesta condição temos o amortecimento fraco. Segundo, a frequência angular, não é igual à = (k/m) 1/ mas um pouco menor. Oscilações amortecidas A frequência angular poder ser até zero se b aumentar de modo que, Quando esta equação é satisfeita têm se a condição de amortecimento crítico. O sistema não oscila e retorna à posição de equilíbrio sem nenhuma oscilação. 3
16/11/016 Oscilações amortecidas Se b é maior que (km) 1/ a condição é chamada superamortecida. Novamente não temos oscilação, mas o sistema retorna ao equilíbrio mais lentamente que o amortecimento critico. Para o caso superamortecido tem se as solução, sendo C 1 e C constantes que dependem das condições iniciais e a 1 e a constantes determinadas por m, k e b. x(t) fraco critico supercritico Energia em Oscilações Amortecidas t x(t) fraco critico supercritico Em oscilações amortecidas a força de amortecimento não é conservativa, assim a energia mecânica do sistema não é constante e decresce continuamente ate zero. Para obtermos a taxa de mudança de energia podemos partir da expressão da energia mecânica em um dado instante: Para obter a taxa de mudança desta quantidade, tomamos a derivada temporal: Mas, e, logo Como,, temos: O termo é a taxa na qual a força de amortecimento faz trabalho no sistema (ou seja, potencia de amortecimento), que é igual a taxa com que a energia mecânica muda. Um comportamento análogo ocorre em circuitos elétricos contendo resistores, capacitores e indutores! t 4
16/11/016 Oscilações Forçadas e Ressonância Em oscilações amortecidas o sistema dissipa a energia e para de se mover. No entanto, pode se manter uma oscilação em amplitude constante quando se aplica uma força externa que varia no tempo de modo cíclico, com frequência e períodos definidos. Denominamos esta força externa de força propulsora. Se aplicamos uma força externa variável, com frequência angular d em um oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é denominado oscilação forçada ou oscilação com força propulsora. Ele é diferente do movimento harmônico simples onde o sistema oscila com sua frequência natural determinada por m, k e b. Em oscilações forçadas, a frequência angular que o sistema é igual à frequência angular da força externa, d. Esta frequência não precisa ser igual a frequência angular natural do sistema. Como resolver as equações neste caso? Bem é necessário considerar outras formas de resolver equações diferenciais, agora com uma força externa. A solução será a composição da solução da equação homogênea com a obtida para a força externa: d x dx m b kx 0 dt dt d x dx m b kx f ( t) dt dt Solução Homogênea Solução Particular Solução Geral: Solução Homogênea + Solução Particular Oscilações Forçadas e Ressonância A solução homogênea, também denominada de transiente, se extingue rapidamente e o sistema entra em operação com a solução particular. O caso mais simples de força externa é a inserção de uma força oscilatória na forma senoidal (cossenoidal). Por exemplo, se tomarmos uma força na forma, F(t) = F max cos d t, a amplitude da oscilação resultante será dada por: Fmax A m b / m) Em um gráfico A vs. d /, teremos um máximo em d = (=(k/m) 1/ ). A altura deste pico pode aumentar ou diminuir, dependendo do fator de amortecimento (b ou b/m). Pode se mostrar que a largura do pico varia com 1/b. Note que o extremo de baixa frequência, d =0,fornece,A=F max /k. isso corresponde a uma força constante F max, e deslocamento A=F max /k a partir do equilíbrio, como esperado. d ( d 5
16/11/016 Oscilações Forçadas e Ressonância O fato da amplitude aumentar quando a frequência externa se aproxima da frequência natural do sistema é denominado ressonância. Diversos exemplos do cotidiano são associados à ressonância. Aumento da amplitude de oscilação de um balanço infantil pela aplicação de uma força com frequência igual à natural Uma tremedeira no carro quando atinge certa velocidade e a frequência de rotação das rodas é igual à alguma frequência interna do carro. A sintonia de um canal de radio ou TV ocorre quando se ajusta a frequência interna do circuito receptor para entrar em ressonância com uma dada frequência do sinal recebido. Assim pode se selecionar uma estação particular e rejeitar as outras. A m max para b 0 A ( b / m) m( d ) d F d F max Para d = Singularidade! Oscilações Forçadas e Ressonância No entanto, ressonância em sistemas mecânicos também pode ser destrutiva. Oaumento da amplitude pode causar oscilações muito grandes, gerando a fadiga e ruptura do material. Isso é particularmente importante para construções na engenharia civil, sujeitas a ação de ventos e intempéries. Ponte Tacoma Narrows, destruída quatro meses e seis dias após a inauguração (1940). A frequência de ressonância foi de 0.Hz 6
16/11/016 A ponte Angers, também conhecida como Ponte Basse Chaîne entrou em colapso em 16 de Abril de 1850 quando um batalhão de soldados franceses marchavam sobre ela, matando mais de 00 deles. O desastre aconteceu pois a marcha compassada dos soldados gerou uma força oscilatória externa que entrou em ressonância com a oscilação natural da ponte, gerando ressonância. Após este desastre, soldados quando passam por pontes e afins são liberados de marchar compassadamente para evitar eventuais ressonâncias. Frequências naturais de materiais podem gerar efeitos bastante peculiares. Abaixo temos placas de metal ligadas a um a um gerador de funções. Quando a força externa aplicada na placa ressoa com a frequência natural cria se os chamados modos normais de oscilação. Quando isso ocorre regiões da placa não oscilam e acabam armazenando o material particulado Com isso tem se um mapa D dos modos de vibração na placa 7