MAE116 - Noções de Estatística Grupo A - 1 semestre de 2015 Gabarito Lista 4 - Probabilidade - CASA Exercício 1. (2 pontos) Para cada um dos experimentos abaixo, descreva o espaço amostral e apresente o número de elementos, quando for o caso. a. (0,4 ponto) Numa determinada cidade, no mês de março, conta-se o número de problemas nas tubulações de água do bairro X. Do experimento de contar o número de problemas nas tubulações de àgua do bairro X no mês de março, poderemos observar 0 (nenhum problema), 1 (um problema), 2 (dois problemas), ou qualquer outro natural k (k problemas). Ademais, como não há garantias de que o número de problemas será menor que um suposto limite máximo, segue que o espaço amostral vinculado ao experimento em questão fica dado por Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}. Esse espaço amostral é um conjunto infinito enumerável, o que faz com que o mesmo tenha infinitos elementos. b. (0,4 ponto) Um fichário com 13 nomes contém três nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após ficha, até o último nome de mulher ser selecionado, e anota-se o número de fichas selecionadas. Note que nesse experimento, o resultado possível será um número que indica a quantidade de fichas selecionadas até(inclusive) o aparecimento do terceiro nome de mulher. Daí, o espaço amostral será dado por Ω = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, uma vez que é preciso de ao menos três fichas para a seleção dos três nomes de interesse e também pode ocorrer do terceiro nome de mulher aparecer apenas na última ficha selecionada. Esse espaço amostral tem 11 elementos. c. (0,4 ponto) De um grupo de seis pessoas A, B, C, D, E, F, sorteiam-se duas, uma após outra, sem reposição, e anota-se a configuração formada. Estamos interessados em sortear duas pessoas dentre seis e registrar o par obtido. Uma vez que o resultado possível é a configuração resultante desses dois sorteios, um após o outro, sem reposição, devemos notar, em primeiro momento, que uma mesma pessoa não poderá ser selecionada duas vezes. Assim, o espaço amostral será dado por 1
Ω = {AB, AC, AD, AE, AF, BA, BC, BD, BE, BF, CA, CB, CD, CE, CF, DA, DB, DC, DE, DF, EA, EB, EC, EF, F A, F B, F C, F D, F E}. Esse espaço amostral tem 30 elementos. Observação: O espaço amostral descrito acima é composto por configurações onde a ordem de seleção das pessoas é levada em consideração - o que ocorre na escolha de indivíduos para a obtenção do primeiro e segundo lugares em uma dada competição, por exemplo. Caso a ordem não fosse relevante - isto é, entender AB e BA como resultados iguais - o espaço amostral acima seria reduzido e dado por Ω = {AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF }, com 15 elementos. d. (0,4 ponto) Como ficaria o espaço amostral do item c se as retiradas fossem com reposição? A única diferença deste para o caso do item anterior é que a pessoa escolhida no primeiro sorteio também poderá ser escolhida no segundo. Assim, o espaço amostral ficará dado por Ω = {AA, AB, AC, AD, AE, AF, BA, BB, BC, BD, BE, BF, CA, CB, CC, CD, CE, CF, DA, DB, DC, DD, DE, DF, EA, EB, EC, EE, EF, F A, F B, F C, F D, F E, FF}, que tem 36 elementos. Observação: Na descrição do espaço amostral dado acima, foi considerado que a ordem de seleção das pessoas é importante. Caso a ordem não fosse, o espaço amostral acima seria dado por Ω = {AA, AB, AC, AD, AE, AF, BB, BC, BD, BE, BF, CC, CD, CE, CF, que tem 21 elementos. DD, DE, DF, EE, EF, F F } e. (0,4 ponto) Um fabricante de produtos alimentícios produz pacotes com 20 jujubas cada. As jujubas são produzidas em diversas cores e misturadas antes de serem empacotadas. Escolhe-se um pacote da produção e se observa quantas jujubas do pacote escolhido têm a cor vermelha. O número de jujubas vermelhas dentro de um pacote de 20 jujubas varia de 0(nenhuma jujuba vermelha no pacote) a 20(todas as jujubas do pacote são vermelhas). Logo, o espaço amostral será dado por que tem 21 elementos. Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, 2
Exercício 2. (2 pontos) O senhor M pode ir para a sua casa usando a estrada A ou a estrada B. Na estrada A ele tem probabilidade 0,20 de se atrasar devido a engarrafamentos, enquanto que na estrada B essa probabilidade vale 0,3. Se ele escolhe o caminho A com probabilidade 0,8 e o caminho B com probabilidade 0,2, qual é a probabilidade de que ele se atrase devido a engarrafamento? Consideremos os eventos A : O senhor M escolhe a estrada A, B : O senhor M escolhe a estrada B, C : O senhor M se atrasa devido ao engarrafamento. Usando destes termos, note que a probabilidade de que o senhor M se atrase devido ao engarrafamento é dada por P(C) = P(C A) + P(C B) = P(A) P(C A) + P(B)P(C B) = 0, 8 0, 2 + 0, 2 0, 3 = 0, 16 + 0, 06 = 0, 22. Em palavras, a probabilidade de que o senhor M se atrase devido a engarrafamento é igual à 0,22. Observação: Podemos estruturar e resolver o problema usando uma árvore de probabilidades, que ficaria dada por 0, 2 C 0, 8 A 0, 8 C c 0, 2 B 0, 3 C 0, 7 C c Nessa árvore, o evento C c representa a não ocorrência do evento C. Note que os ramos que levam ao atraso do senhor M por causa de engarrafamento são dados na cor vermelha. Somado as probabilidades vinculadas à cada um destes ramos (0, 8 0, 2 e 0, 2 0, 3), obteremos o mesmo resultado de antes - 0, 22. 3
Exercício 3. (3 pontos) Quando P (A) = 1/2, P (B) = 3/4 e P (A B) = 1, quanto vale a. (0,6 ponto) P(A B)? Pela regra de adição de probabilidades, temos que P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Com o uso dos valores dados no enunciado, segue que 1 = 1 2 + 3 P(A B) 4 P(A B) = 1 2 + 3 4 1 P(A B) = 2 + 3 4 4 P(A B) = 1 4. Um possível diagrama de Venn para representar o problema é dado abaixo. Legenda: B A Ω A B Nesse, imaginamos o espaço amostral como uma quadrado subdividido em quatro quadrados menores de áreas idênticas. Note que da forma como foi feita, os eventos A, B e A B representam, respectivamente, 3/4, 1/2 e 1/4 do espaço amostral. A vantagem dessa representação é que as as probabilidades dos eventos de interesse são proporcionais às áreas dos mesmos e levam à uma interpretação diretas das probabilidades. No entanto, essa é apenas uma representação. Outras representações também são possíveis. Em palavras, P(A B) indica a probabilidade de ocorrência conjunta dos eventos A e B. b. (0,6 ponto) P(A c B c )? Para a resolução desse item, deveremos usar da álgebra de eventos para reescrever o evento A c B c em função de eventos cujas probabilidades já são conhecidas. Para isso, note que A c = (A c B) (A c B c ), representa uma partição do evento A c em dois eventos disjuntos. Assim, pela regra da adição de probabilidades, 4
P(A c ) = P(A c B) + P(A c B c ). Uma vez que P(A c ) = 1 P(A), segue da equação acima que P(A c B c ) = 1 P(A) P(A c B). (1) Ademais, note também que B = (A c B) (A B) representa uma partição do evento B em dois eventos disjuntos. Pela regra da adição de probabilidades, segue que P(B) = P(A c B) + P(A B), isto é, P(A c B) = P(B) P(A B). Combinando este resultado com a equação 1, temos que P(A c B c ) = 1 P(A) P(B) + P(A B) = 1 P(A B). (2) Do enunciado, P(A B) = 1. Logo, P(A c B c ) = 0. Uma forma alternativa de obter o mesmo resultado é pelo uso da regra da complementação e do fato que A c B c = {A B} c, ilustrado na figura a seguir, em que o evento A c B c é representado pela figura hachurada. A B c. (0,6 ponto) P(A B c )? Basta notar que A B e A B c são dois eventos disjuntos, e que A = (A B) (A B c ). Daí, segue que P(A) = P(A B) + P(A B c ). Sabemos do enunciado que P(A) = 1/2 e, pelo item a, que P(A B) = 1/4. Substituindo tais valores na equação acima, temos que 5
P(A B c ) = 1/2 1/4 = 1/4. A representação do evento A B c é dada no diagrama de Venn exibido no item a pela parte branca com listras. Note que aquela parte representa um quarto do espaço amostral, conforme já indicado pelos cálculos acima. Em palavras, P(A B c ) indica a probabilidade de ocorrência de A em conjunto com a não ocorrência de B. d. (0,6 ponto) P(A c B)? Usando o mesmo argumento do item c, temos que P(B) = P(A B) + P(A c B). Do enunciado, P(B) = 3/4. Do item a, P(A B) = 1/4. Logo, segue que P(A c B) = 3/4 1/4 = 1/2. A representação do evento A c B é dada no diagrama de Venn exibido no item a, pela parte do espaço amostral que não possuí listras. Note que tal parte representa metade do espaço amostral, como evidenciam os cálculos acima. Em palavras, P(A c B) indica a probabilidade de ocorrência de B em conjunto com a não ocorrência de A. e. (0,6 ponto) P(A B) e P(B A)? Por definição, segue que P(A B) = P(A B) P(B) = 1/4 3/4 = 1 3 e P(B A) = P(A B) P(A) = 1/4 1/2 = 1 2. Pelo diagrama de Venn, poderíamos entender P(A B) como a proporção do evento B que implica a ocorrência do evento A - é como se reduzíssemos o espaço amostral para o evento B e determinássemos a probabilidade de A nesse novo cenário. Ao visualizar o diagrama dado no item a, veremos que um terço da região vinculada ao evento B está vinculada ao evento A, como indicam os cálculos acima. O mesmo raciocínio pode ser aplicado à P(B A). Note que metade do evento A também está vinculada ao evento B. Interprete cada situação utilizando o diagrama de Venn. As interpretações foram dadas no decorrer das resoluções dos itens. 6
Exercício 4. (3 pontos) Uma dada companhia elaborou uma campanha publicitária afim de divulgar um de seus produtos. Para um indivíduo escolhido ao acaso do público alvo da empresa, considere os eventos A: ele compra o produto e B: ele viu a campanha publicitária, e as seguintes probabilidades: P (B) = 1/4; P (A B) = 1/2 e P (B A) = 1/4. Responda: a. (0,7 ponto) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justifique. Pela regra do produto, temos que P(A B) = P(B) P(A B) = 1 4 1 2 = 1 8, uma vez que P(B) = 1/4 e P(A B) = 1/2. Como P(A B) = 1/8 > 0, temos que os eventos A e B não são mutuamente exclusivos (seria necessário que a intersecção entre ambos fosse vazia, o que não ocorre). b. (0,7 ponto) Os eventos A e B são independentes? Justifique. Do enunciado, temos que P(B A) = P(B) = 1/4. Daí, pela definição de independência, segue que os eventos A e B são independentes. c. (0,7 ponto) Compare os valores de P(A) e P(A B). Com base nessa comparação, você diria que a campanha publicitária em questão foi eficiente? Justifique. Uma vez que, pelo item b, os evento A e B são independentes, temos que P(A) = P(A B) = 1/2. Por tais resultados pode-se concluir que a campanha publicitária foi ineficiente, já que a probabilidade de um dado indivíduo comprar o produto, dado que viu a campanha, se manteve igual à probabilidade do mesmo comprar o produto independente da campanha, isto é, ver a campanha não altera a probabilidade de compra do produto. d. (0,9 ponto) Calcule a probabilidade de não comprar o produto dado que não viu a propaganda. A probabilidade desejada é dada por P(A c B c ) = P(Ac B c ) P(B c. ) Temos que P(B c ) = 1 P(B) = 1 1/4 = 3/4 e que P(A c B c ) = 1 P(A B) = 1 + P(A B) P(A) P(B) = 1 + 1/8 1/2 1/4 = 3/8. Logo, P(A c B c ) = 3/8 3/4 = 1 2, isto é, a probabilidade de não comprar o produto dado que não viu a propaganda é igual à 0,5. 7