1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0 4y 2. Sabendo que a matriz S = 1 x + 2y z 4 4 5 5 3z + 6 3x y 0 é simétrica determine os valores de x, y e z. 3. Determine a matriz [a ij 4 4 cujas entradas satisfazem a condição a ij = i j 1. 4. Seja A = [a ij uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, que denotamos por tr(a, é a soma dos elementos da diagonal principal, isto é, tr(a = a 11 + a 22 + + a nn = n i=1 a ii Mostre que as expressões tr(aa T e tr(a T A estão bem denidas, independentemente do tamanho de A. Prove que tr(aa T = tr(a T A para qualquer matriz A. 5. Considere as matrizes A = 3 0 1 2 1 1 B = ( 4 1 0 2 C = ( 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 1 1 2 4 1 3 Efetue, se possível, as operações: (a 4E 2D (b 2B C (ctr(d (d tr(a (e D T E T (f (E D T (g B T + 5C T (h BA T (i BBB = B 3 6. Dada uma matriz quadrada A, se existir uma matriz C que satisfaça AC = CA = I, dizemos que C é a inversa de A e denota-se C por A 1, ou seja, A 1 A = AA 1 = I. Mostre que se A e B são matrizes inversíveis (isto é, existem A 1 e B 1, então AB é inversível e (AB 1 = B 1 A 1. 7. Dadas A = AB = AC. 1 3 2 2 1 3 4 3 1, B = 1 4 1 0 2 1 1 1 1 2 1 2 e C = 2 1 1 2 3 2 1 1 2 5 1 0. Mostre que 8. Suponha que A 0 e AB = AC, onde A, B, C são matrizes tais que a multiplicação esteja denida. (a B = C? (b Se existir uma matriz Y, tal que Y A = I, onde I é a matriz identidade, então B = C?
2 9. Uma matriz M cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal: M 1 = M T, isto é, MM T = M T M = I. Mostre que a matriz M = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 é uma matriz ortogonal. 10. Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem. (a P Q é uma matriz ortogonal? (b P T é uma matriz ortogonal? Justique sua resposta. 11. Verique se as armações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra exemplo. (a ( A T = (A T (b (A + B T = B T + A T (c Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0. (d ( A( B = (AB (e Se A e B são simétricas, então AB = BA. (f Se AB = 0, então BA = 0. (g Se podemos efetuar o produto A A, então A é uma matriz quadrada. (h Se A é uma matriz quadrada simétrica e B é uma matriz ortogonal, então a matriz A + B 1 nunca será simétrica. (i Se A é não inversível e AB = 0, então B = 0. (j Seja A uma matriz quadrada, então tr(a + B = tr(a + tr(b. (k Se A é uma matriz triangular superior, então A T é uma matriz triangular inferior. (l Existe alguma matriz A tal que A 0 e A 2 = 0. (m Existe alguma matriz A tal que A 0 e A 2 = A. (n Se A é uma matriz diagonal, então A T também é diagonal. (o Se A é uma matriz triangular superior, então A 2 é uma matriz diagonal. (p Se A é uma matriz quadrada, então A + A T também é simétrica. (q Se A é uma matriz quadrada, então A A T é anti-simétrica. 12. Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica, ou seja, A = S +N onde S é uma matriz simétrica e N é uma matriz anti-simétrica. 13. Mostre que se A é simétrica, então B T AB é simétrica (B quadrada de mesma ordem que A. 14. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Explique por que, em geral, (A+B 2 A 2 +2AB+B 2 e (A + B(A B A 2 B 2. 15. Mostre que se A tem uma linha de zeros e B é uma matriz qualquer para a qual o produto AB está denido, então AB também tem uma linha de zeros. Encontre um resultado similar valendo para uma coluna de zeros. 16. Sejam A, B e C matrizes do tipo n n. Verique se as armações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra exemplo. (a det(ab = det(ba
3 (b det(a T = deta (c det(2a = 2detA (d det(a 2 = (deta 2 (e deta ij < deta (f Se A é uma matriz 3 3, então a 11 11 + a 12 12 + a 13 13 = a 21 21 + a 22 22 + a 23 23. (g Se deta = 1, então A 1 = A. (h Se A é uma matriz triangular superior e A 1 existe, então também A 1 será uma matriz triangular superior. (i Se A é uma matriz n n da forma ki n, então deta = k n. (j Se A é uma matriz triangular, então deta = a 11 + + a nn. (k Se A é ortogonal, então deta = ±1. (l det(i + A = 1 + deta. (m Se A é inversível e AB = 0, então B = 0. (n Se A é anti-simétrica inversível, então A 1 é anti-simétrica. (o Se A, B e C são matrizes inversíveis, então (ABC 1 = C 1 B 1 A 1. (p Se deta = 0, então A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. (q Se a forma escalonada reduzida por linhas de A tiver uma linha de zeros, então deta = 0. (r Não existe matriz A para a qual det(aa T = 1. (s Se A é uma matriz anti-simétrica de ordem 3, então deta = 0. 17. Seja A = a b c d e f g h i. Supondo que det(a = 7, obtenha: (a det(3a (b det(a 1 (c det(2a 1 (ddet((2a 1 (e A = 18. Mostre que 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 = (a b(b c(c a. a g d b h e c i f. 19. Em cada item, [ use a informação dada para [ encontrar A. 2 1 3 7 (a A 1 =. (b (7A 3 5 1 = 1 2. (c (5A T 1 = [ 3 1 5 2. 20. Mostre que se uma matriz quadrada A satiszer A 2 3A + 1 = 0, então A 1 = 3I A. 21. Dê exemplos de matrizes A e B tais que: (a A e B são inversíveis mas A + B é não inversível. (b A e B não são inversiveis mas A + B é inversível. (c A, B e A + B são inversíveis. No caso em que A, B e A + B são inversíveis mostre que B 1 + A 1 também é inversível e determine (B 1 + A 1 1. Dica: Use que A 1 (A + BB 1 = B 1 + A 1.
4 22. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz S inversível tal que B = S 1 AS. Mostre que deta = detb se A e B são semelhantes. 23. Dada a matriz A = 2 1 3 0 2 3 5 1 3 calcule (a adja (b deta (c A 1 24. Calcule det 2 0 1 3 0 2 4 3 7, usando o desenvolvimento de Laplace. 25. Dadas as matrizes: A = 1 3 5 3 12 18 5 18 30, B = 4 1 3 3 0 1 2 1 1 e C = 2 6 8 0 9 12 1 2 3 Calcule, através de operações elementares sobre linhas (escalonamento: (a deta (b detb (c detc (d det(a + B (e det(bc (f det(ac T (g det[c(ba (h det(3a (i det(a 1 Obs: Nos itens (e, (f, (g, (h e (i use as propriedades do determinante. 26. Resolve a equação 4 6 x 5 2 x 7 4 2x = 128 27. Calcule o valor de k para que a matriz A = [ 2 3 6 k não tenha inversa. 28. Através de operações elementares sobre linhas (escalonamento, calcule o determinante de cada uma das matrizes 1 3 4 0 2 1 1 2 1 2 1 3 0 A = 2 3 1 2 3 5 7 4 B = 1 1 1 2 2 5 5 2 1 2 3 2 1 C = 1 0 3 1 2 3 8 1 2 2 1 1 2 3 3 1 2 3 1 1 3 2 1 29. Através de operações elementares sobre linhas, determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes A = B = C = D = 1 1 1 2 2 1 3 0 3 2 2 2 1 0 4 2 1 3 2 1 4 1 2 6 5 1 2 2 2 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 4 1 1 2 4 1 4 1 2 1 2 30. Propriedade: O determinante de uma matriz triangular A n n é igual ao produto dos elementos de sua diagonal. Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica 4 4. (Dica: Use e abuse do desenvolvimento de Laplace.
5 31. Resolva os sistemas de equações escrevendo as matrizes ampliadas. Determine o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coecientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade. 2x y + 3z = 11 4x 3y + 2z = 0 (a x + y + z = 6 3x + y + z = 4 2x + 4y + 6z = 6 (b 3x 2y 4z = 38 x + 2y + 3z = 3 x + 2y = 2 (c 3x y = 6 4x + y = 3 { x y = 10 32. Resolva por eliminação o sistema de duas equações. Desenhe o gráco que representa 3x + 6y = 18 cada equação como reta no plano xy, as linhas intersectam na solução. Além disso, adicione a reta que surge após a eliminação. 33. Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer: x + y + 3z = 2 34. Considere o sitema linear x + 2y + 4z = 3 x + 3y + az = b 35. Seja (a tem uma innidade de soluções? (b tem única solução? (c é impossível? tem a 0 b. 2 a a 4. 4 0 a 2. b (a única solução (b nenhuma solução x 2y + z = 1 2x + y = 3 y 5z = 4. Para que valores de a e b o sistema a matriz ampliada de um sistema linear. Para quais valores de a e b o sistema (c uma solução com duas variáveis livres? 36. Determine k para que o sistema admita solução 4x + 3y = 2 5x 4y = 0 2x y = k x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 3x 4 7x 5 = 14 37. Encontre todas as soluções do sistema 2x 1 + 6x 2 + x 3 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 5 = 1 38. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos independentes, b i, são todos nulos. (a Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela? 2x 5y + 2z = 0 (b Encontre os valores de k R, tais que o sistema homogêneo x + y + z = 0 2x + kz = 0 solução distinta da solução trivial. tenha uma
6 39. Um sistema homogêneo com 3 equações e 4 incógnitas sempre tem uma solução não-trivial? 40. Se deta = 0, então o sistema homogêneo AX = 0 tem innitas soluções? Justique sua resposta. 41. Apresente todos os possíveis resultados na discussão de um sistema não-homogêneo de 6 equações lineares com 4 incógnitas. 42. Determine um polinômio p(x = ax 2 + bx + c tal que p(1 = 1, p(2 = 5, p( 1 = 7. 43. Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma: AX = B A 1 AX = A 1 B X = A 1 B Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coecientes. 1 2 2 Usando a teoria acima resolva os sistema AX = B onde A = 2 5 4 e 3 7 5 1 1 1000 ab = 2 b B = 3 cb = 10 3 100 100 44. Resolva o sistema matricial D 1 X = A onde D = diag(1, 2, 3, 4, 5, 6 e A = 1 0 0 0 1 1 0 1 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 45. (a Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema AX = B é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justique sua resposta. (i (ii (iii (iv Tamanho de A 3 3 9 5 4 4 3 3 Posto de A 2 4 0 3 Posto de [A B 3 4 0 3 (b Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo, AX = 0, é possível. Indique a quantidade de soluções para cada caso.. Respostas: 1. x = 3 e y = 5 2. x = 2, y = 1 e z = 5/2 3. A = 1 1 1 1 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 4. Para mostrar que tr(aa T e tr(a T A estão bem denidos, basta provar que as matrizes AA T e A T A são quadradas. Agora, para provar a igualdade mostre que a diagonal das matrizes AA T e A T A coincidem.
5. (a 22 6 8 2 4 6 10 0 4 (bnão é possível (c 5 (d não é possível (e (f Note que: (E D T = (D T E T (g não é possívell (h ( 12 6 3 0 4 2 5 0 1 4 1 1 1 1 1 ( 64 28 (i 0 8 6. Dica: Suponha que AB admite inversa, ou seja, existe uma matriz C tal que C(AB = I e (ABC = I. Depois use a hipótese que existem A 1 e B 1. 7 8.(a Não, (b Sim 9. Dica: Use a hipótese que existe A 1, isto à c, AA 1 = I e A 1 A = I. Depois aplique a transposta nestas igualdades. 10. (a Sim, (b Sim, use o exercício 9. 11. (a V (b V (c F (d F (e F (f F (g V (h F (i V (j V (k V (l V (m V (n V (o F (p V (q V 12. Dica: Use os itens (p e (q do exercício 11. 13.// 14.// 15.// 16. (a V (b V (c F (d V (e F (f V (g F (h V (i V (j V (k V (l F (m V (n V (o F (p V (q V (r F 17. (a -189 (b 1 7 (c 8 7 (d 1 42 18. Dica: Use escalonamento de matrizes [ [ 19. (a 1 5 1 13 (b 7 2 7 3 2 13 1 3 21. Use que A 1 (A + BB 1 = B 1 + A 1. 5 6 7 23. (a 5 21 2 (b 45 (c 10 3 4 (e 7 (c 1 5 [ 2 5 1 3 1/9 2/15 7/45 1/9 7/15 2/45 2/9 1/15 4/45 24. 21 25. (a 6 (b 0 (c 3 (d 129 (e 0 (f 18 (g 0 (h 162 (i 1 3 26. 4 3 27. k = 9 28. deta = 14 detb = 10 detc = 0 29. Não existem A 1 e C 1. B 1 = 26 3 11 7 1 3 2 0 1 D 1 = 3 1 1 3 1/2 1/2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 1