Resistência dos Materiais I Luciano Pessanha Moreira, D.Sc. Professor Associado Departamento de Engenharia Mecânica Escola de Engenharia Metalúrgica Industrial de Volta Redonda Universidade Federal Fluminense Análise de Tensões: Círculo de Mohr Março de 4
Roteiro. Tensões em Vigas. Equações de Transformação de Tensões 3. Círculo de Mohr 4. Análise de Tensões
Bibliografia Beer, F. P. E Johnston, E.R., DeWolf, J. T., Mazurek, D.F., Mecânica dos Materiais, 5 a Edição, McGrawHill,. Popov, E. P., Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, 99. 3
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões em uma viga prismática xx M I y VQ xy It máx xx xx xy xx mín xx xy 4
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Tensões Principais Tensões principais em uma viga prismática 5
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões X nn n nt t tt O = X 3 X 6
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Equações de transformação de tensões nn tt nt cos sen α α senα cos sen cos α α senα cos senα cos senα cos (cos α sen α) cos α sen α senα cos sen cos α α senα cos (cos senα cos senα cos α sen α) nn tt nt 7
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Tensões Principais: tensões máximas normais ( ) ( ) nn cos α senα d d nn tan α P ( ) ( ), 8
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Tensões máximas de cisalhamento ( ) nt senα cos α d d nt tan α C ( ) τ Máx 9
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr - Máx O - C P nn R + ( + )/ C + Máx C nt
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr: carregamento axial centrado xx P A, yy xy xx yy xy P A
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões em Eixos Círculo de Mohr: carregamento de torção Tc Tc xx yy xy xx yy xy J J
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Estado Plano de Tensões média C xx yy 5 MPa CF 5 3 MPa FX 4 MPa R CX 3 4 5 MPa 3
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Estado Plano de Tensões Orientações principais max OA Tensões principais OC CA 5 7 MPa tan p p FX 4 CF 3 53. min OB OC BC 5 3 MPa 6. 6 p 4
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensão máxima de cisalhamento Exemplo: Estado Plano de Tensões 45 7, 6 s p max R 5 MPa 5
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Caso geral de tensões 3D Os pontos A, B, and C representam as tensões principais: A; B ; 3 C Os raios dos três círculos definem as tensões máximas de cisalhamento: max 3 max 3 max 3 6
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Caso geral de tensões 3D Tensões máximas de cisalhamento τ Máx, () () τ Máx, Máx,3 3 3 τ (3) 7
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Caso geral de tensões 3D e tem mesmo sinal e 3 = e tem sinais opostos e 3 = 3 3 3 3 3 = 3 = max max ( ) 8
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Vaso de pressão de paredes finas Tensões principais = tensão circunferencial = tensão longitudinal Tensão circunferencial F z pr t (t x) p (r x) F Tensão longitudinal x pr t (rt) p ( r ) 9
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Vaso de pressão de paredes finas Tensões principais pr t pr t Tensões máximas de cisalhamento 3 max pr t,3 max pr 4t
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Exemplo: Vaso de pressão de paredes finas Tampo esférico pr t Tensões máximas de cisalhamento, max pr 4t 3 max
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensor de Tensões Componentes do Tensor de Tensão 3 3 3 3 33 Tensor simétrico
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensor de Tensões Componentes do Tensor de Tensão rr r zr r z rz z zz Coordenadas cilíndricas 3
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensor de Tensões Estados de tensões Uniaxial : compressão ou tração Estado Plano ij ij Hidrostático ij 4
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Equações de equilíbrio Estado plano de tensões X dx X dx X dx X C B B dx X O X 5
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Equações de equilíbrio Estado plano de tensões: Equilíbrio estático F F X X X X X X b b Caso 3D : Equilíbrio estático X ji j b i Caso geral 3D div ou div ( ) b dv ( ) b dt 6
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Equações de Contorno Pontos no Volume do Corpo n T e Pontos no Contorno do Corpo i T ji n j 7
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Problema de Auto-Valores e Auto-Vetores ij 3 3 3 3 33 i 3 Neste caso, o vetor de tensão fica reduzido a n T n E a partir das equações de contorno tem-se ij j n n ) j ( ij ij n j 8
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Sistema de equações lineares e homogêneas cuja solução fornece as tensões principais (auto-valores) e as orientações dos planos principais (auto-vetores): ( ) n ij ij j ij ij Solução não-trivial ( 3 ) ( 3 ) ( 33 3 3 ) 9
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Equação característica 3 I I I 3 I, I e I 3 são os invariantes do tensor de tensões I Tr ( ) 33 ii I 3 3 33 3 3 33 I ( 33 33 ) ( 3 3 ) I (Tr ) Tr() ii ij ij I 3 det () 3 Tr( 3 ) 3 ij jk ki 3
Transformação de Tensões Círculo de Mohr Análise de Tensões Tensões Principais Cada tensão principal i (i,, 3) e 3 está associada a uma direção principal (i) n n (i) i n (i) ou ( 3 i ) ( 3 i ) ( 3 3 33 i ) n n n (i) (i) (i) 3 onde n (i) n (j) para para i i j j 3