26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS

Capítulo 4 Limites e assíntotas 4.1 Limite no ponto Considere a função f(x) = x 1 x 1. Observe que esta função não é denida em x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a1), mais próximo de 2 R serão os valores de f. Com efeito, f(x) = x 1 = (x 1)( x+1) = x+1 x 1 x 1 x 1 Neste caso, dizemos que f tem por ite 2 quando x tende para 1 e escrevemos f(x) = 2. Se denimos g(x) := x+1, vemos que f e g coincidem quando x 1 x 0, mas g é bem denido no ponto 1 e temos g(x) = 2 = g(1). Isso x 1 indica que g é contínua em 1. 4.1.1 Continuidade Denição 4.1. Dizemos que uma função f é contínua num ponto x 0 quando as seguintes condições estão satisfeitas: a) f está denida em x 0 (ou seja, x 0 D f ) b) f(x) tem ite com x x 0 e esse ite é igual a f(x 0 ): x x 0 f(x) = f(x 0 ) Dizemos que f é contínua num intervalo I se ela for contínua em cada ponto de I. Proposição. Se f é derivável no ponto x 0 então f é também contínua em x 0. Uma função derivável num intervalo I é contínua em I. Observação. Uma função pode ser continua num ponto sem ser derivável nele (cf. f(x) = x ). 25

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Proposição. Sejam f e g duas funções contínuas num intervalo I e λ R. Então: f +g é contínua em I. λ.f é contínua em I. f.g é contínua em I. Se além das hipóteses g não zera em I, então 1 g e f g são contínuas em I. Proposição. Se f é contínua num intervalo I e g contínua num intervalo J contendo f(i). Então f g é contínua em I. Exemplo. A raiz duma função racional f é contínua em todo intervalo contido no domínio: D f R +. Pelas proposições acima, podemos dizer que todas funções com que lidaremos nesse curso serão contínuas em seu domínio (e mesmo, em geral deriváveis). As vezes, a falta de continuidade num ponto fora do domínio é articial. Como por exemplo a função f dada na introdução que não é contínua em x = 1 somente porque não está denida neste ponto. Porque não denir f em 1 como sendo igual a2? Isto é perfeitamente natural e sempre que uma função tiver ite l quando x x 0, é natural denir f em x 0 como sendo esse ite: Exemplos. f(x 0 ) := x x 0 f(x). f(x) = x2 +8x 20 x 2, x 2; x 2 f(x) = 4 x 2 f(x) = x2 4, x 4; x 4 f(x) = 8 x 4 Mas em geral, um ponto não pertence ao domínio porque a função não tem um ite nito nesse ponto. 4.1.2 Limite innito Não sempre uma função tem um ite nito quando nos aproximamos de um ponto dado. Observe o comportamento da função f(x) = 1 (1+x) 2 quando x está próximo de 1 (mas não igual a 1). Vemos que quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x) cresce sem itação.

4.1. LIMITE NO PONTO 27 Denição 4.2. Seja f(x) uma função denida em um intervalo aberto contendo a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que f(x) = + se sempre que x se aproxima de a, f(x) cresce indenidamente. De modo semelhante podemos denir f(x) = quando f(x) decresce indenidamente. Exemplo. f(x) = x 1 ; f(x) = x x 0 4.1.3 Limites laterais Algumas funções exibem comportamentos diferentes em cada um dos lados de um ponto a. Por exemplo, a função inversa 1 não tem ite em 0, os valores x 1 não cabem em nenhuma das denições acima porque a função cresce quando x nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito mas decresce se nos aproximamos pelo lado esquerdo. Por isso, aprimorando nossas denições, vamos considerar o ite à direita e o ite à esquerda de uma função num dado ponto. Denotando 0 + para signicar que x se aproxima de 0 por valores superiores e 0 para signicar que x se aproxima de 0 por valores inferiores, poderemos escrever 1 x 0 x = e 1 x 0 + x = +. Denição 4.3. Seja f uma função eaum número real; λ pode ser um número real, ou +. Dizemos que λ é o ite à esquerda de f quando x tende para a, e escrevemos f(x) = λ se e só se a restrição de f a ],a[ tem λ por ite em a. Denição 4.4. Dizemos que λ é o ite à direita de f quando x tende para a, e escrevemos + f(x) = λ se e só se a restrição de f a ]a,+ [ tem λ por ite em a. Exemplo. Sejaf(x) = x. Determine f(x) e f(x). Esboce o gráco x x 0 x 0 + de f. O ite denido as seções anteriores é dito ite bilateral. O ite bilateral existe se e só se os ites laterais existem e coincidem: f(x) = λ f(x) = λ = f(x).

28 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Denição 4.5. Se o ite de f em a ou a + ou a é o innito, dizemos que a curvay= f(x) tem a retax = a como assíntota vertical. Exemplo. O eixo vertical x = 0 é assíntota vertical da função inversa. 4.2 Limites no innito Denição 4.6. Seja f uma função denida ao menos num intervalo do tipo [a;+ [. Se quanto maior for x, f(x) cresce sem itação, então dizemos que f tem por ite + quando x tende por+ e escrevemos f(x) = + (Rigorosamente: M > 0, A R tal que x A f(x) M.) (explo: f(x) = x 2 ) Se quanto maior for x, f(x) decresce sem itação, então dizemos que f tem por ite quando x tende por+ e escrevemos f(x) = (Rigorosamente: M < 0, A R tal que: x A f(x) M.) (explo: f(x) = x2 2 ) Se quanto maior for x, f(x) aproxima-se cada vez mais de do valor l, então dizemos que f tem por ite l quando x tende por+ e escrevemos f(x) = l (Rigorosamente: por qualquer intervalo I =]l ε;l+ε[, ε R + existe um número real A tal que x A f(x) I.) Denição 4.7. Quando f(x) = l dizemos que y = f(x) tem a reta y = l por assíntota horizontal. Exemplo. A função inversa tem por assíntota horizontal o eixo horizontal y = 0, tanto no innito positivo, como no innito negativo. Exercício 4.1. Seja f uma função denida ao menos num intervalo ] ;a] e l um número. Escreva as denições de f(x) = +, f(x) = e f(x) = l. x x x

4.3. TÉCNICAS PARA CALCULAR LIMITES 29 4.3 Técnicas para calcular ites 4.3.1 Limites de funções usuais no innito O mais importante para nós é aprender alguns ites fundamentais. As funções f(x) = x, f(x) = x n, log(x) e e x têm por ite + em +. No innito (+ ou ) todo polinômio admite um ite qual é a ite do seu monômio de maior grau. No innito (+ ou ) toda função racional admite um ite qual é a ite do quociente dos monômios de maior grau so numerador e denominador. As funções sen e cos não têm ite no innito (nem + nem ). 4.3.2 Operações com ites nitos Suponha que representa um dos ites laterais, +,, x. Se existem l 1 = f(x) e l 2 = g(x) números reais, então: a) [f(x)+g(x)] = f(x)+g(x) = l 1 +l 2 b) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) = l 1 l 2 c) [f(x).g(x)] = f(x).g(x) = l 1 l 2 d) f(x) g(x) = f(x) g(x) = l 1 l 2, se l 2 0 Exemplos. Ache x 0 tanx x, x 0 4.3.3 Limite e composição sen(2x), x sen(3x). x 0 (5x) ou Cada letra a, λ 1 e λ 2 designa um número real, ou +. Se f e g são duas f(x) = λ 1 funções contínuas que vericam ; então g f(x) = λ 2. g(x) = λ 2 x λ 1 Conseqüências: a) (f(x)) n = (f(x)) n b) n f(x) = n f(x), desde que f(x) 0 se n for par

30 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS c) [lnf(x)] = ln(f(x)), desde que f(x) 0 3x 2 2 Exemplo. x 2 1 = 3 4.3.4 Operações com ites innitos e indeterminações f(x) g(x) h(x) = h(x) + + f(x)+g(x) + + + f(x) g(x) indeterminado + l f(x)+g(x) + + + f(x).g(x) + + l 0 f(x).g(x) ± ± 0 f(x).g(x) indeterminado l ± f(x)/g(x) 0 ± ± f(x)/g(x) indeterminado + l 0 f(x)/g(x) ± l 0 0 ± f(x)/g(x) ± 0 0 f(x)/g(x) indeterminado Os ites indeterminados precisem um estudo caso por caso. As indeterminações do tipo 0/0 são freqüentemente assimiláveis a derivadas. 4.3.5 Limites fundamentais Para tratar de certos ites indeterminados, aplicaremos os chamados ites fundamentais (dadas sem demonstrações). e x = +, n N xn

4.4. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES 31 lnx = 0, n N xn sen(x) = 1 (demonstração no capítulo 3). x 0 x 4.3.6 Teoremas de comparação Teoremas de minoração, majoração Teorema 4.1. Sejam f, u e v funções denidas num intervalo do tipo [a,+ [. Se por x suciente grande temos f(x) u(x) e se então f(x) = +. Se por x suciente grande temos f(x) v(x) e se então f(x) =. Existe teoremas análogos para ites em e ema. Exemplos. a) Seja f(x) = x+senx, calcule f(x). 1+x 2 b) Seja g(x) =, calcule g(x). Dica: u(x) = 1 x 0 x 2. x 2 Teorema do confronto u(x) = +, v(x) =, Teorema 4.2. Sejam f, u e v funções denidas num intervalo do tipo [a,+ [ elum número real. Se por x suciente grande temos u(x) f(x) v(x) e se v(x) = l, então f(x) = l. u(x) = Existe teoremas comparaveis para ites em e ema. Exemplo. Seja f(x) = 1+ senx x, calcule f(x). Dica: u(x) = 1 1/x e v(x) = 1+1/x. 4.4 Estudo do comportamento das funções 4.4.1 Assíntota obliqua Seja f uma função denida ao menos num intervalo do tipo [a,+ ) (resp. (,a]) eδ uma reta de equação y = ax+b. Dizemos que δ é assíntota obliqua af no innito positivo (resp. negativo) se [f(x) (ax+b)] = 0. x

32 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Geometricamente, a curva gráco de f vem aproximar-se cada vez mais da reta quando x tend para o innito. Exemplo. A reta x+1 é assintota obliqua a curva y = x2 +x+1 x innitos. em ambos 4.4.2 TVI, Rolle e valor médio Teorema do valor intermediário. Seja f uma função contínua num intervalo [a,b]. Então dado um número qualquer r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um número c entre a e b, tal que r = f(c). Corolário. Se f é contínua em [a,b] e se f(a) ef(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um número c [a,b] tal que f(c) = 0. Exemplos. a) Mostre que x 3 4x+1 = 0 tem uma solução em [1,2]. b) Seja P(x) um polinômio de grau impar, então P tem no mínimo uma raiz real. Corolário. Se f continua e estritamente monotonia num intervalo I D f então f é uma bijeção em I. Demonstração. Já que f é injetiva, o TVI mostra que f é sobrejetiva. O teorema de Rolle, diz que se uma função derivável f, assume o mesmo valor em diferentes pontos a e b, então existe pelo menos um ponto do gráco de f, entre (a,f(a)) e (b,f(b)) = (b,f(a)), em que a reta tangente a ele é horizontal. y f(a) = f(b) a b x

4.4. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES 33 Teorema 4.3 (Rolle). Se f é uma função contínua em [a,b] e derivável ]a,b[, com f(a) = f(b), então existe um ponto crítico de f em ]a,b[. Tem a seguinte interpretação dinâmica: se, num movimento retilíneo, um ponto retorna, num instante t 1 à posição inicial, ocupada no instante t 0 < t 1, então há um instante τ, t 0 < τ < t 1, quando sua velocidade é nula. O teorema de Rolle dá condições apenas de existência de pontos críticos, não fornece nenhum método para determiná-los. unicidade desses pontos. Também não há, em geral, O Teorema do Valor Médio é uma generalização do Teorema de Rolle. Teorema 4.4 (do Valor Médio). Se f é uma função contínua em [a,b] e derivável em ]a,b[, então existe c ]a,b[ tal que f(b) f(a) = f (c)(b a). 4.4.3 Tabela de variações Ao acrescentar a tabela de variação com o estudo dos ites de f no bordo do seu domínio (e então determinar assíntotas eventuais), essa tabela nos fornece um esquema bastante preciso do gráco de f.

34 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS