Rodada #1 Raciocínio Lógico Professor Guilherme Neves Assuntos da Rodada RACIOCIŃIO LOǴICO: 1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1 Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas-verdade. 3.3 Equivalências. 3.4 Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas loǵicos.4 Lógica de primeira ordem. 5 Princípios de contagem e probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.
a. Teoria em Tópicos 1. Chama-se proposição toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Exemplo: Paris está na Inglaterra (Falso). 2. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. Portanto, expressões como Os alunos do Ponto dos Concursos não são proposições lógicas, pois não possuem predicado (verbo). 3. Sendo declarativa, não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa. Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual é o seu nome? (interrogativa) iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abençoe. (optativa exprime desejo). 4. Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Sentença aberta é aquela em que o sujeito é um termo variável. Exemplo: Ele foi aprovado no concurso da Receita Federal em 2009. 2
A frase acima não é uma proposição lógica, pois não pode ser classificada em V ou F, já que não sabemos quem é ele. Exemplo: x + 2 = 8 A sentença acima não pode ser classificada em V ou F, pois não sabemos o valor de x. A sentença x + 2 = 8 é, portanto, uma sentença aberta (não é proposição lógica). 5. A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições com o auxílio de operadores lógicos. Os operadores lógicos são o modificador (advérbio não) e os conectivos. 6. O modificador é um operador lógico que troca o valor lógico das proposições. Se temos em mãos uma proposição verdadeira, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição falsa. Da mesma forma, se temos em mãos uma proposição falsa, então, ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. 7. Os símbolos que indicam que uma proposição foi modificada são:. A proposição modificada é chamada de negação da proposição original. Exemplos: Está é uma proposição falsa. Ao aplicarmos o modificador, teremos uma proposição verdadeira. 3
Esta frase também pode ser lida das seguintes formas: 8. Quando temos uma proposição simples, devemos modificar o verbo principal para negar a frase. Vejamos outro exemplo: Esta é uma proposição verdadeira. Vamos modificar o verbo e torná-la uma proposição falsa. 9. Uma tabela-verdade dispõe as relações entre os valores lógicos das proposições. Tabelas-verdade são especialmente usadas para determinar os valores lógicos de proposições construídas a partir de proposições simples. Observe a tabela que dispõe as relações entre uma proposição p e a sua negação ~p. p ~ p V F F V 4
10. Além do modificador, podemos construir novas proposições utilizando conectivos lógicos. 11. Os conectivos cobrados em provas são Conjunção (e), Disjunção Inclusiva (ou), Disjunção Exclusiva (ou...ou), Condicional (se..., então) e o Bicondicional (...se e somente se...). 12. Caso o problema fale apenas disjunção, consideraremos que se trata da Disjunção Inclusiva. 13. Os conectivos podem estar disfarçados sob expressões equivalentes. Exemplo 1: Fui à praia, mas não estudei = Fui à praia e não estudei. Exemplo 2: Quando vou à praia, não durmo = Se vou à praia, então não durmo. Exemplo 3: Penso, logo existo = Se penso, então existo. 14. A proposição Guilherme e Moraes são professores é uma proposição simples. O sujeito dessa proposição, porém, é composto. A proposição Guilherme é professor e Moraes é professor é uma proposição composta. 15. Cada um dos conectivos é representado por um símbolo. Nome do Conectivo Forma mais comum Símbolo 5
Conjunção e Disjunção (Inclusiva) ou Disjunção Exclusiva Ou...ou Condicional Se..., então Bicondicional...se e somente se 16. Como distinguir os símbolos e? Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos. Observe: O / O Em qual das duas situações você consegue ler OU? Na palavra da esquerda! Portanto, aquele símbolo é o ou. Consequentemente o outro é o e. Outro processo mnemônico consiste em colocar um pontinho em cima do símbolo. Vejamos: Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva i? No símbolo da direita! Portanto, aquele símbolo é o e (mesmo fonema do i ). 17. Para classificar uma proposição composta em V ou F, devemos saber a regra de cada um dos conectivos. 6
18. Uma proposição composta pelo conectivo e (conjunção) só é verdadeira quando as duas frases componentes são verdadeiras. Se pelo menos uma das frases componentes for falsa, a proposição composta será falsa. Exemplo: Se a proposição João é pobre for falsa e se a proposição João pratica atos violentos for verdadeira, então a proposição João não é pobre, mas pratica atos violentos será verdadeira. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 e a Lua é quadrada é falsa, pois um de seus componentes é falso. 19. Uma proposição composta pelo conectivo ou (disjunção (inclusiva)) só é verdadeira se pelo menos um de seus componentes for verdadeiro. A disjunção só será falsa se os dois componentes forem falsos. Exemplo: A proposição 2+3 = 5 ou a Lua é quadrada é verdadeira, pois pelo menos um de seus componentes é verdadeiro. Exemplo: A proposição Paris está na Inglaterra ou 16=3 é falsa, pois seus dois componentes são falsos. 7
20. Observe que o conectivo "ou" tem um sentido inclusivo, ou seja, classificamos como verdadeira a proposição composta pelo ou que possui os dois componentes verdadeiros. 21. Ao utilizar o conectivo Ou...ou... a proposição composta só será verdadeira quando APENAS um dos componentes for verdadeiro. Se as duas frases componentes forem verdadeiras, a composta será falsa. Se as duas frases forem falsas, a composta será falsa. Há exercícios em que a banca enfatiza o conectivo ou...ou... colocando a expressão mas não ambos ao final da frase. Assim, Ou p ou q = Ou p ou q, mas não ambos. 22. Na proposição condicional Se p, então q, a proposição p é o antecedente e a proposição q é o consequente. Exemplo: Se Guilherme é recifense, então é Igor é mineiro. O antecedente é a proposição Guilherme é recifense e o consequente é a proposição Igor é mineiro. 8
A proposição Se p, então q pode ser lida como p é condição suficiente para q ou como q é condição necessária para p. 23. Uma proposição composta pelo conectivo Se..., então... só é falsa quando ocorre VF, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em qualquer outra possibilidade (VV, FV, FF) a composta será verdadeira. Exemplos: 24. O que precisamos saber é apenas isso: se ocorrer VF, ou seja, se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, a proposição composta pelo se..., então é falsa. Em todos os outros casos a proposição composta será verdadeira. V V V V F F 9
F V V F F V 25. Uma proposição composta pelo conectivo...se e somente se... (bicondicional) é verdadeira quando os dois componentes têm valores iguais, ou seja, VV ou FF. Se os componentes têm valores opostos (VF ou FV), a composta será falsa. 26. O conectivo se e somente se corresponde à conjunção (e) de dois condicionais (se...,então...). Em outras palavras, as proposições P se e somente se Q e Se P, então Q e se Q, então Q querem dizer a mesma coisa (são equivalentes). Exemplo: São equivalentes as proposições Hoje é Natal se e somente se hoje é 25/12 e Se hoje é Natal, então hoje é 25/12 e se hoje é 25/12, então hoje é Natal. A proposição p se e somente se q pode ser lida como p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p. 10
27. Podemos resumir tudo o que foi dito sobre conectivos com a seguinte tabelaverdade. V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V 28. Para facilitar o processo mnemônico, podemos fixar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjunção As duas proposições p, q devem ser verdadeiras Disjunção Inclusiva Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Disjunção Exclusiva Apenas uma das proposições pode ser verdadeira. A proposição composta será falsa se os dois componentes forem verdadeiros ou se os dois componentes forem falsos. Condicional Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem. Bicondicional Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais. 11
Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas. 29. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2 n. Para uma proposição simples p, o número de linhas da tabela-verdade é 2, pois, pelas leis do pensamento a proposição psó pode assumir um dos dois valores lógicos: V ou F. p V F Para duas proposições p e q, o número de linhas da tabela-verdade é 2 2 = 4. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 2 proposições, começaremos com a seguinte disposição. p q V V V F F V F F Para 3 proposições p, q e r,o número de linhas da tabela-verdade é 2 3 = 8. SEMPRE que você for construir uma tabela-verdade envolvendo 3 proposições, começaremos com a seguinte disposição. 12
p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as proposições) representa uma valoração. 30. Tautologia é uma proposição composta que é verdadeira independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. Vamos considerar três proposições quaisquer p, q e r. Assim, qualquer tabela-verdade envolvendo apenas estas três proposições terá linhas. Desta forma, vamos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). E o que significa construir a tabela-verdade desta proposição? 13
Significa dispor em uma tabela todas as possibilidades de valoração para esta proposição. Ou seja, estamos preocupados em responder quando é que esta proposição é verdadeira e quando é que ela é falsa. Para tal tarefa, devemos começar com a seguinte disposição: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Neste começo de tabela, estão dispostas todas as possibilidades de valorações destas 3 proposições. Observe que há um padrão na construção deste início. Na primeira coluna, temos 4 V seguidos de 4 F. Na segunda coluna temos 2 V seguidos de 2 F alternadamente. Por fim, na terceira coluna temos V e F que se alternam. Pois bem toda tabela-verdade envolvendo três proposições começa assim. Queremos construir a tabela-verdade da proposição ( p r) (~ q r). 14
Observe que não aparece a proposição propriamente dia e sim a sua negação. Portanto, o primeiro passo é construir a negação de. Lembre-se que se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa e reciprocamente. p q r ~ q V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V Valores opostos!! Vamos obedecer a ordem de preferência. Vamos construir as proposições compostas que estão dentro dos parênteses. Comecemos por. Devemos conectar a proposição com a proposição através do conectivo e. Lembre-se que uma proposição composta pelo e só é verdadeira quando os dois componentes são verdadeiros. Vamos selecionar as linhas em que ambas e são verdadeiras. Todas as outras possibilidades tornam a composta falsa. p q r ~ q p r 15
V V V F V V V F F F V F V V V V F F V F F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F Vamos agora construir a segunda proposição composta que está dentro de parênteses:. Lembre-se que uma proposição composta pelo conectivo ou é verdadeira quando pelo menos um dos dois componentes for verdadeiro. Vamos nos focar apenas nas linhas em que pelo menos uma das duas ou for verdadeira. p q r ~ q p r ~ q r V V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V F V F V V F F V 16
F V F F F F F F V V F V F F F V F V Observe que tanto na linha 2 quanto na linha 6 as duas proposições são falsas, e portanto, a composta construída é falsa nestes casos. Podemos agora, finalmente construir a composta ( p r) (~ q r). Lembre-se que há apenas um caso em que a composta pelo se..., então é falsa: quando o primeiro componente for verdadeiro e o segundo componente falso. Vamos olhar apenas as duas últimas colunas. Vejamos cada linha de per si: 1ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 2ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 3ª linha: V V (o condicional é verdadeiro). 4ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 5ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 6ª linha: F F (o condicional é verdadeiro). 7ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). 8ª linha: F V (o condicional é verdadeiro). Desta forma: p q r ~ q p r ~ q r ( p r) (~ q r) 17
V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V Concluímos que a proposição composta ( p r) (~ q r) é sempre verdadeira, independentemente dos valores atribuídos às proposições. Dizemos então que a proposição ( p r) (~ q r) é uma tautologia (ou proposição logicamente verdadeira). 31. Contradição é uma proposição composta que é falsa independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição, devemos construir a sua tabelaverdade. 32. Contingência é uma proposição composta que assume valores V ou F a depender dos valores das proposições componentes. 18
Para verificar se uma proposição é uma contingência, devemos construir a sua tabelaverdade. 33. Grosso modo, duas proposições são logicamente equivalentes quando elas dizem a mesma coisa. Por exemplo: Eu joguei o lápis. O lápis foi jogado por mim. As duas proposições acima têm o mesmo significado. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando uma delas for verdadeira, a outra também será. Quando uma delas for falsa, a outra também será. Dizemos, portanto, que elas são logicamente equivalentes. Em símbolos, escrevemos. 34. Para mostrar que duas proposições são equivalentes, devemos construir as tabelas-verdade e verificar se elas possuem as mesmas valorações em todas as linhas. Exemplo: Mostre que são equivalentes as proposições, e. Precisamos apenas construir a tabela-verdade. p q ~ q ~ p p q ~ q ~ p ~ p q V V F F V V V V F V F F F F F V F V V V V 19
F F V V V V V Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas logicamente equivalentes. 35. As proposições equivalentes do tópico anterior são responsáveis por 99% das questões de concurso sobre este assunto. Portanto, não se preocupe. Você não precisará construir uma tabela para resolver a questão da sua prova (afirmo isso com 99% de probabilidade de acertar. Rs...). Portanto, memorize as seguintes equivalências: 36. A equivalência permite construir uma proposição composta pelo se...,então... a partir de outra proposição composta pelo se...,então. Para tanto, basta negar os dois componentes e trocar a ordem. Exemplo: São equivalentes as proposições Se bebo, então não dirijo e Se dirijo, então não bebo. 37. A equivalência permite construir uma proposição composta pelo ou a partir de uma composta pelo se...,então.... Para tanto, basta negar o primeiro componente. Exemplo: São equivalentes as proposições Penso, logo existo e Não penso ou existo. 20
38. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por e. Exemplo: A negação de Corro ou não durmo é Não corro e durmo. 39. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, deve-se negar os componentes e trocar o conectivo por ou. Exemplo: A negação de Corro e não durmo é Não corro ou durmo. 40. Para negar uma proposição composta pelo Se...,então... : copie o antecedente, negue o consequente e troque o conectivo por e. Em outras palavras, copie a primeira parte, negue a segunda e troque por e. Exemplo: A negação de Penso, logo existo é Penso e não existo. 41. Proposições quantificadas são aquelas utilizam expressões como Todo, Nenhum, Algum. Observação: Algum = Existe = Pelo menos um = Existe um = Existe pelo menos um = Existe algum 42. Uma proposição do tipo Todo...é... é chamada de Proposição Universal Afirmativa (U.A.) Exemplo de U.A.: Todo recifense é pernambucano. 21
43. Uma proposição do tipo Todo...não é... é chamada de Proposição Universal Negativa (U.N.). A Universal Negativa também pode ser representada por Nenhum...é.... Exemplo de U.N.: Todo brasileiro não é uruguaio = Nenhum brasileiro é uruguaio. 44. Uma proposição do tipo Algum...é... é chamada de Proposição Particular Afirmativa (P.A.) Exemplo de P.A.: Algum recifense é pernambucano. 45. Uma proposição do tipo Algum... não é... é chamada de Proposição Particular Negativa (P.N.) Exemplo de P.N.: Algum carioca não é pernambucano. 46. Resumo das proposições quantificadas. Proposição universal afirmativa Todo recifense é pernambucano. Proposição universal negativa Nenhum recifense é pernambucano. Proposição particular afirmativa Algum recifense é pernambucano. Proposição particular negativa Algum recifense não é 22
pernambucano. 47. Como negar proposições quantificadas? Se for Particular, troca por Universal (e vice-versa). Se Afirmativa, troca por Negativa. Afirmação Particular afirmativa ( algum... ) Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Universal afirmativa ( todo... ) Particular negativa ( algum... não ) Negação Universal negativa ( nenhum... ou todo... não... ) Particular afirmativa ( algum... ) Particular negativa ( algum... não ) Universal afirmativa ( todo... ) Observe que se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação terá um quantificador PARTICULAR. Se a proposição original tem um quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o quantificador UNIVERSAL. Verifique ainda que se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será NEGATIVA. Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA. Vejamos alguns exemplos: p : Algum político é honesto. p : Existe político honesto. A proposição dada é uma PARTICULAR AFIRMATIVA. Sua negação será uma 23
UNIVERSAL NEGATIVA. ~ p : Nenhum político é honesto. ~ p : Todo político não é honesto. q : Nenhum brasileiro é europeu. q : Todo brasileiro não é europeu. A proposição dada é uma UNIVERSAL NEGATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR AFIRMATIVA. ~ q : Algum brasileiro é europeu. ~ q : Existe brasileiro que é europeu. r : Todo concurseiro é persistente. A proposição dada é uma UNIVERSAL AFIRMATIVA. Sua negação será uma PARTICULAR NEGATIVA. ~ r : Algum concurseiro não é persistente. 24
~ r : Existe concurseiro que não é persistente. t : Algum recifense não é pernambucano. t : Existe recifense que não é pernambucano. A proposição dada é uma PARTICULAR NEGATIVA. Sua negação será uma UNIVERSAL AFIRMARTIVA. ~ t : Todo recifense é pernambucano. 48. Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. 49. O estudo das proposições categóricas (que utilizam quantificadores) pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. 25
50. Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposições categóricas. Todo A é B Todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos comuns. Algum A é B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Algum A não é B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. 51. Todo A é B A proposição categórica Todo A é B é equivalente a: A é subconjunto de B. A é parte de B. A está contido em B. B contém A. B é universo de A. B é superconjunto de A. 26
Se sabemos que a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Algum A é B é necessariamente verdadeira. Nenhum A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente falsa. 52. Algum A é B A proposição categórica Algum A é B equivale a Algum B é A. Se algum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é necessariamente falsa. Todo A é B e Algum A não é B são indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A é B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que também é elemento de B. 53. Nenhum A é B A proposição categórica Nenhum A é B equivale a: Nenhum B é A. 27
Todo A não é B. Todo B não é A. A e B são conjuntos disjuntos. Se nenhum A é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Todo A é B é necessariamente falsa. Algum A não é B é necessariamente verdadeira. Algum A é B é necessariamente falsa. 54. Algum A não é B Observe que Algum A não é B não equivale a Algum B não é A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro não é pernambucano não equivale a dizer que Algum pernambucano não é brasileiro. Se algum A não é B é uma proposição verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? Nenhum A é B é indeterminada, pois poderia haver elementos na interseção dos conjuntos A e B. Algum A é B é indeterminada,pois pode haver ou não elementos na interseção dos conjuntos A e B. Todo A é B é necessariamente falsa. 28
b. Revisão 1 (Questões) CESPE/UnB 2016 POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE Considere as seguintes proposições para responder às duas próximas questões. P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos. P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar. P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos. 01. A quantidade de linhas da tabela verdade associada à proposição P1 é igual a a) 32. 29
b) 2. c) 4. d) 8. e) 16. 02. Assinale a opção que apresenta uma negação correta da proposição P1. a) Se não há punição de criminosos, então não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito. b) Há punição de criminosos, mas não há investigação nem o suspeito é flagrado cometendo delito. c) Há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, mas não há punição de criminosos. d) Se não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há punição de criminosos. e) Se não há investigação e o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há punição de criminosos. CESPE/UnB 2016 ANALISTA - INSS Julgue os itens a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos. 03. A sentença Bruna, acesse a internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos! é uma proposição composta que pode ser escrita na forma. 30
04. Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional será, sempre, uma tautologia. 05. Caso a proposição simples Aposentados são idosos tenha valor lógico falso, então o valor lógico da proposição Aposentados são idosos, logo eles devem repousar será falso. 06. Dadas as proposições simples p: Sou aposentado e q: Nunca faltei ao trabalho, a proposição composta Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado deverá ser escrita na forma usando-se os conectivos lógicos. CESPE/UnB 2016 TÉCNICO - INSS Com relação a lógica proposicional, julgue os itens subsequentes. 07. Supondo-se que p seja a proposição simples João é fumante, que q seja a proposição simples João não é saudável e que, então o valor lógico da proposição João não é fumante, logo ele é saudável será verdadeiro. 08. Considerando-se as proposições simples Cláudio pratica esportes e Cláudio tem uma alimentação balanceada, é correto afirmar que a proposição Cláudio pratica esportes ou ele não pratica esportes e não tem uma alimentação balanceada é uma tautologia. 31
09. Na lógica proposicional, a oração Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que não é fumante representa uma proposição composta. c. Revisão 2 (Questões) CESPE/UnB 2016 DPU Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto a disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo: P: Cometeu o crime A. Q: Cometeu o crime B. R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. 32
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável. Tendo como referência essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 10. Caso as proposições R e S se refiram a mesma pessoa e a um único crime, então, independentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a proposição será sempre falsa. 11. A proposição Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente encarcerado nem poderá pagar fiança pode ser corretamente simbolizada na forma. 12. A sentença será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q como verdadeiras ou falsas. 13. A sentença é verdadeira. 14. A sentença é falsa. 33
QUESTÃO 15 CESPE/UnB 2015 - TRE/MT A negação da proposição: Se o número inteiro m > 2 é primo, então o número m é ímpar" pode ser expressa corretamente por: a) O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar". b) Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar". c) Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo". d) Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar". e) O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar". QUESTÃO 16 CESPE/UnB 2015 - TRE/MT Considerando três variáveis (A, B e C), tais que A = 12, B = 15 e C = 3, bem como a notação para operadores lógicos, assinale a opção que apresenta uma expressão cujo valor lógico é verdadeiro. a) (A + B) > 30 ou (A + B - 5) = (A + C) b) (A C) e (A + B) = C c) (A > B) e (C + B) < A d) (A + C) > B e) B A + 2 34
CESPE/UnB 2015 TCE/RN Em campanha de incentivo a regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. 17. A proposição P e logicamente equivalente a proposição O comprador escritura o imóvel, ou não o registra. 18. Se A for o conjunto dos compradores que escrituram o imóvel, e B for o conjunto dos que o registram, então B será subconjunto de A. 19. A proposição do cartaz e logicamente equivalente a Se o comprador não escritura o imóvel ou não o registra, então não se torna seu dono. 20. Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o escriturou. 35
d. Revisão 3 (Questões) CESPE/UnB 2015 TCE/RN Em campanha de incentivo a regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra seja verdadeira, julgue os itens seguintes. 21. A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por Se o comprador escritura o imóvel, então ele o registra. 22. Considerando-se a veracidade da proposição P, e correto afirmar que, após a eliminação das linhas de uma tabela-verdade associada a proposição do cartaz do cartório que impliquem a falsidade da proposição P, a tabela-verdade resultante terá seis linhas. CESPE/UnB 2015 - STJ Mariana e uma estudante que tem grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente para estudar, Mariana e aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste semestre, 36
Mariana esta cursando a disciplina chamada Introdução a Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, acerca das estruturas lógicas. 23. Designando por p e q as proposições Mariana tem tempo suficiente para estudar e Mariana será aprovada nessa disciplina, respectivamente, então a proposição Mariana não tem tempo suficiente para estudar e nãoserá aprovada nesta disciplina e equivalente a. 24. Considerando-se como p a proposição Mariana acha a matemática uma área muito difícil de valor lógico verdadeiro e como q a proposição Mariana tem grande apreço pela matemática de valor lógico falso, então o valor lógico de é falso. CESPE/UnB 2015 MEC Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de lógica proposicional. 37
25. A sentença A aprovação em um concurso e consequência de um planejamento adequado de estudos pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 26. A sentença A vida e curta e a morte e certa pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 27. A sentença Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica, em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas. CESPE/UnB 2015 MEC 38
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens subsecutivos. 28. A última coluna da tabela-verdade referente a proposição lógica quando representada na posição horizontal e igual a 29. A última coluna da tabela-verdade referente a proposição lógica quando representada na posição horizontal e igual a 39
QUESTÃO 30 CESPE/UnB 2015 MPOG Considerando a proposição P: Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar, julgue o item a seguir. A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava. e. Gabarito 1 2 3 4 5 D C E C E 6 7 8 9 10 C E E C E 11 12 13 14 15 E C E E E 16 17 18 19 20 40
E C C E C 21 22 23 24 25 E C C E E 26 27 28 29 30 C E C E E 41
f. Breves comentários às questões QUESTÃO 01 - CESPE/UnB 2016 POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE Três proposições simples compõem a proposição P1, a saber: p: há investigação q: o suspeito é flagrado cometendo delito. r: há punição de criminosos. O total de linhas da tabela verdade associada é 2 n = 2 3 = 8. QUESTÃO 02 - CESPE/UnB 2016 POLÍCIA CIENTÍFICA DE PE Comentário em vídeo CESPE/UnB 2016 ANALISTA - INSS 03. A sentença dada é imperativa e exclamativa. Portanto, a sentença não é uma proposição. 04. Comentário em vídeo. 05. Comentário em vídeo. 42
06. Comentário em vídeo. CESPE/UnB 2016 TÉCNICO - INSS 07. Não sabemos os valores lógicos das proposições p e q. Portanto, não há como determinar o valor lógico de João não é fumante, logo ele é saudável. 08. Comentário em vídeo. 09. Logo tem o mesmo significado que Se..., então.... CESPE/UnB 2016 DPU 10. Comentário em vídeo. 11. Comentário em vídeo. 12. Comentário em vídeo. 13. Comentário em vídeo. 14. Comentário em vídeo. 43
QUESTÃO 15 CESPE/UnB 2015 - TRE/MT A negação de Se p, então q é p e não-q, ou seja, devemos copiar o antecedente e negar o consequente. A correta negação é O número inteiro m>2 é primo e o número m não é ímpar. QUESTÃO 16 CESPE/UnB 2015 - TRE/MT Comentário em vídeo. CESPE/UnB 2015 TCE/RN 17. Para transformar uma proposição composta pelo se..., então... para ou, negue a primeira parte da proposição e copie a segunda parte. 18. Comentário em vídeo. 19. Comentário em vídeo. 20. Comentário em vídeo. 21. NUNCA negue uma proposição composta pelo se...,então... com outra proposição composta pelo se...,então.... A correta negação de Se p, então q é p e não-q. Em outras 44
palavras, copie a primeira parte, coloque e e negue a segunda parte. A correta negação da proposição P é O comprador não escritura o imóvel e ele o registra. 22. Comentário em vídeo. CESPE/UnB 2015 STJ 23. O item está certo, pois estamos conectando as negações de p e de q através do conectivo e. 24. A proposição p é verdadeira e a proposição q também é verdadeira (já que q é falsa). Desta maneira, a proposição é verdadeira. Lembre-se que uma proposição composta pelo se...,então... só é falsa quando ocorre VF (nesta ordem). CESPE/UnB 2015 MEC 25. Comentário em vídeo. 26. Neste caso, a proposição P é A vida é curta e proposição Q é a morte é certa. O símbolo adotado está correto, pois representa o conectivo e. 27. Comentário em vídeo. 45
CESPE/UnB 2015 MEC 28. Comentário em vídeo 29. Comentário em vídeo QUESTÃO 30 CESPE/UnB 2015 MPOG A negação de Se p, então q é p e não-q. A correta negação da proposição P é João se esforçou o bastante e João não conseguiu o que desejava. Poderíamos também ter substituído o conectivo e pela palavra mas obtendo João se esforçou o bastante, mas João não conseguiu o que desejava. 46