CONJUNTOS NUMÉRICOS O que são?
Os Naturais Os números Naturais surgiram da necessidade de contar as coisas. Eles são todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} A reticência indica que o conjunto é infinito, ou seja, sempre é possível acrescentar mais um elemento.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} O conjunto numérico dos números naturais começa no zero e é infinito, porém, podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele.
Veja a seguir um subconjunto do conjunto dos números naturais formado pelos quatro primeiros múltiplos de 7: {0, 7, 14, 21}. Nesse caso temos um exemplo de conjunto finito! Mais alguns exemplos de conjuntos finitos. O conjunto dos alunos da classe. O conjunto dos professores da escola. O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
Nesse conjunto são definidas duas operações: a adição e a multiplicação. Elas se apresentam da seguinte forma: ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO Fechamento ou Fecho a + b é um natural a * b é um natural Associatividade a + (b + c) = (a + b) + c a * (b * c) = (a * b) * c Comutatividade a + b = b + a a * b = b * a Existência do Elemento Neutro a + 0 = a a * 1 = a Distributividade a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
Os Inteiros Os Inteiros surgiram das limitações que existem nos Naturais. Ao efetuar uma conta como 3 4 rapidamente vemos que o resultado não é um numero Natural. E como então chamar esse número? Representado pela letra Z, o conjunto dos números inteiros é formado por todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos negativos. Z = { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, }
O conjunto dos Inteiros possui alguns subconjuntos: Inteiros não negativos: Representado por Z +., este subconjunto dos inteiros é composto por todos os números inteiros que não são negativos. Podemos perceber que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,,8, } Inteiros não positivos: Representado por Z -, os inteiros não positivos são todos os números inteiros que não são positivos. Z - = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos: Representado por Z* +, este subconjunto é conjunto Z + excluindo o zero. Z* + = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, } Z* +, = N* Inteiros não positivos e não nulos: Representado por Z* -, são todos os números do conjunto Z-, excluindo o zero. Z* - = { -4, -3, -2, -1}
Além das propriedades herdadas do conjunto dos naturais, temos mais a seguinte propriedade: ADIÇÃO Simétrico ou Oposto a + (-a) = 0 Mas o conjunto dos Inteiros também tem um probleminha: não é possível dividir um número inteiro por outro inteiro e resultar sempre em um outro número inteiro. Exemplo: tente dividir 3 por 2.
Os Racionais Representado pela letra Q, o conjunto dos números racionais engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos e os números decimais infinitos periódicos (aqueles que repetem uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente, também conhecidos como dízimas periódicas). Não conseguimos representar o Conjunto dos Racionais como representamos os Naturais e Inteiros, pois entre cada numero haverá um numero infinito de números!
Então como o representaremos??? O representaremos de uma forma geral e algébrica: onde a é o numerador e b é o denominador. São esses números que vão nos dar um pouco mais de trabalho nas contas!
Além das propriedades herdadas do conjunto dos naturais, temos mais as seguintes propriedades (Para todo b,d 0 ϵ Z):
Achando que tudo estava bem, os matemáticos se depararam com a seguinte questão: qual é a medida da diagonal do quadrado de lado 1? A diagonal e os lados do quadrado formam um triângulo retângulo, no qual é possível aplicar o teorema de Pitágoras:
A pergunta aqui, na verdade é: qual é o número racional que, elevado ao quadrado, resulta em 2? A resposta é: não existe número racional que, elevado ao quadrado, resulte em 2, nem em 3, nem em 5 e muitos outros. O número que soluciona esse problema é a raiz quadrada de dois. Esse número não é racional, pois possui infinitas casas decimais, as quais não constituem uma dízima, logo não pode ser escrito na forma de fração.
Os Irracionais O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I. Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes nãoexatas, mas seu mais famoso integrante é o número π, seguido do número e, ou seja, formado pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Os números Irracionais também podem ser representados (mais corretamente) por: R Q.
As propriedades desse conjunto são herdadas do conjunto anterior! Os números que fazem parte do conjunto dos números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, logo não são racionais, ao contrário dos conjuntos anteriores, pois os naturais estão contidos nos inteiros - e esses, por sua vez, estão contidos nos racionais. Logo, unindo todos os conjuntos citados até agora teremos o conjunto dos Reais!!!
Os Reais Representado pela letra R, o conjunto dos números reais é formado por todos os conjuntos descritos anteriormente, sendo a união do conjunto dos racionais com os irracionais. Assim, esse conjunto resolve quase todo tipo de problema. Isso mesmo, quase todos os problemas, pois existe uma questão que ainda fica em aberto: qual o número real que, elevado ao quadrado, resulta em um número negativo?
Os Complexos A resolução das raízes negativas só foi possível com a criação e adequação dos números Complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1. Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz quadrada de números negativos.