Jogos de stratégia: Ágebra Linear apiada aos jogos de 2 jogadores de soma nua Projeto desenvovido para apresentação na prova ora de Ágebra Linear João Canas Instituto Superior Ténio Mestrado Integrado em ngenharia Aeroespaia Semestre 23/24 A teoria dos jogos tornou-se num ramo proeminente da matemátia nos anos 3 e ainda mais quando se deu a pubiação do ivro The Theor of Games and onomi Behavior de John von Neumann e Oskar Morgenstern em 944. Desde então tem sido apiada nas mais diversas áreas omo a eonomia as iênia poitia e miitar ou o jornaismo. Mais reentemente tem sido utiiada pea iênia da omputação no desenvovimento de inteigênia artifiia e ibernétia. Um jogo de estratégia será aquee em que ada jogador deide uma jogada de entre um onjunto de possibiidades sem saber qua o movimento que o adversário irá reaiar. Do onjunto das duas opções irá haverá um retorno para ada jogador. O fato de se tratarem de jogos de soma nua signifia que o retorno para um jogador e simértrio do retorno para o adversário e.: se A ganha 2 pontos B perde 2 pontos. ste trabaho irá entrar-se na otimiação de estratégias em jogos estritamente determinados e em asos partiuares de jogos não estritamente determinados. A títuo de eempo temos o probema que se segue: Duas ompanhias aéreas X e Y pretendem saber quais das várias aternativas de horários de voos serão preferíveis de modo a garantirem um maior número de ientes de entre os 2 passageiros que faem uma determinada viagem anuamente. A ompanhia A tem omo aternativas os horários 2 ou 3 e a ompanhia B tem omo aternativas os horários a b ou. Foram feitos aguns estudos de merado que mostram que num dia aso a ompanhia X opte por terá 7% dos passageiros se Y optar por a 65% se Y optar por b e 4% se Y optar por. Caso X opte por 2 terá 8% dos passageiros se Y optar por a e 6% nas restantes situações b ou. Se X optar por 3 terá 45% dos passageiros aso Y opte por a ou por b e 55% aso Y opte por. Vamos omeçar por faer agumas definições que ajudam a resoução de um probema deste tipo. Chama-se matri de jogo à matri em que a ada inha orresponde uma jogada possíve do jogador L e a ada ouna orresponde uma jogado do jogador C. A entrada aij orresponde ao retorno para o jogador L aso L esoha i e C esoha j.
Chamam-se estratégias aos vetores [... ] e [... ] n ujas entradas orrespondem à quantidade de vees que L e C utiiam os movimentos orrespondentes aos índies. As estratégias podem ser puras ou mistas onsoante e utiiado sempre o mesmo movimento ou não. 7 65 4 3 35 6 No aso do eempo a matri do jogo seria X 6 75 75 para a ompanhia X e Y 4 25 25 45 45 55 55 55 45 para a ompanhia Y. Para transformarmos este jogo num jogo de soma nua basta onsiderar que ada ompanhia tem à partida 5% dos passageiros e que onsoante a estratégia esohia perde ou ganha passageiros. Fiamos assim om a matri por A. 2 5 A 25 25 para os ganhos de X sendo que os ganhos de Y são dados 5 5 5 As estratégias de X e Y serão representadas por e ambos vetores om 3 entradas. m Define-se omo a apiação que em função de duas estratégias e nos dá o retorno para L e que é definida por T A. Por eempo se X optar por em 3% das vees 2 em 45% e 3 em 25% estratégia ' [ 3 45 25] se Y optar por a em % das vees b em 3% e em 6% estratégia ' [ 3 6] e então 2 5 ' ' 5 5 5 6 [ 3 45 25 ] 25 25 3 975 passageiros e Y perde 975.. X ganha assim 975 dos Antes de passarmos à resoução do probema tentaremos simpifiá-o. Um movimento di-se dominado se eistir outro movimento ou ombinação de movimentos que independentemente da esoha do adversário retornam sempre um vaor mehor do que o primeiro. No aso da matri A podemos verifiar que a inha 2 domina sobre a inha 3 peo que pode ser removida da matri visto que a sua utiiação nuna será a mehor. Após a remoção da inha 3 verifiamos que a ouna 3 domina sobre a ouna 2 pois todas as suas entradas são menores que as de 2. 2 Assim podemos retirá-a fiando om a matri A '. 25 2
Para a resoução de probemas de otimiação de estratégias em jogos de soma nua é utiiado o seguinte teorema: Teorema Fundamenta dos Jogos de Soma Nua Fundamenta Theorem of Zero-sum Games em que e são estratégias ótimas para L e C e e são estratégias quaisquer. A prova deste teorema não será epiitada neste trabaho e poderá ser onsutada em http://students.s.bu.edu/~s67ta/letures/proof.pdf. O vaor de retorno aso ambos os jogadores utiiem estratégias ótimas designa-se por v e é sempre o mesmo para quaisquer duas estratégias ótimas. Isto pode provar-se através do teorema anterior. Se estratégias ótimas então porque é estratégia ótima e porque estratégia ótima. Assim v. Um jogo é estritamente determinado se as estratégias ótimas forem ambas estratégias puras. e forem Para que um jogo seja estritamente determinado a matri do jogo tem de ter peo menos um ponto de sea. Define-se omo ponto de sea uma entrada da matri que seja em simutâneo a menor entrada da inha e a maior entrada da ouna. Se isso aonteer as estratégias ótimas são as estratégias puras que ontém os movimentos orrespondentes à inha e ouna do ponto de sea. Por eempo na matri de sea e as estratégias seriam [ ] e [ ]. é 2 B 3 é ponto 3 4 No entanto na matri do jogo do eempo não enontramos nenhum ponto de sea peo que o jogo não é estritamente determinado. Para jogos deste tipo a soução é dada peo seguinte teorema: Teorema : Se A e o jogo não for estritamente determinado então: -> -> -> Assim apiando o teorema ao eempo a soução do probema será: 25 2 2 2 25 2 25 3 3 25 2 25 2 7 2 25 9 2 9 Consutar Aneos para a prova 3
v 3 2 3 2 5 5 25 5 7 9 25 3.33333 2 5 9 A ompanhia X deve optar A ompanhia X deve optar peo horário em 2/3 do ano peo horário 2 em /3 do ano enquanto que para a ompanhia Y deve optar peo horário a em 7/9 do ano e peo horário nos restantes 2/9. Caso uma das ompanhias o faça a ompanhia X irá obter 5333333 % dos passageiros 26667 e a ompanhia Y irá obter 5-333333 % dos passageiros 73333. Bibiografia: ANTON Hoard RORRS Chris ementar Linear Agebra Appiations Version ª edição Wie http://pt.ikipedia.org/iki/teoria_dos_jogos aedido no dia 9 de janeiro de 24 http://students.s.bu.edu/~s67ta/letures/proof.pdf aedido no dia 9 de janeiro de 24 http://.math.ua.edu/~tom/game_theor/mat.pdf aedido no dia 9 de janeiro de 24 4
5 Aneos: Prova do segundo teorema utiiado: Considere-se [ ] e [ ] duas estratégias quaisquer. O vaor do jogo é dado por [ ] v Se L optar por então que não depende de ogo. De forma anáoga se onui que se C optar por que não depende de ogo. Tratando-se de um jogo não estritamente determinado e são ambos vaores ente e. Como se verifia o Teorema Fundamenta e são estratégias ótimas.