Procura de Codificadores BGU para utilização em Códigos com Concatenação Serial

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1 Procura de Codificadores BGU para utiização em Códigos com Concatenação Seria Manish Sharma e Jaime Portugheis Resumo Este artigo apresenta um método para a procura de codificadores a serem utiizados em códigos com concatenação seria, baseado em diretrizes de projeto previamente estabeecidas. Utiiza-se do conceito de codificadores binariamente geometricamente uniformes (BGU) para se garantir que as distâncias Eucidiana mínima e efetiva entre as seqüencias geradas são equivaentes aos pesos Eucidiano mínimo e efetivo. A utiização deste tipo de codificadores também garante a propriedade de uniformidade de erro de bit (UBEP). Um exempo da utiização do método é mostrado. Paavras-Chave Códigos Convoucionais, Concatenação Seria, Codificadores BGU, UBEP. Abstract This paper presents a method for the search of encoders to be used in a seriay concatenated coding scheme, based on previousy determined project guideines. The concept of Bit Geometricay Uniform (BGU) encoders is used to assure that the minimum and free effective eucidian distances between sequences are equivaent to the minimum and free effective eucidian weights. By using this type of encoders we aso guarantee the uniform bit error property (UBEP). One exampe of the method s usage is shown. Keywords Convoutiona Codes, Seria Concatenation, BGU encoders, UBEP. I. INTRODUÇÃO Códigos Turbo apresentam desempenhos muito próximos dos imites teóricos com uma compexidade de impementação razoáve. Esses códigos se baseiam na concatenação paraea de dois códigos mais simpes, utiizando um entreaçador entre ees. Códigos com concatenação seria (CCS) diferem dos códigos turbo por concatenar um código externo com um código interno, também através de um entreaçador. Esses códigos apresentam, em aguns casos, desempenho mehor do que os códigos Turbo. O projeto de um sistema com concatenação seria difere do projeto de um sistema com concatenação paraea porque existe uma dependência maior entre os códigos no primeiro caso. Assim, somos imitados na escoha de um código interno dado um código externo, considerando propriedades deste para projetar o código interno de modo a tornar o desempenho do sistema o mehor possíve. O imitante superior anaítico para a probabiidade de erro de bit é dominado pea distância eucidiana de seqüências de informação que geram seqüências internas com um peso de Hamming específico. Esta distância é chamada de distância Manish Sharma e Jaime Portugheis Departamento de Comunicações, Facudade de Engenharia Eétrica e de Computação, Universidade Estadua de Campinas, Campinas, Brasi, E-mais: sharma@decom.fee.unicamp.br, jaime@decom.fee.unicamp.br. Este trabaho foi parciamente financiado peo CNPq (bosa 13154/004-8) e FAPESP (projeto 0/ ) Eucidiana ivre efetiva, d ef. O código interno deve ser preferenciamente recursivo para que haja sempre um ganho ao se utiizar um entreaçador. Em [1], rotuamentos e codificadores binariamente geometricamente uniformes (BGU) foram introduzidos e utiizados para projetar um codificador interno de um CCS. Os resutados obtidos foram promissores, com um aumento significativo na d ef. Condições para a existência destes rotuamentos e códigos foram apresentados. Entretanto, um método para a construção de tais códigos com bons parâmetros não foi proposto. Tentamos preencher esta acuna através de um método que permite controar razoavemente o peso Eucidiano de segmentos críticos de seqüências internas que dominam o imitante anaítico da probabiidade de erro de bit. Na seção II, revisamos os rotuamentos e codificadores BGU. Na seção III, revisamos os imitantes de probabiidade de erro de bit para CCS. Na seção IV, expomos o nosso método e mostramos que ee gera codificadores BGU, exempificando. E na seção V, anaisamos os resutados obtidos. II. ROTULAMENTOS E CODIFICADORES BGU Seja uma consteação geometricamente uniforme(gu) S com grupo gerador G, onde as regiões de decisão são congruentes. Seja um rotuamento ε[s i ] : S H k, s i S, e H k o espaço de Hamming com k bits. Como há uma reação um para um entre os eementos de G e os de S, podemos dizer que ε é um rotuamento G H k. Se o rotuamento ε satisfaz a seguinte propriedade : d h (ε(g i ), ε(g j )) = w h (ε(g 1 j g i )) g i, g j G, (1) onde d h (a, b) é a distância de Hamming entre a e b, e w h (a) é o peso de Hamming de a, ee possui a propriedade de uniformidade de erro de bit (UBEP), i.e., a probabiidade de erro de bit independe da seqüencia enviada [1]. Assim, a uniformidade geométrica da consteação se extende à uniformidade de bit, e ε é binariamente geometricamente uniforme(bgu). A UBEP nos permite anaisar a probabiidade de bit observando somente um dos sinais transmitidos. Vemos na figura 1 (a) um exempo de rotuamento BGU para a consteação 8-PSK, utiizando o grupo D 4 como gerador. Anaogamente, a probabiidade de erro de bit, P b (e), em codificadores BGU independe da seqüencia transmitida. Logo, podemos anaisar todo o desempenho do código observando somente os pesos das seqüencias transmitidas, já que estes pesos são as distâncias para a paavra toda nua. Códigos de treiça (do ingês: Treis Coded Moduation - TCM) com codificadores BGU são matematicamente descritos através do seguinte teorema [1]:

2 Teorema 1: Seja S uma consteação GU e C S Z um TCM GU invariante no tempo sobre S e T um dos grupos de uma seção de treiça. Se um codificador binário E[C, k]:c H k satisfaz: d h (E(t i ), E(t j )) = w h (E(t i t 1 j )) t i, t j T, () ee possui a UBEP. O seguinte teorema de [1] contém as condições necessárias e suficientes para que um codificador seja BGU: Teorema : Seja S uma consteação GU, e C S Z um TCM GU invariante no tempo sobre S e T um dos grupos de uma seção de treiça. Seja A um subconjunto de T que contém todos os ramos que são rotuados pea paavra toda nua. Seja S 0 um subconjunto de S com os sinais associados aos ramos que partem do estado identidade. Seja F 0 o subconjunto de T que contém todos os ramos que partem do estado identidade. Um codificador binário E[T, k] é BGU se e somente se as seguintes condições são satisfeitas para peo menos um dos possíveis T s: E 0 [F 0, k] é um rotuamenteo BGU para F 0 ; E j (f a) = E 0 (f),para todo f F 0, e para todo a j A; A é um subgrupo de T, i.e., T = F 0 A, onde denota o produto semi-direto; Para todo a j A, w h (E 0 (f)) = w h (E 0 (f )), com f = a 1 j f a j. Logo, a procura de um codificador BGU consiste em procurar E 0 e A. Todo este formaismo é necessário porque precisamos de agum tipo de estrutura para poder manipuar os codificadores. Ao nos restringirmos a codificadores BGU, arriscamos não obter a soução ótima. Embora todos os codificadores BGU possuam a UBEP, é possíve que codificadores não BGU a possuam também. Como motivação mostramos a figura 1 (b), que possui a UBEP mas não é BGU. Para rotuamentos BGU, é trivia mostrar que w H (E(g)) = w H (E(g 1 )). A consteação 8PSK admite como grupo gerador o grupo D 4 ou o grupo Z 8. Em ambos os casos, tomando o eemento 000 como identidade, temos que, para E(g) = 111, E(g 1 ) = 010, o que prova que o rotuamento não é BGU. Entretanto, a probabiidade de erro de bit independe do sina transmitido. Uma questão em aberto é como manipuar rotuamentos com UBEP sem recorrer aos rotuamentos BGU, e estender esta propriedade para abranger também consteações com dimensões maiores, possibiitando assim gerar códigos UBEP não BGU. A compexidade de uma procura para um rotuamento de uma consteação mutidimensiona por um rótuo com muitos bits torna a procura exaustiva proibitiva. III. CONCATENAÇÃO SERIAL DE CÓDIGOS E LIMITANTES DE PROBABILIDADE DE ERRO A concatenação seria de códigos consiste na utiização de mais de um código utiizados em cascata com um entreaçador de comprimento N entre ees que embaraha os bits de saída do código externo C e antes que estes bits aimentem o código interno C i, como mostra a figura. A taxa do sistema é k/p. Consideramos a aproximação por um código de boco equivaente de um CCS que possui um codificador interno Fig. 1. Fig.. 8-PSK (a) Rotuamento BGU. (b) Rotuamento com UBEP, não BGU Esquema de concatenação seria TCM BGU terminado (zero-tai). Utiizando a função de distribuição de pesos dos códigos, podemos escrever o imitante de união para P b (e) como: P b (e) NR o w=1 w NR o A o (w, )A i (, D) ( ) N D=e RcEs 4N 0 Por utiizarmos como código interno um codificador BGU, não precisamos percorrer todas as seqüencias de saída possíveis, pois utiizamos como referência somente a paavra toda nua. Nesta equação, temos os seguintes eementos: w = Peso de Hamming da paavra de entrada R o =Taxa do código externo N = Tamanho em bits do entreaçador = Peso de Hamming da paavra intermediária A o (w, ) = Número de paavras com peso de entrada w e peso de saída que o codificador externo gera quando o boco de entrada tem tamanho R o N. A i (, D) = IOWEF (do ingês: Input-Output Weight Enumerating Function) do código interno, para paavras com peso de entrada igua a E s = energia do sina, N 0 = densidade uniatera do ruído. Para os cácuos utiizamos o conceito de entreaçador uniforme como apresentado em [3]. Devido à sua presença, cada ( seqüência ) do código interno tem a probabiidade de 1 N de ser permutada para uma seqüência específica de entrada para o código interno, pois uma seqüência de entrada com peso de Hamming é distribuída uniformemente entre todas as possibiidades. A equação 3 pode ser re-escrita da seguinte forma: P b (e) d e Es N 0 d w w k (3) A o (w, )A i (, d) ( ) (4) N

3 onde A i (, d) é o número de seqüências com peso de Hamming de entrada que geram seqüências de saída com peso Eucidiano quadrático igua a d. Desta forma percebemos que, para grandes N s, paavras que tem grandes s intermediários não são reevantes para o desempenho do código. Assim, paavras com baixos vaores de d e baixos vaores de são as mais importantes. Para atos vaores da reação sina ruído (RSR), a distância mínima do código ainda domina o desempenho, já que a exponencia decai mais devagar quanto menor for o vaor de d. Paavras com atos vaores de k normamente geram seqüências com atos vaores de. Paavras com próximos a N normamente geram seqüências com atos pesos de saída, cuja infuência desaparece rapidamente com um aumento da RSR. A escoha apropriada do código externo infuencia no vaor do min, que é a distância ivre do código externo. Tanto o código externo como o interno devem ser escohidos de forma a minimizar a mutipicidade das seqüências, principamente aqueas com peso de Hamming intermediário baixo. Podemos perceber que o entreaçador é uma grande causa de ganho, distribuindo bem as seqüências intermediárias com peso de Hamming baixo. Na prática não existem entreaçadores uniformes, mas é possíve que haja aguns entreaçadores com desempenho igua ou mehor que o entreaçador idea. Assim, vamos seguir as seguintes diretrizes: Para seqüências com baixos vaores de, > d 0 f, onde d 0 f é a distância ivre do código externo, aumentar ao máximo a distância Eucidiana de saída, dando prioridade às paavras com menor. O termo a ser maximizado, caso (d 0 f ) seja par é: Para que haja sempre um ganho do entreaçador, o código interno deve ser recursivo, i.e, nenhuma seqüência de peso de entrada 1 deve gerar uma seqüência de saída com peso Eucidiano finito. Uma anáise mais detahada foi feita em [5]. IV. MÉTODO PARA GERAR CODIFICADORES BGU Nesta seção vamos mostrar como construir um codificador interno BGU para ser utiizado num sistema de concatenação seria. Como parâmetros de entrada temos a consteação S a ser utiizada, a distância de Hamming ivre do código externo e o tamanho em bits da entrada. Utiizaremos a seguinte nomencatura: S uma consteação, Σ m o conjunto dos estados de um codificador com m memórias, T um dos grupos que representa uma seção de treiça de um código TCM, composto peo estado inicia, sina e estado fina, F 0 o subgrupo de T com os ramos que saem do estado identidade, E 0 o mapeamento entre F 0 e o espaço de Hamming correspondente e H k um grupo de entrada. Não é necessário que o grupo de entrada seja todo o espaço de Hamming de tamanho k. Utiizaremos uma consteação 8P SK para um código de taxa 5/6. Representaremos os sinais desta consteação através do rótuo dado na figura 3. Utiizaremos dois codificadores externos, um com d o f = e outro com do f =3. e caso (d 0 f ) seja ímpar é: d o f d i f,ef (5) (d o f 3)di f,ef + h (3) m (6) onde h (3) m é peso mínimo das seqüências do código interno geradas por uma entrada com peso de Hamming 3, e d i f,ef é o peso Eucidiano mínimo das seqüências do código interno geradas por uma entrada com peso de Hamming igua a. O que se deseja através disso é aumentar o peso mínimo de um primeiro evento de erro do código interno. Para códigos externos com distância ivre ímpar, é muito vantajoso fazer com que h (3) m =, pois assim só há eventos de erro com peso par, tornando mais fáci o projeto do codificador interno. Fazer com que seqüências com peso Eucidiano baixo e menor do que a distância ivre efetiva tenham o peso de Hamming intermediário o maior possíve. Esta condição é ainda mais importante para o caso das paavras que geram seqüências com distância mínima do código interno. Assim, não somente minimizamos o número de seqüências de entrada que geram seqüências de saída com peso mínimo, mas também aproveitamos o ganho do entreaçador para minimizar o mutipicador do expoente da distância mínima. Desta forma, a distância mínima domina o imitante para vaores ainda maiores da RSR. Fig. 3. Consteação 8P SK e grupo associado Seguindo os seguintes passos, obtemos C i. 1 o passo: Escoher quantas memórias o código terá. O espaço de memórias será Σ m, isomorfo a Z m. Vamos construir um código com memórias. O espaço de estados será então isomorfo a Z. o passo: Escoher equações de paridade Q que definam o estado fina a partir do estado inicia e da paavra de entrada, resutando num mapeamento do par (H k,σ m ) em Σ m. Deve ser preferenciamente par, i.e, somente seqüências de entrada com peso de Hamming par geram seqüências que saem do estado identidade e retornam a ee mesmo. Isto faz com que h (3) min =, o que é desejáve. As equações devem ser escohidas de ta forma que minimizem a mutipicidade de caminhos com peso de Hamming de entrada e 4. Isso pode ser feito observando iniciamente as paavras que causam transições paraeas. Minimizar estas mutipicidades também eva a códigos com mehor desempenho.

4 O mapeamento do par (H k,σ m ) em Σ m é um dos dois fatores que infuencia a distância mínima do código, pois define as partições a serem utiizadas. Estas partições podem ser diferentes das partições normamente utiizadas na construção de bons códigos GU, pois estas não evam em conta as condições de otimização de um sistema com concatenação seria. Por exempo, em [4], a partição ótima com 4 eementos nos subconjuntos da consteação x8p SK foi gerada peo subgrupo: {00,44,04,40}. Se tivéssemos que associar o grupo binário {0000,1100, 1111,1100} a este subgrupo, as paavras com peso teriam peso Eucidiano 4, e a paavra com peso 4 teria peso 8. Se quiséssemos dar o maior peso possíve às paavras com peso, e ao mesmo tempo ter um rótuo BGU, poderíamos utiizar o subgrupo: {00,4,40,64}. Associando os eementos na mesma ordem em que aparecem, teríamos que as paavras com peso teriam peso 6, e a paavra com peso 4 teria peso 4. Note que, enquanto no primeiro caso o subgrupo é gerado por dois geradores de ordem, {44 e 40} (e o subgrupo é isomorfo a Z), o segundo é gerado por um único gerador de ordem 4 {4} (e o isomorfismo é com Z 4 ). Sendo a paavra de entrada do codificador interno representada peos 5 bits {b 1, b, b 3, b 4, b 5 }, escohemos as seguintes equações: p 1 = b 1 + b + b 3 + b 4 + b 5 p = b + b 3 + b 4 (7) Para fazer com que o código seja par, utiizamos as equações 8 abaixo para a definição das transições da treiça: E 1,k = p 1 + E 1,k 1 E,k = p + E 1,k 1 + E,k 1 (8) onde E i é o i-ésimo bit da memória, e k, k 1 são índices temporais. As paavras que causam uma transição paraea são: {00000, 10001, 01100, 01010, 00110, 11101, 11011, 10110}. 3 o passo: Escoher grupo gerador C de S. Há mais de uma possibiidade. Para a consteação 8P SK utiizaremos o grupo D4. Outras possibiidades seriam D 4 Z 8 e Z8. 4 o passo: Escoher um grupo de igação L, que seja tanto um grupo de simetria de H k como de um subgrupo G C. Não faremos mais distinção entre o conjunto de eementos de H k e o grupo que gera este conjunto. Escoher geradores de H k cuja reação entre si seja a mesma da reação dos geradores de L. Os geradores de H k podem ser descritos através de combinações de permutações e somas. Este conjunto será chamado de C H. Escoher geradores de S que satisfaçam à mesma condição. Este conjunto será chamado de C G, pois seus eementos geram o subgrupo G.apeamento do par (H k,σ m ) em Σ m O grupo L faz com que o grupo H k e C sejam estruturamente os mesmos, e o homomorfismo existente entre ees seja um automorfismo trivia, com apenas uma troca de nomes. No nosso caso, C será um dos grupos que representa uma seção de treiça, contendo somente os eementos que saem do estado identidade. Futuros isomorfismos de C definirão o subgrupo F 0 da treiça. Dado um mapeamento dos eementos de C H em C G, existe no máximo um homomorfismo de H k em G [6]. Sejam g 1, g (h 1, h ) geradores de G(H). Teremos este isomorfismo se: f : G H, f(g 1 g ) = h 1 h É fáci perceber que o homomorfismo é um rotuamento BGU. Assim sendo, já garantimos esta propriedade. Basta agora procurar entre os possíveis codificadores BGU, aquee que tem as mehores características. Como o grupo de entrada tem 3 eementos (H 5 ), o grupo que utiizaremos para representa-o será o D(Z 4 Z 4 ). Há outras possibiidades, mas escohemos esta por ter poucos geradores com ordem baixa. As reações entre os geradores deste grupo são: r 4 1 = r 4 = s = (r 1 s) = (r s) = (r 1 r s) = er 1 r = r r 1 5 o passo: Procurar mapeamentos do conjunto C H que gerem automorfismos em H k, dando preferência à geradores com baixo peso de Hamming. Deve haver um mapeamento entre os geradores do espaço de Hamming e eementos do espaço Z m. Isto é: Q(e i, p) = e f, Q(e i, p g) = g (e f ) (9) para todo e i, e f Σ m, g gerador de L pertencente a C H e p uma paavra de entrada. A função g () é uma operação de soma sobre Z m. Através deste automorfismo obtemos um novo automorfismo I H : H k H k, que é competamente determinado peo mapeamento dos geradores. A tabea VI mostra três possibiidades de se gerar H 5 através das reações entre os geradores definidas anteriormente. Os primeiros 5 termos indicam uma permutação, os útimos 5 termos indicam o que deve ser somado, móduo, ao eemento inicia. Parte-se da identidade (00000) para gerar H 5. TABELA I GERADORES DE H 5 r 1 r s (5431)(11000) (1435)(01100) (1345)(00111) (1345)(10000) (1354)(00001) (1345)(01110) (1435)(01100) (5431)(10000) (1345)(00011) A primeira inha fornece um bom controe sobre a posição das paavras que causam uma transição paraea, aém de permitir um controe sobre o estado fina. De acordo com as equações de paridade, a apicação de r 1, r e s sobre o espaço de estados eva às equações 10 abaixo, utiizando a representação binária, onde E i representa o estado inicia: r 1 (E i ) = E i, r (E i ) = E i (10), s(e i ) = E i (11), (10) Assim temos um isomorfismo de H k ou G em Σ m. 6 o passo: Conhecemos a ordem dos geradores que geram segmentos críticos (i.e., todas a transições paraeas, sendo mais importantes aqueas com peso baixo, ou, ramos que saem do estado identidade com peso 1 ). Procurar automorfismos

5 do subgrupo gerado por C G de modo a fornecer atos pesos Eucidianos para estes ramos críticos. Obtemos assim uma função I G : G G. Este automorfismo é competamente determinado peo mapeamento dos geradores. Este ponto é extremamente importante na otimização do código. Como critério para a escoha do automorfismo, vamos tentar maximizar o peso Eucidiano das paavras com peso que causam uma transição paraea. Isto nos fornece um imite superior para d i f,ef. Vamos também fazer com que as paavras com peso de entrada 1 tenham no mínimo a metade deste vaor. Vamos também tentar fazer com que os sinais com baixo peso Eucidiano tenham atos pesos de Hamming de entrada, de modo que a infuência destes seja minimizada devido ao ganho do entreaçador. A tabea II mostra três possibiidades de se gerar subgrupos de 3 eementos de 8P SK utiizando-se a representação da figura 3 e geradores que respeitam a ei acima, sendo assim isomorfos ao grupo D(Z 4 Z 4 ). TABELA II GERADORES DE 3 ELEMENTOS EM 8P SK r 1 r s ( 0) (0 ) (1 1) ( 4) (0 ) (3 5) ( 4) ( ) (1 5) A utima inha fornece bons vaores para paavras com peso que causam transições paraeas e também fornece bons pesos Eucidianos para as paavras com peso 1 e que saem do estado identidade. 7 o passo: Associar os grupos até agora definidos da seguinte forma: I H (H) H k L G S I G (G) (11) Como um homomorfismo de um homomorfismo ainda é um homomorfismo, ainda temos um homomorfismo de H k em G, o que faz com que o código seja BGU. Através deste mapeamento obtemos E 0. Este mapeamento (que é um isomorfismo) é competamente determinado peo mapeamento dos geradores. O estado inicia de cada ramo é o estado identidade, e o estado fina é obtido através das equações 10. Assim, temos o subgrupo F 0 de T. A associação fina obtida é definida pea tabea III TABELA III ASSOCIAÇÃO DE GERADORES Gerador de H 5 Gerador de G (5431)(11000) ( ) (1435)(01100) ( 4) (1345)(00111) (1 5) 8 o passo: Encontrar candidatos para o grupo A. Dentre todos os eementos do grupo S, escoher aquees que satisfazem à condição: wh(e 0 (f)) = wh(e 0 (a f a 1 )) (1) para todo f F. Estes candidatos formam o conjunto A. Para o código que estamos procurando, os candidatos encontrados foram :{00, 03, 04, 07, 30, 33, 34, 37, 40, 43, 44, 47, 70, 73, 74, 77}. 9 o passo: Para cada estado distinto da identidade, definir qua a paavra de entrada do codificador interno que causa uma transição que faz com que o codificador retorne ao estado identidade. Estas paavras estão associadas, através de E 0, a sinais. Esta é a partição da consteação que, ao ser mutipicada por um eemento a apropriado, gera os sinais que fazem o codificador retornar ao estado identidade. 10 o passo: Para cada estado e para candidato de A, obter o vetor d ij ( ), mutipicando a partição obtida no nono passo para o i-ésimo estado peo j-ésimo eemento de A. O n- ésimo termo de d ij ( ) possui a distância Eucidiana mínima que resuta da mutipicação para o ramo com rótuo cujo peso de Hamming é igua a n, n k passo: Organizar os vetores d ij ( ), em reação a j, para cada estado i. Os mehores são aquees que resutam no maior vaor para a primeira dimensão do vetor. Entre estes os mehores são aquees que resutam no maior vaor para a segunda dimensão, e assim sucessivamente, até a utima dimensão. Se, para aguma dimensão a distância Eucidiana for zero, o vetor geraria codificadores ruins, e deve ser coocado no fim da cassificação. Os passos anteriores resutam na tabea IV TABELA IV CANDIDATOS À FORMAREM O GRUPO A Por definição, o passo: Através da cassificação obtida, tentar formar um grupo com o mehor candidato possíve para cada estado. Devemos evitar escohas de candidatos que resutem, na treiça, em auto-aços com peso Eucidiano nuo (com peso de Hamming não nuo), pois isso faria com que paavras com ato peso de Hamming teriam baixo peso Eucidiano de saída. Também devemos escoher os candidatos de modo a utiizar todos os sinais da consteação. A escoha dos candidatos deve ser de ta forma que ees formem um grupo isomorfo ao grupo de estados Σ m. Não é úti fazer com que um ramo com peso de entrada 1 tenha peso Eucidiano muito maior do que d i f,ef, pois isso não resutaria em nenhum grande ganho. Os menores pesos Eucidianos devem ficar com sinais com os maiores pesos de Hamming. Devemos também tentar tornar a distância mínima

6 do código ata, pois para atos vaores da RSR, é esta distância que determina o desempenho do código. Como não conseguimos montar o grupo desejado com o mehor para cada estado, escohemos sacrificar um pouco das distâncias das sequencias que saem do estado 11. Assim, chegamos à seguinte associação: TABELA V GRUPO A FINAL. Estado Eemento correspondente V. RESULTADOS A figura 4 apresenta os imitantes de união para o código encontrado aqui (código A) e para o código encontrado em [1] (código B). A inha com pontos indica o desempenho do código A e a inha cheia representa o desempenho para o código B. As inhas mais grossas são para o sistema com d 0 f igua a, e as inhas mais finas são para o caso com d0 f igua a 3. Comparado com o desempenho do código B, cujo código interno tinha apenas uma memória, podemos esperar uma mehora significativa no desempenho. TABELA VI CÓDIGO DE MEMÓRIAS, 5/6, MAPEADO EM X8PSK. Paavra Estado inicia de entrada Fig. 4. Desempenho de códigos O código encontrado, embora não possa ser representado através de somadores e registradores de desocamento, pode ser descrito através da tabea VI. O estado fina de cada ramo pode ser obtido utiizando as equações 7 e 8. REFERÊNCIAS [1] R. Gareo, G. Montorsi, S. Benedetto, D. Divsaar e F. Poara, Labeings and Encoders With the Uniform Bit Error Property With Appications to Seriay Concatenated Treis Codes,IEEE Transactions on Information Theory, v. 48, n. 1, p , Janeiro de 00. [] A. G. i Amat, G. Montorsi, S. Benedetto, Design and Decoding of Optima High-Rate Convoutiona Codes, IEEE Transactions on Information Theory, v. 50, n. 5, p , Maio de 004. [3] S. Benedetto, G. Montorsi, Unveiing Turbo Codes: Some Resuts on Parae Concatenated Coding Schemes, IEEE Transactions on Information Theory, v. 4, n., p , Março de [4] S. Benedetto, R. Gareo, M. Mondin, G. Montorsi, Geometricay Uniform Partitions of L x MPSK Consteations and Reated Binary Treis Codes, IEEE Transactions on Information Theory, v. 39, n. 6, p , Novembro de [5] S. Benedetto, D. Divsaar, G. Montorsi, F. Poara, Seria Concatenation of Intereaved Codes: Performance Anaysis, Design, and Iterative Decoding, IEEE Transactions on Information Theory, v. 44, n. 3, p , Maio de [6] S. Lang, Agebra,Addison-Wesey,1965. VI. CONCLUSÃO Embora não seja uma soução ótima para o probema, o método apresentado aqui fornece bons resutados. Uma única busca exaustiva foi substituída por três buscas guiadas, simpes o suficiente para poderem ser feitas a mão. O código encontrado foi utiizado num esquema de concatenação seria obtendo resutados mehores do que os anteriores, com compexidade não muito maior.