ONDAS E PARTÍCULAS Luz Onda (interferência final do século XIX) versus partícula (efeito fotoelétrico virada do século XIX para XX) Possui caráter dual sob determinadas condições sua característica ondulatória deve ser considerada; sob outras condições seu comportamento corpuscular deve ser considerado Matéria Também deve apresentar caráter dual! Louis de Broglie (1924) característica dual onda/partícula para a matéria caráter ondulatório dos elétrons prêmio Nobel em 1929 acompanhando os elétrons deve existir uma onda que guia, ou pilota cada elétron através do espaço
Por um lado, a teoria quântica da luz não pode ser considerada satisfatória, pois ela define a energia do corpúsculo de luz pela equação E = h, que contém a frequência. Dessa forma, uma teoria puramente corpuscular nada contém que nos possibilite definir a frequência ; somos compelidos, no caso da luz, a introduzir simultaneamente a idéia de corpúsculo e de periodicidade. Por outro lado, a determinação do movimento estável dos elétrons no átomo introduz o conceito de inteiros, e, até o momento, os únicos fenômenos envolvendo inteiros na física são a interferência e os modos normais de vibração. Tal fato sugeriu-me a idéia de que também os elétrons não podem ser considerados apenas como corpúsculos, mas que uma periodicidade deve ser associada a eles. de Broglie, fala ao receber o prêmio Nobel em 1929.
Segundo de Broglie, o comportamento dual também se aplica à matéria Fóton: tem associado a ele uma onda luminosa, que governa seu movimento Matéria: tem associada a ela uma onda de matéria, que governa seu movimento SIMETRIA DA NATUREZA Comprimento de onda de de Broglie Para a luz vale: p = mc = mc2 c = E c = ν c = λ λ = p Portanto, por analogia, para a matéria deve valer: λ = p = mv λ = mv relação de de Broglie
Matéria e radiação Energia: E = ν Momento: p = /λ Exemplo Bola de beisebol m = 1 kg v = 10 m/s = 6,6.10-25 Å Elétron E = 100 ev = 1,2 Å Comportamento ondulatório do elétron pode ser detectado; Comportamento ondulatório da bola de beisebol não pode ser detectado!!!
Primeira confirmação (teórica) para a hipótese de de Broglie Estados estacionários do modelo de Bohr para o átomo raios das possíveis órbitas eletrônicas estáveis do elétron são dados pela equação de quantização L = mvr = n 2π = nħ (postulado de Bohr) portanto 2πr = n mv usando a relação de de Broglie encontramos 2πr = nλ ou seja, em um átomo somente serão permitidas as trajetórias eletrônicas estáveis cujo perímetro for um múltiplo do comprimento de onda associado ao elétron Concordância entre a relação de de Broglie e o postulado de Bohr (concordância entre teorias) Falta base experimental
Passos em direção a uma base experimental De Broglie sugere (1924) que um feixe de elétrons deveria apresentar difração ao atravessar um pequeno orifício Einstein reporta (1925) a necessidade de se postular ondas de matéria a partir de uma análise das flutuações em um gás de moléculas Einstein observa (1925) pequenos, porém mensuráveis efeitos de difração devido a um feixe de moléculas Walter Elsasser sugere (1926) que os experimentos realizados por Clinton Davisson com espalhamento de elétrons poderiam ser explicados por difração de elétrons Clinton Davisson e Lester Germer (EUA), e George P. Thomson (Inglaterra) demonstram simultanea- e independendemente (1927) a natureza ondulatória dos elétrons Davisson e Germer descobriram o efeito acidentalmente G.P. Thomson (filho de J.J. Thomson) descobriu a propriedade ondulatória do elétron, enquanto que seu pai descobriu a natureza corpuscular do elétron Experimento de Davisson e Germer: difração de Bragg em um monocristal, por elétrons Experimento de Thomson: difração de Debye-Scherrer em um policristal, por elétrons
Experimento de Davisson-Germer Concepção original: analisar o arranjo dos átomos na superfície de uma amostra de níquel, através do espalhamento elástico de um feixe de elétrons de baixa velocidade pelo alvo de policristalino análise da intensidade espalhada em função do ângulo entre o feixe incidente e o alvo do ângulo de espalhamento da ddp V aceleradora dos elétrons resultados pareciam um tanto quanto monótonos Acidentalmente: foi conectada uma garrafa de ar líquido ao sistema, rompendose o vácuo e resultando na oxidação do alvo de níquel que estava em alta temperatura a fim de se remover o óxido a amostra foi reduzida por um cuidadoso aquecimento sob um fluxo corrente de hidrogênio resultados totalmente novos foram obtidos após ser remontado o sistema ocorrido: o aquecimento prolongado havia causado o desenvolvimento de regiões monocristalinas na amostra inesperados e estranhos resultados encontrados deviam-se à difração de elétrons em um monocristal prosseguimento de seus experimentos e sua análise culminaram, em 1927, com a prova de que os elétrons sofrem difração com um comprimento de onda dado por λ = p
corrente no coletor (u.a) cátodo (filamento incandescente) Montagem experimental feixe de elétrons ânodo detector móvel alvo de níquel (monocristal) Diagramas polares de em diferentes voltagens V, para = 90 interferência Intensidade x, para V = 54 V = 0 = 50 44 V 48 V 54 V 64 V 68 V = 90 ( ) 0 25 50 75 Adaptado de http://www.leif iphysik.de/web_ph11_g8/versuche/07davisson/davisson.htm
Resultados obtidos diagramas polares para diversas voltagens, para = 90, mostram que a intensidade de corrente medida no coletor é máxima para V = 54 V em = 50 cálculo do comprimento de onda de de Broglie h = 6,626.10-34 J.s m = 9,11.10-31 kg V = 54 V K = 54.1,6.10-19 J λ db = p = 2mK = 1,67 Å portanto, se estiver ocorrendo o fenômeno de difração por elétrons, o comprimento de onda associado ao élétron vale = 1,67 Å Experimento de raios-x com o MESMO cristal obteve-se o espaçamento entre os planos cristalinos d = 2,15 Å condição de Bragg para o feixe difratado = 50 d sin θ = λ exp (n = 1) = 1,65 Å excelente concordância entre db e exp provam a validade da equação de de Broglie provam caráter ondulatório do elétron (difração)
Dualidade onda-partícula Física clássica entes são partículas ou ondas Início do século XX teoria ondulatória de Maxwell à radiação + descoberta de partículas elementares de matéria (nêutron, pósitron) dualidade onda-partícula: modelo ondulatório versus modelo corpuscular apenas um modelo se aplica, dependendo das circunstâncias: ente pode atuar como partícula (localizada) ou como onda (não localizada), mas não como ambos simultaneamente Princípio da Complementariedade Niels Bohr (1927) modelo corpuscular e ondulatório são complementares: se uma medida prova o caráter ondulatório da radiação ou da matéria, então é impossível provar seu caráter corpuscular na mesma medida radiação e matéria não são apenas ondas, ou apenas partículas caráter mais geral situações extremas: pode ser aplicado um modelo mais simples, ondulatório ou corpuscular ligação entre os dois modelos interpretação probabilística da dualidade onda-partícula radiação: Albert Einstein matéria: Max Born
Modelo simples da radiação Ondulatório I = 1 μ 0 c ε2 : campo elétrico I : intensidade da radiação; energia radiante contida em uma unidade de volume (valor médio do vetor de Poynting) Corpuscular I = Nν N : número médio de fótons por unidade de tempo que cruzam uma unidade de área perpendicular à direção de propagação I : intensidade da radiação Albert Einstein (1905) sugere pela primeira vez (ef. fotoelétrico) que I (intensidade da luz) N (número médio de fótons) Unificação onda-partícula para a radiação I = 1 μ 0 c ε2 = Nν ε 2 = N
Comparando radiação e matéria Onda de radiação ε x, t = A sin kx ωt = A sin 2π x λ νt onda de radiação associada a um fóton: satisfaz a equação da onda de Maxwell ε 2 ε = ε 1 + ε 2 medida da probabilidade de encontrar um fóton em uma certa região em um dado instante ondas superpostas: vale o princípio de superposição Onda de matéria ψ x,t = A sin kx ωt onda de matéria associada a uma partícula: satisfaz a equação de Schrödinger ψ 2 ψ = ψ 1 + ψ 2 medida da probabilidade de encontrar uma partícula em um dado ponto em um dado instante ondas superpostas: vale o princípio de superposição Diferenças fundamentais entre onda e partícula Ondas podem se sobrepor de forma a se cancelarem (fora de fase; interferência destrutiva) Partículas não podem se combinar de forma a se cancelarem Ondas são delocalizadas no espaço Partículas são localizadas no espaço
Ondas versus pacotes de ondas Onda delocalizada se extende até o infinito Pacote de duas ondas regiões localizadas ψ x, t = A 1 x, t + A 2 x, t A 1 x, t = A 0 sin k 1 x ω 1 t A 2 x,t = A 0 sin k 2 x ω 2 t ψ x, t = A 0 sin k 1 x ω 1 t + sin k 2 x ω 2 t chamando k = k 1 + k 2 2 Δk = k 1 k 2 2 k 1 = k + Δk k 2 = k Δk ω = ω 1 + ω 2 2 Δω = ω 1 ω 2 2 ω 1 = ω + Δω ω 2 = ω Δω substituindo na equação para A(x,t), usando as relações trigonométricas sin A ± B = sin A cosb ± sin B cosa cos A ± B = cosa cosb sin A sin B chegaremos à equação para o pacote de duas ondas: ψ x, t = 2A 0 sin kx ωt cos Δkx Δωt
ψ x, t = A 0 sin k 1 x ω 1 t + sin k 2 x ω 2 t = 2A 0 sin kx ωt cos Δkx Δωt A 1 A 0 sin A 2 2A 0 cos A 1 +A 2 2A 0 sin.cos
2 ondas infinitas ondas 3 ondas
Pacote de infinitas ondas 1 pacote localizado Forma mais geral de uma onda: ψ k x, t = ae i kx ωt = a cos kx ωt + i sin kx ωt k 0 Δk k 0 + Δk k 0 Δk k k 0 + Δk Pacote com inf initas ondas de números de onda desde até ( ) k 0 +Δk ψ x, t = ψ k x, t dk k 0 Δk k 0 +Δk = ae i kx ωt dk k 0 Δk e k são dependentes: E = p2 2m ħω = ħ2 k 2 2m ω = ħ 2m k2 Expandindo em Série de Taylor, em torno de k k 0 : ω = ω 0 + dω k k 0 + Substituindo na equação: k 0 +Δk ψ x, t = ae i kx ω 0t dω dk k 0 k 0 Δk k k 0 t dk Chamando k k 0 = ζ os limites de integração passam a k = k 0 Δk ζ = Δk k = k 0 + Δk ζ = +Δk
Substituindo: +Δk ψ x, t = ae i ζx +k 0x ω 0 t dω ζt dk k 0 dζ Δk = ae i k 0x ω 0 t +Δk Δk dω iζ x t dk e k 0 dζ Lembrando que: e iθ + e iθ 2 e iθ e iθ 2i = cos θ = sin θ e iθ = cos θ + i sin θ a integral fica: ψ x, t = a cos k 0 x ω 0 t + i sin k 0 x ω 0 t +Δk Δk cos ζ x dω t dζ +Δk + i sin ζ x dω t dζ Δk Paridade das f unções trigonométricas: +Δk cosseno é uma função par Δk +Δk seno é uma função ímpar Δk Δk cos = 2 cos sin = 0 0
A equação fica, portanto: ψ x, t = 2a cos k 0 x ω 0 t + i sin k 0 x ω 0 t ψ x, t = 2a cos k 0 x ω 0 t + i sin k 0 x ω 0 t Δk 0 cos ζ x dω t dζ sin x dω t Δk x dω t Tomando apenas a parte real: ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin x dω t Δk x dω t Onda senoidal Modulação função sinc φ = sin φ φ
ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin x dω t Δk x dω t
Simetria das variáveis x e t: pacotes de infinitas ondas Forma mais geral de uma onda: ψ k x, t = ae i kx ωt = a cos kx ωt + i sin kx ωt k 0 Δk k 0 + Δk k 0 Δk k k 0 + Δk (i) Pacote com inf initas ondas de números de onda desde até ( ) k 0 +Δk ψ x, t = ψ k x, t dk k 0 Δk k 0 +Δk = ae i kx ωt dk k 0 Δk Solução ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin x dω t Δk x dω t ω 0 Δω ω 0 + Δω ω 0 Δω ω ω 0 + Δω (ii) Pacote com inf initas ondas de f requência angular desde até ( ) ω 0 +Δω ω 0 +Δω ψ x,t = ψ ω x,t dω = ae i kx ωt dω ω 0 Δω ω 0 Δω Solução ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin x dk dω ω0 t Δω x dk dω ω0 t
Resumindo Onda delocalizada se extende até o infinito ψ x,t = A sin kx ωt Pacote de duas ondas regiões localizadas ψ x, t = 2A 0 sin kx ωt cos Δkx Δωt Pacote de infinitas ondas função localizada ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin x dω t Δk x dω t sin dk dω ω0 x t Δω dk dω ω0 x t
Velocidade da partícula e da onda de matéria a ela associada ψ x, t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin x dω t Δk x dω t v f O máximo da onda moduladora se move à velocidade de grupo Lembrando que ω = ħ 2m k2 dω = ħk 0 m v g v g = dω a velocidade de grupo será v g = ħk 0 m Relacionando a onda à partícula, usando a relação de de Broglie, teremos p = ħk 0 = mv partícula v partícula = ħk 0 m e portanto a velocidade da partícula está relacionada à velocidade de grupo da onda a ela associada v partícula = v grupo = dω
O máximo da onda modulada se move à velocidade de fase Novamente, lembrando que ω = ħ 2m k2 ω 0 = ħk 0 k 0 2m = v g 2 v f = ω 0 k 0 a velocidade de fase será v f = v g 2 e portanto a velocidade da partícula está relacionada à velocidade de fase da onda a ela associada v partícula = 2v fase = 2 ω 0 k 0 A onda de de Broglie (pacote de infinitas ondas) descreve muito bem uma partícula é localizada sua velocidade de grupo é idêntica à velocidade da partícula Podemos, então, descrever o movimento de uma partícula através de um pacote de ondas? NÃO!!! PACOTES DE ONDAS MODIFICAM SUA FORMA NO TEMPO: SE DESMANCHAM
Princípio de Incerteza (x e p) x ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin x dω t Δk x dω t Estimativa da largura do pacote (distância entre os zeros à esquerda e à direita) sin x dω t Δk = 0 A distância entre os dois zeros será, portanto, x e = sin π x d = sin +π Δx min = x d x e = 2π Δk x e dω t Δk = π x d dω t Δk = +π de forma que a precisão é Δx Δx min Δx 2π Δk Δp = ħδk Lembrando que Δp = ħδk chegamos a Δx. Δp 2πħ princípio de incerteza
Princípio de Incerteza (t e E) t ψ x,t = 2a cos k 0 x ω 0 t sin dk dω ω0 x t Δω dk dω ω0 x t Estimativa da largura do pacote (distância entre os zeros à esquerda e à direita) sin x dk dω ω0 t Δω = 0 A distância entre os dois zeros será, portanto, t e = sin π t d = sin +π Δt min = t d t e = 2π Δω dk dω ω0 x t e Δω = π dk dω ω0 x t d Δω = +π de forma que a precisão é Δt Δt min Δt 2π Δω Lembrando que ΔE = ħδω chegamos a Δt.ΔE 2πħ princípio de incerteza
Princípio de Incerteza de Heisenberg Definindo x e t como sendo a meia largura à meia altura, aparece um fator ½ nas equações Δx.Δp πħ Δt.ΔE πħ Essas duas equações foram apresentadas por Werner Heisenberg, em 1927 No mundo macroscópico, como é muito pequeno x e t são muito pequenos x Δx p Δp t Δt E ΔE e não tomamos presença do princípio de incerteza
No mundo microscópico: um exemplo Um elétron se move na direção horizontal (y); queremos determinar sua coordenada x. x y elétron d p x p y primeiro mínimo máximo da difração p y fenda anteparo primeiro mínimo Experimento colocamos uma fenda (largura d = x) no caminho do elétron se ele passar pela fenda, saberemos sua coordenada x com uma imprecisão x d sin θ = Δx sin θ = λ Δx = λ sin θ a fenda colocada provoca difração comportamento ondulatório a projeção p x do momento no eixo x fornece sua imprecisão p Δp p sin θ = λ sin θ Δp sin θ λ multiplicando as duas equações, obtemos (fator 2: forma de definir a imprecisão) Δx.Δp
Com a fenda e o anteparo: obtivemos informações a respeito da posição x do elétron (imprecisão x) perdemos resolução em seu momento p (imprecisão p) Sem a fenda e o anteparo: o elétron iria se mover na direção y saberíamos o valor exato de seu momento p y (p x = 0) (p = 0) não teríamos nenhuma informação a respeito de sua posição x (x = )