1 - Revisão a) Nomenclatura da derivada Sendo uma função dada da seguinte forma: y=f(x) a derivada desta função pode ser referenciada das seguintes maneiras: (deve ser lida como efe linha de f(x) ) ou (deve ser lida como ípsilon linha ) ou (deve ser lida como a derivada de y em função de x) ou (deve ser lida como a derivada de f(x) em relação a x) b) Definição de derivada A derivada de uma função expressa a taxa de variação desta função em um determinado ponto. Como exemplo, observe o Gráfico 1 abaixo que expressa a velocidade de um veículo em função do tempo. Observe que entre os pontos A e B do gráfico houve uma mudança de velocidade do veículo. A alteração da velocidade do veículo indica que o mesmo sofreu uma aceleração (que pode ser positiva ou negativa caso o mesmo freie). Com base nesta observação pode-se afirmar que a derivada da função velocidade de um veículo é igual à aceleração. Gráfico 1 Caso seja necessário o cálculo da velocidade média do veículo entre os pontos A e B basta que seja feita a divisão da variação da velocidade entre A e B pela variação do tempo entre A e B, neste caso a equação resultante é apresentada a seguir:
Observe que a velocidade média será na verdade a aceleração do veículo, pois a divisão da unidade de velocidade (m/s) pelo tempo (s) resultará em m/s² que é a unidade de aceleração. Observe ainda que o cálculo da velocidade média é a razão entre os lados do triângulo apresentado no Gráfico 2. Gráfico 2 Para facilitar o raciocínio o tempo mais avançado será chamado de tf e a função em tf será chamada de vf. O menor tempo será chamado de ti (de inicial) e a função em ti será chamada de vi. Tal nomenclatura aparece no Gráfico 3. Gráfico 3
Com a nova nomenclatura de tempo inicial e tempo final e velocidade inicial e velocidade final a equação da velocidade média pode ser apresentada da seguinte maneira: (Equação 1) Quando existe uma diferença entre dois valores de uma grandeza pode-se dizer que esta diferença é o delta da variável, assim: Δv = vf vi e Δt = tf ti Novamente a velocidade média pode ser reescrita como: (Equação 2) Lembrando que a função da velocidade é dada pela equação v(t)=t² a velocidade média entre os pontos A e B do Gráfico 2 pode ser calculada: O cálculo de taxas de variação em intervalos longos como este em geral não fornece informações relevantes. Por vezes no campo da engenharia, da economia e das ciências é necessário que a taxa de variação seja calculada em um intervalo mínimo de tempo, em um ponto específico por exemplo. Para ilustrar esta necessidade imagine que devemos calcular a taxa de variação da velocidade em um instante de tempo específico, neste caso em 4 segundos. Na Tabela 1 é feita uma experiência onde o intervalo de tempo é reduzido sucessivamente em direção ao ponto 4 s. Para cada intervalo é calculada a taxa de variação da velocidade usando a equação em análise v(t)=t² e a Equação 2. Tabela 1 Cálculo da velocidade média através da função v(t)=t² ti (tempo inicial) 1 2 3 3,5 3,8 3,9 3,95 3,99 3,99 3,999 tf (tempo final) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 tf-ti (Δt) 3 2 1 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01 0,01 0,001 vi (velocidade inicial) 1 4 9 12,25 14,44 15,21 15,6025 15,9201 15,9201 15,992 vf (velocidade final) 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 vf-vi (Δv) 15 12 7 3,75 1,56 0,79 0,3975 0,0799 0,0799 0,007999 Velocidade média ou taxa de variação da velocidade dada por Δv/Δt (derivada) 5 6 7 7,5 7,8 7,9 7,95 7,99 7,99 7,999
Em uma análise da Tabela 1 pode-se concluir que no ponto t = 4 a taxa de variação da velocidade tende a 8 quanto menor for Δt. Pode-se ainda afirmar que no ponto t=4 a derivada da função é igual a 8. Caso os tempos e velocidade iniciais e finais da Tabela 1 fossem plotados no Gráfico 3 poderíamos observar que o triângulo formado pelos lados Δv e Δt ficaria cada vez menor. Como Δt = tf-ti, podemos isolar tf o que resulta em: tf = ti +Δt (equação 3) Como já visto, a taxa de variação da velocidade pode ser escrita como: (Equação 4) Caso o tempo final da Equação 4 seja substituído pela Equação 3 taxa de variação da velocidade pode então ser escrita como: (Equação 5) Simplificando a equação 5 teremos: (Equação 6) Como observado na análise da Tabela 1, quando Δt é extremamente pequeno próximo a um ponto a taxa de variação da função converge para um valor específico. Utilizando-se o conceito de limites podemos modelar a taxa de variação da velocidade (ou a derivada da velocidade em função do tempo) da seguinte maneira: (Equação 7) A equação 7 apresenta portanto a derivada da função velocidade em relação ao tempo no ponto t = tf. No exemplo em estudo a função velocidade é dada por v(t) = t². Com base na Equação 7, podemos então calcular a derivada deste função:
Desenvolvendo o polinômio: Simplificando: Isolando Δt no termo superior: Simplificando: Aplicando o limite o resultante será: (Equação 8) Neste exemplo busca-se a taxa de variação da velocidade (derivada) no ponto t=4, desta maneira substituindo-se este t=e na equação 8 teremos a derivada de v(t) no ponto t=4 como sendo 8, ou seja resultado idêntico ao calculado na Tabela 1. Observando-se o triângulo do Gráfico 3 pode-se concluir que o cateto oposto é formado por Δv e o cateto adjacente é formado por Δt. A divisão do cateto oposto de um triângulo pelo cateto adjacente resultará tangente do ângulo θ conforme apresentado na Figura 1.
Figura 1 Com base no exposto na Figura 1 pode-se concluir que a derivada de uma função em um ponto é igual à tangente de uma reta que toca a curva da função neste ponto. No caso utilizado como exemplo a derivada de v(t)=t² no ponto t=4 é igual a 8, isto significa dizer que a tangente à curva da função neste ponto terá uma inclinação que pode ser calculada por: Arco tangente de 8 é igual resulta em um ângulo de 82,87. A reta tangente à curva terá portanto uma inclinação de 82,87. Um pouco de raciocínio permite concluir que quanto maior for a derivada de uma função mais inclinada será a reta tangente à curva da função, portanto maior será o módulo da taxa de variação desta função no ponto em estudo. Pequenos ângulos indicam pouca taxa de variação da função. No Gráfico 4 pode-se observar a reta tangente à curva de v(t)=t² no ponto t=4. Neste ponto a reta apenas toca a curva da função. A derivada desta função neste ponto é igual a 8. Gráfico 4
Em cálculo, geralmente trabalhamos com as variáveis x e y, desta maneira podemos escrever uma equação genérica para a derivada de uma função conforme apresentado abaixo. Além disto o termo Δ pode gerar algumas confusões quando em uso desta maneira a partir deste ponto o mesmo será chamado de h, o que resulta em: Seja y=f(x) a derivada de primeira ordem desta função pode ser escrita da seguinte forma: (Equação 9) Uma notação possível para a derivada é: Δy/Δx. Tal notação foi alterada pelo grande estudioso do cálculo Leibniz que alterou a mesma para dy/dx que é a forma mais utilizada na literatura científica para se referir a uma derivada. c) Regras de derivação A partir da observação do comportamento das derivadas de diversas funções, calculadas a partir da Equação 9 pode-se estabelecer algumas regras que facilitam o cálculo das derivadas. Derivada de uma constante. Seja uma função y = c, onde c é uma constante, a derivada desta função será igual a zero. Exemplos: A função y=5 possui a derivada y =0 A função y=100 possui a derivada y =0 Regra da potência. Abaixo são apresentadas as derivadas de algumas funções parecidas e as suas respectivas derivadas: Função Derivada x 1 x² 2x x³ 3x² x⁴ 4x³ x⁵ 5x⁴
Observando-se os resultados destas derivação para este tipo de função: a função y = x n derivadas pode-se estabelecer uma regra geral de terá como derivada: y =n.x (n-1) Exemplos: seja y=x 10, logo y =10x 9 Seja y=x 1/2, logo y =(1/2).x -1/2 Derivada de uma função vezes uma constante. A derivada de uma constante vezes uma função será dada pela constante vezes a derivada da função. Se y for uma função de x e c uma constante, então: y=c.f(x) possui a derivada y =c.f (x) Exemplos: A função y=5.x possui a derivada y =5 A função y=4.x 3 possui a derivada y =4.3.x 2 =12.x 2 Derivada da soma de duas funções. A derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas de cada função. Uma função dada por h(x) = g(x)+f(x) terá como derivada h (x)=g (x)+f (x). Exemplos: A função f(x)=x 3 +x 4 possui a derivada f (x)=3x 2 +4x 3 A função f(x)=x 2 +x possui a derivada f (x)=2x+1
2 Exercícios Resolvidos ER-1) Prove através de limites que a derivada da função f(x)=5x+1 é f (x)=5. Resolução: Para resolver este problema deve-se recorrer a definição de derivada dada na Equação 9, ou seja: Para resolver o problema a função f(x)=5.x+1 será colocada na definição da derivada e todo o x presente nesta função será substituído por (x+h), resultando no limite abaixo:, desenvolvendo:, simplificando:, a divisão do h por h resulta em 1, desta forma: (resultado final comprovando a afirmação do problema) ER-2) Calcule a derivada da função f(x)=x 3-2x 2 +7x+5 no ponto x=6. Resolução: Para resolver este exercício deve-se utilizar a regra das somas e a regra da potência, desta maneira a derivada da função f(x) será: f (x) = 3.x 2-2.2.x+7+0 = 3.x 2-4x+7 Substituindo agora o ponto x=6, teremos: f (x)=3.6 2-4.6+7 = 91 (resultado final do problema)
3 Exercícios 3.1 - Responda as perguntas abaixo usando como referência a revisão feita neste documento bem como informações pesquisadas em livros: - O que é a derivada de uma função e qual é o seu significado? - Apresente duas aplicações práticas para as derivadas. - Porque podemos dizer que a derivada de uma função em um ponto é a tangente a esta função neste ponto? 3.2 - Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando as regras de derivação: a) g) b) h) c) i) d) j) e) k) f) l) 3.3 - Calcule as derivadas das funções no ponto dado: Item Função Ponto m) x=2 n) x=1 o) t=5 p) s=7 q) x=1
3.4 - Prove através de limites as afirmações abaixo: A função possui como derivada: x+7 A função possui como derivada: 3.5 - Dada a função: faça os itens apresentados abaixo. - Esboce em um gráfico a função entre x=0 e x=10; - Ache a derivada desta função; - Calcule a derivada da função no ponto x=6; - Encontre qual é a inclinação em graus da derivada no ponto x=6; - Plote no gráfico da função a reta tangente à função no ponto x=6.