Matemática Comercial

Matemática Comercial 51110302002011

SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM COMERCIAL ADMINISTRAÇÃO REGIONAL DO SENAC EM MINAS GERAIS PRESIDENTE DO CONSELHO REGIONAL Lázaro Luiz Gonzaga ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO André Luís Guzzoni REVISÃO LINGUÍSTICA Ana Lúcia Santos Lima GMP/SEMD - Setor de Material Didático DIAGRAMAÇÃO Alex de Souza Carvalho GMP/SEMD - Setor de Material Didático DIRETOR REGIONAL Luciano de Assis Fagundes CAPA Alex de Souza Carvalho GMP/SEMD - Setor de Material Didático PROJETO GRÁFICO Patrícia Regina da Silva Coelho GMP/SEMD - Setor de Material Didático Reimpressão, 2013 SENAC.DR.MG. Matemática comercial. / André Luís Guzzoni. Belo Horizonte: SENAC/MG/SEMD, 2011. 62p. Matemática financeira CDU: 51:336 Ficha elaborada de acordo com as normas do SICS - Sistema de Informação e Conhecimento do Senac SENAC/DR.MG.2011 Setor de Material Didático - SEMD Rua Tupinambás, 1.086 - Centro CEP 30.120-070 - Belo Horizonte - Minas Gerais 0800 7244440 - FAX.: (0xx31)3048-9174 Home page: www.mg.senac.br

Sumário 1 - Regra de Três Simples, 5 2 - Regra de Três Composta, 11 3 - Porcentagem, 19 4 - Acréscimos, 25 5 - Descontos, 31 6 - Taxas Incidindo sobre Taxas, 37 7 - Variação Percentual - %, 39 8 - Lucro e Prejuízo, 41 9 Introdução à Matemática Financeira, 53 Referências, 62

1 - Regra de Três Simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Ao associarmos duas grandezas, veremos que uma varia de acordo com a outra. Há duas denominações para regra de três simples, a direta e a inversa. A regra de três simples direta acontece quando as grandezas envolvidas forem diretamente proporcionais e a regra de três simples inversa acontece quando as grandezas envolvidas forem inversamente proporcionais. Monika Wisniewska / SHUTTERSTOCK IMAGES LLC. 5

1.1 - Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas aumentam ou diminuem na mesma razão. Por exemplo: Uma empresa pretende premiar seus funcionários de acordo com o tempo de trabalho na empresa. A cada ano trabalhado, o funcionário receberá um prêmio de ½ salário mínimo. Tempo de Trabalho (anos) 1 2 3 4 5 Prêmio Recebido (salários mínimos) 0,5 1 1,5 2 2,5 1.2 - Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentarmos a primeira grandeza, a segunda diminui e vice-versa. Por exemplo: Uma empresa pretende distribuir uma parte do lucro ao final do ano entre seus funcionários. Mas, para que o funcionário tenha direito a este prêmio, ele precisa atingir os seus objetivos de vendas. O quadro de vendas da empresa é composto por cinco vendedores e o prêmio estimado é de R$30.000,00 (parte do lucro). A divisão do prêmio será dividido em partes iguais para os funcionários que atingirem os objetivos individuais. Quantidade de funcionários premiados Prêmio recebido por cada funcionário (R$) 1 2 3 4 5 30.000,00 15.000,00 10.000,00 7.500,00 6.000,00 6

Alguns exemplos de regra de três simples: 1. Uma empresa gastou R$ 25.000,00 no pagamento dos salários de seus 30 funcionários. Quanto ela gastaria se tivesse 40 funcionários? Primeiro passo Determinar as grandezas envolvidas: Funcionários e Gastos (R$) Segundo passo Determinar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais: P.S.: A análise inicia-se pela grandeza que possui a incógnita. Funcionários Gastos Descobrimos que as grandezas são diretamente proporcionais, pois, se aumentarmos o número de funcionários, iremos aumentar o valor gasto com os salários. Terceiro Passo Montar a regra de três: Como as grandezas são diretamente proporcionais, basta colocar os valores abaixo das grandezas dos valores correspondentes. Funcionários Gastos 30 40 25.000,00 x Quarto passo Resolver a regra de três: 30. x = 40 x 25.000,00 30x = 1.000.000,00 X= 1.000.000,00 30 X = R$ 33.333,33 7

Então, como a empresa irá aumentar o número de funcionários, o valor gasto com a folha de pagamento também aumentará para R$ 33.333,33. 2. Uma empresa, a fim de verificar a autenticidade de seu departamento contábil, realizou uma auditoria interna. Ela contratou uma empresa especializada que enviou cinco auditores que trabalharam durante 18 dias. Quantos auditores são necessários para realizar este mesmo trabalho em 10 dias? Primeiro passo Determinar as grandezas envolvidas: Auditores e Dias Segundo passo Determinar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais; P.s.: A análise inicia-se pela grandeza que possui a incógnita. Auditores Dias Descobrimos que as grandezas são inversamente proporcionais, pois, se aumentarmos o número de auditores, iremos diminuir o tempo (dias) gasto para realizarmos o mesmo trabalho. Terceiro Passo Montar a regra de três: Auditores Dias 5 x 18 10 8

Quarto Passo Armar as razões: Como as grandezas são inversamente proporcionais, temos que inverter o sentido de uma das setas para que elas tenham o mesmo sentido. Como nossa incógnita é a grandeza auditores, vamos seguir a orientação da seta desta incógnita e vamos inverter o sentido da seta da grandeza dias. Desta forma, teremos: Auditores Dias 5 x 10 18 Observem que a razão da grandeza dias também teve invertida a sua ordem. Quinto passo Resolver a regra de três: 10. x = 5 x 18 10x = 90 X= 90 10 X = 9 auditores 9

Lista de Exercícios Regra de Três Simples 1. Uma empresa paga, para um funcionário que trabalha 6 horas por dia, o salário de R$ 860,00. Qual é o salário de um funcionário que trabalha 8 horas por dia? Resposta: R$ 1.146,67. 2. Um programador de computador recebeu R$ 8.756,00 por 22 dias de trabalho na execução de um software para uma empresa de transporte. Quanto receberia se trabalhasse 15 dias? Resposta: R$ 5.970,00. 3. Em 18 dias, quatro secretárias fazem todo o serviço de arquivamento das fichas de uma clínica médica. Em quantos dias seis secretárias, com igual capacidade de trabalho, farão o mesmo serviço? Resposta: 12 dias. 4. Para imprimir 5.100 exemplares de um determinado livro, são necessários 2.244 kg de papel. Qual a quantidade máxima de exemplares que podem ser impressos com 2.156 kg desse papel? Resposta: 4.900 exemplares. 5. Em uma loja, um caixa leva, em média, quatro minutos para atender dois clientes. Qual é o tempo que esse caixa levará para atender 25 clientes? Resposta: 50 minutos. 6. Em uma padaria, trabalham três padeiros que trabalham 8 horas por dia cada um e produzem, todos juntos, certa quantidade de pães de sal. Agora o proprietário da padaria contratou mais dois padeiros. Quantas horas serão necessárias para produzir a mesma quantidade de pães de sal? Resposta: 4,8 horas ou 4 horas e 48 min ou 288 minutos. 10

2 - Regra de Três Composta A regra de três composta é um processo utilizado para se descobrir valores de grandezas a partir de outros valores já existentes, sendo utilizada em situações com mais de duas grandezas. Na regra de três composta, as grandezas envolvidas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Para resolvê-la, usaremos um método bastante semelhante ao usado na regra de três simples. Alguns exemplos de regra de três composta: 1. Uma loja de autopeças conta com uma equipe de 15 vendedores que trabalham seis horas por dia e vendem, juntos, R$ 150.000,00 por mês. Quanto a loja venderá por mês se tiver 17 vendedores trabalhando 7 horas por dia? Primeiro passo Determinar as grandezas envolvidas: Vendedores/Vendas (R$)/ Horas. Segundo passo Determinar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais; P.S.: A análise inicia-se pela grandeza que possui a incógnita e é feita aos pares de grandezas. Vamos comparar as grandezas vendedores e vendas, considerando constante a grandeza horas (imaginamos que, em ambos os casos, as horas trabalhadas pelos vendedores sejam as mesmas). 11

Se aumentarmos o número de vendedores, o volume de vendas aumentará proporcionalmente ao número de vendedores. Portanto, vendedores e vendas são grandezas diretamente proporcionais. Vendedores Vendas (R$) Agora, vamos comparar as grandezas vendas (R$) e horas, considerando constante a grandeza vendedores (imaginamos que em ambos os casos a quantidade de vendedores seja a mesma). Se aumentarmos o número de horas trabalhadas pelos vendedores, também irá aumentar o valor das vendas mensais da loja de autopeças. Vendas (R$) Horas Logo, teremos: Vendedores Vendas (R$) Horas Terceiro Passo Montar a regra de três: Como as grandezas são diretamente proporcionais, basta colocar os valores abaixo das grandezas dos valores correspondentes. Vendedores Vendas (R$) Horas 15 150.000,00 6 17 x 7 12

Quarto passo Resolver a regra de três: P.s.: Como se trata de uma regra de três composta, para formar a proporção, devemos usar a seguinte propriedade: Igualar a razão que possui a incógnita com o produto das demais. 150.000,00 = 15 x 6 X 17 x 7 150.000,00 = 90 X 119 90. x = 119 x 150.000,00 90x = 17.850.000,00 X= 17.850.000,00 90 X = R$ 198.333,33 Então, a empresa irá aumentar o valor das vendas para R$ 198.333,33. 2. Uma empresa conta com três engenheiros trabalhando 10 horas por dia, que gastam seis dias para elaborar 10 projetos estruturais. Quantos engenheiros, trabalhando seis horas por dia, serão necessários para elaborar 15 projetos estruturais em nove dias? Primeiro passo Determinar as grandezas envolvidas: Engenheiros / Horas / Dias / Projetos. 13

Segundo passo Determinar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais; P.s.: A análise inicia-se pela grandeza que possui a incógnita e é feita aos pares de grandezas. Vamos comparar as grandezas engenheiros e horas, considerando constantes as grandezas dias e projetos (imaginamos que, em ambos os casos, os dias trabalhados e a quantidade de projetos sejam os mesmos). Se aumentarmos o número de horas trabalhadas, a quantidade de engenheiros necessários para elaborar a mesma quantidade de projetos no mesmo número de dias será menor; portanto, engenheiros e horas são grandezas inversamente proporcionais. Engenheiros Horas Agora, vamos comparar as grandezas engenheiros e dias, considerando constantes as grandezas horas e projetos. Se aumentarmos o número de dias para o trabalho dos engenheiros, iremos precisar de menos engenheiros para elaborar os mesmos projetos com a mesma quantidade de horas trabalhadas por dia. Engenheiros Dias 14 Agora, vamos comparar as grandezas engenheiros e projetos, considerando constantes as grandezas horas e dias. Se aumentarmos o número de projetos, iremos precisar de mais engenheiros para elaborar os projetos com a mesma quantidade de horas diárias trabalhadas e com a mesma quantidade de dias.

Engenheiros Projetos Logo, teremos: Engenheiros Dias Horas Projetos Terceiro Passo Montar a regra de três: Engenheiros Dias Horas Projetos 3 x 6 9 10 6 10 15 Quarto Passo Armar as razões: Como temos grandezas direta e inversamente proporcionais, temos que inverter o sentido das setas das grandezas inversamente proporcionais (dias e horas), para que elas tenham o mesmo sentido. Como nossa incógnita é a grandeza engenheiros, vamos seguir a orientação da seta desta incógnita. Desta forma, teremos: Engenheiros Dias Horas Projetos 3 x 9 6 6 10 10 15 Observe que a razão das grandezas dias e horas também foi invertida em sua ordem. 15

Quinto passo Resolver a regra de três: P.s.: Como se trata de uma regra de três composta, para formar a proporção, devemos usar a seguinte propriedade: Igualar a razão que possui a incógnita com o produto das demais. 3 = 9 x 6 x 10 x 6 x 10 x 15 3 = 540 x 900 540. x = 900 x 3 540x = 2.700 x = 2700 540 X = 5 engenheiros 16

Lista de Exercícios Regra de Três Composta 1. Dois carregadores gastaram três horas para transportar 270 caixas da carroceria de um caminhão para o almoxarifado de uma empresa. Quantos carregadores serão necessários para transportar 720 caixas em quatro horas? Resposta: quatro carregadores. 2. A loja Topa Tudo dispõe de 15 balconistas, que trabalham 8 horas por dia e custam, para a empresa, R$ 14.000,00 por mês. Quanto a loja gastará por mês se passar a ter 22 balconistas trabalhando 6 horas por dia? Resposta: R$ 15.400,00. 3. Para ensacar 144.000 litros de leite, duas máquinas trabalham quatro horas por dia durante cinco dias. Quantos dias levarão três máquinas, iguais às anteriores, para ensacar 237.600 litros de leite, trabalhando cinco horas e 30 minutos por dia? (Os valores devem estar na mesma unidade. Transformar horas em minutos). Resposta: 4 dias. 4. Uma indústria fornece refeições a seus empregados. Um balanço revelou que 100 funcionários, alimentados durante 10 dias, custam à empresa R$ 2.000,00. Quanto custarão as refeições para 150 funcionários durante 22 dias? Resposta: R$ 6.600,00. 5. Para fazer os reajustes da casa própria, 80 funcionários do SFH trabalham 7 horas por dia, durante 15 dias. Quantos funcionários seriam necessários para fazer esse mesmo serviço, em 14 dias, trabalhando 6 horas por dia? Resposta: 100 funcionários. 17

6. Uma escola ia contratar um grupo de 8 professores para dar um curso sobre computadores em 48 horas, pagando um total de R$ 9.216,00. No entanto, como medida de economia, ela resolveu contratar somente 6 professores e dar o curso em 36 horas. Quanto a escola economizará? Resposta: R$ 4.032,00. 7. O setor de recrutamento de uma empresa contratará, em regime de trabalho temporário, 15 digitadores que trabalharão 6 horas por dia, durante 40 dias. Eles receberão, juntos, um salário de R$ 12.000,00. Entretanto, devido ao acúmulo de serviço, será preciso contratar mais cinco digitadores e mudar a carga horária de todos eles para 8 horas diárias. Com isso, eles passarão a receber juntos um salário de R$16.000,00. Em quantos dias eles farão o trabalho? Resposta: 30 dias. 18

3 - Porcentagem Em nosso dia a dia, sempre nos deparamos com situações que envolvem porcentagens, pois é frequente o uso de expressões que refletem acréscimos e/ ou reduções de valores, como preços, números e quantidades. Como definição, porcentagem ou percentagem, é uma maneira de expressar uma proporção ou uma relação entre dois valores a partir de uma fração cujo denominador é 100, ou seja, dividir um número por 100. É muito comum depararmo-nos com a expressão por cento, que é caracterizada pelo símbolo %. Scott Maxwell / LuMaxArt / SHUTTERSTOCK IMAGES LLC. Por exemplo: ff Este produto tem um desconto de 8%; ff O salário mínimo subiu 5,5%; ff O time teve um aproveitamento de 72% dos pontos disputados no campeonato. É muito importante entender o significado do símbolo % (por cento). 19

Vejamos: Considere as seguintes razões centesimais: 3 = 3% 18 = 18% 0,1 = 0,1% 100 100 100 Quando substituímos os denominadores 100 pelo símbolo de %, obtemos as taxas percentuais de: 3%; 18%; 0,1%. Das razões centesimais, obtemos as taxas percentuais e as taxas unitárias, da seguinte forma: Razões Centesimais Taxas Percentuais Taxas Unitárias 15 100 50 100 120 100 0,1 100 Exemplos de problemas de porcentagem: 15% 0,15 50% 0,50 120% 1,2 0,1% 0,001 1. Uma empresa possui 250 funcionários, sendo que 20% deles são vendedores. Qual o número de vendedores dessa empresa? Funcionários Taxa Percentual 250 100 X 20 20 Resolvendo a regra de três, temos: 100. x = 250 x 20 100x = 5.000 x = 5.000 100 x = 50 funcionários são vendedores.

2. Nos bares e restaurantes, é muito comum acrescentarem 10% do total da conta como gratificação para o garçom. Se o valor da conta do sr. Manuel ficou em R$ 75,00, sem os 10% de gratificação, quanto ele pagará de gratificação? E qual o valor final da conta do sr. Manuel? Cálculo do valor da gratificação Valor Porcentagem (%) 75,00 100 X 10 100. x = 75,00 x 10 100x = 750,00 x = 750,00 100 x = R$ 7,50 de gratificação. Cálculo do valor final da conta Valor Porcentagem (%) 75,00 100 X 110 100. x = 75,00 x 110 100x = 8.250,00 x = 8.250,00 100 x = R$ 82,50 é o valor final da conta. 21

3. Um vendedor recebeu R$ 1.500,00 de comissão pelas suas vendas do mês passado. Sabe-se que ele ganha 5% de comissão sobre as vendas. Qual foi o valor vendido por ele? Valor (vendas) Porcentagem (%) x 100 1.500,00 5 5. x = 1.500,00 x 100 5x = 150.000,00 x = 150.000,00 5 x = R$ 30.000,00 de vendas 4. Uma peça que custava R$ 106,00 foi vendida com 8% de desconto. Qual foi o valor do desconto? E qual foi o valor da venda desta peça? Cálculo do valor do desconto Valor Porcentagem (%) 106,00 100 x 8 100. x = 106,00 x 8 100x = 848,00 x = 848,00 100 x = R$ 8,48 de desconto. 22

Cálculo do valor da venda Valor Porcentagem (%) 106,00 100 x 92 100. x = 106,00 x 92 100x = 9.752,00 x = 9.752,00 100 x = R$ 97,52 é o valor final da peça depois do desconto. 5. Um produto custava R$ 234,00 e agora passou a custar R$247,50. Qual é a taxa percentual de aumento? Valor Porcentagem (%) 234,00 100 247,50 x 234,00. x = 247,50 x 100 234,00x = 24.750,00 x = 24.750,00 234,00 x = 105,77%, então o aumento foi de 105,77% - 100% = 5,77%. Outra forma de cálculo: Valor Porcentagem (%) 234,00 100 13,50 x 234,00. x = 13,50 x 100 234,00x = 1.350,00 x = 1.350,00 234,00 x = 5,77% 23

Lista de Exercícios Porcentagem 1. O estoque máximo de uma loja de autopeças é de 14.243 e o estoque mínimo é de 4.700. O estoque mínimo corresponde a que taxa percentual em relação ao estoque máximo? Resposta: 33% 2. Um vendedor de carros ganha 3% de comissão por carro vendido. Quanto ele receberá se vender um carro de R$20.000,00? Resposta: R$ 600,00. 3. 83% dos inscritos para o vestibular compareceram para fazer as provas, tendo faltado 600 pessoas. Quantas pessoas estavam inscritas? Resposta: 3.530 inscritos. 4. Em uma caixa existem 6 bolas pretas, 12 bolas vermelhas e 4 bolas verdes. Calcule a porcentagem de bolas verdes na caixa. Resposta: 18,18% 5. Se, em uma escola, há 6.000 alunos, dentre os quais 58% são meninas, determine o número de meninos nessa escola. Resposta: 2.520 meninos. 6. Mariana comprou uma T.V. pagando 25% de entrada, o restante em três parcelas de R$330,00 e mais duas de R$280,00. Calcule o preço da T.V. Resposta: R$ 2.066,67. 7. Em um grupo de amigos, 30% torcem para o Flamengo, 20% para o Vasco, 20% torcem para o Botafogo. Os 12 restantes torcem para o Fluminense. Qual o número de torcedores do Vasco? Resposta: 8 torcedores vascaínos. 24

4 - Acréscimos Acréscimo nos traz a idéia de valorização, aumento de valor, soma. Exemplo: 1. Um produto, em uma loja, custava R$ 130,00 no mês passado. Chegando à loja, hoje, para comprar o produto, notamos que o mesmo produto tinha aumentado 18%. Quanto custa o produto agora? 1ª Solução: Acréscimo de 18% = 0,18 x R$ 130,00 = R$ 23,40 R$ 130,00 R$ 23,40 = R$ 153,40 2ª Solução: Valor Porcentagem 130,00 100 x 118 100. x = 130,00 x 118 100x = 15.340,00 x = 15.340,00 100 x = R$ 153,40 é valor do produto após o aumento. 25

3ª Solução: P = P o x (1 + i) P = 130,00 x (1 + 0,18) P = 130,00 x 1,18 P = R$ 153,40. 4.1 - Acréscimos Simultâneos Os acréscimos simultâneos são os acréscimos que incidem sobre um mesmo valor tomado como referência. Exemplo: Mariana é arquiteta e cobrou R$ 3.000,00 para fazer o projeto da nova casa de Fábio. No contrato de prestação de serviços estavam inclusas as taxas adicionais de 20% (pela gasolina gasta em visitas à obra), 10% (pelas visitas em finais de semana) e 5% (pela ajuda na decoração da casa). Quanto Fábio gastou ao todo com o projeto arquitetônico da casa? 1ª Solução: Cálculo do combustível 0,20 x R$ 3.000,00 = R$ 600,00 Cálculo das visitas nos finais de semana 0,10 x R$ 3.000,00 = R$ 300,00 Cálculo da decoração 0,05 x R$ 3.000,00 = R$ 150,00 Acréscimo total: R$ 600,00 + R$ 300,00 + R$ 150,00 = R$ 1.050,00 Valor Total: R$ 3.000,00 + R$ 1.050,00 = R$ 4.050,00 26

2ª Solução: Como os acréscimos são simultâneos, ou seja, incidem sobre o mesmo valor, podemos somá-los e calcular o acréscimo total. Acréscimos: 20% + 10% + 5% = 35% 0,35 x R$ 3.000,00 = R$ 1.050,00 Valor total: R$ 3.000,00 + R$ 1.050,00 = R$ 4.050,00. 3ª Solução: P = P o x ( 1 + i 1 + 1 2 + i 3 -... + i n ) P = 3.000,00 x (1 + 0,20 + 0,10 + 0,05) P = 3.000,00 x (1 + 0,35) P = 3.000,00 x 1,35 P = R$ 4.050,00. 4.2 - Acréscimos Sucessivos Acréscimos sucessivos são os acréscimos que incidem um após o outro, em seguida. Exemplo: O proprietário de uma loja de autopeças está formando o preço de venda de um produto que há alguns meses ele vendia por R$ 120,00. Este produto sofreu diversos aumentos nos preços. As taxas de aumento foram 4%, 6%, 8% e 5%. Por quanto deve ser vendido este produto após os aumentos? Qual a taxa de acréscimo? 27

1ª Solução: 0,04 x R$ 120,00 = R$ 4,80 R$ 120,00 + R$ 4,80 = R$ 124,80 0,06 x R$ 124,80 = R$ 7,49 R$ 124,80 + R$ 7,49 = R$ 132,29 0,08 x R$ 132,29 = R$ 10,58 R$ 132,29 + R$ 10,58 = R$ 142,87 0,05 x R$ 142,87 = R$ 7,14 R$ 142,87 + R$ 7,14 = R$ 150,01 Então, o valor do produto será de R$ 150,01. Temos que, R$ 150,01 R$ 120,00 = R$ 30,01 de acréscimo Preço (R$) Porcentagem 120,00 100 30,01 x 120,00. x = 30,01 x 100 120,00x = 3.001,00 x = 3.001,00 120,00 x = 25,01% Então, a variação percentual é 25,01%. 28

2ª Solução: P = Po x (1+ i1) x (1 + i2) x (1 + i3) x... x (1 + in) P = 120,00 x (1 + 0,04) x (1 + 0,06) x (1+ 0,08) x (1 + 0,05) P = 120,00 x 1,2501 P = R$ 150,01. 3ª Solução: Cálculo da taxa de acréscimo único i = (1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) x (1 + in) i = (1 + 0,04) x (1 + 0,06) x (1 + 0,08) x (1 + 0,05) i = (1,04) x (1,06) x (1,08) x (1,05) i = 1,2501 i = 1,2501-1 i = 0,2501 x 100 i = 25,01% 29

Lista de Exercícios Acréscimos 1. Todas as mercadorias de uma loja tiveram seus preços acrescidos de 9%. Quanto custa, hoje, uma mercadoria que, antes do acréscimo, custava R$ 136,00? Resposta: R$ 148,24. 2. Uma peça, que hoje é vendida por R$ 7,90, custava R$ 7,30 na mesma loja, no mês passado. Qual a taxa percentual de aumento de um mês para o outro? Resposta: 8,22% 3. Dois acréscimos sucessivos de 15% equivalem a um único acréscimo de quantos por cento? Resposta: 32,25% 4. Um produto teve acréscimos sucessivos de 20% e 10%. Estes acréscimos equivalem a um único acréscimo de quantos por cento? Resposta: 32% 5. O aumento nos impostos de importação fez com que um eletro-eletrônico de R$ 400,00 sofresse três acréscimos sucessivos de 4%, 5% e 6%. Qual o valor atual desse equipamento? E qual a variação desse acréscimo? Resposta: R$ 463,01 e 15,75% 6. Uma máquina de lavar sofreu duas valorizações sucessivas de x% e 9%, sendo vendida hoje por R$ 1.030,05. Se antes das duas valorizações a máquina era vendida por R$ 900,00. Calcule o percentual x? Resposta: 5% 30

5 - Descontos Desconto nos traz a idéia de abatimento, redução de valor, subtração. Por exemplo: João foi a uma loja de peças automotivas comprar algumas para seu carro. O total da compra foi de R$ 1.800,00. Ele foi informado de que o pagamento à vista teria um desconto de 6%. Qual o valor da compra com o desconto? E qual o valor do desconto? 1ª Solução: Desconto de 6% = 0,06 x R$ 1.800,00 = R$ 108,00 R$ 1.800,00 R$ 108,00 = R$ 1.692,00 2ª Solução: Valor Porcentagem 1.800,00 100 x 92 100. x = 1.800,00 x 94 100x = 169.200,00 x = 169.200,00 100 x = R$ 1.692,00 valor da compra com desconto. Valor do desconto: R$ 1.800,00 R$ 1.692,00 = R$ 108,00. 31

3ª Solução: P = P o x (1 i) P = 1.800,00 x ( 1 0,06) P = 1.800,00 x 0,94 P = R$ 1.692,00 Desconto: R$ 1.800,00 R$ 1.692,00 = R$ 108,00. 5.1 - Descontos Simultâneos Os descontos simultâneos são os descontos que incidem sobre um mesmo valor tomado como referência. Exemplo: Flávio recebe um salário bruto de R$ 4.200,00. Sobre esse salário incidem descontos de 8% referentes ao INSS, 10% referentes ao FGTS e 3% referentes ao plano de saúde da empresa. Qual é o salário líquido de Flávio? 1ª Solução: Cálculo do desconto do INSS 0,08 x R$ 4.200,00 = R$ 336,00 Cálculo do desconto de FGTS 0,10 x R$ 4.200,00 = R$ 420,00 Cálculo do desconto plano de saúde 0,03 x R$ 4.200,00 = R$ 126,00 Desconto total: R$ 336,00 + R$ 420,00 + R$ 126,00 = R$ 882,00 Salário Líquido: R$ 4.200,00 R$ 882,00 = R$ 3.318,00 32

2ª Solução: Como os descontos são simultâneos, ou seja, incidem sobre o mesmo valor, podemos somá-los e calcular o desconto total. Descontos: 8% + 10% + 3% = 21% 0,21 x R$ 4.200,00 = R$ 882,00 Salário Líquido: R$ 4.200,00 R$ 882,00 = R$ 3.318,00 3ª Solução: P = P o x ( 1 i 1 1 2 i 3 -... i n ) P = 4.200,00 x (1 0,08 0,10 0,03) P = 4.200,00 x (1 0,21) P = 4.200,00 x 0,79 P = R$ 3.318,00 5.2 - Descontos Sucessivos Descontos sucessivos são os descontos que incidem um após o outro, em seguida. Exemplo: O proprietário de uma loja de autopeças está negociando com um fornecedor um pedido para repor o seu estoque. Na negociação, o fornecedor informou que o preço de um produto é R$ 189,00. O desconto comercial é de 10% para pagamento a prazo e mais 6% de desconto para pagamento à vista. O fornecedor informou ainda que ele teria um desconto adicional de mais 1,5% sobre o valor do produto a cada 15 peças compradas, independentemente da forma de pagamento. Diante desta situação, o proprietário resolveu comprar 45 peças deste 33

produto. Mas está indeciso se comprará à vista ou a prazo, pois precisa saber sua disponibilidade de caixa. Qual será o valor total da compra à vista? E qual o valor da compra a prazo? Qual a variação do preço bruto para o preço líquido à vista? 1ª Solução: 0,10 x R$ 189,00 = R$ 18,90 R$ 189,00 R$ 18,90 = R$ 170,10 é o preço do produto, sem os descontos adicionais. Como ele quer comprar 45 peças, a cada 15 peças ele terá 1,5% a mais de desconto. 0,015 x R$ 170,10 = R$ 2,55 R$ 170,10 R$ 2,55 = R$ 167,55 (para 15 peças) 0,015 x R$ 167,55 = R$ 2,51 R$ 167,55 R$ 2,51 = R$ 165,04 (para 30 peças) 0,015 x R$ 165,04 = R$ 2,48 R$ 165,04 R$ 2,48 = R$ 162,56 (para 45 peças) Então, o valor do produto é de R$ 162,56 para a compra a prazo. Se o proprietário for comprar à vista, terá um desconto de 6%. 0,06 x R$ 162,56 = R$ 9,75 R$ 162,56 R$ 9,75 = R$ 152,81 é o preço do produto para pagamento à vista. Preço (R$) Porcentagem 189,00 100 152,81 x 34

189,00. x = 152,81 x 100 189,00x = 15.281,00 x = 15.281,00 189,00 x = 80,85% Então, a variação percentual é 19,15% 2ª Solução: P = P o x (1- i 1 ) x (1 i 2 ) x (1 i 3 ) x... x (1 i n ) P = 189,00 x (1 0,10) x (1-0,015) x (1-0,015) x (1 0,015) x (1 0,06) P = 189,00 x 0,8085 P = R$ 152,81 3ª Solução: Cálculo da taxa de desconto único i = 1 (1 i 1 ) x (1 i 2 ) x (1 i 3 ) x (1 i n ) i = 1 (1 0,10) x (1 0,015) x (1 0,015) x (1 0,015) x (1 0,06) i = 1 (0,90) x (0,985) x (0,985) x (0,985) x (0,94) i = 1 0,8085 i = 0,1915 x 100 i = 19,15% 35

Lista de Exercícios Descontos 1. Uma loja de peças dá um desconto de 5% em qualquer mercadoria que for comprada à vista. Qual o preço à vista de uma peça cujo preço de tabela é de R$ 103,00? Resposta: R$ 97,85. 2. Qual o preço de tabela de uma peça que foi comprada nesta mesma loja à vista por R$ 134,00? Resposta: R$ 141,05. 3. Um pneu de R$ 432,00 foi vendido por R$ 399,60. Qual o desconto oferecido pela loja para pagamento à vista? Resposta: 7,5%. 4. Um produto tem descontos sucessivos de 20% e 10%. Estes descontos equivalem a um único desconto de quantos por cento? Resposta: 28%. 5. A diminuição dos impostos fez com que uma mercadoria que custava R$350,00 sofresse três descontos sucessivos de 6%, 5% e 4%. Qual o valor atual dessa mercadoria? Qual a taxa percentual acumulada de desconto? Resposta: R$ 300,05 e a taxa percentual é 14,27%. 6. Um produto é vendido com descontos simultâneos de 5%, 4%, 2%. Sabe-se que o valor de tabela do produto é de R$ 200,00. Qual o preço de venda deste produto após os descontos? Resposta: R$ 178,00. 7. Dois descontos simultâneos de 6% representam quantos por cento em um único desconto? Resposta: 12%. 36

6 - Taxas Incidindo sobre Taxas No trabalho com porcentagens, nos deparamos com situações em que taxas de porcentagem incidem sobre outras taxas. Exemplo: Numa escola onde estudam 4.000 alunos, sabe-se que 40% deles são homens. Dos homens, 70% torcem para o Palmeiras. Calcule o número de alunos homens que torcem para o Palmeiras. ff ff ff Número de homens = 0,40 x 4.000 = 1.600 homens Homens palmeirenses = 0,70 x 1.600 = 1.120 palmeirenses Concluímos que, dos 4.000 alunos, 1.120 são homens e torcem pelo Palmeiras. Zadorozhnyi Viktor / SHUTTERSTOCK IMAGES LLC. 37

Lista de Exercícios Taxas Incidindo sobre Taxas 1. Em uma empresa onde trabalham 300 funcionários, sabese que 30% deles são mulheres. Das mulheres, 46,67% trabalham na linha de produção. Quantas mulheres trabalham em outras áreas da empresa? Resposta: 48 mulheres. 2. Uma empresa é composta por 600 funcionários dos quais 40% têm curso superior. Sabe-se que a empresa está financiando o estudo de 15% dos funcionários que não têm curso superior. Quantos funcionários estão sendo beneficiados pela empresa? Resposta: 54 funcionários. 38

7 - Variação Percentual - % A variação percentual (taxa de variação) é calculada quando queremos expressar o acréscimo percentual (variação positiva) ou decréscimo percentual (variação negativa) sofrido por um determinado valor. Fórmula: % = Valor Final Valor Inicial ou, % = (P P o ) - 1 Exemplo: Valor Inicial Faturamento bruto da Empresa XXX Ltda / 1 Semestre de 2009. Meses Vendas Reais R$ Janeiro 130.000,00 Fevereiro 142.000,00 Março 170.000,00 Abril 210.000,00 Maio 180.000,00 Junho 146.000,00 1. Calcule a variação percentual das vendas no mês de fevereiro em relação a janeiro. % = 142.000,00 130.000,00 % = 9,23% 130.000,00 2. Calcule a variação percentual nas vendas no mês de abril em relação a janeiro. % = 210.000,00 130.000,00 130.000,00 % = 61,54% 39

Lista de Exercícios Variação Percentual 1. De acordo com a tabela abaixo, calcule as variações percentuais: Produção anual produto XXX Ano Produção (unid) 2007 52.000 2008 53.404 2009 56.004 2010 54.805 a. Calcule as variações percentuais de produção ano a ano. Resposta: 2,70%; 4,87%; -2,14% b. Calcule a variação percentual do ano de 2009 em relação a 2007. Resposta: 7,15% c. Calcule a variação percentual do ano de 2010 em relação a 2008. Resposta: 2,62% 2. Dado que a variação percentual de vendas no mês de janeiro em relação a dezembro é % = - 35% e sabendo que a venda de janeiro foi de R$ 234.500,00, calcule as vendas de dezembro. Resposta: R$ 360.769,23. 40

8 - Lucro e Prejuízo Sabe-se que uma empresa (indústria, comércio ou fornecedor de serviços) obtém seu ganho líquido quando vende produtos, mercadorias e serviços por um preço maior que o preço de custo. No preço de custo estão inclusos os gastos com a execução de serviços prestados; gastos com a fabricação, compra e transporte de materiais; ou apenas os gastos com a compra de mercadorias para serem revendidas. Trabalharemos, nesse tópico, com operações de lucro ou prejuízo referentes à compra e venda de mercadorias. Lucro Ao vender uma mercadoria por um preço maior que o preço pago pela mesma, obtém-se lucro. O lucro pode ser calculado sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. Tomemos alguns exemplos: 41

8.1 - Lucro sobre o Preço de Custo Fórmulas 1ª) Lucro percentual sobre o preço de custo % L = (L / PC) x 100 Onde: % L = Percentual de lucro L = Lucro PC = Preço de custo 2ª) Preço de Venda PV = PC x (1 + i) Onde: PV = Preço de venda PC = Preço de custo i = Percentual de lucro 3ª) Preço de Custo PC = PV / (1 + i) Onde: PC = Preço de custo PV = Preço de venda i = Percentual de lucro 42

Exemplos: a) Comprei uma mercadoria por R$ 300 e vendi por R$ 350,00. Qual foi o lucro percentual sobre o preço de custo? Dados: PC= R$ 300,00 PV= R$350,00 L = PV PC = R$ 350,00 R$ 300,00 = R$ 50,00 %L =? Solução: %L = (L / PC ) x 100 %L = ( 50,00 / 300,00) x 100 %L = 16,67% Lucro percentual sobre o preço de custo = 16,67%. b) Comprei uma mercadoria por R$ 250,00 e quero vendê-la com um lucro de 10% sobre o preço de custo. Qual o preço de venda da mercadoria? Dados: PC = R$ 250,00 i = 10% PV=? Solução: PV = PC x ( 1 + i ) PV = 250,00 x (1 + 0,10) PV = 250,00 x 1,10 PV = R$ 275,00 c) Vendi uma mercadoria por R$ 80,00, obtendo um lucro de 10% sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo? Dados: Solução: i = 10% PV= R$ 80,00 PC =? PC = PV / ( 1 + i ) PC = 80,00 / ( 1 + 0,10 ) PC = 80,00 / 1,10 PC = R$ 72,73 43

8.2 - Lucro sobre o Preço de Venda Fórmulas 1ª) Lucro percentual sobre o preço de venda %L = (L / PV) x 100 Onde: %L = Percentual de lucro L = Lucro PV = Preço de venda 2ª) Preço de Venda PV = PC / (1 i) Onde: PV = Preço de venda PC = Preço de custo i = Percentual de lucro 3ª) Preço de Custo PC = PV - (PV x i) Onde: PC = Preço de custo PV = Preço de venda i = Percentual de lucro 44

Exemplos: a) Comprei uma mercadoria por R$ 300 e quero vendê-la com um lucro de 30% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda da mercadoria? Dados: PC= R$ 300,00 i = 30% PV=? Solução: PV = PC / (1 i) PV = 300,00 / (1 0,30) PV = 300,00 / 0,70 PV = R$ 428,57 b) Uma mercadoria foi vendida por R$ 1.200,00, proporcionando um lucro de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de custo da mercadoria. Dados: PC =? PV= R$ 1.200,00 i = 20% Solução: PC = PV - ( PV x i ) PC = 1.200,00 ( 1.200,00 x 0,20) PC = 1.200,00 240,00 PC = R$ 960,00 c) Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.000,00 e vendida por R$ 1.200,00. Calcule o lucro percentual sobre o preço de venda. Dados: Solução: PC = R$ 1.000,00 PV= R$ 1.200,00 L = PV PC = 1.200,00 1.000,00 = R$ 200,00 %L = (L / PV) x 100 %L = ( 200,00 / 1.200,00 ) x 100 %L = 16,67% 45

8.3 - Prejuízo sobre o Preço de Custo Fórmulas 1ª) Prejuízo percentual sobre o preço de custo %P = (P / PC) x 100 Onde: %L = Percentual de lucro P = Prejuízo PC = Preço de custo 2ª) Preço de Venda PV = PC x (1 - i) Onde: PV = Preço de venda PC = Preço de custo i = Percentual de prejuízo 3ª) Preço de Custo PC = PV / (1 - i) Onde: PC = Preço de custo PV = Preço de venda i = Percentual de prejuízo 46

Exemplos: a) Comprei uma mercadoria por R$ 400,00 e vendi por R$ 350,00. Qual foi o prejuízo percentual sobre o preço de custo? Dados: PC = R$ 400,00 PV= R$ 350,00 P= PC PV = 400,00 350,00 = R$ 50,00 Solução: %P = (P / PC ) x 100 %P = ( 50,00 / 400,00) x 100 %P = 0,1250 x 100 %P = 12,50% b) Comprei uma mercadoria por R$ 250,00. Precisando de dinheiro, fui obrigado a vendê-la com prejuízo de 10% sobre o preço de custo. Qual o preço de venda da mercadoria? Dados: PC = R$ 250,00 PV=? i = 10% Solução: PV = PC x ( 1 - i ) PV = 250,00 x ( 1 0,10 ) PV = 250,00 x 0,90 PV = R$ 225,00 c) Vendi uma mercadoria por R$ 180,00 com um prejuízo de 10% sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo? Dados: Solução: PC =? PV= R$ 180,00 i = 10% PC = PV / (1 - i) PC = 180,00 / (1 0,10) PC = 180,00 / 0,90 PC = R$ 200,00 47

8.4 - Prejuízo sobre o Preço de Venda Fórmulas 1ª) Prejuízo percentual sobre o preço de venda %P = (P / PV) x 100 Onde: %L = Percentual de lucro P = Prejuízo PV = Preço de venda 2ª) Preço de Venda PV = PC / (1 + i) Onde: PV = Preço de venda PC = Preço de custo i = Percentual de prejuízo 3ª) Preço de Custo PC = PV + (PV x i) Onde: PC = Preço de custo PV = Preço de venda i = Percentual de prejuízo 48

Exemplos: a) Comprei uma mercadoria por R$ 320,00 e, por estar endividado, tive que vendê-la. Decidi que a venderia com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda da mercadoria? Dados: PC = R$ 320,00 PV=? P = 10% Solução: PV = PC / ( 1 + i ) PV = 320,00 / ( 1 + 0,10 ) PV = 320,00 / 1,10 PV = R$ 290,91 b) Uma mercadoria foi vendida por R$ 1.000,00, com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de custo da mercadoria. Dados: PC =? PV= R$ 1.000,00 P = 30% Solução: PC = PV + ( PV x i ) PC = 1.000,00 + ( 1.000,00 x 0,30 ) PC = 1.000,00 + 300,00 PC = R$ 1.300,00 c) Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.200,00 e vendida por R$ 900,00. Calcule o prejuízo percentual sobre o preço de venda. Dados: Solução: PC = R$ 1.200,00 PV= R$ 900,00 P = PC PV = 1.200,00 900,00 = 300,00 % P=? %P = (P / PV) x 100 %P = (300,00 / 900,00) x 100 %P = 0,3333 x 100 %P = 33,33% 49

Lista de Exercícios Lucro e Prejuízo 1. Uma mercadoria foi comprada por R$ 300,00 e vendida por R$ 354,00. Calcule o lucro percentual em relação ao preço de custo. Resposta: 18%. 2. Uma mercadoria foi comprada por R$ 2.500,00 e será vendida de forma a proporcionar um lucro de 17% sobre o preço de custo. Calcule o preço de venda da mercadoria. Resposta: R$ 2.925,00. 3. Uma mercadoria foi vendida por R$ 9.350,00 com lucro de 15% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo da mercadoria. Resposta: R$ 8.130,43. 4. Uma mercadoria foi vendida por R$ 150,00 com lucro de 112% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo da mercadoria. Resposta: R$ 70,75. 5. Uma mercadoria foi comprada por R$ 4.500,00 e vendida por R$ 4.300,00. Calcule o prejuízo percentual em relação ao preço de custo. Resposta: 4,44%. 6. Uma mercadoria comprada por R$ 800,00 terá que ser vendida às pressas com prejuízo de 18% sobre o preço de custo. Calcule o preço de venda da mercadoria. Resposta: R$ 656,00. 7. Uma mercadoria foi vendida por R$ 506,00 com prejuízo de 11% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo da mercadoria. Resposta: R$ 568,54. 50

8. O dono de um armazém vende suas mercadorias com um lucro de 20% sobre o preço de custo, e concede 10% de desconto quando as compras são pagas à vista. Calcule o lucro percentual obtido pelo dono do mercado. Resposta: 8%. 9. Um comerciante vende suas mercadorias com um lucro de 10% sobre o preço de custo e concede 10% de desconto quando as compras são pagas à vista. Esse é um bom negócio para o dono do mercado? Justifique sua resposta. Resposta: - 1%. 10. Um vendedor de carros ganha 3% de comissão sobre o custo obtido nas vendas. Sabe-se que ele vendeu um carro por R$ 15.800,00 com lucro de 18% sobre o preço de compra. Calcule a comissão do vendedor. Resposta: R$ 401,69. 11. Uma mercadoria foi comprada por R$ 6.375,00 e vendida por R$ 7.800,00. Calcule o lucro percentual em relação ao preço de venda. Resposta: 18,27%. 12. Uma mercadoria foi comprada por R$ 8.288,00 e vendida por R$ 7.600,00. Calcule o percentual de prejuízo em relação ao preço de venda. Resposta: 9,05%. 13. Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.365,00 e vendida com um lucro de 19% em relação ao preço de venda. Calcule o preço de venda da mercadoria. Resposta: R$ 1.685,19. 14. Uma mercadoria foi comprada por R$ 728,00 e vendida com um prejuízo de 14% em relação ao preço de venda. Calcule o preço de venda da mercadoria. Resposta: R$ 638,60. 51

15. Uma mercadoria foi vendida por R$ 260,00 com um lucro de 15% sobre o preço de venda. Calcule o preço de custo da mercadoria. Resposta: R$ 221,00. 16. Uma mercadoria foi vendida por R$ 900,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Calcule o preço de custo da mercadoria. Resposta: R$ 1.008,00. 52

9 Introdução à Matemática Financeira A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Definições e Terminologias Capital (C): Também conhecido como Principal (P), Valor Presente (VP) é o recurso financeiro disponível na data de início da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado em alguma operação financeira. O capital é base para o cálculo dos juros e, toda vez que tomamos dinheiro emprestado, compramos uma mercadoria, efetuamos um investimento ou simplesmente deixamos de cumprir algum compromisso financeiro, estamos, na verdade, efetuando operações de movimentação de capital que sofrem os efeitos da inflação e do tempo. Juros (J): É a remuneração exigida na utilização de capital de terceiros. Pode ser entendido, de uma forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu aplicador. Os juros recebidos representam um rendimento e os juros pagos representam um custo. Taxa de Juro (i): É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado), podendo ser expressa sob a forma percentual ou unitária. 53

A taxa de juros está sempre relacionada com uma unidade de tempo, podendo ser dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc. Ex: 36% ao ano; 2,5% ao mês, etc. Prazo (n): Conhecido também como Número de Períodos, é o tempo correspondente à utilização do capital em uma operação financeira. Pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos, etc. Pode ser definido também como sendo o tempo necessário que um certo Capital (C), aplicado a uma Taxa de Juros (i) necessita para produzir um Montante (M). Montante (M): Também conhecido como Valor Futuro (VF), Soma (S), é o resultado da aplicação do capital inicial, ou seja, é a quantidade monetária resultante de uma transação financeira, sendo, portanto, referenciada em uma data futura. Assim, temos que o Montante é igual à soma do Capital Inicial (C) mais os Juros (J) referentes ao período da aplicação. Em algumas situações, como nas operações de desconto comercial, o valor futuro também é denominado valor nominal. Alguns Princípios Básicos Existem alguns princípios que deverão ser sempre respeitados nos cálculos de matemática financeira: A Taxa de Juros (i) e o prazo (n) deverão sempre estar na mesma unidade de tempo; Nas fórmulas algébricas, a Taxa de Juros (i) deverá ser utilizada na forma decimal ou unitária. Na matemática financeira convencionou-se que um mês tem 30 dias, um semestre tem 180 dias, um ano tem 360 dias, etc. A única exceção é quando temos um intervalo entre datas. Neste caso, deve-se calcular o número de dias reais. 54

9.1 - Capitalização Simples Juros Simples Conceito Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização, a taxa varia linearmente em função do tempo. Os juros simples, no mercado, apresentam aplicações limitadas que podem ser realizadas no curto prazo e formam a base para o cálculo do desconto de duplicatas. Cálculo dos Juros O valor dos Juros é obtido da expressão: J = C. i. n Onde: J = Valor dos Juros; C = Capital Inicial ou Valor Presente; i = Taxa de Juros; n = Prazo ou Número de Períodos. 55

Exemplos: a) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$10.000,00, pelo prazo de cinco meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? Dados: C: 10.000,00 n: 5 meses i: 3% ao mês = 0,03 ao mês (forma decimal) J:? Solução: J = C x i x n J = 10.000 x 0,03 x 5 J = R$ 1.500,00 b) Um Capital de R$ 25.000,00, aplicado durante sete meses, rende juros de R$7.875,00. Determine a taxa correspondente. Dados: C: 25.000,00 J: 7.875,00 n: 7 meses i:? Solução: J = C x i x n i = J C x n i = 7.875,00 25.000,00 x 7 i = 0,045 ou 4,5% ao mês. 56

Cálculo do Montante O Montante (M) ou Valor Futuro (VF) é igual à soma do Capital Inicial (C) mais os Juros (J) referentes ao período (n) da aplicação. Assim, temos: M = C + J M = C (1 + i x n) M = C + (C x i x n) Onde: M = Montante ou Valor Futuro; C = Capital ou Valor Presente; J = Juros; i = Taxa de Juros; n = Prazo ou Número de Períodos. Exemplo: a) Calcular o montante da aplicação de um capital de R$ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês. Dados: C: 8.000,00 n: 12 meses i: 3% ao mês = 0,03 M:? Solução: M = C (1 + i x n) M = 8.000 (1+ 0,03 x 12) M = R$ 10.880,00 57

Cálculo do Capital O Valor Atual ou Valor Presente (VP) é o valor do Capital (C) que, aplicado a dada taxa (i) e a dado prazo (n), nos dá um montante (M) conhecido. Assim, temos: C = M (1 + i x n) Onde: C = Capital ou Valor Presente; M = Montante ou Valor Futuro; i = Taxa de Juros; n = Prazo ou Número de Períodos. Exemplo: Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para seu vencimento. Dados: Solução: M: 60.000,00 n: 4 meses i: 5% ao mês = 0,05 C:? C = M (1 + i x n) C = 60.000,00 (1 + 0,05 x 4) C = R$ 50.000,00 58

Taxa Proporcional A Taxa Proporcional é utilizada somente para capitalização simples, no sentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao tempo. O cálculo da taxa proporcional a juros simples é sempre efetuado usando-se a proporcionalidade. Exemplo: Dada uma taxa de juros de 6% ao mês, qual a taxa proporcional diária? E a taxa proporcional para 14 dias? Solução: 0,06 /30 = 0,002 = 0,2% ao dia. 0,002 x 14 dias = 0,028 = 2,8% para o período de 14 dias. 59

Lista de Exercícios 1. Determinar quanto renderá um capital de R$42.000,00, aplicado à taxa de 22% ao ano, durante oito meses. Resposta: R$ 6.160,00. 2. Um capital de R$32.000,00, aplicado durante cinco meses, rendeu juros de R$10.300,00. Determinar a taxa anual. Resposta: R$ 77,25% a.a. 3. Durante 127 dias, certo capital gerou um montante de R$34.700,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. Resposta: R$ 31.379,05. 4. Qual o valor a ser pago, no final de seis meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$107.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 24% ao semestre? Resposta: R$ 135.248,00. 5. Em quantos dias um capital de R$127.420,00 produzirá juros de R$62.384,83 a uma taxa de 5,4% ao mês? Resposta: 272 dias. 6. Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$98.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 18% ao bimestre. Resposta: R$ 37.404,58. 7. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros. Resposta: R$ 285,71. 8. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$450.000,00, por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês. Resposta: R$ 639.000,00. 60

9. Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00 à taxa de 7,2% ao mês? Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. 10. A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de R$ 177.320,00 no final de 186 dias? Resposta: 124,8% ao ano. 61

Referências CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções Básicas de Matemática Comercial e Financeira. Curitiba: IBPEX, 2008,138p. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2002, 238p. SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. 7ª Edição. São Paulo: Atlas, 2006, 409p. VIEIRA, Anderson Luiz; SOARES, Keley de Oliveira Arêdes; SOUZA, Silvio Alves. Matemática Comercial. 2ª Edição. Belo Horizonte: SENAC/MG, 2002. 165p. 62