Modelos Lineares Não-Esacionários Aula 04 Enders (2010, 3. ed.) Seções 4.5 a 4.7 Bueno (2011, 2. ed.) Capíulo 4 Morein (2011, 2. ed.) Capíulos 2, 3 e 4
MODELO ARIMA Bueno (2011, 2. ed.) Seções 4.1 a 4.4 Morein (2011, 2. ed.) Seção 2.6 e Capíulo 3
A seguir são apresenados o gráfico e o correlograma de uma realização de uma série emporal X : Exemplo 1 Observando o gráfico e o correlograma da série de ineresse, não é difícil noar que a mesma é não-esacionária. Ainda, al série parece apresenar endência (resa saber se deerminísica ou esocásica).
Exemplo 1 (con.) É sabido que o processo gerador da série emporal X é dado por: X 1,8 X 1 0, 8X 2 Perguna: o processo gerador da série X é um AR(2) esacionário? Jusifique a sua resposa.
Exemplo 1 (con.) Resposa: Como (L) = 1 1,8L + 0,8L 2, enão as raízes do polinômio auorregressivo são iguais a 1 e 1,25. Ou seja, uma raiz esá fora do círculo uniário e a oura raiz esá sobre o círculo uniário. Porano, a série emporal X não pode er sido gerada por um processo AR(2) esacionário. Ainda, vale observar que no PGD de X não há um polinômio no empo ligado à endência (ou seja, a endência não é deerminísica).
Resulado Prova-se que a presença de raiz uniária no polinômio auorregressivo induz comporameno não-esacionário numa série emporal.
Volando ao Exemplo 1 Não é difícil observar que o inverso das raízes do polinômio auorregressivo são iguais a 1 e 0,80. Com isso, o polinômio auorregressivo, (L), em a seguine represenação na forma faorada: 2 L 11,8 L 0,8L 1 0,8L 11L Assim, reescrevendo o PGD de X, uilizando o polinômio (L) na versão faorada, vem que: 1 0,8L 11LX Dessa forma, é fácil perceber que a série original é não-esacionária, uma vez que (1 L)X = X.
Volando ao Exemplo 1 (con.) Logo, a primeira diferença da série X é que deve ser esacionária. Dessa forma, podemos escrever 1 0, 8LX Ou, ainda, X 0,8 X 1 Logo, X ~ AR(1) esacionário, uma vez que 0,8 é um valor, em módulo, menor que 1. Ou seja, a série X ornou-se esacionária após omarmos a primeira diferença. Assim, X é uma série de diferença esacionária.
Volando ao Exemplo 1 (con.) A seguir são apresenados o gráfico e o correlograma da primeira diferença da série emporal X : Como a FAC decai exponencialmene e a FACP é runcada no lag 1, enão X ~ AR(1). Ainda, do correlograma anerior, não é difícil observar que uma esimaiva preliminar para o parâmero auorregressivo de ordem 1 é algo em orno de 0,80.
PROCESSOS INTEGRADOS Definição. Se d X é esacionário, para d 1, enão dizemos que X é inegrado de ordem d e escrevemos X ~ I(d). Quando um processo é inegrado de ordem 1, implica em rabalharmos com a variável original (ou em nível) diferençada uma vez. Assim, serão analisadas as variações dessa variável (axas de crescimeno). Caso seja necessária a aplicação de uma segunda diferença, implica em rabalharmos com a aceleração da axa de crescimeno da respeciva variável original. Segundo Margarido e Medeiros Jr. (2006), deerminadas séries econômicas, em paricular relacionadas a preços nominais, numa conjunura com acirrameno do processo inflacionário, podem coner duas ou aé mais raízes uniárias.
MODELOS ARIMA Definição. Se d X ~ ARMA(p,q), dizemos que X ~ ARIMA(p,d,q). Ou seja X é um processo inegrado miso auorregressivo e de médias móveis de ordem (p,d,q), ou, simplesmene, ARIMA(p,d,q). Ainda, a represenação de al processo é dada por L) X ( L). ( 0 em que (L) = (L) d = (1 1 L... p L p )(1 L) d (L) = 1 1 L 2 L 2... p+d L p+d
Volando ao Exemplo 1 (con.) Dos slides aneriores, como X ~ AR(1) enão, X ~ ARIMA(1,1,0), com (L) = 1 1,8L + 0,8L 2 = (1 0,8L)(1 L) (L) = 1 0,8L
OBSERVAÇÃO Formas de Represenação do modelo ARIMA O modelo ARIMA pode ser represenado de rês formas: a) Forma de equação a diferenças: expressa em ermos de valores prévios de X e do valor aual e prévios de ; b) Forma de choques aleaórios (médias móveis infinia): expressa em ermos do valor aual e prévios de ; c) Forma inverida (auorregressivo infinio): expressa em ermos de valores prévios de X e do valor aual de.
Meodologia Box & Jenkins para Modelos ARIMA No esabelecimeno de um modelo ARIMA para uma série emporal exisem algumas eapas a considerar: a. Idenificação; b. Esimação; e c. Diagnósico. Ou seja, as eapas são análogas àquelas uilizadas para propor um modelo da classe ARMA para uma série emporal esacionária. Todavia, seria ineressane uilizarmos, anes, algum ese de raiz uniária para avaliarmos se a série emporal de ineresse é, ou não, inegrada de deerminada ordem.
Exercício 1 (ANPEC) Julgue as afirmaivas: (0) Toda série emporal esacionária com variância finia pode ser escria como um modelo de média móvel com ermo de erro serialmene não correlacionado. (1) Uma série emporal não esacionária em pelo menos uma raiz uniária. (2) O ese de Dickey-Fuller é monocaudal. (3) Um modelo AR(2) dado por Y = a + 1 Y -1 + 2 Y -2 +, =1, 2, 3,..., em que é um ruído branco com média zero e variância σ 2, será esacionário se 1 < 1 e 2 < 1. (4) Um passeio aleaório é um processo esacionário. (0) V (1) F (2) V (3) F (4) F
Tese de Raiz Uniária Enders (2010, 3. ed.) Seções 4.5 a 4.7 Bueno (2011, 2. ed.) Seção 4.5 Morein (2011, 2. ed.) Capíulo 4
Tese de Raiz Uniária Seja o modelo y = + y -1 +, = 1, 2,... (1) em que { } é uma sequência i.i.d. que apresena média zero, dado o passado de y: E( y -1, y -2,...) = 0, (2) e é independene de y 0.
Tese de Raiz Uniária Se o processo {y } segue o modelo proposo em (1), ele erá uma raiz uniária se, e somene se, = 1. Se = 0 e = 1, {y } ~ random walk sem drif [com as inovações { } saisfazendo (2)]. Se 0 e = 1, {y } ~ random walk com drif [nese caso E(y ) é uma função linear em ].
Tese de Raiz Uniária Do slide anerior, podemos formular a seguine hipóese nula: H 0 : = 1 (3) Ou seja, sob H 0, {y } apresena raiz uniária. Ainda, a hipóese alernaiva fica dada por H A : < 1 (4) (na práica significa esar que 0 < < 1 )
Tese de Raiz Uniária Quando < 1, {y } é um processo AR(1) esável. Tesar (3) no modelo (1), sem consane, conra a alernaiva proposa em (4), é o mesmo que esar se o processo {y } é um passeio aleaório sem drif conra a alernaiva de ser um processo não-inegrado.
Tese de Raiz Uniária Sob H 0, o processo {y } é um passeio aleaório. Ainda, é comum subrairmos y -1 de ambos os lados da equação (1), obendo y = y -1 + (5) (por simplicidade, foi admiido = 0 em (1)) o que nos faz rabalhar com uma variável resposa esável, sob a hipóese nula.
Tese de Raiz Uniária Do slide anerior, podemos concluir que, esar H 0 : = 1, via (1), é equivalene a esar H 0 : = 0, via (5), uma vez que = - 1.
Tese de Raiz Uniária Problema: sob H 0, y -1 é I(1), sendo assim, a razão ˆ ˆ ˆ não apresenará uma disribuição normal assinóica. A disribuição assinóica da esaísica aneriormene apresenada, sob H 0, é conhecida como disribuição de Dickey-Fuller. 23
Tese de Raiz Uniária Caso (5) não conemple uma represenação dinamicamene complea, é ineressane acrescenarmos, como variáveis explicaivas, no modelo, as defasagens y -i, i = 1, 2,..., p-1, para assegurarmos que os sejam ruídos brancos. Logo, eremos y y p 1 1 iyi i1 (6)
Tese de Raiz Uniária Nesse caso, eremos o ese de Dickey-Fuller aumenado (ese ADF). Para se er uma ideia de quanas defasagens devemos uilizar, podemos fazer uso da FAC e da FACP dos resíduos do modelo esimado em (5), além dos criérios de informação. Observação: a disribuição da esaísica de ese coninuará a mesma.
Tese de Raiz Uniária Exercício 2 Conduza um ese ADF, a 1% de significância, para verificar se a série emporal dos logarimos dos preços diários, ao fechameno, das ações da Perobras, coleadas no período de 02/01/2003 a 04/02/2014, apresena raiz uniária.
Ainda, nós podemos incluir em (6) ermos deerminísicos, ou seja, Tese de Raiz Uniária (7) 1 1 1 p i i i y y y (8) 1 1 1 p i i i y y y ou
Tese de Raiz Uniária No caso do modelo (7), para esarmos H 0 : = 0, Uilizamos os valores críicos disponibilizados na Tabela. Em (8), o ese de significância para o parâmero deverá ser concluído uilizando-se os valores críicos disponíveis na Tabela.
Tese de Raiz Uniária Escolha dos Termos Deerminísicos Devemos realizar o ese uilizando o modelo auxiliar (6), (7) ou (8)? Dica: Caso o modelo auxiliar apresene ermos deerminísicos desnecessários, enão o poder do ese diminuirá; Ausência de ermos deerminísicos imporanes faz com que o poder do ese vá para zero. O que fazer??? (Enders, 2010 Seções 4.5 a 4.7)
Escolha dos Termos Deerminísicos Em (8), devemos proceder da seguine maneira: (a) Verificar, uilizando um valor críico proveniene da disribuição adequada, se = 0; (a.1) em caso negaivo, paramos o procedimeno e concluímos que a série não apresena raiz uniária; (a.2) em caso afirmaivo, devemos fazer um ese individual para o parâmero, que será concluído com base num valor críico da disribuição ; ou, ainda, uilizando as disribuições 2 ou 3, podemos fazer um ese conjuno para os parâmeros, e ou e, respecivamene.
Escolha dos Termos Deerminísicos Em (7), devemos proceder da seguine maneira: (b) Verificar, uilizando um valor críico proveniene da disribuição adequada, se = 0; (b.1) em caso negaivo, paramos o procedimeno e concluímos que a série não apresena raiz uniária; (b.2) em caso afirmaivo, devemos fazer um ese individual para o parâmero, que será concluído com base num valor críico da disribuição ; ou, ainda, uilizando a disribuição 1, podemos fazer um ese conjuno para os parâmeros e.
Escolha dos Termos Deerminísicos Se concluirmos que e são parâmeros insignificanes, após as eapas aneriores, enão esimamos o modelo auxiliar proposo em (6) e rejeiaremos a hipóese nula, ou seja, concluiremos que a série não apresena raiz uniária, se o valor calculado da esaísica do ese for inferior ao valor abelado na disribuição.
Escolha dos Termos Deerminísicos OBSERVAÇÕES 1. Anes de aplicar um ese de raiz uniária, é imporane verificar se a série de ineresse apresena problemas de heerocedasicidade. Em caso afirmaivo, uilize, por exemplo, a ransformação logarímica. 2. Ainda, fazemos a suposição de que os erros apresenam um comporameno de ruído branco. Caso al comporameno não seja deecado (via análise de resíduos, por exemplo), é ineressane acrescenarmos na regressão auxiliar de ineresse, y -i, i = 1, 2,..., k, como variável explicaiva, para assegurarmos que os sejam ruídos brancos
Escolha dos Termos Deerminísicos OBSERVAÇÕES (con.) 3. Phillips e Perron (1988) sugerem uma meodologia que leva em consideração o fao dos erros serem auocorrelacionados. 4. Ellio, Rohenberg e Sock (1996) propuseram o ese DF-GLS, que apresena maior poder que o ADF, quando se em ermos deerminísicos envolvidos na regressão auxiliar. 5. Kwiakowiski e al. (1992) propuseram o ese KPSS, cuja hipóese nula diz que o processo é rend-saionary conra a alernaiva que é I(1) com drif.
Escolha dos Termos Deerminísicos OBSERVAÇÕES (con.) 6. O ese ADF serve apenas para verificar a presença de uma única raiz uniária. 7. Dickey e Panula (1987) sugerem um procedimeno para esar a presença de mais de uma raiz uniária. Para mais dealhes, vide Leiura Complemenar (slide 65). Mais dealhes sobre eses de raízes uniárias podem ser obidos, por exemplo, em Bueno (2011, Seção 4.5), Enders (2004, cap. 4), Fava(2000, cap. 12, In: Vasconcellos e Alves) e Morein (2008, cap. 4).
Escolha dos Termos Deerminísicos OBSERVAÇÕES (con.) 8. O ese conjuno, 3, ciado aneriormene, é um ese ipo F, que se baseia na soma de quadrados dos modelos resrio e irresrio. Aqui, desenvolveremos o ese que uiliza a disribuição 3 : Hipóese Nula 0 0 ˆ 3 Esaísica do ese SSR( r) SSR( ir) 2 SSR( ir) T k Valor Calculado < 3(cri) não rej. H 0. T número de observações efeivamene uilizadas; k número de parâmeros esimados, sob o modelo irresrio.
9. O ese conjuno, 1, ciado aneriormene, ambém é um ese do ipo F, que se baseia na soma de quadrados dos modelos resrio e irresrio: Hipóese Nula Esaísica do ese 0 0 Escolha dos Termos Deerminísicos OBSERVAÇÕES (con.) ˆ 1 SSR( r) SSR( ir) 2 SSR( ir) T k Valor Calculado < 1(cri) não rej. H 0. T número de observações efeivamene uilizadas; k número de parâmeros esimados, sob o modelo irresrio.
Tese de Raiz Uniária Volando ao Exercício 2 Conduza um ese ADF, a 1% de significância, para verificar se a série emporal dos logarimos dos preços diários, ao fechameno, das ações da Perobras, coleadas no período de 02/01/2012 a 04/02/2014, apresena raiz uniária.
LEITURAS COMPLEMENTARES
Processo rend-saionary e Processo difference-saionary
Inrodução Exisem basicamene, duas formas de gerar processos não-esacionários e que sejam nãoexplosivos: (i) Incluindo no PLG X j0 j j, 0 1, uma endência deerminísica, como por exemplo, X = 0 + 1 + (L), obendo um processo rend-saionary.
Processo rend-saionary Série y, com endência deerminísica Correlograma
Processo rend-saionary Série w = y E(y ) (série livre de endência) Correlograma
Inrodução (ii) Considerar um PLG com raiz uniária, da forma, j0 ( 1 L ) X j j 0, 1, em que (L) = 1 + 1 L + 2 L 2 +... ; e (1) = j 0.
Processo Linear Geral com Raiz Uniária Muias séries econômicas e financeiras, por exemplo, são nãoesacionárias, mas quando diferençadas ornam-se esacionárias. Por exemplo, a série mensal do ln(ibovespa), coleada no período de agoso de 1994 a maio de 2008, é não-esacionária. Todavia, ln(ibovespa) é esacionária. Ou seja, ln(ibovespa) ~ I(1). Para mais dealhes, vide os gráficos, a seguir: A Rússia sofreu muio com a crise asiáica, principalmene com a desvalorização do preço das commodiies, já que os principais produos de exporação do país eram o peróleo e o gás. Paralelo a isso, a moeda russa, o rublo, desvalorizou-se mais de 50% em função da esraégia adoada pelo governo de deixar o câmbio fluuar. Ainda, para piorar a siuação, o governo declarou moraória de 90 dias ao pagameno da dívida exerna. Por aqui, o Ibovespa se desvalorizou 63%.
Processos Inegrados Uma maneira alernaiva de gerar processos nãoesacionários é considerar modelos ARMA cuja pare AR não saisfaz condições de esacionariedade. Por exemplo, X = X -1 +, > 1. Enão, Var( X ) σ 2 2(1 2 ) 1, crescene em. 1 Em geral, X erá uma endência na média e na variância e X diz-se explosivo.
Processo Linear Geral com > 1
Processos Inegrados Assim, rabalhando com o seguine PGD se: X X 1 < 1 X é esacionário > 1 X é explosivo = 1?. X X 1 Nese caso emos um Passeio Casual..
Fazendo subsiuições sucessivas em X X 1 Processos Inegrados emos que: 1 2 2 1 0 2 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X X X X X
Por suposição Processos Inegrados 2 ~ IID( 0 ; ) Ruído Branco X 0 0 Logo X 1 2 2 1 Os choques exercem efeio permanene sobre a variável X!!!!
Ainda 0 1 2 2 1 X E E 2 1 1 1 2 2 1. Var Var Var Var X Var indep 2 ) ( ) ( h h Depende de!!! h h ) ( Processos Inegrados
Incluindo-se uma consane em. X X 1 0 h h x h h ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 0 0 0 eremos um passeio casual com drif. Assim, Processos Inegrados
Random Walk com drif Série y, com endência esocásica Correlograma
Random Walk com drif Série w = y (série livre de endência) Correlograma
FAC A função de auocorrelação (FAC) proporciona evidência de uma série não-esacionária. Tipicamene, ais séries apresenam grandes FACs significaivas para muias defasagens. Vide resulados eóricos descrios nos slides aneriores. ( ) h h Logo, se for grande, h () 1: seqüência suave mas não-esacionária.
Formas de Represenação de um Modelo ARIMA
MODELOS ARIMA Formas do modelo ARIMA O modelo ARIMA pode ser represenado de rês formas: a) em ermos de valores prévios de X e do valor aual e prévios de ; b) em ermos do valor aual e prévios de ; c) em ermos de valores prévios de X e do valor aual de.
Formas do modelo ARIMA Forma de equação a diferenças Esa é a forma usual do modelo, úil para calcular previsões. q j j j d p d p X X X X 1 2 2 1 1... em que, (L) = (L) d = (1 1 L... p L p )(1 L) d (L) = 1 1 L 2 L 2... p+d L p+d. MODELOS ARIMA
MODELOS ARIMA Formas do modelo ARIMA b) Forma de choques aleaórios (médias móveis infinia) Uma forma conveniene para se calcular a variância dos erros de previsão é X 1 1 2 2... ou seja, X ( L)
MODELOS ARIMA Formas do modelo ARIMA b) Forma de choques aleaórios (médias móveis infinia) (con.) Muliplicando ambos os lados da equação anerior por (L), vem que e usando o fao de que ( L) X ( L) ( L) ( L) X ( L)
Formas do modelo ARIMA b) Forma de choques aleaórios (médias móveis infinia) (con.) emos ( L) ( L) ( L) Logo, os pesos j do modelo na forma de choques aleaórios podem ser obidos direamene da equação anerior. MODELOS ARIMA
MODELOS ARIMA Formas do modelo ARIMA c) Forma inverida (auo-regressivo infinio) De X... ( L) 1 1 2 2 obemos que é equivalene a 1 ( L) X ( L) X
MODELOS ARIMA Formas do modelo ARIMA c) Forma inverida (auo-regressivo infinio) em que Ainda, j1 ( L) 1 j L j. ou, equivalenemene L 1 ( L ) L ( L) 1.
MODELOS ARIMA Formas do modelo ARIMA c) Forma inverida (auo-regressivo infinio) (con.) Mas, lembrando que ou seja vem que ( L) X ( L) ( L) 1 ( L) X ( L) ( L) ( L) 1
MODELOS ARIMA Formas do modelo ARIMA c) Forma inverida (auo-regressivo infinio) (con.) Logo, ( L) ( L) ( L) assim, os pesos j podem ser obidos direamene da equação anerior.
Tese para mais de uma raiz uniária
INTRODUÇÃO Algumas séries econômicas podem apresenar mais de uma raiz uniária. Ou seja, podem ser inegradas de ordem superior a 1. Dessa forma, se orna ineressane conhecer alguma meodologia que nos auxilie a esar a exisência de mais de uma raiz uniária numa série. Aplicar o ese DF (ou ADF) à primeira diferença de uma série de ineresse, digamos y, para esar a presença de uma segunda raiz uniária, o que implicaria subsiuir y por y nas equações
INTRODUÇÃO y y 1 (a) y y y y 1 1 (b) (c) NÃO É UM PROCEDIMENTO CORRETO, do pono de visa esaísico.
INTRODUÇÃO Isso se deve ao fao do ese DF (ou ADF), sob a hipóese nula, afirmar que a série apresena 1 raiz uniária (série não esacionária) conra a hipóese alernaiva que a série não apresena raiz uniária (série não inegrada). Assim sendo, hipóeses que envolvam ordens de inegração superiores a 1 não podem ser verificadas por meio do ese DF (ou ADF).
INTRODUÇÃO OBSERVAÇÃO Apesar de incorreo, muios auores de rabalhos empíricos aplicam indevidamene os eses DF e ADF a diferenças da série original. Ou seja, podem gerar conclusões, do pono de visa eórico, compleamene equivocadas.
INTRODUÇÃO Dickey e Panula (1987) descreveram um procedimeno adequado para esar a presença de mais de uma raiz uniária, que consise na realização de uma sequência de eses, começando pelo maior número de raízes uniárias presumido, reduzindo esse número, um a um, cada vez que a hipóese nula de ineresse for sendo rejeiada. Tal procedimeno ermina quando alguma hipóese nula inermediária não for rejeiada ou quando a úlima hipóese nula (! raiz uniária) for rejeiada.
INTRODUÇÃO OBSERVAÇÃO Como boa pare das séries econômicas apresenam, no máximo, duas raízes uniárias, desenvolveremos, a seguir, o procedimeno proposo por Dickey e Panula (1987) para esar a presença de, no máximo, rês raízes uniárias. Para mais dealhes sobre a generalização do procedimeno para um número superior a rês raízes, vide, por exemplo, Enders (2004, p. 204).
Tese de Dickey e Panula Inicialmene esime os parâmeros do modelo 3 y y 2 1 1 (d) por MQO, por exemplo, e conduza o seguine ese de hipóeses: H 01 H A 1 : 1 : 1 0 0 (d.1) Rejeie H 01 se a esaísica de ese for menor que o valor críico da disribuição, para um dado nível de significância.
Tese de Dickey e Panula Caso H 01 enha sido rejeiada, o que significa que a série de ineresse não apresena 3 raízes uniárias, seria ineressane darmos prosseguimeno ao procedimeno, objeivando esar a presença, agora, de 2 raízes versus 1 raiz. Para ano, esime os parâmeros do modelo 3 y 1 2 y y 1 2 1 e conduza o seguine ese de hipóeses: H 02 H A 2 : 0 e 1 : 0 e 1 2 0 0 2 (e) (e.1)
Tese de Dickey e Panula Rejeie H 02 se, além da esaísica, associado ao esimador de 1, a esaísica, associado ao esimador de 2, for inferior ao valor críico da disribuição, para um dado nível de significância, o que significará, nesse caso, que a série de ineresse não apresena 2 raízes uniárias. Assim sendo, seria ineressane darmos prosseguimeno ao procedimeno, objeivando esar a presença, agora, de 1 raiz uniária versus nenhuma raiz uniária.
Tese de Dickey e Panula e conduza o seguine ese de hipóeses: (f) 1 3 1 2 1 2 1 3 y y y y Para ano, esime os parâmeros do modelo (f.1) 0 e 0 0, : 0 e 0 0, : 3 2 1 3 3 2 1 03 H A H Rejeie H 03 se as razões associadas aos esimadores dos parâmeros 1, 2 e 3 forem inferiores ao valor críico da disribuição, para um dado nível de significância.
Tese de Dickey e Panula Caso H 03 enha sido rejeiada, o que significa concluir que a série de ineresse não apresena raiz uniária, finaliza-se o procedimeno.
Tese de Dickey e Panula OBSERVAÇÕES (i) Verificar a necessidade de inclusão de ermos deerminísicos nos diversos modelos. Caso os mesmos sejam necessários, uilize, na conclusão dos eses de ineresse, os valores críicos provenienes da disribuição adequada. (ii) Dickey e Panula (1987), no enano, observam que a consane deve sempre esar presene no úlimo passo do procedimeno, sob o argumeno de que as séries econômicas, em sua maioria, ou são não esacionárias ou apresenam média diferene de zero.
Tese de Raiz Uniária Volando ao Exercício 2 Levando em consideração o que foi viso aé o momeno, refaça o ese ADF para verificar se a série emporal dos logarimos dos preços diários, ao fechameno, das ações da Perobras, coleadas no período de 02/01/2012 a 04/02/2014, apresena, no máximo, 2 raízes uniárias.
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