Aulas práticas: Óptica relativista Problema Considere as equações de Mawell grupo da magnetodinâmica B E= t B = grupo da electrodinâmica E B=µ j+ε t ρt E = ε (a) Mostre que a escrita do segundo grupo de equações (ie, o grupo da electrodinâmica) é equivalente a D H = J+ t D =ρ desde que se introduzam os campos induzidos D=ε E+ P H = B M µ em que ρ =ρ+ρ t p = + + j J j j m p e onde se fez ρ = P, j = M e m jp = P t p (b) Mostre que, numa transformação de Galileu, em que r = r vt t = t
a invariância da força de Lorentz em relação aos referenciais de inércia só poderá verificar-se desde que B= B E = E + v B (c) Usando o resultado da alínea anterior, mostre que as equações de Mawell não são covariantes numa transformação de Galileu Problema Mostre que o operador de d Alembert (ou d alembertiano) = c t não é invariante numa transformação de Galileu Mostre, então, que se se admitir que ( ) = A Bt y = y z = z t = C t D ( ) o d alembertiano já é invariante, desde que se tenha B = v, A C v c = =γ = e D = v c (ie, numa transformação de Lorentz) Problema 3 Mostre que as equações de Mawell são covariantes numa transformação de Lorentz ( ) =γ vt y = y z = z v t =γ t c e determine a transformação entre as componentes do campo electromagnético
Problema 4 Um aluno está a resolver um eame cuja duração, medida pelo relógio do professor, deve ser de uma hora O professor, que se move com a velocidade v= 8c em relação ao aluno, emite um sinal quando o relógio indica que decorreu uma hora desde o início do eame O aluno pára de escrever quando é alcançado pelo sinal Quanto tempo teve para fazer o eame? Problema 5 Uma régua de comprimento L é mantida inclinada com um ângulo θ em relação à direcção do movimento num referencial móvel Determine o seu comprimento L e a sua inclinação θ, medidos no referencial do laboratório, para uma velocidade relativa v L = m, θ = 45 e β = 8 = β c Concretize para 3
Aulas práticas: Óptica relativista Problema 6 Considere um referencial S que se desloca, em relação ao referencial S, com velocidade v Mostre que, para qualquer instante t do referencial S, eiste um único plano no qual os relógios de S estão em sincronismo com os relógios de S Determine o plano em questão e a sua velocidade u em relação ao referencial S Qual é a relação desse plano com o chamado referencial intermédio S em relação ao qual tanto S como S se deslocam com a mesma velocidade embora em sentidos diametralmente opostos? Problema 7 No referencial S do laboratório dois referenciais de inércia S e S deslocam-se com velocidades ordinárias (ie, tridimensionais) v e v respectivamente Mostre que a velocidade relativa dos dois referenciais S e S é v= v v ˆ tal que v = c v v c ( v v ) ( v v )
Problema 8 Um espelho plano move-se na direcção da sua normal com velocidade uniforme v =β c em relação a um referencial S Um raio de luz com uma frequência ω incide no espelho com um ângulo θ e é reflectido com um ângulo φ tendo então uma frequência ω Mostre que e que se tem ainda ( θ ) ( φ ) tan + β = tan β ω sin θ +βcosθ cosθ+β = = = ω sin φ βcosφ cosφ β Problema 9 Seja v= v v, ˆ em que ˆv é o versor do vector v, a velocidade relativa do referencial de inércia S em relação ao referencial de inércia S Mostre que a transformação de Lorentz de quadrivectores posição = ( ct, ) = ( c t, ) R r R r, em que R = R = s e onde s é uma constante (positiva, negativa ou nula), pode ser escrita na seguinte forma diádica em que, como é habitual, r = I+ ( γ ) vv ˆˆ r γ vt, t =γ t v r c γ= v c e onde I representa a diádica identidade Problema Pretende-se, neste problema, discutir o chamado paradoo dos gémeos também conhecido na literatura como paradoo dos relógios Na verdade, não se trata de um verdadeiro paradoo: durante algumas décadas continuaram a aparecer na literatura interpretações erradas deste efeito com base em aplicações incorrectas do princípio da relatividade Justifica-se, portanto, um tratamento deste efeito Consideremos dois observadores A e B O observador A parte do local onde se encontrava junto a B e alcança, num tempo (de aceleração) desprezável, uma velocidade v = β c constante Após decorrido algum tempo, o viajante A inverte subitamente o sentido do seu movimento e volta a encontrar-se com o observador B aproimando-se deste novamente com
a mesma velocidade v =β c Suponhamos que cada um dos observadores envia ao outro sinais electromagnéticos uniformemente espaçados no respectivo tempo próprio Seja f a frequência de emissão, ie, o número de sinais que cada um envia na unidade de tempo próprio C ct ct B ct D ct ( ) c T = c T + L A L= vt No referencial S onde se encontra o observador B, a linha de universo de B ADC O tempo total corresponde a ( ABC ) enquanto que a linha de universo de A é ( ) que dura a viagem, tal como medido por B, é T = L v Usando o efeito Doppler (relativista) mostre que, do ponto de vista do viajante A, o tempo que dura a viagem é T = L γ v< T Verifique, ainda, que ao contrário do que uma interpretação errada da reciprocidade poderia sugerir ambos os observadores estão de acordo em relação a esta diferença 3
Aulas práticas: Óptica relativista Problema Pretende-se mostrar neste problema que, em geral, a transformação de Lorentz não é comutativa ie, o grupo de Lorentz não é abeliano Com efeito, seja Λ ( v ) a transformação de Lorentz associada à mudança de referenciais S v S em que = v ˆ v e ( ) Λ v a transformação de Lorentz associada à mudança de referenciais Mostre que Λ( ) Λ( ) Λ( ) Λ( ) v v v v S v S em que v ˆ = v y Problema Considere um disco em rotação, relativamente ao seu eio, com uma velocidade angular ω constante Mostre que, para um referencial solidário com o disco e colocado a uma distância r do centro, o comprimento de uma circunferência não é l = π r (como na geometria euclidiana) mas antes dado por l tal que l l = π r l = > l ωr c Com efeito, o espaço físico solidário com o disco não tem uma geometria euclidiana mas sim um geometria riemanniana
Problema 3 Considere uma partícula movendo-se com velocidade u= u ˆ + u yˆ + u z ˆ num referencial S y z (a) Determine a velocidade u= u ˆ + u yˆ + u z ˆ da partícula em relação ao referencial S que y z se move com uma velocidade v= v ˆ em relação ao referencial S (b) Seja u = u + u + u e y z u = u + u + u Mostre que y z γ γ ( u ) ( u) uv = γ ( v) c, γ γ ( u) ( u) uv = γ ( v) + c, u u = c Problema 4 R o quadrivector posição de uma partícula no referncial S do laboratório Seja = ( ct, r) (a) Mostre que, no seu referencial próprio, a quadrivelocidade U = dr dτ é dada por U = ( c, ) de modo que U = c Mostre, ainda, que a quadriaceleração A = du dτ A =, a em que a= du dt e u= dr dt de modo que A = a : = α onde é dada por ( ) α é a chamada aceleração própria da partícula (b) Mostre que a aceleração própria α obedece às seguintes epressões em que u : = du dt γ c c 6 4 6 α = uu + γ a = γ a ( u a) (c) No caso do movimento circular uniforme em que ( t) = ρ cos( ωt) ˆ + sin ( ωt) mostre que a aceleração própria é dada por α = γ u ρ r y ˆ, (d) Para um referencial S o movimento de uma partícula é caracterizado pelas equações = wt, y = gt, z = em que w e g são constantes Determine a aceleração própria α e o tempo próprio τ da partícula em função do tempo t Admita que t e τ se anulam simultaneamente
Problema 5 Considere uma partícula que, num referencial S, tem uma aceleração du du du y duz a= = a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + ayy + azz = + y + z dt dt dt dt (a) Determine a aceleração a = du dt no referencial S que se move em relação a S com uma velocidade v ao longo de (b) Para uma partícula que tem uma aceleração própria α = du dt constante, com u = u, mostre que a equação do movimento unidimensional (ie, segundo ) é dada pela hipérbole ( + X) ( ct ct ) = X X em que X = c α Admita que = e u = para t = t Note que, no referencial próprio instantâneo S, se tem u = pelo que u = v Problema 6 Vamos considerar mais uma vez, embora sob uma perspectiva diferente, o caso particular analisado no problema precedente e que é conhecido por movimento hiperbólico Trata-se de um movimento que se realiza apenas segundo uma dimensão espacial A aceleração própria é constante e o movimento descreve no plano (, ct ) uma hipérbole daí o nome de movimento hiperbólico Considere uma partícula que se move ao longo do eio no referencial S Admita que o referencial S, com a configuração habitual, se move em relação a S com velocidade v segundo o eio Seja u a velocidade da partícula no referencial S e u a sua velocidade em relação a S Assim, a aceleração da partícula é du dt em S e du dt em S (a) Mostre que d ( u) d ( u ) dt ζ = ζ dt dt dt em que ζ ( u) = tanh ( u c) e ( u ) tanh ( u c) ζ = (b) Prove que a transformação de acelerações obedece à equação 3
γ du dt ( u) = γ ( u ) 3 3 du dt (c) Seja α a aceleração própria da partícula, ie, tal que u = e du dt =α Admitindo que u = para t =, mostre que a equação do movimento é dada pela equação onde se fez = c α+ para c c t = α ( ) universo deste movimento para = (d) Fazendo = c α, ie, ao conhecido limite newtoniano quando se faz c 4 t = Represente graficamente no plano (, ) ct a linha de = para t =, mostre que a equação do movimento se reduz = α t (e) Considere o movimento hiperbólico descrito por ct = X com X = c α e admita que o tempo próprio t τ= se anula quando t também se anula Nestas condições mostre que e ainda que ( u) ζ = α τ c α τ c ατ u( τ ) = ctanh, ( τ ) = cosh c α c c α τ du 3 ατ t ( τ ) = sinh, =αsech α c dτ c 4
Aulas práticas: Óptica relativista Problema 7 Uma nave espacial parte da Terra no ano Um de dois gémeos nascidos em 8 permanece na Terra enquanto que o outro viaja a bordo da nave espacial De forma a que os viajantes se sintam como no planeta Terra, a nave movimenta-se sempre com uma aceleração própria g A viagem decorre do seguinte modo: na primeira fase acelera ao longo de uma linha recta durante anos (medidos no seu tempo próprio); numa segunda fase desacelera durante mais anos; numa terceira fase, depois de inverter a marcha, acelera durante anos; numa quarta e última fase desacelera durante anos até que, por fim, aterra O gémeo astronauta tem, portanto, 8 anos de idade aquando do seu regresso à Terra (a) Qual é a idade do gémeo que ficou na Terra? (b) Até que distância viajou a nave espacial? Problema 8 Num referencial S de inércia eiste um campo eléctrico E = E ˆ y uniforme e constante Uma partícula de massa (em repouso) m e carga eléctrica q é projectada neste campo na direcção com uma quantidade de movimento (ou momento) inicial p mv Mostre que o movimento da partícula é caracterizado por uma trajectória γmc qe y = cosh qe γmvc = γ em que ( v ) γ = γ
Problema 9 No efeito Compton um fotão de comprimento de onda λ colide com um electrão estacionário de massa m e é desviado de um ângulo θ (medido no sentido directo) tal como se indica na figura O electrão, por sua vez, inicia um movimento ao longo de uma direcção que faz um ângulo φ (medido no sentido retrógrado) com a direcção do fotão incidente λ λ θ m φ (a) Sendo λ o comprimento de onda do fotão desviado, mostre que sin θ λ λ= λc em que λ : = hmcé o chamado comprimento de onda de Compton C (b) Prove que a energia cinética do electrão desviado é dada por em que α= : ωmc e onde f ( cos ) ( ) α θ T = ( ω ) + α cos θ ω= π é a frequência do fotão incidente (c) Prove que a energia cinética do electrão desviado também poder ser determinada através de T αcos φ = ( ω) ( ) + α α cos φ (d) Mostre que os ângulos θ e φ estão relacionados através da epressão θ cot φ= ( +α) tan (e) Calcule o valor máimo da energia cinética do electrão
Problema Num referencial S uma partícula tem uma velocidade u= u ˆ + u yˆ + u z ˆ e está sujeita a y z uma força ordinária f = f ˆ + f yˆ + f z ˆ Ainda no referencial S a energia total da partícula é y z E a que corresponde uma potência Q = de dt Admita então que, no referencial S que se move em relação ao referencial S com uma velocidade v= v, ˆ a força ordinária é dada por f = f ˆ + f yˆ + f z ˆ e a potência por Q= de dt Nestas condições, mostre que y z f f f f f vq c y fz =,, y = z = uv c γ v uvc γ v uvc e ainda que Q vf Q = uv c ( )( ) ( )( ) Problema Considere uma força ordinária f que conserva a massa m (em repouso) de uma partícula Prove que se se essa força for inversamente proporcional ao quadrado da distância, ie, se se tiver 3 f = kr r em que k é a constante de proporcionalidade, então em que a é uma constante γmc = a r k Problema Uma partícula de energia própria (ou intrínseca) E é acelerada até que a sua energia total seja E=γE (a) Determine a velocidade da partícula de forma que a sua energia cinética seja igual à sua energia intrínseca (b) Determine a velocidade v da partícula (c) Compare a variação relativa da velocidade v com a variação relativa da energia E (d) Mostre que, fazendo = T E e y = p mc, se tem y = + 3