Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Relatório de Pesquisa Um Estudo Sobre a Enuberabilidade do Conjunto Q dos Números Racionais Laís Ribeiro Lima Bolsista pelo Programa de Iniciação Cientí ca Projeto "Integrando a Amazônia"/UNIR/SBM Thiago Ginez Velanga Moreira Orientador Porto Velho, 12 de Dezembro de 2012

IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO 1. TÍTULO DO PROJETO Iniciação aos Fundamentos da Análise Matemática 2. LOCAL DE EXECUÇÃO Departamento de Matemática - NCET - UNIR - Campus de Porto Velho 3. ÁREA DE PESQUISA Análise 4. COORDENADOR Prof. Dr. Tomas Daniel Menendez Rodriguez 5. ORIENTADOR Prof. Msc. Thiago Ginez Velanga Moreira 6. ORIENTANDA Laís Ribeiro Lima 7. PERÍODO DE REALIZAÇÃO Maio a Dezembro de 2012 Thiago Ginez Velanga Moreira Orientador Laís Ribeiro Lima Aluna ii

Sumário 1 Detalhamento do Relatório 1 1.1 Introdução.................................. 1 1.2 Objetivos.................................. 2 1.3 Metodologia................................. 2 1.3.1 Conteúdo Desenvolvido...................... 2 2 Resultados Preliminares 4 2.1 Conjuntos e funções............................. 4 3 O Princíopio da Boa Ordenação 7 4 Conjuntos nitos e in nitos enumeráveis 8 4.1 Conjuntos nitos.............................. 8 4.2 Conjuntos in nitos............................. 9 4.2.1 Conjuntos in nitos enumeráveis.................. 12 iii

Capítulo 1 Detalhamento do Relatório 1.1 Introdução O projeto "Integrando a Amazônia"é uma proposta da Sociedade Brasileira de Matemática para desenvolver e consolidar as atividades de pesquisa e pós-graduação em Matemática (SBM) na região norte. Propõe-se uma estrutura de cooperação acadêmica entre as universidades federais desta região e os programas de pós-graduação de excelência na área (notas 6 e 7), coordenada pela SBM. Espera-se, com isto, que seja elevado o nível dos conhecimentos de matemática dos alunos desta região, a m de incrementar a qualidade dos professores nas escolas do estado.e o número de mestres e doutores na área. A aluna Laís Ribeiro Lima, do curso de Licenciatura em Matemática da Fundação Universidade Federal de Rondônia UNIR, foi submetida a um exame de ingresso o qual a selecionou para formar parte do programa de iniciação cientí ca criado pelo projeto Integrando a Amazônia. Ao longo de suas atividades gerais, a aluna foi iniciada na realização de pesquisas que fazem uso dos elementos e técnicas de demonstrações da Análise Matemática visando, com isso, progressivo e futuro aprofundamento nessa área de conhecimento e suas aplicações. Este trabalho descreve e resume as atividades exercidas pela bolsista neste programa de iniciação cientí ca no período de maio a dezembro de 2012. Serão exibidos aqui uma exposição introdutória do plano de trabalho executado, seus objetivos, a metodologia e, nalmente, o conteúdo pesquisado e desenvolvido. 1

1.2 Objetivos O objetivo geral deste trabalho é norteado por duas importantes perspectivas, a saber: incrementar os conhecimentos da bolsista em conteúdos da Análise Matemática visando introduzí-la em pesquisas petinentes a este ramo da matemática pura e, nalmente, reforçar sua preparação em conteúdos relevantes para o ingresso em cursos de mestrado em matemática. Podemos dizer que o objetivo especí co deste trabalho passa por duas etapas. A primeira é compreender e obter um relativo domínio sobre os conceitos gerais e fatos básicos a respeito de conjuntos e funções. A segunda é aplicar tais conceitos para demonstrar que o conjunto Q dos números racionais é enumerável. 1.3 Metodologia A orientanda participou de um curso de extensão, com duração de 100 horas/aula, denominado Introdução à Análise Matemática. Neste curso, foi desenvolvido, com detalhes, todo o conteúdo referente à teoria geral dos conjuntos e das funções, culminando num estudo relativamente aprofundado sobre o corpo ordenado dos números reais. Concomitantemente e, com freqüência de uma vez a cada mês, foram realizados encontros especí cos, em forma de seminário, nos quais foram resolvidos exercícios e problemas em geral relacionados ao curso. Paralelamente, sob orientação especí ca de seu orientador, a bolsista realizou um estudo dirigido sobre Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis, o qual forneceu embasamento teórico su ciente para a construção da Enumerabilidade do conjunto Q dos Números Racionais. Tal construção, encontra-se desenvolvida e escrita neste relatório 1.3.1 Conteúdo Desenvolvido De acordo com o cronograma elaborado no plano de trabalho deste projeto de iniciação cientí ca, a aluna trabalhou os seguintes tópicos abaixo listados: 1. Conjuntos e Funções (a) Conjuntos (b) Operações entre conjuntos (c) Funções (d) Composição de funções 2

2. Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis (a) Números naturais (b) Princípio da boa ordenação (c) Conjuntos nitos e in nitos (d) Conjuntos enumeráveis (e) Conjuntos não-enumeráveis 3. Numeros Reais (a) Corpos (b) Corpos ordenados (c) Números reais 3

Capítulo 2 Resultados Preliminares Neste capítulo, provaremos alguns fatos básicos a respeito de conjuntos e funções que se farão necessários para a compreensão de nosso resultado principal. Alguns resultados encontram-se apenas enunciados, sem demonstração. Assim o zemos pois optamos pelo critério da objetividade do trabalho, no qual tais resultados têm aplicação mais relevante do que sua própria demonstração. 2.1 Conjuntos e funções Passaremos agora a adotar os conceitos de função injetora, sobrejetora e composição de funções com o objetivo de enunciar e provar os resultados desta seção. Começaremos com a seguinte Proposição 2.1.1 Sejam f : A! B e g : B! C funções bijetoras. Então, a composta g f : A! C é também uma bijeção. Demonstração: Sejam dados x; y 2 A quaisquer. Temos que (g f)(x) = (g f)(y) ) g(f(x)) = g(f(y)), como g é injetora, esta última igualdade implica f(x) = f(y): Utilizando agora o fato de f ser injetora, concluímos que x = y. Fica mostrado, com isto, que a composta g f é injetora. Para mostrar que g f é sobrejetora, seja dado z 2 C arbitrário. Vamos mostrar que existe x 2 A tal que z = (g f) (x). De fato, g é sobrejetora, então, existe y 2 C tal que z = g(y). (2.1) 4

Utilizando agora o fato de f ser sobrejetora, obtemos x 2 A tal que y = f (x). (2.2) Segue de (2:1) e (2:2) que z = (g f) (x), mostrando que g f é sobrejetora. Concluimos daí que a composta g f é bijeção. Observação 2.1.2 O resultado que acabamos de mostrar é de aplicação rotineira e muitas vezes é utilizado sem ao menos ser citado. É importante notar que, a m de que a composta g f seja injetora, basta que a imagem f (A) esteja contida no domínio da g: Daqui em diante, faremos constante uso do conceito de função inversível disso, de niremos inversa à esquerda e à direita de uma dada função f. Antes De nição 2.1.3 Dadas as funções f : A! B e g : B! A, diremos que g é uma inversa à esquerda para f quando g f = id A : A! A De nição 2.1.4 Dadas as funções f : A! B e g : B! A, diremos que g é uma inversa à direita para f quando f g = id B : B! B Os dois seguintes teoremas caracterizam funções injetivas e sobrejetivas. Teorema 2.1.5 Uma função f : A! B possui inversa à esquerda se, e somente se, é injetiva. Teorema 2.1.6 Uma função f : A! B possui inversa à direita se, e somente se, é sobrejetiva. Finalmente, daremos agora o conceito de função inversa. De nição 2.1.7 Uma função g : B! A chame-se inversa da função f : A! B quando g f = id A e f g = id B, isto é, quando g é inversa à esquerda e à direita para f: É fácil mostrar que a composição de funções é uma operação associativa, isto é consequência imediata da própria de nição desta operação. Utilizaremos este fato para mostrar que se uma função f : A! B possui uma inversa, ela é única. 5

Proposição 2.1.8 Seja f : A! B uma função inversível. Então, a função inversa de f é única. Demonstração: Suponhamos que g : B! A e h : B! A sejam duas inversas de f: Então, utilizando a De nição 2.1.7, obtemos que h = h id B = h (f g) = (h f) g = id A g = g, e, portanto, a inversa é única. Observação 2.1.9 Esta última demonstração contém um fato extra, o qual podemos enunciá-lo da seguinte forma: "Se f possui uma inversa á esquerda, h, e uma inversa à direita, g, então h = g e f tem uma inversa. Observação 2.1.10 Escreveremos f 1 f : A! B : B! A para indicar a inversa da bijeção Uma função inversível passa a ser agora caracterizada pelo seguinte fato: Proposição 2.1.11 Uma função f : A! B possui inversa se, e somente se, f é uma bijeção. Demonstração: Se f possui uma inversa, seja g sua inversa. Então, pela De nição 2.1.7, g é uma inversa à esquerda e à direita para f. Segue dos Teoremas 2.1.5 e 2.1.6 que f é bijeção. Reciprocamente, se f é bijeção, então os teoremas 2.1.5 e 2.1.6 garantem a existência de uma inversa à esquerda, h, e de uma inversa à direita, g, para f: Pela Observação 2.1.9, h = g = f 1. Portanto, f possui inversa. 6

Capítulo 3 O Princíopio da Boa Ordenação Seja X um conjunto de números naturais. Dizemos que um número p 2 X é o menor elemento de X (ou elemento mínimo de X) quando se tem Muitas vezes, escreveremos p n para todo n 2 X: p = min X para signi car que p 2 X é o menor elemento de X: Vamos mostrar que o menor elemento de um conjunto, quando existe, é unico. De fato, dado X N, suponhamos que p 2 X e q 2 X sejam ambos os menores elementos de X. Como p = min X e q 2 X, segue que Analogamente, obtemos que donde vem que p q. q p, q p q; e, portanto, p = q. Assim, o menor elemento de um conjunto X N é unico. Um resultado de grande importância é o fato de que todo conjunto não-vazio de números naturais possui um menor elemento. Este fato é conhecido como o Princípio da Boa Ordenação. Teorema 3.0.12 (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio A N possui um elemento Observação 3.0.13 A demonstração deste teorema faz uso dos chamados Axiomas de Peano, os quais são de extrema importância para a construção do conjunto N dos números naturais. Por brevidade e objetividade, optamos por evitar as regressões necessárias e enunciá-lo sem sua demonstração. O leitor poderá encontrá-la em [1, p. 39] 7

Capítulo 4 Conjuntos nitos e in nitos enumeráveis Em 1915 o matemático G. Cantor publicou um artigo (veja [2]) de importância fundamental à posteridade no qual identi ca e analisa os diversos tipos de in nito. Para nossos propósitos, quanto ao número de elementos, faremos uma apresentação sucinta dos conjuntos nitos e dos conjuntos in nitos enumeráveis. 4.1 Conjuntos nitos Nesta seção, indicaremos pelo símbolo I n o conjunto I n = fp 2 N; 1 p ng. De nição 4.1.1 Um conjunto X chama-se nito quando é vazio ou quando existe, para algum n 2 N, uma bijeção ' : I n! X No primeiro caso, diremos que X tem zero elementos. No segundo caso, diremos que n 2 N é o número de elementos de X, ou seja, que X possui n elementos. Teorema 4.1.2 Se X é um conjunto nito então todo subconjunto Y X é nito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X: Demonstração: Vamos mostrar para X = I n. A demonstração se faz por indução. Se n = 1, então, os únicos subconjuntos de I 1 são? e I 1. Estes são nitos e o número de seus elementos é 1. Portanto, o Teorema está demonstrado para n = 1. Suponhamos que o mesmo esteja demonstrado para um certo número m 2 N. Mostraremos que o teorema continua válido para m + 1. Seja dado Y I m+1 (4.1) 8

um subconjunto arbitrário de I m+1. Devemos mostrar que Y é nito e seu número de elementos é m + 1. Existem apenas duas possibilidades para m + 1. Devemos ter (m + 1) =2 Y ou (m + 1) 2 Y. Vamos analisar os dois casos separadamente. Caso 1: (m + 1) =2 Y. Neste caso, segue de (4:1) que Y I m+1 fm + 1g = I m. Pela hipótese de indução, Y é nito e seu número de elementos é m, portanto, m + 1. Caso 2: (m + 1) 2 Y. Neste caso, temos também por (4.1) que Pela hipótese de indução, Y Então, para este p 2 N, existe uma bijeção De na, agora, a seguinte função dada por Y fm + 1g I m. fm + 1g é nito e seu número de elementos é p m: (4.2) : I p! Y fm + 1g ' : I p+1! Y (x) ; se x 6= p + 1 ' (x) m + 1; se x = p + 1. É fácil mostrar que ' é uma bijeção. Portanto, Y é nito e seu número de elementos é, por (4.2), p + 1 m + 1. Em qualquer caso, cou mostrado que o conjunto Y é nito e seu número de elementos não excede a m + _1. Portanto, o Teorema é verdadeiro para todo n 2 N, e o resultado segue. Corolário 4.1.3 Seja f : X! Y uma função injetiva. Se Y for nito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y. Corolário 4.1.4 Seja g : X! Y uma função sobrejetiva. Se X for nito entao Y também será. Além disso, o número de elementos de Y não excede o de X. 4.2 Conjuntos in nitos De nição 4.2.1 Um conjunto X chama-se in nito quando não é nito. Isto se expressa com as seguintes palavras: "X é in nito quando não é vazio e, além disso, não existe uma bijeção ' : I n! X para todo n 2 N". 9

Exemplo 4.2.2 Vamos mostrar que o o conjunto N dos números naturais é in nito. De fato, sejam dados n 2 N e uma função quaisquer: Pondo e observando que p 2 N, obtemos que ' : I n! N p = '(1) + ::: + '(n), p > '(x); 8x 2 I n : Portanto, p =2 '(I n ). Logo, nenhuma função ' : I n! N é sobrejetiva. Concluímos que N é in nito. Observação 4.2.3 Os corolários 4.1.3 e 4.1.4,escritos na sua forma contra-positiva, fornecem-nos resultados equivalentes sobre conjuntos nitos. Por exemplo, o Corolário 4.1.4 tem a seguinte versão equivalente: Corolário 4.2.4 Seja g : X! Y uma função sobrejetiva. Se Y é in nito, entao X é in nito. De nição 4.2.5 Um conjunto X N chama-se limitado quando existe um p 2 N tal que n p para todo n 2 X. Um conjunto X N chama-se ilimitado quando não é limitado. Isto é, para todo p 2 N, existe algum x p 2 X tal que x p > p. Os subconjuntos ilimitados X N são, exatamente, os subconjuntos in nitos de N. Este é o conteúdo do próximo teorema. Teorema 4.2.6 Seja X N não-vazio. As seguintes a rmações são equivalentes: (a) X é nito; (b) X é limitado; (c) X possui um maior elemento. 10

Demonstração: Prova de (a) =) (b). Se X é nito, podemos escrever Pondo temos que p é um número natural tal que X = fx 1 ; :::; x n g: p = x 1 + ::: + x n, x p; para todo x 2 X. Logo X é limitado. Prova de (b) =) (c): Supondo X N limitado, segue-se que o conjunto A = fp 2 N; p n; para todo n 2 Xg é não-vazio. Pelo Princípio da Boa Ordenação (Teorema 3.0.12), o conjunto A possui um menor elemento p 0 2 A. Vamos mostrar que p 0 2 X: De fato, suponha por absurdo que fosse p 0 =2 X. Como p 0 2 A, teríamos Como X 6=?, a desigualdade acima obrigaria Então, existe p 1 2 N tal que A rmamos que p 0 > n; 8n 2 X: (4.3) p 0 > 1: p 0 = p 1 + 1: ) p 1 < p 0 (4.4) p 1 n; 8n 2 X: (4.5) Isto ocorre pois, se existisse algum n 2 X com p 1 < n, teríamos p 0 = p 1 + 1 n. Como estamos supondo que p 0 =2 X, devemos ter p 0 < n, o que contradiz (4.3). Logo, a a rmação (4.5) é verdadeira. Segue daí que p 1 2 A. De (4.4) e do fato de p 0 = min A, resulta que p 1 =2 A, 11

o que é um absurdo.portanto deve ser p 0 2 X. Como p 0 n para todo n 2 X, concluimos que p 0 é o maior elemento de X: Prova de (c) =) (a):se X possui um maior elemento, seja p o maior elemento de X N, então, 1 x p; 8x 2 X. Então, X I p : Como I p é nito, segue do Teorema 4.1.2 que X também é nito. 4.2.1 Conjuntos in nitos enumeráveis De nição 4.2.7 Um conjunto X diz-se enumerável quando é nito ou quando existe uma bijeção f : N! X: No segundo caso, dizemos que X é in nito enumerável: De nindo podemos descrever X como sendo x 1 = f(1); x 2 = f(2); :::; x n = f(n); :::, X = fx 1 ; x 2; :::; x n ; :::g. Cada bijeção f : N! X chama-se uma enumeração (dos elementos) de X: Exemplo 4.2.8 O conjunto Z dos números inteiros é enumerável. Para mostrar isto, de na h : Z! N da seguinte forma: h (n) = (i) Vamos mostrar que h é sobrejetora. 2n; se n > 0 2n + 1 se n 0 : De fato, seja dado n 2 N. Se n é par, existe k 2 N Z; k 6= 0; tal que Pela de nição de h obtemos que n = 2k. n = h (k) ; e h é sobrejetora. Analogamente, se n é impar, existe k 2 N[ f0g tal que n = 2k + 1: 12

Então, k 2 Z tal que k 0. Segue da de nição de h que n = 2k + 1 = 2 ( k) + 1 = h ( k) ; donde vem que h é sobrejetora. Em todo caso, ca demonstrado a sobrejetividade de h. (ii) Vamos mostrar que h é injetora. Sejam dados x; y 2 Z quaisquer. possíveis. Caso 1. x 0 e y 0 Caso 2. 0 < x e 0 < y Caso 3. x 0 < y (ou y < 0 x) Vamos considerar os três seguintes casos Nos casos (1) e (2), a injetividade de h segue como consequência imediata da Lei do Corte em N. No terceiro caso temos que h (x) é ímpar e h (y) é par, portanto, h (x) 6= h (y) onde x 6= y. Segue que h é injetora. Em qualquer caso, a função h é injetora. Os itens (i) e (ii) provam que h é uma bijeção. Portanto, h 1 : N! Z é uma bijeção, donde concluímos que Z é in nito enumerável: Teorema 4.2.9 Todo conjunto in nito X contém um subconjunto in nito enumerável. Demonstração: Primeiramente, vamos construir uma função f : N! X que seja injetiva. Para de nir uma tal f, usaremos indução. Como X é in nito, então X é não-vazio. Escolhemos, portanto, x x 2 X e de nimos f(1) = x x : Suponhamos, por indução, que f esteja de nida para f1; :::; ng: Vamos mostrar que f está de nida para n + 1: Considere o conjunto A n = X Por hipótese de indução, a função ff(1); :::; f(n)g. f : I n! X está bem de nida. A rmamos que f não é sobrejetiva. De fato, se fosse f sobrejetiva, como I n é nito, então X seria nito pelo Corolário 4.1.4, o que é um absurdo. Logo f não é sobrejetiva. Segue daí que A n = X ff(1); :::; f(n)g 6= ; Escollhemos, portanto, x An 2 A n e de nimos f(n + 1) = x An : Isto conclui a de nição de f. 13

Mostraremos agora que f é injetora. Sejam dados m; n 2N com m 6= n (digamos m < n). Então, f(m) 2 ff(1); :::; f(n 1)g, enquanto que f(n) = x An 1 2 A n 1 = X ff(1); :::f(n 1)g Logo f(m) 6= f(n), donde concluímos que f é injetora. Considere agora a função f : N! f (N) dada por Obtemos daí que f é uma bijeção. enumerável. f (n) = f (n) ; 8n 2 N. Portanto, o subconjunto f (N) X é in nito Corolário 4.2.10 Um conjunto X é in nito se, e somente se, existe uma bijeção f : X! Y, de X sobre uma parte própria Y X. Demonstração: Suponha que X seja in nito. Pelo Teorema 4.2.9, X contém um subconjunto in nito enumerável A = fa 1 ; a 2 ; :::; a n ; :::g: É importante lembrar aqui que, para cada n 2 N, o elemento a n 2 A é dado por onde a é a bijeção que torna o conjunto A enumerável. De na Y = (X a n = a (n), a : N!A A) [ fa 2 ; a 4 ; :::; a 2n ; :::g: Note que a 1 2 X mas a 1 =2 Y. Isto mostra que Y é uma parte própria de X. Considere agora a função f : X! Y dado por x; se x 2 X A f(x) = se x = a n 2 A a 2n Vamos mostrar que f é uma bijeção de X em Y. (i) Prova de que f é sobrejetora. 14

Seja dado y 2 Y arbitrário. Se for y 2 X A então, y 2 X e, pela própria de nição de f, y = f(y): Se for y 2 fa 2 ; a 4 ; :::; a 2n ; :::g então, existe um n 2 N tal que y = a 2n. Como x = a n 2 A, segue novamente da de nição de f que Em todo caso, temos f sobrejetiva: (ii) Prova de que f é injetora. y = a 2n = f (x). Sejam dados x 1 ; x 2 2 X quaisquer, e suponha que Existem apenas três possibilidades: Caso 1. x 1 ; x 2 2 X A; Caso 2. x 1 ; x 2 2 A; Caso 3. x 1 2 (X A) e x 2 2 A: f (x 1 ) = f (x 2 ). O primeiro e terceiro caso são fáceis de demonstrar. O Caso (2).se prova assim: existem n 1 ; n 2 2 N tais que x 1 = n 1 e x 2 = n 2. Logo, f(x 1 ) = f(x 2 ) =) f(a n1 ) = f(a n2 ) =) a 2n1 = a 2n2 (Pela de nição de f) =) a(2n 1 ) = a(2n 2 ) (Pela de nição de a) =) 2n 1 = 2n 2 (Pois a é injetora) =) n 1 = n 2 =) x 1 = a n1 = a(n 1 ) = a(n 2 ) = a n2 = x 2 (Pois a é função), donde concluímos que f é injetora. procurada. Os itens (i) e (ii) mostram que f é a bijeção Teorema 4.2.11 Todo subconjunto X N é enumerável. 15

Corolário 4.2.12 Se X é enumerável, então todo subconjunto Y X é enumerável. Demonstração: Suponha X enumerável. Então, existe uma bijeção f : N! X. Esta, por sua vez, fornece-nos uma outra bijeção dada por f : f 1 (Y )! Y f (n) = f (n) ; 8n 2 N. Como f 1 (Y ) N, segue do Teorema 4.2.11 que f 1 (Y ) é enumerável. Se f 1 (Y ) for nito, como f é sobrejetora, o Corolário 4.1.4 garante que Y seja nito e, portanto, enumerável. Caso seja f 1 (Y ) in nito, existe uma bijeção g : N!f 1 (Y ). Portanto, f g : N! Y é bijeção, donde vem que Y é enumerável, como queríamos demonstrar. Corolário 4.2.13 Se f : X! Y é injetiva e Y é enumerável, então, X é enumerável. Demonstração: bijeção Pondo f (X) = A, observamos que função injetiva f fornece uma f : X! A. Se Y for nito, pelo Corolário 4.1.3; X é enumerável. Caso contrário, existe uma bijeção ' : N! Y. Esta, por sua vez, fornece uma outra bijeção ' : ' 1 (A)! A Como ' 1 (A) N, segue do Teorema 4.2.11 que ' 1 (A) é enumerável. Se ' 1 (A) for in nito, existe uma bijeção g : N! ' 1 (A). Fica, portanto, determinada a bijeção f 1 ' g : N!X, mostrando que X é in nito enumerável. Caso seja ' 1 (A) nito, a sobrejeção ' garante que A é nito. Daí, como f é injetiva, obtemos que X é nito. 16

Corolário 4.2.14 Se g : X! Y é sobrejetiva e X é enumerável, então, Y é enumerável. Demonstração: f : Y! X tal que Se g : X! Y é sobrejetiva, então, pelo Teorema 2.1.6, existe g f = id Y. Então g é uma inversa à esquerda para f. Pelo Teorema 2.1.5, f é injetiva. Segue-se que Y e enumerável.(corolário 4.2.13): Teorema 4.2.15 Sejam, X; Y conjuntos enumeráveis. O produto cartesiano X Y é enumerável. Demonstração: Se X; Y são in nitos enumeráveis, existem funções injetivas ' : X! N e : Y! N: De nimos agora a função g : X Y! N N dada por g(x; y) = ('(x); (y)) A injetividade das funções ' e nos garante a de g. enumerável. Para isso, de nimos a função Vamos mostrar que N N é Prova de que f é injetiva f : N N! N (m; n) 7! 2 m 3 n : Sejam dados (m; n) ; (m 0 ; n 0 ) 2 N N quaisquer. Temos que Esta última igualdade implica De fato, se não fosse assim, teríamos Isto implicaria um mesmo número f (m; n) = f (m 0 ; n 0 ) =) 2 m 3 n = 2 m0 3 n0 : m = m 0 e n = n 0 : m 6= m 0 ou n 6= n 0. 2 m0 3 n0 = x = 2 m 3 n, sendo decomposto, de duas maneira distintas, em fatores primos. Isto é um absurdo contra o Teorema Fundamental da Aritmética. Portanto, f (m; n) = f (m 0 ; n 0 ) =) m = m 0 e n = n 0 =) (m; n) = (m 0 ; n 0 ), 17

e f é injetiva. A função injetiva f, fornece uma bijeção f : N N!f (N N). Como f (N N) N, segue do Teorema 4.2.11 que f (N N) é enumerável. Como f é injetiva, obtemos que N N é enumerável. Utilizando agora o fato de g ser injetiva, concluímos que XY é enumerável. A enumerabilidade de Q A seguir, demonstraremos o resultado principal deste relatório de pesquisa. Corolário 4.2.16 O conjunto Q dos números racionais é enumerável. Demonstração: De fato, considere o conjunto Z = Z f0g. Temos que Z Z e, como já foi mostrado, Z é enumerável. Pelo Corolário 4.2.12, Z é enumerável. Segue do Teorema 4.2.15 que produto cartesiano Z Z é enumerável. De na agora a seguinte função f : Z Z! Q dada por f (m; n) = m n. Observando que f é sobrejetiva, o Corolário 4.2.14 garante que o conjunto Q é enumerável. Como queríamos demonstrar. 18

Referências Bibliográ cas [1] E. Lages, Curso de Análise, Vol. 1. 11. ed., Coleção Projeto Euclides, 2006. [2] G. Cantor, Contributions to the Founding of the Theory of Trans nite Numbers. New York, Dover, 1915. 19