Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2013.1
Sumário Objetivos e Bibliografia 1 Objetivos e Bibliografia 2 3 Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos 4 Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas 5 Tipos de estudos Tipos de Amostragem
Objetivos Objetivos e Bibliografia Revisar, aprofundar e ampliar os conceitos de probabilidade e inferência estatística dos mestrandos, visando sua utilização nas dissertações e servindo como base para outras disciplinas do programa.
Bibliografia DANIEL, w. w. Biostatics: A Foundation for Analysis in the Health Sciences. 9 o Ed.. Wiley, 2009. TRIOLA, M. F. à Estatística. Livros Técnicos e Científicos Editora, 2005. ARANGO, H. G. Bioestatística: teórica e computacional. 2 a edição. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2005.
Objetivo da Probabilidade Fornecer o arcabouço teórico para o estudo dos fenômenos ou experimentos aleatórios. Criar modelos teóricos que reproduzam de maneira razoável a distribuição de freqüências dos fenômenos ou experimentos aleatórios. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos.
Experimento aleatório Definição: Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é chamado experimento aleatório. Característica de um experimento aleatório: Imprevisibilidade: o resultado do experimento não pode ser conhecido a priori, mesmo se repetido sobre iguais condições;
Espaço amostral e evento Espaço amostral: é o conjunto de todos os resutados de um experimento aleatório. Notação: Ω Evento: É um subconjunto do espaço amostral; Os subconjuntos de Ω serão denotados por letras latinas maiúsculas (A,B,C,... ); Diz-se que " ocorre o evento A" quando o resultado do experimento aleatório for um elemento de A; O espaço amostral Ω e o conjunto vazio também são eventos, em que Ω é o evento certo e é o evento impossível.
Operações básicas entre conjuntos Exemplo A B = { ω Ω : ω A ou ω B ou ω A, ω B }, é a união de A e B; Suponha que iremos sortear de uma lista de casais que se casaram há 30 anos atrás e verificar quais deles estão vivos. Considere os seguintes eventos: A =A mulher estar viva e B =O homem estar vivo. Então o evento pelo menos um estar vivo é dado por A B A B = { ω Ω : ω A, ω B }, é a intersecção de A e B;
Operações básicas entre conjuntos Exemplo Considerando o exemplo anterior, então o evento ambos estarem vivos é dado por A B. Exemplo A c = { ω Ω : ω / A }, deste modo segue que A c = Ω A é o complementar de A, do mesmo modo B c = Ω B é o complementar de B; Considerando o exemplo anterior, então o evento o homem estar vivo pode ser representado por A c, logo nesse caso específico B = A c e A = B c. A B = { ω Ω : ω A, ω / B }, deste modo segue que Ulisses c U. dos Anjos
Operações básicas entre conjuntos Exemplo A B = { ω Ω : ω A, ω / B ou ω / A, ω B }, deste modo segue que A B = (A B c ) (A c B) é a diferença simétrica entre A e B; Considerando o exemplo anterior, então o evento somente o homem ou a mulher estar vivo pode ser representado por A B. Exemplo A e B são disjuntos(mutuamente exclusivos) se e somente se A B = ; Considerando o exemplo anterior, então os eventos A e B não são disjuntos pois ambos podem estar vivos.
Partição de um evento Seja A um subconjunto de Ω. Então A 1,..., A n formam uma partição de A se e somente se A i A j = para todo i j e n i=1 A i = A. Deste modo, se A = Ω então A 1,..., A n formam uma partição de Ω se e somente se A i A j = para todo i j e n i=1 A i = Ω.
Leis de De Morgan Sejam A 1,..., A n tal que A i Ω para todo i, então: (i) ( n i=1 A i) c = n i=1 Ac i. Interpretação: o complementar da ocorrência de pelo menos um dos eventos é a não ocorrência de todos os eventos; (ii) ( n i=1 A i) c = n i=1 Ac i. Interpretação: o complementar da ocorrência de todos os eventos é a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.
Função indicadora Seja A Ω, então I A (ω) = { 1 se ω A 0 se ω / A
σ-álgebra Objetivos e Bibliografia Uma classe F de subconjuntos de Ω é denominada uma σ-álgebra se ela satisfaz: (F1) Ω F; (F2) Se A F então A c A; (F3) Se A i F para todo i 1 então i=1 A i F;
Definição Clássica de Probabilidade Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Seja (Ω, F) um espaço finito de eventos equiprováveis. Assim, para todo A F tem-se que, P(A) = #A #Ω em que # é o número de elementos do conjunto. Exemplo Considere o experimento aleatório de lançar duas moedas. Nesse caso o espaço amostral é dado por Ω = { (c, c), (c, r), (r, c), (r, r) }. Seja A=Obtenção de faces iguais. Portanto, A = { (c, c), (r, r) }. Deste modo, P(A) = 2 = 0, 5. 4
Definição frequentista de Probabilidade Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Seja Ω um espaço amostral de um experimento aleatório. Seja n repetições independentes de um experimento aleatório e n A o número de ocorrências do evento A Ω. Então, a probabilidade de A é dada por, n A P(A) = lim n n = p Observação A lei dos grandes números garante a convergência sobre certas condições do limite acima, em que 0 p 1.
Definição axiomática de Probabilidade Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Seja (Ω, F) um espaço mensurável. Então uma função P : F [0, 1] é uma probabilidade se, (P1) P(Ω) = 1; (P2) Para todo A F tem-se P(A) 0; (P3) P é σ-aditiva, isto é, se A 1, A 2,..., são dois a dois disjuntos então, ( ) P A n = P(A n ). Observação n=1 n=1 em que n=1 A n = A 1 A 2. Note que de um modo geral a medida de probabilidade P não precisa assinalar uma Ulisses probabilidade U. dos Anjos Modelos para todo de Probabilidade eventoe em Inferencia Ω, Estatística mas
Propriedades Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Seja (Ω, F, P), então para todo A F e B F, tem-se que: P(A c ) = 1 P(A); P( ) = 0; P é uma função não decrescente, isto é, para todo A, B F tal que A B tem-se que P(A) P(B); Para todo A, B F tal que A B tem-se que P(B A) = P(B) P(A); Para todo A, B F arbitrários tem-se que: P(A B) = P(A) P(A B) e P(B A) = P(B) P(A B).
Propriedades Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Para todo A F tem-se que 0 P(A) 1; Para todo A, B F arbitrários tem-se que: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).
ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144 Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Considere os dados abaixo que mostram 15 indivíduos classificados quanto às variáveis obesidade e sedentarismo. Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Obesidade n n s n s s n n n s Sedentarismo s n s s n s n s s s Indivíduo 11 12 13 14 15 Obesidade n n s n n Sedentarismo n n s n s
ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144 Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Considere os seguintes eventos: A=indivíduo obeso e B= indivíduo sedentário. Supondo que essa amostra e representativa da população de estudo, calcule(estime) a probabilidade de: O indivíduo ser obeso;tabela O indivíduo ser sedentário;tabela O indivíduo ser obeso e sedentário;tabela O indivíduo ser obeso ou sedentário;tabela O indivíduo não ser obeso e nem sedentário;tabela
Problema Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Seja (Ω, F, P) o espaço de probabilidade para um determinado experimento aleatório. Suponha que tenhamos a priori alguma informação a respeito do resultado do experimento aleatório. No exemplo anterior, suponha que um indivíduo é sorteado aleatoriamente e que recebemos a informação que o indíviduo é obeso. Nessas condições qual a probabilidade do indívíduo ser sedentário? Tabela
Definição Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Seja B F um evento tal que P(B) > 0. Então a probabilidade condicional, dado o evento B, é uma função denotada por P(. B) e definida para todo A F como segue, P(A B) = P(A B). (1) P(B) em que P(A B) é chamada a probabilidade condicional de A dado B.
Testes Diagnósticos Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos São testes que tem como objetivo identificar um evento de interesse. Medidas para avaliar um teste: Sensibilidade(s), Especificidade(e), Valor Preditivo Positivo(VPP), Valor Preditivo Negativo(VPN), Falso Positivo(FP) e Falso Negativo(FN).
Avaliação do Teste Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Resultado do Teste Positivo Negativo Ocorrência do Evento Sim a b Não c d Consideremos os seguintes eventos: D + =Ocorrência do evento de interesse; D =Não ocorrência do evento de interesse; T + =Teste positivo; T =Teste negativo;
Sensibilidade e Especificidade Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Sensibilidade(s): É a probabilidade do teste dar positivo dado que ocorreu o evento de interesse, isto é, s = P(T + D + ) = P(T + D + ) P(D + ) = a a + b Especificidade(e): É a probabilidade do teste dar negativo dado que não ocorreu o evento de interesse, isto é, s = P(T D ) = P(T D ) P(D ) = d c + d
Sensibilidade e Especificidade Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Valor Preditivo Positivo(VPP): É a probabilidade do evento de interesse ocorrer dado que o teste deu positivo, isto é, VPP = P(D + T + ) = P(T + D + ) P(T + ) = p s p s + (1 p) (1 e) em que p = P(D + ) é a prevalência do evento de interesse; Valor Preditivo Negativo(VPN): É a probabilidade do evento de interesse não ocorrer dado que o teste deu negativo, isto é, VPN = P(D T ) = P(T D ) P(T ) = (1 p) e p (1 s) + (1 p) e
Regra do Produto Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Sejam A e B eventos em F tal que, P(A) > 0 e P(B) > 0 então, P(A B) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B). Exemplo Considerando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade do indivíduo ser obeso e sedentário utilizando a regra do produto. Tabela
Probabilidade Total Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Sejam {A i, i = 1,..., n} uma partição de Ω com P(A i ) > 0 para todo i = 1,..., n. Então, para todo B F tem-se que, P(B) = n P(A i )P(B A i ). i=1 Exemplo Considerando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade do B =indivíduo ser obeso, considerando a partição A =o indivíduo é sedentário e A c =o indivíduo não é sedentário.tabela
Teorema de Bayes Objetivos e Bibliografia Propriedades de uma medida de probabilidade Probabilidade Condicional Testes Diagnósticos Seja {A i, i = 1,..., n} uma partição de Ω com P(A i ) > 0 para todo i = 1,..., n. Então, para todo B F para o qual P(B) > 0 tem-se que, P(A j )P(B A j ) P(A j B) = n i=1 P(A i)p(b A i ) Exemplo Considerando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade do indivíduo não ser sedentário dado que B =indivíduo é obeso, considerando a partição A =o indivíduo é sedentário e A c =o indivíduo não é sedentário.tabela
Definição Objetivos e Bibliografia Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín É uma função X : Ω R que associa a cada elemento do espaço amostral um valor na reta(um valor numérico). Assim, para cada ω Ω tem-se que X (ω) = x R. Observação A função X deve ser unívoca, isto é, para cada ω Ω deve haver apenas um X (ω) associado. Entretanto, diferentes valores de ω podem levar a um mesmo valor de X.
: Exemplo Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Exemplo Considere o procedimento de selecionar uma amostra de uma população U de tamanho N. Considere a variável X=altura, assim por exemplo, X (ω 1 ) = 1, 79, X (ω 17 ) = 1, 98 em que ω 1 e ω 17 são o primeiro e o décimo sétimo elemento da amostra.
Tipos de Variáveis Aleatórias Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Discreta: Uma variável aleatória X é discreta se o número de valores que X possa assumir for enumerável. Ex: Altura, peso, etc. Contínua: Uma variável aleatória X é contínua se o número de valores que X possa assumir for não enumerável. Ex: número de filhos, faixa etária, etc.
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín : Distribuição de Probabilidade A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X discreta é uma função que atribui probabilidade a cada um dos valores x i de X, isto é, P X (x i ) = P(X = x i ) = P({ω Ω : X (ω) = x i }) para todo i {1, 2,..., n}, n N e e satisfaz as condições: (i) 0 P(X = x i ) 1 e (ii) n i=1 P(X = x i) = 1. Esta função é denominada Função de Probabilidade ou Função Massa de Probabilidade(fmp); A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X contínua é dada por, df (x) f (x) = dx
: Função de Distribuição Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Seja X uma variável aleatória, então sua função de distribuição é definida como, F (x) = P(X x). F é também conhecida como função de distribuição acumulada de X. Caso discreto: F (x) = x i x P X (x i ) = x i x P(X = x i) Caso Contínuo: F (x) = x f (t)dt
Independência de Variáveis Aleatórias Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Sejam X 1,..., X n, n variáveis aleatórias. Então X 1,..., X n são independentes se: F (x 1,..., x n ) = n F i (x i ) em que F é a função de distribuição acumulada conjunta de X 1,..., X n e F i é a função de distribuição acumulada de X i. i=1
Valor Esperado de uma Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín O valor esperado de variável aleatória X, denotado por E(X ) ou µ, é para o caso em que X é discreta, µ = E(X ) = x Ω X xp(x) e para o caso em que X é contínua µ = E(X ) = xf (x)dx
Propriedades Objetivos e Bibliografia Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Seja c R uma constante, então E(c) = c; Seja h uma função uma função mensurável, então para Y = h(x ) tem-se: se X for uma variável aleatória discreta, E(Y ) = x Ω X h(x)p(x) e, se X for uma variável aleatória for contínua então, E(Y ) = h(x)f (x)dx. Sejam X 1,..., X n n variáveis aleatória então ( n ) n E X i = E(X i ). i=1 i=1
Variância de uma Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín A variância da variável aleatória X, denotado por Var(X ) ou σ 2 é Var(X ) = E ( (X E(X )) 2) = E(X 2 ) [ E(X ) ] 2. Se X for discreta, Var(X ) = x 2 P(X = x) xp(x = x) x Ω X x Ω X e se X for contínua Var(X ) = [ 2 x 2 f (x)dx xf (x)dx]. 2
Propriedades Objetivos e Bibliografia Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Var(c) = 0; Var(X ± c) = Var(X ); Var(cX ) = c 2 Var(X ); Sejam X 1,..., X n n variáveis aleatória independentes, então, ( n ) Var X i = Var(X 1 ) + + Var(X n ) i=1
Distribuição Binomial Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Seja A um evento de interesse. Então uma variável aleatória X que conta o número de vezes que o evento A ocorre em n repetições independentes de um experimento de Bernoulli(um experimento que só possui dois resultados possíveis), possui função de probabilidade, ( ) n p x (1 p) n x se x = {0, 1, 2,..., n} P(X = x) = x 0 caso contrário Em que p = P(A).
Distribuição Binomial Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Diz-se que tal variável possui distribuição Binomial com parâmetros n e p e denota-se por: X bin(n, p) Tem-se para essa variável que µ = E(X ) = p e σ 2 = Var(X ) = np.
Exemplo Objetivos e Bibliografia Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín A taxa de imunização de uma vacina é 80%. Se um grupo de 20 pessoas são vacinadas, (a) Qual a probabilidade que 15 fiquem imunizadas? (b) Qual o número esperado de pessoas que serão imunizadas?
Distribuição de Poisson Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Seja X uma variável aleatória que conta o número de ocorrência de um determinado evento A por unidade (tempo, comprimento, área, volume, etc), então a função de probabilidade de X é dada por, { e λ λ x P(x) = x! se x = {0, 1,..., } 0 caso contrário Esta função é chamada de distribuição de Poisson. Notação: X P(λ) Tem-se para essa variável que µ = E(X ) = σ 2 = Var(X ) = λ.
Distribuição Normal Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Dizemos que uma v.a. X tem distribuição normal com média µ e variância σ 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por ( ) 1 f (x) = exp (x µ)2 2πσ 2 2σ 2 para todo x R, em que E(X ) = µ e Var(X ) = σ 2. Notação: X N(µ, σ 2 ).
Distribuição Normal: Características Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Moda = mediana = média; A função tem dois pontos de inflexão, um em x = µ σ e outro em x = µ + σ, em que σ é o desvio padrão de X ; A curva é simétrica em torno de x = µ, isto implica que dado um a R tem-se que f (µ a) = f (µ + a), logo F (µ a) = P X (X µ a) = P X (X µ + a) = 1 F (µ + a) se µ = 0 então F ( a) = 1 F (a).
Distribuição Normal Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Problema: Dificuldade no cálculo de P X. Existem tabelas apenas para X N(0, 1). Solução: Fazendo a transformação, Z = X µ σ Z N(0, 1) Assim, P(X x) = P(Z z) = P ( Z x µ ) σ
Distribuição t-student Padrão Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Dizemos que uma v.a. X tem distribuição t com ν graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por f (x) = 1 Γ ( ) ν+1 2 νπ Γ ( ) ν (1 + x 2 ν 2 ) ν+1 2 para todo x R. Notação: X t ν. Tem-se ainda que E(X ) = 0 para ν > 1 e Var(X ) = ν ν 2 para ν > 2.
Distribuição t-student: Características Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Moda = mediana = média = 0; A curva é simétrica em torno do 0, isto implica que dado um a R tem-se que f ( a) = f (+a), logo P( a) = P( a); quando os graus de liberdade aumentam a distribuição t ν se aproxima da distribuição normal com média zero e variância 1.
Distribuição Qui-quadrado Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Dizemos que uma v.a. X tem distribuição Qui-quadrado com ν graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por 1 f (x) = Γ ( ) ν x ν 2 1 e x 2 ν 2 2 2 para todo x 0. Notação: X χ ν. Tem-se ainda que E(X ) = ν e Var(X ) = 2ν.
Distribuição F Objetivos e Bibliografia Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discre Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contín Dizemos que uma v.a. X tem distribuição F com ν 1 e ν 2 graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por f (x) = Γ ( ) ν 1 +ν 2 2 Γ ( ν 1 ) ( 2 Γ ν2 ( ν1 ) 2 ν 2 ) ν 1 2 x ν 1 2 2 ( 1 + ν 1 ν 2 x ) ν 1 +ν 2 2 para todo x 0. Notação: X F ν1,ν 2. Tem-se ainda que E(X ) = ν 2 ν 2 2.
Objetivo Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Amostragem é o procedimento utilizado na obtenção da amostra, que deve ser de tal forma que a amostra obtida seja representativa da população de interesse. Exemplo Quando alguém está adoçando uma xícara de café ele primeiro coloca um pouco de açucar, mistura bem e depois prova(coleta uma amostra) para verificar se precisa ou não mais açucar. Note que, o processo de mexer bem antes de provar é um procedimento(plano) amostral intuítivo.
População ou População alvo Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que estão sob investigação. Notação: Um população de tamanho N será denotada por Ũ = (1,..., N). Exemplo Um grupo de pesquisadores desejam analisar a influência de fatores sociodemográficos, físicos e mentais sobre a mobilidade de idosos, pessoas com 60 anos ou mais, residentes no município de Santa Cruz, Rio Grande do Norte. Neste caso a população são todas as pessoas com 60 anos ou mais residentes no município de Santa Cruz.
População de estudo Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que podem ser incluídas no estudo. Teoricamente, o mesmo que a população alvo, porém muitas vezes diferente. Exemplo No Exemplo anterior suponha que a pesquisa tenha sido realizada durante um determinado mês do ano, e que neste mês possívelmente algumas das pessoas desta população poderiam não estar na cidade e deste modo não poderiam ser incluídas na pesquisa. Deste modo, neste caso, a população alvo é diferente da população de estudo.
Amostra Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística É o conjunto dos elementos selecionados de uma população. Notação: Uma amostra de tamanho n será denotada por s = ( k 1,..., k n ) para ki Ũ.
Unidade amostral Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística São os elementos alvo da pesquisa. Podem ser pessoas, animais,objetos, domicílios, empresas, etc. Deve ser definida no início da investigação de acordo com o interesse do estudo. É muito importante que a unidade elementar seja claramente definida, para que o processo de coleta e análise tenha sempre um significado preciso e uniforme.
Variáveis Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística É uma característica qualitativa ou quantitativa que observamos em cada unidade amostral. Ex.: altura, sexo, peso, idade, classe social, etc. Notação: As variáveis são usualmente denotadas pelas letras maiúsculas X, Y, Z, W. Em um população Ũ = (1,..., N), o conjunto de valores que essas variáveis assumem são denotadas por x = (x 1, x 2,..., x N ); Em uma amostra s = ( k 1,..., k n ), os valores que essas variáveis podem assumir são denotadas por X = (X 1, X 2,..., X n ) em que cada X i pode assumir qualquer valor x u, para u Ũ e x u x.
Parâmetro Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população. Exemplo Peso médio ao nascer de crianças na cidade de João Pessoa, proporção de mulheres com câncer de mama na Paraíba. Notação: Utiliza-se usualmente letras gregas,µ, σ 2, τ para se denotar parâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo, para o parâmetro proporção utiliza-se p.
Estimador Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística É qualquer função dos elementos X 1,..., X n da amostra X, que assume valores em Θ(espaço paramétrico), em que Θ é o conjunto de todos os valores que o parâmetro θ pode assumir. Notação: Usualmente utiliza-se µ, σ 2, p para se denotar parâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo, para o parâmetro µ utiliza-se X. Exemplo Seja X = (X 1, X 2,..., X n ) uma amostra, então um estimador para a média populacional µ para essa amostra é dada por: X = X 1 +... + X n. n
Estimativa Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística É o valor observado de um estimador após a amostra ser coletada. Exemplo Considere a seguinte amostra da variável X, = (5, 3, 4, 2, 6), então X X = 5 + 3 + 4 + 2 + 6 = 4. 5
Cadastro amostral Objetivos e Bibliografia Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Lista das unidades da população de pesquisa de onde a amostra será extraída. Nem sempre aplicável.
Tipos de estudos: Estudos Observacionais Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Se caracterizam pela não intervenção do pesquisador sobre os dados do estudo. Dessa maneira, nos estudos observacionais observamos e medimos características específicas, mas não tentamos modificar os elementos objeto do estudo. Exemplo Em uma pesquisa na qual se quer estudar algum aspecto de um grupo de alcoólatras, não há a possibilidade de induzir um grupo a tornar-se alcoólatra, então o estudo é observacional e inclui o grupo que já era alcoólatra e um grupo de não alcoólatras como grupo controle.
Tipos de estudos: Estudos Experimentais Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Nos estudos experimentais, o pesquisador designa os indivíduos da amostra aos grupos por processo aleatório, aplicamos um tratamento diferente a cada grupo e observamos seu efeito nos elementos da amostra. Exemplo No artigo Impacto da multimistura no estado nutricional de pré-escolares matriculados em creches. Rev. Nutr. [online]. 2006, vol.19, n.2, pp. 169-176., coletou-se uma amostra de 135 crianças na faixa etária de um a seis anos. As crianças foram divididas aleatóriamente em três grupos: intervenção 1 (GI1 n=48), intervenção 2 (GI2 n=45) e controle (GC n=42), recebendo 5g e 10g de multimistura e placebo, respectivamente. O estado nutricional das crianças em estudo foi avaliado antes e após a
Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Tipos de Amostragem: Amostragem Probabilística É o procedimento pelo qual se utilizam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos de uma amostra, atribuindo a cada elemento uma probabilidade de pertencer a amostra.
Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Tipos de Amostragem: Amostragem não Probabilística É o procedimento pelo qual se utiliza alguma mecanismo aleatório de seleção, mas sem conhecer a probabilidade de cada elemento fazer parte da amostra ou não se utilizam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos de uma amostra, tais como: amostras intencionais, nas quais os elementos são escolhidos com o auxílio de especialistas; amostras de voluntários, onde as pessoas é que se apresentam para participar do estudo. Observação A grande vantagem da amostra probabilística é medir a precisão da amostra obtida, baseando-se apenas no resultado contido na própria amostra.
Amostragem aleatória(aa) Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Procedimento pelo qual cada elemento da população tem a mesma chance(probabilidade) de ser selecionada.
Amostragem aleatória simples(aas) Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Procedimento pelo qual uma amostra de tamanho n é selecionada de tal forma que cada amostra possível de tamanho n tem a mesma chance(probabilidade) de ser selecionada. Esse plano amostral subdivide-se ainda em dois outros: Amostragem aleatória simples com reposição(aascr) e Amostragem aleatória simples sem reposição(aassr).
Amostragem sistemática Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística É realizada quando os elementos da população estão ordenados e a seleção dos elementos da amostra é feita periodicamente ou sistematicamente.
Amostragem estratificada Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Esse procedimento consiste em dividir a população em sub-populações (estratos). Estratos são divisões de acordo com algum critério, por exemplo: sexo, faixa etária, estado civil, assim dentro de cada estrato teremos uma maior homogeneidade. Dessa forma, para uma população com N unidades amostrais e d estratos com tamanhos N 1,..., N d, tem-se que d i=1 N i = N, portanto teremos os seguinte coeficiente de proporcionalidade c i = N i N. Deste modo, para uma amostra de tamanho n devemos selecionar uma AAS de tamanho n i = c i n de cada estrato.
Amostragem por conglomerado Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Neste procedimento cada unidade amostral é um grupo (conglomerado) de elementos. Conglomerados são partes representativas da população, por exemplo, dividimos um bairro em quarteirões. Assim cada quarteirão é uma unidade amostral. Deste modo, selecionamos uma AAS dos quarteirões para depois proceder-se o levantamento dos dados de todos os elementos do Conglomerado.
Erros de amostragem Tipos de estudos Tipos de Amostragem Principais planos de amostragem probabilística Erro amostral(e). é a diferença entre o resultado amostral e o verdadeiro resultado da população. Tais erros resultam das flutuações amostrais devidas ao acaso. Erro não amostral. ocorre quando os dados amostrais são coletados ou registrados incorretamente. Exemplos de erros não amostrais: seleção de uma amostra por conveniência, uso de um instrumento de medida defeituoso, digitação incorreta dos dados, etc.
Amostra Aleatória Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância Uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória X com função distribuição F, é um vetor X = (X 1, X 2,..., X n ) em que as componentes X i são independentes e possuem distribuição F.
Estatística Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância É qualquer função dos elementos X 1,..., X n da amostra X cuja distribuição de probabilidade não depende de parâmetros desconhecidos.
Distribuição Amostral: Definição Média Proporção Variância A Distribuição de todos os valores possíveis que podem ser assumidos por uma estatística, calculados a partir de amostras de mesmo tamanho selecioanadas aleatóriamente de uma mesma popualção, é chamada de Distribuição Amostral da estatística.
Distribuição Amostral: Objetivos Média Proporção Variância Permitir responder questões probabilisticas sobre estatisticas amostrais; fornecer a teoria necessária para fazer válidos os procedimentos da inferência estatística.
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel Suponha que temos uma população de cinco crianças que são pacientes em um centro comunitário de saúde mental e a variável de interesse é a idade delas, assim, x = (6, 8, 10, 12, 14). A média populacional é, µ = 6 + 8 + 10 + 12 + 14 5 = 10
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel e a variância populacional, σ 2 = (6 10)2 + (8 10) 2 + + (14 10) 2 5 = 8 Desejamos obter a distribuição amostral da média, baseado em amostras de tamanho 2, selecionadas dessa populaçao com reposição.
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel 6 8 10 12 14 6 (6,6) (6,8) (6,10) (6,12) (6,14) X 6 7 8 9 10 8 (8,6) (8,8) (8,10) (8,12) (8,14) X 7 8 9 10 11 10 (10,6) (10,8) (10,10) (10,12) (10,14) X 8 9 10 11 11 12 (12,6) (12,8) (12,10) (12,12) (12,14) X 9 10 11 12 13 14 (14,6) (14,8) (14,10) (14,12) (14,14) X 10 11 12 13 14 Table: Todas as posíveis amostras de tamanho 2 da população com
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição X 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Frequência 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 Freq. Rel(Prob.) 25 25 25 25 25 25 25 25 25 Distribuição Amostral da Média para n=2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é 14 E(X ) = xp(x = x) = 6 1 25 +7 2 25 + +13 2 25 +14 1 25 = 10 x=6 e a variancia de X é 14 ( 2P(X Var(X ) = x E(X )) = x) x=6 = (6 10) 2 1 25 + + (14 10)2 1 25 = 4.
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição Agora note que e E(X ) = µ Var(X ) = 4 = 8 2 = σ2 n em que n é o tamanho da amostra.
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição X 7 8 9 10 11 12 13 Frequência 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 Freq. Rel(Prob.) 20 20 20 20 20 20 20 Distribuição Amostral da Média para n=2, sem reposição 0 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é 13 E(X ) = xp(x = x) = 7 2 20 + + 13 2 20 = 10 x=7 e a variancia de X é 13 ( 2P(X Var(X ) = x E(X )) = x) x=7 = (7 10) 2 2 20 + + (13 10)2 2 20 = 3.
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição Agora note que E(X ) = µ e Var(X ) = 3 = 8 2 5 2 5 1 = σ2 n N n N 1 em que n é o tamanho da amostra e N é o tamanho da populacão.
Distribuição Amostral da Média Média Proporção Variância Seja X 1,..., X n uma amostra aleatória da variável X N(µ, σ 2 ) então, ) X N (µ; σ2. n
Teorema Central do Limite Média Proporção Variância Seja {X n, n 1} uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média µ e variancia σ 2 <. Então, para S n = n i=1 X n, tem-se S n E (S n ) Var (Sn ) = S n nµ σ n d N(0, 1)
Distribuição Amostral da Média Média Proporção Variância Seja X 1,..., X n uma amostra aleatória da variável X, com média µ e variância σ 2 <. Então pelo Teorema Central do Limite(TCL) segue que a distribuição da média amostral será aproximadamente normal com média µ e variância σ2 n X a N, isto é, (µ; σ2 n ).
Exemplo Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância Suponha que em uma certa população, o tamanho do crânio é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com média 185,6 mm e desvio padrão 12,7 mm. Qual é a probabilidade que em uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população a média amostral seja maior que 190 mm? P ( X > 190 ) ( ) 190 185, 6 = P Z > 12,7 10 = P(Z > 1, 1) = 1 Φ(1, 1) = 0, 1357.
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Diferença de Médias Sejam X 11,..., X 1n1 e X 21,..., X 2n2 amostras das variáveis aleatórias X 1 N(µ 1, σ 2 1 ) e X 2 N(µ 2, σ 2 2 ) então, X 1 X 2 N ( ) µ 1 µ 2 ; σ2 1 + σ2 2 ; n 1 n 2 Se as populações não forem normais então pelo TCL segue que, ( ) a X 1 X 2 N µ 1 µ 2 ; σ2 1 + σ2 2 ; n 1 n 2
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Diferença de Médias - Exemplo 5.4.2-Daniel Suponha que o tempo médio de visita domiciliar realizado por enfermeiras dos PSF s, considerando um certo tipo de paciente foi estimado em 45 minutos com um desvio padrão de 15 minutos e para um segundo tipo de paciente o tempo médio de visita domiciliar foi estimado em 30 minutos com um desvio padrão de 20 minutos. Se uma enfermeira visitar aleatoriamente 35 pacientes do primeiro tipo e 40 do segundo tipo, qual a probabilidade que o tempo de visita médio entre os dois grupos de pacientes seja superior a 20 minutos?
Exemplo 5.4.2-Daniel - Solução Média Proporção Variância Tem-se que, X 1 X 2 N ) (45 30; 152 35 + 202 40 Logo, P(X 1 X 2 > 20) = P Z > 20 15 15 2 35 + 202 40
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Proporção Seja uma amostra aleatória (X 1,..., X n ) em que X i ber(p). Um estimador para o parâmetro p é dado por, p = X 1 + + X n. n Logo, do Teorema Central do Limite, segue que, para n grande, p terá distribuição aproximadamente normal com média p e variância p(1 p) n. Observação A aproximação será boa se n min(p, 1 p) > 5.
Exemplo Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância Suponha que em uma determinada população de mulheres grávidas no seu terceiro mês, 90% tiveram algum cuidado pré-natal. Se uma amostra aleatória de 200 mulheres dessa população é selecionada, qual a probabilidade que a proporção amostral das mulheres que tiveram algum cuidado pré-natal seja no máximo 0,85? P( p 0, 85) = P Z 0, 85 0, 90 = P(Z 2, 36) 0,9 0,1 200
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da diferença da Proporção Seja X 11,..., X 1n1 e X 21,..., X 2n2, amostras das variáveis aleatórias X 1 ber(p 1 ) e X 2 ber(p 2 ), os estimadores para os parâmetros p 1 e p 2 são dados por, p 1 = X 11 + + X 1n1 n 1 e p 2 = X 21 + + X 2n2 n 2. Logo, do Teorema Central do Limite, segue que, para n grande, p 1 p 2 terá distribuição aproximadamente normal com média µ p1 p 2 = p 1 p 2 e variância σ 2 p 1 p 2 = p 1(1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2.
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da Variância Seja X 1,..., X n uma amostra aleatória da variável X N(µ, σ 2 ), então, (n 1)S 2 χ 2 n 1 σ 2
Exemplo Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância Vinte e quatro animais com deficiencia de vitamina D foram dividos em dois grupos de mesmo tamanho. O grupo 1 foi recebeu uma dieta que fornecia vitamina D enquanto que o grupo dois não tinha em sua dieta vitamina D. Ao final do período do experimento foram determinados os níveis de cálcio sérico obtendo os seguintes resultados: Grupo X (mg/100ml) S 1 11,1 1,5 2 7,8 2.0 Assuma que as populações são normais e as variancias são iguais a σ 2 = 2, 56. Verifique se e razoável que as variancias σ 2 1 e σ2 2 sejam iguais a 2,56.
Exemplo Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância Visto que, 11 S i σ 2 i χ 2 11 então, como s 2 1 = 1, 52 < 2, 56 então P ( S1 2 1, 5 2) = P (χ 211 ) 11 1, 52 = P(χ 2 11 9, 667969) = 0, 4395 2, 56 e como s2 2 = 22 > 2, 56 então P ( S2 2 2 2) ( = P χ 2 11 11 4 ) = P(χ 2 11 17, 1875) = 0, 1025 2, 56
Média Proporção Variância Distribuição Amostral da razão de Variâncias Sejam X 11,..., X 1n1 e X 21,..., X 2n2 amostras das variáveis aleatórias X 1 N(µ 1, σ 2 1 ) e X 2 N(µ 2, σ 2 2 ) então, logo, U = (n 1 1)S 2 1 σ 2 1 U n 1 1 V n 2 1 χ 2 n 1 1 e V = (n 2 1)S 2 2 σ 2 2 = S 2 1 σ 2 1 S 2 2 σ 2 2 F n1 1,n 1 1 χ 2 n 2 1 Observação É usual fazer a razão da maior variância sobre a menor, entretanto veremos adiante no exemplo que não faz diferença.
Exemplo Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância Vinte e quatro animais com deficiencia de vitamina D foram dividos em dois grupos de mesmo tamanho. O grupo 1 foi recebeu uma dieta que fornecia vitamina D enquanto que o grupo dois não tinha em sua dieta vitamina D. Ao final do período do experimento foram determinados os níveis de cálcio sérico obtendo os seguintes resultados: Grupo X (mg/100ml) S 1 11,1 1,5 2 7,8 2.0 Assuma que as populações são normais. Verifique se é razoável que as variancias sejam iguais?
Exemplo Objetivos e Bibliografia Média Proporção Variância Visto que, S1 2 σ 2 S1 2 = S2 2 S 2 σ 2 2 F 12 1,12 1 então, como S1 2 = 1.52 < 2 2 = S2 2, isto é, tem-se que ) P (F 11,11 1.52 2 2 = 0, 1771 ou, suponha agora que S1 2 = 22 > 1.5 2 = S2 2, assim ) P (F 11,11 22 1, 5 2 = 0, 1771
Média Proporção Variância Um intervalo de confiança é um intervalo de valores utilizado para estimar o verdadeiro valor de um parâmetro populacional (θ). Definição Seja X = (X 1,..., X n ) uma amostra aleatória da variável X F e c 1 (X) e c 2 (X) estatísticas tais que, P(c 1 (X) < θ < c 2 (X)) = 1 α, 0 < α < 1 Então o intervalo aleatório ( c 1 (X), c 2 (X) ) chama-se Intervalo de Confiança de 100(1 α)% para (θ).
Média Proporção Variância De um modo geral, estamos interessados em encontrar um intervalo da forma ( θ ) E ; θ + E, em que θ é o estimador de um parâmetro de interesse θ e E é a margem de erro ou erro de precisão. Todo intervalo de confiança está associado a um nível de confiança 100(1 α)% que é a probabilidade de que o intervalo contenha o verdadeiro valor do parâmetro, isto é, ) P ( θ E < θ < θ + E = 1 α, 0 < α < 1 Logo, α será a probabilidade de que o intervalo não contenha o verdadeiro valor do parâmetro.
Média Proporção Variância Em cada caso há o interesse de se construir um uma região de estimação ótima, isto é, fixado um nível de confiança, desejamos encontrar um intervalo que tenha a menor amplitude possível. Observando um grande número de amostras de tamanho n e seus correspondentes intervalos espera-se que em média uma proporção 100(1 α)% desses intervalos contenham o verdadeiro valor do parâmetro. Notação: IC ( θ ; (1 α)% ) = ( c 1 (X), c 2 (X) )
Média Proporção Variância para a Média - Caso 1 - Variância conhecida Suposições: 1 X = (X 1,..., X n ) uma amostra iid(independente e identicamente distribuída); 2 população com distribuição normal com média µ e Variância σ 2 conhecida; ou uma amostra grande n 30 com Variância σ 2 conhecida ou não, aí nesse caso substitui-se σ 2 por S 2. Nessas condições, segue que, X µ σ n N(0, 1)
Média Proporção Variância para a Média - Caso 1 - Variância conhecida Deste modo, a margem de erro é dada por, σ E = z α 2 n logo, IC ( µ ; (1 α)% ) = ( X z α 2 σ n ; X + z α 2 ) σ n
Média Proporção Variância para a Média - Caso 2 - Variância Desconhecida Suposições: 1 X = (X 1,..., X n ) uma amostra iid(independente e identicamente distribuída); 2 população com distribuição normal com média µ e Variância σ 2 desconhecida; Nessas condições, segue que, X µ S n t n 1
Média Proporção Variância para a Média - Caso 2 - Variância Desconhecida Deste modo, a margem de erro é dada por, logo, IC ( µ ; (1 α)% ) = E = t (n 1, α 2 ) ( X t (n 1, α 2 ) S n S ; X + t n (n 1, α 2 ) ) S n
Média Proporção Variância para a diferença de Médias - Caso 1 - Variâncias conhecidas Suposições: 1 X 1 = (X 11,..., X 1n1 ) e X 2 = (X 21,..., X 2n2 ) amostras iid(independente e identicamente distribuída) provenientes de populações independentes; 2 populações com distribuição normal, com médias µ 1 e µ 2 e Variâncias σ1 2 e σ2 2 conhecidas; ou amostras grandes n 30 com Variâncias conhecidas ou não. Nessas condições, segue que, (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 N (0, 1) ;
Média Proporção Variância para a diferença de Médias - Caso 1 - Variâncias conhecidas Deste modo, a margem de erro é dada por, σ1 2 E = z α + σ2 2 2 n 1 n 2 Logo, o intervalo de confiança IC ( µ 1 µ 2 ; (1 α)% ) é dado por, (X 1 X 2 ) z α 2 σ1 2 + σ2 2 σ1 2, (X 1 X 2 ) + z α n 1 n 2 2 + σ2 2 n 1 n 2
Média Proporção Variância para a diferença de Médias - Caso 2 - Variâncias desconhecidas e iguais Suposições: 1 X 1 = (X 11,..., X 1n1 ) e X 2 = (X 21,..., X 2n2 ) amostras iid(independente e identicamente distribuída) provenientes de populações independentes; 2 populações com distribuição normal, com médias µ 1 e µ 2 e Variâncias σ1 2 e σ2 2 desconhecidas e iguais.
Média Proporção Variância para a diferença de Médias - Caso 2 - Variâncias desconhecidas e iguais Nessas condições, segue que, (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) S 2 p n 1 + S2 p n 2 t n1 +n 2 2 em que, S 2 p = (n 1 1)S 2 1 + (n 2 1)S 2 2 n 1 + n 2 2
Média Proporção Variância para a diferença de Médias - Caso 2 - Variâncias desconhecidas e iguais A margem de erro é dada por, logo, E = t n1 +n 2 2, α 2 S 2 p n 1 + S 2 p n 2 IC ( µ 1 µ 2 ; (1 α)% ) = ( (X 1 X 2 ) E, (X 1 X 2 ) + E )
Média Proporção Variância para a diferença de Médias - Caso 3 - Variâncias desconhecidas e diferentes Quando não é possivel concluir que as variancias são iguais então, (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 não tem distribuição t n1 +n 2 2. A solução proposta por Cochran consiste em calcular, t α 2 = w 1t n1 1, α 2 + w 2t n2 1, α 2 w 1 + w 2 em que w i = S2 i n i.
Média Proporção Variância para a diferença de Médias - Caso 3 - Variâncias desconhecidas e diferentes Deste modo, a margem de erro é dada por, E = t S1 2 α + S 2 2 2 n 1 n 2 Assim, o intervalo de confiança IC ( µ 1 µ 2 ; (1 α)% ) é dado por, (X 1 X 2 ) t α 2 S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2, (X 1 X 2 ) + t α 2 S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2
Média Proporção Variância para a Proporção Seja uma amostra aleatória (X 1,..., X n ) de X i ber(p). Então, pelo TCL segue que a margem de erro aproximada é dada por, p(1 p) E = z α 2 n Logo, IC ( p ; (1 α)% ) = ( p z α 2 p(1 p) n ; p + z α 2 ) p(1 p) n
Média Proporção Variância para a diferença de Proporções Seja X 11,..., X 1n1 e X 21,..., X 2n2, amostras das variáveis aleatórias X 1 ber(p 1 ) e X 2 ber(p 2 ), então pelo Teorema Central do Limite, segue que, para n grande, a margem de erro aproximada é dada por, p 1 (1 p 1 ) E = z α + p 2(1 p 2 ) 2 n 1 n 2 logo, IC ( p 1 p 2 ; (1 α)% ) = (( p 1 p 2 ) E ; ( p 1 p 2 ) + E)
Média Proporção Variância para a Variância Suposições: Suposições: 1 X = (X 1,..., X n ) uma amostra iid(independente e identicamente distribuída); 2 população com distribuição normal com média µ e Variância σ 2. Nessas condições segue que, (n 1)S 2 σ 2 χ 2 n 1
Média Proporção Variância para a Variância Logo, portanto, χ 2 n 1, α 2 (n 1)S 2 χ 2 n 1, α 2 (n 1)S 2 < σ 2 < χ 2 n 1,1 α 2 > σ 2 > (n 1)S 2 χ 2 n 1,1 α 2 Assim, um IC ( σ 2 ; (1 α) ) é dado por, ( (n 1)S 2 χ 2 n 1,1 α 2, ) (n 1)S 2 χ 2 n 1, α 2
Média Proporção Variância para a razão de Variâncias Suposições: 1 X 1 = (X 11,..., X 1n1 ) e X 2 = (X 21,..., X 2n2 ) amostras iid(independente e identicamente distribuída) provenientes de populações independentes; 2 populações com distribuição normal, com médias µ 1 e µ 2 e Variâncias σ 2 1 e σ2 2.
Média Proporção Variância para a razão de Variâncias Nessas condições, segue que, S 2 1 σ 2 1 S 2 2 σ 2 2 F n1 1,n 1 1 logo, ( σ 2 IC 1 σ 2 2 ) ; (1 α) = S 2 1 S 2 2 F n1 1,n 2 1,1 α 2, S 2 1 S 2 2 F n1 1,n 2 1, α 2
Motivação Objetivos e Bibliografia Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Um Jornal na Cidade St. Paul, Mineápolis, o Star Tribune patrocinou uma pesquisa destinada a revelar as opiniões sobre o uso de câmeras fotográficas para flagrar os motoristas que passam o sinal vermelho e depois são notificados pelo correio sobre a infração cometida. Os pesquisadores entrevistaram 829 adultos de Minnesota, e verificaram que 51% se opunham à essa nova legislação que aprovará o uso dessas câmeras. Baseado nessas informações, podemos concluir que há evidência amostral suficiente para apoiar a afirmativa que a maioria de todos os adultos de Minnesota, isto é, p > 0, 5 são contra a nova legislação?
Visão Geral Objetivos e Bibliografia Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção O objetivo de um teste de hipótese é fornecer uma metodologia(procedimento) que nos permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apóiem ou não uma hipótese estatística formulada. Assim sendo, a formulação de um teste de hipótese estatístico inicia-se com a afirmação de uma hipótese estatística. Definição (Hipótese Estatística) É usualmente uma conjectura a respeito de um parâmetro populacional. Para cada situação existem dois tipos de hipótese estatística: a hipótese nula denotada por H 0 e a hipótese alternativa denotada por H 1
Regra do evento raro Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Se sob uma dada suposição, a probabilidade de um evento observado for excepcionalmente pequena, concluímos que a suposição provavelmente não é verdadeira. Guiados por esta regra, iremos por a prova as hipóteses estatisticas formuladas e decidir se os dados amostrais podem facilmente ocorrer por acaso ou são altamente improváveis de ocorrer por acaso.
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Teste Paramétrico ou Teste Não Paramétrico Teste Paramétrico: Exige suposições sobre a distribuição de probabilidade das variáveis de interesse. Teste Não Paramétrico: Não exige suposições sobre a distribuição de probabilidade das variáveis de interesse. Por este motivo são em geral chamados de testes livres de distribuição. Principal vantagem do teste Não Paramétrico: Podem ser aplicados a uma maior variedade de situações, pois possuem suposições mais fracas que os testes Paramétricos; Principal desvantagem do teste Não Paramétrico: São menos eficientes que os testes Paramétricos, pois para uma dada situação em que as suposições do teste Paramétrico são satisfeitas, um teste Não Paramétrico equivalente precisaria de uma amostra maior para ter um erro tipo I e tipo II equivalentes ao do método Paramétrico.
Hipótese Nula e Alternativa Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Hipótese Média Proporção Variância Nula(H 0 ) µ 1 = µ 2 p 1 = p 2 σ 2 1 = σ2 2 Alternativa(H 1 ) µ 1 µ 2 p 1 p 2 σ 2 1 σ2 2 Nula(H 0 ) µ 1 µ 2 p 1 p 2 σ 2 1 σ2 2 Alternativa(H 1 ) µ 1 > µ 2 p 1 > p 2 σ 2 1 > σ2 1 Nula(H 0 ) µ 1 µ 2 p 1 p 2 σ 2 1 σ2 2 Alternativa(H 1 ) µ 1 < µ 2 p 1 < p 2 σ 2 1 < σ2 1
Resultados em um Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Em um teste de hipótese, existem apenas quatro resultados possíveis: H 0 é verdadeira H 0 é falsa Rejeitar H 0 Erro tipo I Decisão correta Não Rejeitar H 0 Decisão correta Erro tipo II
Estatística do Teste Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção É um valor calculado a partir dos dados amostrais e é usada para se tomar a decisão sobre a rejeição da hipótese nula. Note que como seu valor depende da amostra, então pode-se concluir que ela é uma variável aleatória, logo possui distribuição de probabilidade. Será essa distribuição de probabilidade que utilizaremos para tomar a decisão de rejeitar ou não a hipótese H 0.
Nível de significância e Beta do Teste Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Nível de significância: É a probabilidade de se cometer o erro tipo I, é denotado por α, isto é, P(Erro tipo I) = α = P(Rejeitar H 0 H 0 é verdadeira). Beta do Teste: É a probabilidade de não rejeitar H 0 quando ela é falsa, isto é, β = P(Erro tipo II) = P(Não Rejeitar H 0 H 0 é falsa)
Poder do teste e p-valor Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Poder do teste: É a probabilidade de rejeitar H 0 quando ela é falsa, esta probabilidade é o complentar da probabilidade de se cometer o erro tipo II, isto é, Poder do Teste = 1 P(Não Rejeitar H 0 H 0 é falsa) = P(Rejeitar H 0 H 0 é falsa). Nível descritivo ou p-valor do teste: É a probabilidade de ocorrer valores da Estatística do teste, mais extremos que o valor observado, sob a hipótese que H 0 é verdadeira.
Cálculo do p-valor Objetivos e Bibliografia Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Seja X = (X 1,..., X n ) uma amostra aleatória de tamanho n, T (X) uma estatística que possui uma distribuição de probabilidade P e T (x) o valor da estatística dado os valores observados x = (x 1,..., x n. Uma maneira prática de se determinar o evento que se deseja calcular, para o caso de duas amostras, é o seguinte: Seja θ 1 e θ 2 os estimadores dos parâmetros θ 1 e θ 2, então: 1 Se θ 1 > θ 2 tem-se que ( ) p-valor = P T (X) > T (x) H 0 é verdadeira ; 2 Se θ 1 < θ 2 tem-se que ( ) p-valor = P T (X) < T (x) H 0 é verdadeira
Cálculo do p-valor - Exemplo Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Exemplo 1: Considere que T (X) N(0, 1), θ 1 < θ 2 e T (x) = 1, 25 então da tabela da distribuição Normal tem-se que: ( ) p-valor = P T (X) < 1, 25 = 0, 1056; Exemplo 2: Considere que T (X) t 11, θ 1 > θ 2 e T (x) = 1, 363 então da tabela da distribuição t tem-se que: ( ) p-valor = P T (X) > 1, 363 = 0, 10; Exemplo 3: Considere que T (X) F 7, 10, θ 1 > θ 2 e T (x) = 3, 9498 então da tabela da distribuição F tem-se que: ( ) p-valor = P T (X) > 3, 9498 = 0, 025.
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Região Crítica para Estatística com distribuição Normal É o conjunto de valores da Estatística do teste para o qual a hipótese deve ser rejeitada, também chamada de região de rejeição. A região crítica dependerá da hipótese alternativa e da distribuição de probabilidade de cada Estatística. Distribuição de probabilidade da Estatística: Z N(0, 1) Hipótese H 1 : θ 1 θ 2 (, z α 2 Região ] Crítica H 1 : θ 1 > θ 2 [z α, ) H 1 : θ 1 < θ 2 (, z α ] [ z α 2, )
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Região Crítica para Estatística com distribuição t Distribuição de probabilidade da Estatística: T t ν Hipótese H 1 : θ 1 θ 2 (, t ν, α 2 Região ] Crítica H 1 : θ 1 > θ 2 [t ν,α, ) H 1 : θ 1 < θ 2 (, t ν,α ] [ t ν, α 2, )
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Região Crítica para Estatística com distribuição χ 2 Distribuição de probabilidade da Estatística: χ 2 χ 2 ν Hipótese ( H 1 : θ 1 θ 2 0, χ 2 ν, α 2 Região ] Crítica H 1 : θ 1 > θ 2 [ χ 2 ν,α, ) H 1 : θ 1 < θ 2 ( 0, χ 2 ν,α ] [ χ 2 ν, α, 2 )
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Região Crítica para Estatística com distribuição F Distribuição de probabilidade da Estatística: F F ν1,ν 2 Hipótese ( Região ] Crítica ) H 1 : θ 1 θ 2 0, F ν1,ν 2, α [F ν1,ν 2 2, α2, H 1 : θ 1 > θ 2 [F ν1,ν 2,α, ) H 1 : θ 1 < θ 2 (0, F ν1,ν 2,α]
Critério de Decisão Objetivos e Bibliografia Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Seja X = (X 1,..., X n ) uma amostra aleatória de tamanho n e T (X) uma estatística, então o critério de decisão é: 1 Utilizando a Região Crítica: Se T (X) RC rejeita-se a hipótese H 0, caso contrário não rejeita-se a hipótese H 0 ; 2 Utilizando p-valor: Se p-valor α rejeita-se a hipótese H 0, caso contrário não rejeita-se a hipótese H 0. Esta é a regra do evento raro.
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Comparação de Médias - Duas populações independentes Estatística do Teste: Estatística: Z = X 1 X 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 N(0, 1) Suposição: Populações Normais e Variâncias Conhecidas Estatística: Z = X 1 X 2 S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 N(0, 1) Suposição: Amostras Maiores que 30
Exemplo Objetivos e Bibliografia Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostras aleatórias independentes, de populações com distribuição Normal: Amostra 1 Amostra 2 n 1 = 8 n 2 = 7 X 1 = 104 X 2 = 106 σ 1 = 8, 4 σ 2 = 7, 6 Qual o valor da Estatística do Teste? E o p-valor?
Exemplo Objetivos e Bibliografia Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostras aleatórias independentes, de populações com distribuição desconhecida: Amostra 1 Amostra 2 n 1 = 80 n 2 = 70 X 1 = 104 X 2 = 106 S 1 = 8, 4 S 2 = 7, 6 Qual o valor da Estatística do Teste?
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Componentes de um : Estatística do Teste Comparação de Médias - Duas populações independentes em que, S 2 p n 1 Estatística: T = X 1 X 2 + S2 p n 2 S 2 p = (n 1 1)S 2 1 + (n 2 1)S 2 2 n 1 + n 2 2 t n1 +n 2 2 Suposição: Populações Normais e Variâncias Desconhecidas e iguais
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção para comparação de Médias Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostras aleatórias independentes, de populações com distribuição Normal e variâncias desconhecidas e iguais: Amostra 1 Amostra 2 n 1 = 8 n 2 = 7 X 1 = 104 X 2 = 106 S 1 = 8, 4 S 2 = 7, 6 Qual o valor da Estatística do Teste?
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Comparação de Médias - Duas populações independentes Estatística: T = X 1 X 2 S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 Distribuição Desconhecida Suposição: Populações Normais e Variâncias Desconhecidas e diferentes O problema dessa estatística é o desconhecimento de sua distribuição. Várias metodologias foram propostas para se determinar o p-valor e os quantis dessa estatística.
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Comparação de Médias - Duas populações independentes Cochran and Cox (1957) propôs uma metodologia para calcular aproximadamente o valor crítico da estatística, t α = t n 1 1,α S2 1 n 1 + t n2 1,α S2 2 n 2 (2) S1 2 n 1 + S2 2 n 2 Note que desta maneira o valor crítico é uma valor entre t n1 1,α e t n2 1,α. A maneira mais simples de se determinar o p-valor e os quantis dessa estatística é assumir que T t min(n1 1, n 2 1), isto é, considerar a pior situação. Nessas condições a hipótese H 0 precisará de mais evidencias para ser rejeitada que a condição proposta por Cochran and Cox (1957).
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção para comparação de Médias Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostras aleatórias independentes, de populações com distribuição Normal e variâncias desconhecidas e diferentes: Amostra 1 Amostra 2 n 1 = 8 n 2 = 7 X 1 = 104 X 2 = 106 S 1 = 8, 4 S 2 = 7, 6 Qual o valor da Estatística do Teste?
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Comparação de Médias - Duas populações dependentes Este teste é conhecido também como teste para amostras emparelhadas. Estatística: T = D S D n t n 1 em que, n i=1 D i = X 1i X 2i ; D = D i n e S 2 D = n i=1 (D i D) 2 n 1 Suposição: Populações normais. Se essa suposição não for verdadeira, mas a amostra for maior que 30 então a estatística será a Z N(0, 1).
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção para comparação de Médias Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostras aleatórias emparelhadas, de populações com distribuição Normal: Amostra 1 Amostra 2 D i = X 1i X 2i 6,0 5,4 0,60 5,0 5,2-0,20 7,0 6,5 0,50 6,2 5,9 0,30 6,0 6,0 0,00 6,4 5,8 0,60
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção para comparação de Médias Assim, calculando as estimativas dos parâmetros, D = 0, 60 + ( 0, 20) +... + 0, 60 6 = 1, 8 6 = 0, 30 S 2 D = (0, 60 0, 30)2 +... + (0, 60 0, 30) 2 5 1 = 0, 56 5 = 0, 112 logo, S D = 0, 112 = 0, 335 Qual o valor da Estatística do Teste?
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Componentes de um : Estatística do Teste Comparação de Variâncias - Duas populações independentes Suposição: Populações normais. Estatística: F = S 2 1 S 2 2 F n1 1,n 2 1 Exemplo Considere as seguintes informações: n 1 = 8, n 2 = 7, S 1 = 8, 4 e S 2 = 7, 6. Sendo assim, a estatística do teste é dada por, F = 8, 4 1, 11 7, 6
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Comparação de proporções - Duas populações independentes Suposição: Amostras grandes. Nesse caso, n 1 p 1 (1 p 1 ) 5 e n 2 p 2 (1 p 2 ) 5 Como p 1 e p 2 não são conhecidos utilizar suas estimativas p 1 e p 2. em que, Estatística: Z = p(1 p) p 1 p 2 n 1 + p(1 p) n 2 N(0, 1) p 1 = x 1 n 1, p 1 = x 2 n 2 e p = x 1 + x 2 n 1 + n 2
Visão Geral Componentes de um Teste para Média Teste para Variância Teste para Proporção Comparação de proporções - Duas populações independentes Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostras aleatórias: Deseja-se testar a hipótese que motoristas negros são parados pela polícia em proporção maior que motoristas brancos. Assim, realizou-se um experimento em que 1.600 motoristas foram selecionados, 200 negros e 1400 brancos, as seguintes informações foram coletadas: n1 = 200, x1 = 24; n2 = 1400, x2 = 147 Qual o valor da Estatística do Teste?