NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

ALEATORIEDADE Menino ou Menina me?

CARA OU COROA? 3

Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança no final deste ano? E qual será a taxa de inflação acumulada em 014? Quem será o próximo governador de São Paulo? 4

A sua sinusite é viral ou bacteriana? Quantas pessoas trocarão o carro pelo metrô para vir à USP nos próximos anos? Vai chover amanhã?

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1,, 3, 4,, 6}. Doador de sangue (tipo sangüíneo). = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar. = {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada. = {t: t 0} 6

Eventos: ocorrências do experimento aleatório / subconjuntos do espaço amostral Notação: A, B, C,... (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral: = {1,, 3, 4,, 6} Alguns eventos: A: sair face par A = {, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4,, 6} C: sair face 1 C = {1} 7

Composição de eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. 8

A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B = A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B = e A B = O evento complementar de A, representado por A c, é o evento em que A não ocorre. 9

Exemplo: Lançamento de um dado = {1,, 3, 4,, 6} Eventos: A = {, 4, 6}, B = {4,, 6} e C = {1} sair uma face par e maior que 3 A B = {, 4, 6} {4,, 6} = {4, 6} sair uma face par e face 1 A C = {, 4, 6} {1} = sair uma face par ou maior que 3 A B = {, 4, 6} {4,, 6} = {, 4,, 6} sair uma face par ou face 1 A C = {, 4, 6} {1} = {1,, 4, 6} não sair face par A c = {1, 3, } 10

Probabilidade Medida da incerteza associada aos eventos / resultados do experimento aleatório Vamos atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral. Como? Várias abordagens possíveis: 1. Frequências relativas de ocorrências de cada resultado;. Suposições teóricas; 3. Experiência de especialista; 11

Atribuição da probabilidades: 1. Através das frequências relativas de ocorrências. O experimento aleatório é replicado várias vezes; Registra-se a frequência relativa com que o resultado em questão ocorre. Para um número grande de replicações, a frequência relativa de ocorrências do resultado aproxima a probabilidade de ocorrência daquele resultado. Exemplo: N lançamentos de um dado: Resultado 1 3 4 6 N Frequência 0,180 0.180 0.00 0.130 0.130 0.180 100 0.170 0.171 0.164 0.148 0.17 0.17 1000 0.163 0.166 0.174 0.16 0.170 0.166 10000 1

. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1) =... = P(face 6) = 1/6. 3. Através da experiência de um(a) especialista. Exemplo: Após exame clínico, o médico externa a probabilidade de que o paciente esteja com sinusite viral (em vez de bacteriana). 13

No caso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: O espaço amostral = {ω 1, ω,... } A probabilidade P(ω) para cada ponto amostral de tal forma que: 0 P ( i ) 1 e i 1 P( Neste caso, dado um evento A do experimento aleatório (lembre que A ), temos i ) 1. P ( A) P( ) j A j 14

Observação: Na situação de equiprobabilidade, isto é, quando as probabilidades de todos os resultados são iguais, temos: P ( A) nº. de elementos de A nº. de elementos de Ω Atenção: Sem equiprobabilidade, a expressão acima NÃO é válida. (Quem vai ganhar a próxima Copa do Mundo?) 1

Exemplo: A tabela a seguir apresenta a distribuição de alunos diplomados em 00, segundo nível de ensino e tipo de instituição, no município de São Paulo. Nível Pública Instituição Privada Total Fundamental 144.48 3.99 176.847 Médio 117.94 9.4 147.367 Superior.19 6.14 61.83 Total 67.6 117.84 38.497 Fonte: Min. Educação/INEP-Inst.Nacion. Estudos e Pesq. Educacionais; Fundação SEADE Um aluno diplomado em 00 do município de São Paulo é selecionado ao acaso. 16

: conjunto de 38.497 alunos diplomados em 00 no município de São Paulo. Definimos os eventos M: aluno se formou no ensino médio; F: aluno se formou no ensino fundamental; S: aluno se formou no ensino superior; G: aluno se formou em instituição pública. Temos P(M) P(S) 147.367 38.497 61.83 38.497 0,38 0,19 P(F) P(G) ir para a tabela 176.847 38.497 67.6 38.497 0,49 0,694 17

Qual é a probabilidade do aluno escolhido ter se formado no ensino médio e numa instituição pública? M G: aluno formado no ensino médio e em inst.pública P(M G) = 117.94 38.497 0,306 Qual é a probabilidade do aluno ter se formado no ensino médio ou numa instituição pública? M ir para a tabela G: aluno formado no ensino médio ou em inst. pública P(M G) = (147.367 + 67.6-117.94 ) / 38.497 97.074 = 0,771 38.497 19

Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de. Então, Casos particulares: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) = P(A) + P(B). Para qualquer evento A de, P(A) = 1 - P(A c ). 0

PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A B) e definida por P( A B) P( A B), P( B) 0 P( B) Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades P ( A B) P( B) P( A B).. e P ( A B) P( A) P( B A). 1

Qual é a probabilidade do aluno escolhido ser formado no ensino médio sabendo-se que é de instituição pública? Olhando diretamente a tabela, temos P(M G) = 117.94 67.6 0,441 Pela definição, P(M G) P(M G) P(G) 117.94 38.497 67.6 38.497 0,441 ir para a tabela

Exemplo: Em uma urna, há bolas: brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. A: ª. bola sorteada é branca C: 1ª. bola sorteada é branca P(A) =??? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades. 3

4 3 B V 4 4 V B 4 3 1 4 V B 1 Total V V VB BV BB Probabilidades Resultados 0 4 1 0 6 4 3 0 6 4 3 0 6 4 3 e 0 6 0 P(A) Temos. C A P 4 1 ) (

Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1 a. bola sorteada é reposta na urna antes da a. extração. Nesta situação, temos B Resultados BB Probabilidade 4 B 3 V 3 V B BV VB V V Total 3 3 3 3 1 6 6 9 3 V

Neste caso, P(A) = P(branca na ª.) = ou seja, o resultado na a. extração independe do que ocorre na 1 a. extração. 4 P(A C) = P( branca na ª. branca na 1ª.) = P( A) 6 P(A C c ) = P(branca na ª. vermelha na 1ª.) = e P( A) 6

Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, P(A B) = P(A), P(B) > 0. Temos a seguinte forma equivalente: P(A B) = P(A) P(B). 7

Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é /3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: Jonas é aprovado B: Madalena é aprovada P(A B) = P(A) x P(B) = 1/3 x /3 = /9 Qual foi a suposição feita? 8

Observação Segue da definição de independência que se dois eventos A e B são independentes, então são independentes também os pares de eventos A c e B, A e B c, A c e B c. (Verifique!) 9