CÁLCULO I Aula 26: Área de e Pressão Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará
1 Área de 2
Uma superfície de revolução é um superfície gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo que se situa no mesmo plano da curva. Por exemplo, a superfície de uma esfera pode ser gerada ao girar um semicírculo em torno de seu diâmetro e a superfície lateral de um cilindro pode ser gerada pela rotação de um segmento de reta em torno de um eixo paralelo a ele.
Suponha que f seja uma função contínua não negativa em [a, b] e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x.
Suponha que f seja uma função contínua não negativa em [a, b] e que uma superfície de revolução seja gerada pela rotação da parte da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x.
Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos, inserindo os pontos x 1, x 2,..., x n 1 entre a = x 0 e b = x n. Os pontos correspondentes do gráco de f denem um caminho poligonal que aproxima a curva y = f (x) acima do intervalo [a, b].
Quando esse caminho poligonal gira em torno do eixo x, gera uma superfície que consiste em n partes, cada uma delas sendo um tronco de cone circular reto.
Vamos tomar o k-ésimo tronco de cone com raios f (x k 1 ) e f (x k ) e altura x k.
Denição Se f for uma função contínua e não negativa em [a, b], então a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y = f (x) entre x = a e x = b em torno do eixo x é denida por: S = b a 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx.
Quando for conveniente, essa fórmula pode ser expressa como S = b a 2πf (x) 1 + [f (x)] 2 dx = b a 2πy 1 + ( ) 2 dy dx dx
Além disso, se g for não negativa e x = g(y) for uma curva contínua em [c, d], então a área da superfície gerada quando a parte da curva x = g(y) entre y = c e y = d gira em torno do eixo y, pode ser expresso como d S = 2πg(y) d ( ) 2 dx 1 + [g (y)] 2 dy = 2πx 1 + dy dy c c
Exemplo Encontre a área da superfície gerada pela rotação da parte da curva y = x 3 entre 0 e 1 em torno do eixo x.
Exemplo Encontre a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo y da parte da curva y = x 2 entre x = 1 e x = 2.
Exemplo A curva y = 4 x 2, com 1 x 1, é um arco do círculo x 2 + y 2 = 4. Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x.
Exemplo Determine a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo y, do gráco de y = x 2, de 0 a 1. 2
Exemplo Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, de f (x) = sen (x), de 0 a π.
Exemplo Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y = e x, com 0 x 1, em torno do eixo x.
Denição (Pressão) Se uma força de magnitude F for aplicada a uma superfície de área A, então denimos a pressão P exercida pela força sobre a superfície como sendo P = F A.
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído.
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad,
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim,
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad.
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto:
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto: F = mg = ρgad
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade d metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ad, assim, sua massa é m = ρv = ρad. A força exercida pelo uído na placa é, portanto: F = mg = ρgad em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim: P = F A = ρgd.
Um princípio importante da pressão de uídos é o fato vericado experimentalmente de que em qualquer ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Assim, a pressão em qualquer direção em uma profundidade d em um uido com densidade de massa ρ é dada por: P = ρgd = δd.
Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a x b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.
Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a x b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.
A ideia básica para resolver este problema é dividir a superfície em faixas horizontais, cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos. Essas aproximações de áreas, nos permitirão criar uma soma de Riemann que aproxime a pressão total na superfície. Tomando um limite das somas de Riemann, obteremos uma integral para F.
Denição Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido com densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b ao longo do eixo x cujo sentido positivo seja para baixo. Para a x b, suponha que w(x) seja a extensão da superfície e que h(x) seja a profundidade do ponto x. Denimos, então, a força do uido sobre a superfície por F = b a ρh(x)w(x) dx.
Exemplo Área de A face de um dique é um retângulo vertical com altura de 100 pés e extensão de 200 pés. Encontre a força total que o uido exerce sobre a face, quando a superfície da água está no nível do topo do dique. Considere ρ = 62, 4 lb/pé 3.
Exemplo Área de Uma placa com o formato de triângulo isósceles, com base de 10 pés e altura 4 pés, é imersa verticalmente em óleo de máquina, conforme mostra a gura a seguir. Encontre a força F que o uido exerce sobre a superfície da placa se a densidade do óleo for ρ = 30 lb/pé 3.