Métodos de Pesquisa Operacional I

Etraído de INTRODUÇÃO Á PESQUISA OPERACIONAL- Eduardo Leopoldino de Andrade LTC ( PLT 391) 1) Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard requer 2 horas de liação e 1 hora de polimento. Cada unidade do modelo Luo eige 2 horas de liação e 3 horas de polimento. A fábrica dispõe de 2 liadoras e 3 polidoras, cada qual trabalhando 40 horas semanais. As margens de lucro são $24 e $32, respectivamente, para cada unidade Standard e Luo. Não eistem restrições de demanda para ambos os modelos. Elabore um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maimiza a margem total de lucro do fabricante. 2) Um fazendeiro dispõe de 400 hectares cultiváveis com milho, trigo ou soja. Cada hectare de milho eige $200 para preparação do terreno, 10 homens-dia de trabalho e gera um lucro de $600. Um hectare de trigo implica custo de $240 para a preparação do terreno, 16 homens-dia de trabalho e dá um lucro de $700. Analogamente, um hectare de soja eige $140, 12 homens-dia e dá um lucro de $550. O fazendeiro dispõe de $80.000 para cobrir o custo de trabalho e 6.000 homens-dia de mão de obra. Elabore um modelo de programação linear de modo a calcular a alocação de terra para os vários tipos de cultura com o objetivo de maimizar o lucro total. 3) Uma companhia produz três tipos de fertilizantes, a partir da mistura de ingredientes á base de nitrato, fosfato e potássio e de um componente inerte, conforme mostra o Quadro I, que apresenta também preços de venda dos fertilizantes. QUADRO I Tipo de fertilizante % Peso nitrato % Peso fosfato % Peso potássio % Peso componentes inerte Preço de Mercado ($/t) A 5 10 5 80 800 B 5 10 10 75 960 C 10 10 10 70 1100 QUADRO II Ingrediente Disponibilidade (t) Custo ($/t) Nitrato 1.200 3.000 Fosfato 2.000 1.000 Potássio 1.400 1.800 Componente inerte Ilimitada 200 Dados sobre disponibilidade e custos dos ingredientes são apresentados no Quadro II. O custo de mistura, empacotamento e promoção de vendas é estimado em $300 por tonelada para quaisquer produtos. A companhia possui contrato de longo prazo para fornecimento mensal de 6.500 t de fertilizante A. Pede-se: Elabore o modelo de programação linear de modo a propor a programação da produção para o próimo mês, com o objetivo de maimizar o lucro. Resolva o problema utilizando o programa MS- Ecel. Página1

4) Uma seção de manutenção opera 24 horas por dia sem interrupção. A escala de plantão segue a demanda esperada de serviços, que varia de acordo com a parte do dia. Para permitir um melhor ajuste entre a demanda de serviços e o número de empregados de plantão, foi estabelecido que o turno de trabalho seria de 4 horas e que cada empregado cumpriria 2 turnos, totalizando a jornada de 8 horas consecutivas. Devido á imprevisibilidade da demanda de serviços, foi fiado um numero mínimo de empregados por turno, como mostra a tabela a seguir. Turno Hora do Dia Nº Mínimo de Emprego Por Turno 1 0 a 4 4 2 4 a 8 10 3 8 a 12 12 4 12 a 16 8 5 16 a 20 16 6 20 a 24 6 Deseja-se montar um modelo matemático do problema com a finalidade de calcular o número de empregados que devem começar a jornada de trabalho no início de cada turno, respeitando-se o número mínimo eigido e de modo a minimizar a equipe total do setor. 5) Uma pequena fábrica de laticínios recebe por dia 8.000 litros de leite que são utilizados na fabricação de queijos, doce de leite e ricota. A ricota é subproduto do queijo, já que é feito com o soro que sobra da fabricação deste. Cada 3 kg de queijo geram soro suficiente para fazer no máimo 1 kg de ricota. Para fazer 1 kg de queijo, o laticínio gasta 10 litros de leite. Para fazer 1 kg de doce gastam-se 6 litros de leite. Além dessas, outras duas restrições de mercado devem ser obedecidas: A quantidade de doce por dia não deve ultrapassar 200 kg. A quantidade de queijo deve ser no mínimo igual a três vezes a quantidade de doce. A fábrica dispõe de 12 empregados que trabalham 8 horas por dia. Em todo o processo, desde o recebimento do leite, a pasteurização, a produção, a embalagem, o armazenamento e o despacho, os produtos requerem a quantidade de mão-de-obra mostrada na tabela a seguir. A tabela apresenta também os lucros unitários de cada produto. Produto Lucro Unitário Quantidade de MÃO - DE- OBRA (minuto) Queijo $1,50/kg 3 Doce de leite $2,00/kg 2 Ricota $1,20/kg 1 Pede-se: Construa o modelo de programação linear para determinar o programa de produção diário que maimiza o lucro total. Resolva o problema utilizando o MS-Ecel Solver. 6) Dado o modelo de programação linear a seguir, responda ás questões resolvendo o modelo graficamente: Qual a solução ótima? Caso a função objetivo varie para Z = 6. 1 + 4. 2, quais as variações ótima? Página2

ma z = 3. 1 + 4. 2 3. 1 + 2. 2 12 S. A. { 4. 1 + 6. 2 24 7) Dado os seguinte modelo: ma z = 1 + 2 4. 1 + 2. 2 8 S. A. { 3. 1 + 5. 2 15 Ache a solução ótima pelo método gráfico. Caso o recurso 2 tenha um acréscimo em sua disponibilidade de 15 para 20 unidades, quais as variações na estrutura do modelo? c) Qual a nova solução ótima? 8) Resolva os seguintes modelos de programação linear pelo Método Simple: ma z = 9. 1 + 3. 2 2. 1 + 2 14 S. A. { 2. 1 + 3. 2 24 ma z = 5. 1 + 5. 2 8. 1 + 4. 2 32 S. A. { 1 + 2. 2 8 c) d) ma z = 16. 1 + 12. 2 2. 1 8 2. S. A. { 1 + 3. 2 12 2. 1 + 2 8 ma z = 3. 1 + 5. 2 + 3 2. 1 + 4. 2 + 3 16 6. S. A. { 1 + 2. 2 24 2 6 9) Resolva os seguintes problemas pelo método das duas fases: ma z = 2. 1 3. 2 + 5. 3 2. 1 2 + 3. 3 4 S. A. { 1 + 2. 2 6 3. 1 2 + 2. 3 7 Página3

S. A. ma z = 1 + 2 + 3 1 2 + 3 = 1 2. 1 + 2 2. 3 = 1 1 + 2 + 2. 3 = 4 4. 1 + 2 + 3 = 6 { 10) Resolva os seguintes problemas pelo Método Simple Revisado: ma z = 2. 1 + 2 2. 1 + 2 10 S. A. { 1 + 2 3 6 ma z = 2. 1 3. 2 + 5. 3 2. 1 2 + 3. 3 4 1 + 5. 2 + 3 = 16 S. A. 1 + 2. 2 6 2. 1 + 2 + 3 7 { c) ma z = 4. 1 + 3. 2 + 2. 3 6. 1 + 4. 2 + 5. 3 8 2. S. A. { 1 + 2 + 2. 3 2 4. 1 + 2. 2 + 3. 2 4 11) Uma empresa fabricante de móveis de copa trabalha com três modelos principais de conjuntos aos quais denomina MXA, MXB e MXC ( 1, 2 e 3, respectivamente), cuja produção semanal deseja programar. As margens unitárias de lucro dos modelos são respectivamente, $20, $8 e $3. Os três conjuntos utilizam as três principais seções da fábrica, que chamaremos Seção I Seção 2 e Seção 3, conforme os coeficientes unitários de utilização mostrados no modelo de programação linear abaio. As seções dispõem das seguintes capacidades semanais de trabalho, respectivamente 240 homens-horas (H-h), 320 H. h e 480 H. h. O modelo de programação linear utilizado pelo setor de planejamento da empresa para a programação da produção da próima semana é o seguinte: Achar 1, 2 e 3 de modo a ma lucro = 20. 1 + 8. 2 + 3. 3 4. 1 + 3 240 4. S. A. { 1 + 2. 2 + 2. 3 340 3. 1 + 4. 2 480 O quadro a seguir mostra os resultados do processo de solução do Método Simple. Pede-se: 1 2 3 y 1 y 2 y 3 B 1 0 1/4 1/4 0 0 60 0 1 1/2-1/2 1/2 0 40 0 0-1 1/4 1 1/4-2 1 140 lucro 0 0 6 1 4 0 1.520 Página4

Na solução ótima do problema identifique as utilidades marginais das três seções utilizadas no processo de produção da empresa. Caso a Seção 1 tenha sua disponibilidade alterada para 200 H. h, quais os novos valores das produções ótimas dos conjuntos MXA e MXB? c) Caso a empresa possa acrescentar mais 60 H. h a alguma seção qual deverá ser a seção escolhida? Por que? d) Na hipótese anterior, quais os novos valores das produções ótimas e quais as novas utilizações dos recursos? 12) O quadro a seguir indica uma resolução do processo de resolução de um problema linear. A partir dos dados fornecidos, responda ás seguintes questões: 1 2 3 y 1 y 2 B 1/2 1 3/2 5/2 0 9/2 2 0-1 -1 1 6 lucro - 1/2 0 3/2 3/2 0 27/2 Complete o quadro indicando as variáveis que estão na base. Escreva a solução que o quadro indica. A solução obtida nessa etapa é ótima? Etraído de Introdução a pesquisa operacional Hillier e Lieberman editora Mac Graw Hil 4.1-6 Descreva graficamente o que o método simple faz passo a passo para solucionar o problema a seguir. ma z = 2. 1 + 3. 2 3 1 + 2 1 4 1 + 2 2 20 S. A. 4 1 2 10 1 + 2 2 5 { 1 0 e 2 0 4.1-7 Descreva graficamente o que o método simple faz passo a passo para solucionar o problema a seguir. min z = 5 1 + 7 2 2 1 + 3 2 42 3 S. A. { 1 + 4 2 60 1 + 2 18 1 0 e 2 0 4.1-8 Classifique cada uma das afirmações a seguir como verdadeira ou falsa e depois justifique sua resposta. Para problemas de minimização, se a função objetivo avaliada em uma solução FPE for maior que seu valor em cada uma das soluções FPE adjacentes, então esta solução é ótima. Somente soluções FPE podem ser ótimas e, portanto, o números de soluções ótimas não pode eceder o número de soluções FPE. c) Se eistem múltiplas soluções ótimas, então uma solução ótima pode ter uma solução FPE adjacente que também é ótima(o mesmo valor de z). 4.1-9 As afirmações a seguir fornecem paráfrases dos seis conceitos de solução. Em cada caso, eplique o que há de errado na afirmação. A melhor solução FPE sempre é uma solução ótima. Página5

Uma iteração do método simple verifica se a solução FPE atual é ótima ou não e, caso não seja, desloque-se para uma nova solução FPE. c) Embora qualquer solução FPE inicial, o método simple sempre escolhe a origem. d) Quando o método simple estiver pronto para escolher uma nova solução FPE a atingir partindo da solução FPE atual, ele considera apenas soluções FPE adjacentes, pois uma delas provavelmente é uma solução ótima. e) Para escolher a nova solução FPE a atingir partindo da solução FPE atual, o método simple identifica todas as soluções FPE adjacentes e determina qual delas resulta na maior taa de aumento no valor da função objetivo. 4.2- considere ma z = 1 + 2 2 1 + 3 2 8 S. A. { 1 + 2 4 1 0 e 2 0 Introduza variáveis de folga de modo a escrever as restrições funcionais na forma aumentada. Para cada solução FPE identifique a solução BV correspondente calculando os valores das variáveis de folga. Para cada solução BV adjacente, use os valores das variáveis para identificar as variáveis não-básicas e as variáveis básicas. c) Para cada solução BV demonstre (agregando a solução) que, após as variáveis não-básicas serem configuradas em zero, esta solução BV também é a solução simultânea do sistema de equações obtido no item ( Repita o item ( para as soluções inviáveis em pontos etremos e as soluções básicas inviáveis correspondentes. Repita o item c para as soluções básicas inviáveis. d) trabalhe com o método simple ( em forma algébric manualmente para solucionar este modelo. 4.3-4 Pelo método simple (na forma algébric, passo a passo, solucione o problema a seguir. Ma Z= 1 + 2 2 + 4 3 Sujeito 3 1 + 2 + 5 3 10 1 + 4 2 + 3 8 2 1 + 2 3 7 4.3-5 Considere o seguinte problema. Ma Z= 5 1 + 3 2 + 4 3 Sujeito 2 1 + 2 + 2 3 20 3 1 + 2 + 2 3 30 e 1 0, 2 0, 3 0 É fornecida a informação a seguir: as variáveis não-zero na solução ótima são 1 e 2. Descreva como você poderia usar esta informação para adaptar o método simple para resolução desre problema no menor número de iterações possível (quando se parte as solução BV inicial usual). Na verdade, não eecute nenhuma iteração. Página6

Use o procedimento desenvolvido no item ( para solucionar este problema manualmente. 4.3-6 Classifique cada uma das seguintes afirmações como verdadeira ou falsa e, a seguir justifique sua resposta referindo-se a afirmações específicas. A regra do método simple para a escolha da variável básica que entra é usada porque ela sempre nos leva á melhor solução BV adjacente (maior Z). A regra da razão mínima do método simple para escolha da variável básica que sai é usada porque fazendo-se uma outra escolha com uma razão maior nos levaria a uma solução básica que não é viável. c) Quando o método simple tenta chegar á solução BV seguinte, são usadas operações algébricas elementares para eliminar cada variável não-basica de todas eceto uma equação (a sua própria equação) e para lhe atribuir um coeficiente +1 nesta mesma equação. Etraído de OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEAR MARCO CESAR GOLDBARG E HENRIQUE PACCA LUNA 1) Solucione pelo método simple e graficamente os seguintes problemas de programação linear ma z = 4. 1 + 7. 2 1 6 S. A. { 2 8 4. 1 2. 2 10 1 0 e 2 0 min z = 2. 1 3. 2 1 8 S. A. { 2 4 2. 1 + 2 5 1 0 e 2 0 2) Uma empresa produz dois tipos de bolsas de plástico ( B 1, B 2 ) cujos mercados absorvem respectivamente 80 e 60 unidades diárias. O processo de produção consome dois tipos de matéria-prima: Folhas de plásticos e fechos. Cada unidades de B 1 consome duas folhas de plástico e quatro fechos. Cada unidade de B 2 consome três folhas de plástico e três fechos. São disponíveis diariamente 200 folhas de plástico e 240 fechos. Os lucros unitários pelas vendas dos produtos são, respectivamente, R$ 20 e R$ 25. Qual deve ser o esquema de produção que conduza ao maior lucro possível? 3) Solucione pelo método simple os seguintes problemas de programação linear: ma z = 2. 1 + 5. 2 + 3 2. 1 + 5. 2 6 S. A. { 2 3 4 4. 1 + 2. 2 + 3 15 min z = 1 3. 2 5 3 4 1 + 2 8 S. A. { 2 + 3 8 1 + 2 + 3 + 4 4 1, 2, 3 e 4 0 Página7

4) Sabendo-se que a figura a seguir representa graficamente a região das soluções viáveis de um PPL e que a sequencia de pontos etremos indicada mostra a trajetória de seleção do algoritmo simple utilizado (B é o ponto ótimo), pede-se: Representar as bases associadas aos pontos etremos visitados pelas iterações. Representar matricialmente a solução associada ao ponto F ( ponto interno). c) Como poderíamos transformar a solução associada ao ponto F em uma solução básica viável? 5) Dada a tabela 1 2 3 4 5 6 z -40 b d 0 0 f 0 2 4 c 1 0 e 2 g 4-1 -5 0 1-1 1 0 6 a 2 0 0 0 3 1 Determine os parâmetros livres no quadro de modo que: O quadro seja ótimo e conduza a uma solução única. A solução do quadro seja ótima, mas eiste pelo menos uma outra solução ótima. c) A solução seja inviável. d) A solução seja viável mais ilimitada. e) O quadro represente uma solução viável que pode ser melhorada pela entrada de 1 na base e a saída de 6. 6) Uma companhia deve produzir 500 ferramentas para um de seus clientes em um certo espaço de tempo. Ela duas maquinas que podem produzir as ferramentas segundo a distribuição de custos constantes da tabela abaio: Tabela custos e limites de produção Página8

Maquina Métodos de Pesquisa Operacional I Custo unitário de produção (US$) Custo montagem maq (US$) de das 1 1,12 60 300 2 1,23 50 270 Limite de produção no tempo disponível Solucione o problema de reforma a minimizar o custo da produção. Seria possível solucionar esse problema com o uso do simple? Justifique a resposta. Página9