Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.1 4 - MATRIZ DE RIGIDEZ NO REFERENCIA OCA 4.1 - Introdução Na figura 4.1 representa-se uma arra com um nó i na sua extremidade esquerda e um nó na sua extremidade direita. Considere-se que se trata de uma arra de um pórtico idimensiona contínuo. O procedimento que se descreverá é, contudo, extensivo a arras de quaquer tipo de estrutura reticuada. A arra de pórtico idimensiona contínuo tem três graus de ierdade por nó, que por exempo, no nó i são constituídos por um desocamento segundo o eixo oca 1, u 1, um desocamento segundo o eixo oca, u, e uma rotação segundo o eixo oca, u. Para apicar ou restringir estes desocamentos apica-se uma força segundo o eixo oca 1, 1, uma força segundo o eixo oca,, e um momento segundo o eixo,,. O mesmo se passa para a extremidade em que actua desocamentos u 4 e u 5 segundo 1 e, respectivamente, e uma rotação u 6 segundo. No que se refere a forças generaizadas, nesta extremidade actua forças 4 e 5 segundo 1 e, respectivamente, e o momento 6 segundo. Cada couna da matriz de rigidez, no seu referencia oca, é otida iertando um dos graus de ierdade da arra, impondo um desocamento generaizado de vaor unitário a esse grau de ierdade, mantendo-se fixos os restantes graus de ierdade e otendo as forças necessárias, quer para produzir o desocamento generaizado unitário, quer para impedir os desocamentos generaizados dos restantes graus de ierdade. Essas forças constituem a couna da matriz de rigidez correspondente à ordem do grau de ierdade ierto. Assim, se o grau de ierdade número i for iertado determinar-se-á, segundo este procedimento, a couna com a variar de 1 a 6, dado existirem 6 graus de ierdade no caso da arra em anáise. Cada coeficiente representa a força necessária apicada segundo o grau de ierdade de ordem devido à apicação de um desocamento generaizado unitário segundo o grau de ierdade de ordem i, mantendo fixos os restantes graus de ierdade. Na figura 4.1a apresenta-se a arra genérica com as extremidades ocadas, isto é, com os seus graus de ierdade fixos (u i c/ i 1,..6) e representa-se as forças nodais equivaentes as acções que actuam nessa arra (cargas apicadas A, cargas distriuídas a e variação de temperatura t. Assim, se a arra for soicitada por acções que he induzem esforços, como seam por exempo, cargas pontuais no seu interior (ver figura 4.a), forças distriuídas no seu interior (ver figura 4.) e variação de temperatura (ver figura 4.c), então as forças i c/ i 1,..6 representarão as forças segundo os graus de ierdade u i c/ i 1,..6 equivaentes a essas acções na arra. Essas forças otêm-se por intermédio da determinação das reacções de encastramento devidas às acções que soicitam a arra e invertendo o sina dessas forças de reacção, por forma a oter-se as forças de acção equivaentes às soicitações que actuam ao ongo da arra.
Método dos desocamentos formuado matriciamente 4. u u u 5 u 6 1 u 1 i 4 u 4 1 5 (a) 6 u 1 11 41 u u 1 51 1 61 () 1 4 5 6 (c) 1 4 u 4 5 14 (d) 6 44 4 54 4 (e) 64 u 5 15 45 5 55 5 (f) 65 u 6 16 46 6 56 6 (g) 66 Figura 4.1 - Procedimento esquemático de determinação da matriz de rigidez.
Método dos desocamentos formuado matriciamente 4. a A 1 1 A A 1 1 4 4 i i 1 5 5 (a) 6 () 6 1 t i t 5 (c) 4 6 1 Figura 4. - Forças nodais equivaentes a acções ao ongo da arra. Nas figuras 4.1 a 4.1g representa-se, esquematicamente a determinação das counas 1 a 6 da matriz de rigidez da arra, respectivamente. No procedimento representado nesta figura utzou-se o princípio de soreposição dos efeitos. Fazendo o equiírio de forças segundo a direcção dos graus de ierdade u i c/ i 1,..6 otém-se (ver figura 4.1): u u u u u u 1 11 1 1 1 14 4 15 5 16 6 u u u u u u 1 1 4 4 5 5 6 6 u u u u u u 1 1 4 4 5 5 6 6 u u u u u u 4 41 1 4 4 44 4 45 5 46 6 u u u u u u 5 51 1 5 5 54 4 55 5 56 6 u u u u u u 6 61 1 6 6 64 4 65 5 66 6 (4.1) ou 1 4 5 6 11 1 1 14 15 16 1 4 5 6 1 4 5 6 41 4 4 44 45 46 51 5 5 54 55 56 61 6 6 64 65 66 u1 u u u4 u 5 u6 (4.) ou ainda U (4.)
Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.4 em que são as forças generaizadas nodais equivaentes no referencia oca da arra, é a matriz de rigidez da arra no seu referencia oca e U incui os desocamentos generaizados no referencia oca da arra. A reação (4.) pode ainda ser rescrita da seguinte forma: i i U U i (4.4) em que os índices i e referem grandezas associadas ao nó i e ao nó da arra. Assim, é uma matriz de dimensão x (no caso de arra de pórtico pano), representando as forças generaizadas que se apicam segundo os graus de ierdade do nó i, devidoa à imposição de desocamentos generaizados unitários segundo os graus de ierdade do nó i. Por sua vez i é uma matriz x representando as forças generaizadas que se apicam segundo os graus de ierdade do nó i, devidas à imposição de desocamentos generaizados unitários segundo os graus de ierdade do nó. Resutado do teorema da reciprocidade das forças sae-se que T, peo que a matriz é simétrica. i Nas secções seguintes descreve-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de arras de diversos tipos da estruturas reticuadas. 4. - Barra de estrutura articuada idimensiona Na Figura 4. apresenta-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de uma arra de estrutura articuada idimensiona no referencia oca da arra. Dos resutados otidos na figura 4. verifica-se que as sumatrizes, apresentam a constituição seguinte e T i (4.5) T i (4.6)
Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.5 u u 4 u1 u 1 i 11 u1 1 11 1 1 41 1 41 u 1 1 4 4 1 u 1 4 4 14 u4 4 14 4 4 44 4 44 Figura 4. - Procedimento esquemático de otenção da matriz de rigidez da arra de estrutura articuada idimensiona no referencia oca de eixos da arra. 4. - Barra de estrutura reticuada contínua idimensiona Na Figura 4.4 apresenta-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de uma arra de estrutura reticuada contínua idimensiona no referencia oca da arra.
Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.6 u u u 5 u 6 u 1 i u 4 1 11 u1 1 51 1 41 61 11 1 1 41 51 61 u 1 5 4 6 1 1EI 4 1EI 5 6 1 u 5 4 6 1 4EI 4 5 EI 6 14 4 54 4 u4 64 44 14 4 4 44 54 64 15 5 55 5 u5 45 65 15 1EI 5 5 45 1EI 55 65 16 6 u6 56 6 46 66 16 6 EI 6 46 56 4EI 66 Figura 4.4 - Procedimento esquemático de otenção da matriz de rigidez da arra de estrutura reticuada contínua idimensiona no referencia oca de eixos da arra. Dos resutados otidos na Figura 4.4 verifica-se que as sumatrizes, apresentam a forma seguinte e T i
Método dos desocamentos formuado matriciamente 4.7 1EI 4EI i 1EI EI T 1EI 4EI (4.7) (4.8) (4.9) 4.4 - Barra de greha Na Figura 4.5 apresenta-se os procedimentos necessários à otenção da matriz de rigidez de uma arra de greha no referencia oca da arra. Dos resutados otidos na figura 4.5 T verifica-se que as sumatrizes, e i apresentam a constituição seguinte 1EI GI 1 4EI (4.1)