Processos de Poisson

Processos de Poisson Mauro C. M. Campos 1 SUMÁRIO I Alguns fatos sobre a distribuição exponencial 1 II Alguns fatos sobre a distribuição de Poisson 2 III Processos estocásticos em tempo contínuo 2 IV Processos de Poisson I: construção e propriedades fundamentais 3 V Processos de Poisson II: uma classe particular de processos de contagem 3 VI Processos de Poisson III: teoremas limite 5 VII Processos de Poisson IV: falta de memória do passado 6 VIII Processos de Poisson V: superposição e decomposição 6 IX Exercícios 6 X Índice de notações 7 Referências 8 OBS.: Notas de aula. Em 6 de junho de 2010. I. ALGUNS FATOS SOBRE A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Definição 1. τ Exp(), > 0, se sua função densidade de probabilidade é A função de distribuição acumulada e a função de sobrevivência são dadas por e A média e a variância de τ são dadas por E(τ) = 1 Finalmente, a função geradora de momentos é dada por para todo u <. f τ (t) = e t I (0, ) (t). (1) F τ (t) = Pr(τ t) = 1 e t I (0, ) (t) (2) S τ (t) = Pr(τ > t) = 1 F τ (t) = e t I (0, ) (t). (3) M τ (u) = E(e uτ ) = Var(τ) = 1 2. (4) u Teorema 1. Se τ Exp(), então Pr(τ > s + t τ > s) = Pr(τ > t) = e t para todo s, t 0. idd Teorema 2. Sejam τ 1,..., τ k Exp(). Então k T k := τ i Gama(t k ; k, ) = e tk (t k) n 1 (n 1)! I (0, )(t k ). (6) i=1 Departamento de Estatística, Universidade Federal do Espírito Santo UFES. Av. Fernando Ferrari 514, Goiabeiras, CEP 29075-910, Vitória ES. (5)

2 II. ALGUNS FATOS SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Definição 2. N Po(), > 0, se sua função de probabilidade é A média e a variância de N são dadas por A função geradora de momentos é dada por para todo u real. f N (k) = e k k! I {0,1,2,...}(k). (7) E(N) = Var(N) =. (8) M N (u) = E(e un ) = e (eu 1) Teorema 3. Se N Po() e M Po(ν) são va.a s independentes, então N + M Po( + ν). (9) III. PROCESSOS ESTOCÁSTICOS EM TEMPO CONTÍNUO Definição 3 (Processo estocástico em tempo contínuo). Seja ϕ um conjunto. Um processo estocástico em tempo contínuo é uma família (X t ) t 0 de variáveis aleatórias (va.a s) tal que X t assume valores em ϕ para todo t 0. O conjunto ϕ é chamado de espaço de estados e cada um de seus elementos é chamado de estado. Comentário 1. Probabilidades que ocorrem na teoria de processos estocásticos em tempo contínuo dependem das probabilidades P (x 0, x 1,..., x n ) = Pr(X t0 = x 0, X t1 = x 1,..., X tn = x n ) (10) para quaisquer 0 t 0 t 1 t n e x 0, x 1,..., x n ϕ. É possível calcular (10) conhecendo: a distribuição de X t0, P (x 0 ) = Pr(X t0 = x 0 ) e as probabilidades de transição, P (x 1 x 0 ) = Pr(X t1 = x 1 X t0 = x 0 ) P (x 2 x 0, x 1 ) = Pr(X t2 = x 2 X t0 = x 0, X t1 = x 1 ). P (x n x 0,..., x n 1 ) = Pr(X tn = x n X t0 = x 0,..., X tn 1 = x n 1 ). Isso porque P (x 0, x 1,..., x n ) = P (x 0 )P (x 1 x 0 )P (x 2 x 0, x 1 )... P (x n x 0,..., x n 1 ). (11) Definição 4 (Média, variância e correlação). Descrevemos o valor médio, a variabilidade e a estrutura de correlação de um processo estocástico em tempo contínuo através das seguintes funções: 1) A função média do processo é definida por 2) A função variância do processo é definida por 3) A função de autocovariância do processo é definida por 4) A função de autocorrelação do processo é definida por ϱ s,t := γ s,t σ 2 s σt 2 Comentário 2. Observe que: σ 2 t = γ t,t para todo t γ s,t = γ t,s para todo par s, t ϱ s,t = ϱ t,s para todo par s, t. µ t := E(X t ) t 0. (12) σ 2 t := Var(X t ) = E(X 2 t ) µ 2 t t 0. (13) γ s,t := Cov(X s, X t ) = E(X s X t ) µ s µ t s, t 0. (14) s, t 0. (15) Comentário 3. Nesse texto vamos estudar uma classe particular de processos estocásticos em tempo contínuo, chamados de processos de Poisson. A próxima subseção apresenta a construção do processo de Poisson e suas propriedades fundamentais, a partir de uma sequência de va.a s independentes e exponencialmente distribuídas com parâmetro > 0.

3 IV. PROCESSOS DE POISSON I: CONSTRUÇÃO E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS Definição 5 (Construção do processo de Poisson). Considere uma sequência de eventos (de um certo tipo) ocorrendo aleatoriamente ao longo do tempo a partir de um instante inicial t = 0 e sejam τ 1, τ 2,... tais que τ 1 é o tempo inicial até a ocorrência do primeiro evento, e para i 2, τ i é o tempo entre a ocorrência do (i 1)-ésimo evento até a ocorrência do i-ésimo evento. Assuma que τ 1, τ 2, τ 3,... são va.a. s independentes e exponencialmente distribuídas com parâmetro > 0. Para t 0, N t representa o número de eventos ocorridos no intervalo [0, t], ou seja, N t := max{k 0 : T k t}, (16) onde T 0 = 0, e para k 1, T k := k i=1 τ i representa o tempo de espera até a ocorrência do k-ésimo evento. O processo (N t ) t 0 é chamado de processo de Poisson com taxa. Esse é um processo estocástico de contagem em tempo contínuo com espaço de estados N := {0, 1, 2,...}. Teorema 4 (Propriedades fundamentais do processo de Poisson). Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Então: 1) T k Gama(k, ) para todo k 1 2) E(T k ) = k/ para todo k 1 3) Var(T k ) = k/ 2 para todo k 1 4) N t Po(t) para todo t 0. Em particular N 0 = 0 com probabilidade 1 5) µ t = E(N t ) = t para todo t 0 6) σ 2 t = Var(N t ) = t para todo t 0 7) γ s,t = min{s, t} para todo s, t 0 8) N t1, N t2 N t1,..., N tm N tm 1 são va.a s independentes para quaisquer 0 t 1 t 2 t m. Além disso, N ti N ti 1 d = Nti t i 1 para i = 1,..., m (assuma que t 0 = 0) 9) (N t ) t 0 é Markoviano, ou seja, Pr(N s+t = j N t0 = i 0,..., N tm 1 = i m 1, N s = i) = Pr(N s+t N s = j i N t0,..., N tn 1, N s = i) (17) para quaisquer 0 t 0 t 1 t m 1 s t e i 0, i 1,..., i m 1, i, j N. = Pr(N s+t N s = j i N s = i) (18) = Pr(N s+t N s = j i) (19) = Pr(N t = j i) (20) Comentário 4. N t N s representa o número de eventos ocorridos no intervalo (s, t] sempre que 0 s < t. N t N s é chamado de incremento do processo de Poisson no intervalo (s, t]. Um processo estocástico de contagem possui incrementos independentes se o número de eventos ocorridos em intervalos disjuntos são independentes. Um processo estocástico de contagem possui incrementos estacionários se a distribuição de probabilidade do número de eventos ocorridos em um intervalo, só depende do comprimento do intervalo. O item 8) do teorema 4 garante que os incrementos do processo de Poisson são independentes e estacionários. Podemos representar o processo de Poisson através do seguinte grafo: 0 1 2 3 ϕ = N V. PROCESSOS DE POISSON II: UMA CLASSE PARTICULAR DE PROCESSOS DE CONTAGEM Definição 6 (Processo de contagem em tempo contínuo). Considere uma sequência de eventos (de um certo tipo) ocorrendo aleatoriamente ao longo do tempo a partir de um instante inicial t = 0. Um processo estocástico em tempo contínuo (N t ) t 0 com espaço de estados ϕ é um processo de contagem (em tempo contínuo) em ϕ se 1) N t representa o número de eventos ocorridos no intervalo [0, t] 2) N t ϕ = {0, 1, 2,...} =: N para todo t 0 3) N s N t sempre que 0 s < t 4) N t N s representa o número de eventos ocorridos no intervalo (s, t] sempre que 0 s < t. N t N s é chamado de incremento do processo de contagem no intervalo (s, t]. Dizemos que: (Incrementos independentes) (N t ) t 0 possui incrementos independentes se o número de eventos ocorridos em intervalos disjuntos são independentes. Formalmente, (N t ) t 0 possui incrementos independentes se são va.a s independentes para quaisquer 0 t 1 t 2, t n. N t2 N t1,..., N tm N tm 1 (21)

4 (Incrementos estacionários) (N t ) t 0 possui incrementos estacionários se a distribuição de probabilidade do número de eventos ocorridos em um intervalo, só depende do comprimento do intervalo. Formalmente, (N t ) t 0 possui incrementos estacionários se N s+t N s d = Nt (22) para quaisquer s, t 0. Definição 7 (Processo de Poisson com taxa ). Um processo de contagem em tempo contínuo (N t ) t 0 em N é um processo de Poisson com taxa > 0, se 1) N 0 = 0 2) (N t ) t 0 possui incrementos independentes 3) (N t ) t 0 possui incrementos estacionários onde para quaisquer s, t 0. N t d = Ns+t N s Po(t) (23) Definição 8 (Processo de Poisson com taxa ). Um processo de contagem em tempo contínuo (N t ) t 0 em N é um processo de Poisson com taxa > 0, se 1) N 0 = 0 2) (N t ) t 0 possui incrementos independentes 3) (N t ) t 0 possui incrementos estacionários onde Pr(N h = k) = Pr(N s+h N s = k) = Pr(N s+h = i + k N s = i) = Comentário 5. Uma função f é o(h) na vizinhança do zero se 1 h + o(h) se k = 0 h + o(h) se k = 1 o(h) se k 2 0 se k < 0. (24) f(h) h 0 (25) quando h 0. Por exemplo, f(t) = t 2 é o(h) na vizinhança do zero, pois h 2 /h = h 0 quando h 0. Teorema 5. As definições 7 e 8 são equivalentes. PROVA. Vamos mostrar que a definição 8 implica na definição 7. A implicação contrária fica como exercício. De fato, para k 0 segue que Pr(N t+h = k) = Pr(N t = i) Pr(N t+h = k N t = i) (26) = = = i=0 Pr(N t = i) Pr(N t+h N t = k i N t = i) (27) i=0 Pr(N t = i) Pr(N t+h N t = k i) (28) i=0 Pr(N t = i) Pr(N h = k i). (29) Considerando a notação p k (t) := Pr(N t = k) para k = 0, 1, 2,..., segue que { p0 (t + h) = (1 h)p 0 (t) + o(h) para k = 0 p k (t + h) = (1 h)p k (t) + hp k 1 (t) + o(h) para k 1. i=0 Observando que para k 0 p k (t + h) p k (t) dp k(t) =: p h dt k(t) (31) quando h 0, chegamos então ao seguinte sistema de equações diferenciais { p 0 (t) = p 0 (t) para k = 0 p k (t) = p (32) k(t) + p k 1 (t) para k 1, (30)

5 sujeito às condições iniciais p k (0) = δ 0k, k 0. A solução desse problema de valor inicial é dada por para k = 0, 1, 2,.... Portanto N t Po(t) p k (t) = e t (t)k k! Corolário 1. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Então µ t = E(N t ) = t e σt 2 = Var(N t ) = t para todo t 0. Definição 9. Sejam T 0, T 1, T 2,... tais que T 0 = 0, e para k 1, T k := min{t > 0 : N(t) = k} =: O tempo de espera até a ocorrência do k-ésimo evento. (34) Além disso, defina τ i := T i T i 1 para i 1 e observe que T k = k i=1 τ i. Observe também que τ 1 é o tempo inicial até a ocorrência do primeiro evento, e para i 2, τ i é o tempo a partir de T i 1 até a ocorrência do i-ésimo evento. Teorema 6. τ 1 = T 1, τ 2 = T 2 T 1, τ 3 = T 3 T 2,... iid Exp(). Além disso, E(τ i ) = 1/ e Var(τ i ) = 1/ 2 para todo i 1. PROVA. Temos que Assim τ 1 Exp(). Agora observe que Pr(τ 1 > t) = Pr(Nenhum evento em [0, t]) = Pr(N t = 0) = e t. (35) Pr(τ 2 > t τ 1 = u 1 ) = Pr(Nenhum evento em (u 1, u 1 + t]) = Pr(N t = 0) = e t. (36) Assim τ 2 é independente de τ 1, e possui a mesma distribuição. Repetindo o argumento, a prova segue por indução em n: Pr(τ n+1 > t τ 1 = u 1,..., τ n = u n ) = Pr(Nenhum evento em ( n i=1 u i, n i=1 u i + t]) = Pr(N t = 0) = e t. (37) Portanto τ 1, τ 2,... são va.a s iid com distribuição comum Exp() Corolário 2. T k = k i=1 τ i Gama(k, ) para todo k 1. Além disso, E(T k ) = k/ e Var(T k ) = k/ 2 para todo k 1. Comentário 6. O resultado do teorema 6 faz a ligação entre o desenvolvimento construtivo dos processos de Poisson (apresentado na seção IV) e o desenvolvimento apresentado nessa seção (seção V). O desenvolvimento realizado até esse momento, permite afirmar o seguinte teorema. Teorema 7. Um processo de contagem em tempo contínuo (N t ) t 0 em N é um processo de Poisson com taxa > 0 se, e somente se, τ 1, τ 2,... são va.a. s independentes e exponencialmente distribuídas com parâmetro. Teorema 8. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Dado N t = k, os k tempos de espera T 1,..., T k, são va.a. s independentes e uniformemente distribuídas no intervalo [0, t]. Isso significa que a densidade conjunta de T 1,..., T k dado N t = k é igual à densidade conjunta das estatísticas de ordem correspondentes k va.a. s independentes e uniformemente distribuídas no intervalo [0, t]. Ou seja, f(t 1,..., t k k) = k! t k, (38) para 0 < t 1 <... < t k < t. VI. PROCESSOS DE POISSON III: TEOREMAS LIMITE Teorema 9 (Lei dos grandes números). Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Então quando t. N t t (33) q.c. (39) Teorema 10 (Teorema central do limite). Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Então N t t t D N(0, 1) (40) quando t. Isso significa que quando t é suficientemente grande. N t a N(t, t) (41)

6 VII. PROCESSOS DE POISSON IV: FALTA DE MEMÓRIA DO PASSADO Definição 10 (Tempo de parada). Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa e seja T uma va.a. tal que T [0, + ]. Dizemos que T é um tempo de parada em relação ao processo (N t ) t 0, se para todo t 0 é possível determinar se o evento [T t] ocorreu ou não, conhecendo apenas a história do processo até o tempo t, denotada aqui por (N u : 0 u t). Teorema 11. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Então para todo t 0 e qualquer tempo de parada T temos que Pr(N T +t N T = k N u ; u T ) = e t (t)k (42) k! para k = 0, 1, 2,.... Isso significa que: N T +t N T [N u ; u T ] d = N t Po(t) E(N T +t N T N u ; u T ) = E(N t ) = t e Var(N T +t N T N u ; u T ) = Var(N t ) = t. Em particular, os resultados valem se T = T n para algum n 1 ou se T é uma variável degenerada em algum s positivo. Corolário 3. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Então para todo n 0 temos que Pr(τ n+1 > t τ 0,..., τ n ) = Pr(T n+1 T n > t T 0,..., T n ) = e t (43) para todo t 0. Observe que esse resultado segue imediatamente do teorema 11 quando T = T n e k = 0. VIII. PROCESSOS DE POISSON V: SUPERPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO Teorema 12 (Superposição de processos de Poisson). Sejam (L t ) t 0 e (M t ) t 0 processos de Poisson independentes um do outro e com taxas e ν respectivamente. O processo (N t ) t 0, onde N t = L t + M t, é chamado de superposição dos processos (L t ) t 0 e (M t ) t 0. (N t ) t 0 é um processo de Poisson com taxa + ν. Teorema 13 (Decomposição de processos de Poisson). Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Suponha que cada vez que um evento de interesse ocorre no tempo, ele é classificado como sendo do tipo I ou do tipo II com probabilidades p e 1 p respectivamente, 0 < p < 1. (Nt I ) t 0 representa o número de eventos do tipo I no intervalo [0, t] e (Nt II ) t 0 representa o número de eventos do tipo II no intervalo [0, t]. Note que N t = Nt I + Nt II. (Nt I ) t 0 e (Nt II ) t 0 são processos de Poisson independentes um do outro e com taxas p e (1 p) respectivamente. IX. EXERCÍCIOS Exercício 1. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa = 15. Calcule: Pr(N 6 = 9) Pr(N 6 = 9, N 20 = 13, N 56 = 27) Pr(N 20 = 13 N 6 = 9) Pr(N 6 = 9 N 20 = 13) Exercício 2. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa = 2. Calcule: µ t = E(N t ) para t 0 σ 2 t = Var(N t ) para t 0 γ s,t = Cov(N s, N t ) para s, t 0 E(N s+t N s ) para s, t 0 Exercício 3. Em certa rodovia, a intensidade média do fluxo de tráfego é de 30 carros por minuto. Assuma que a contagem de carros (registrada por um medidor) segue o processo de Poisson. Calcule: a probabilidade de que 2 ou mais carros sejam registrados durante um intervalo de dois segundos. a probabilidade de passar mais de um minuto, a partir de um instante inicial, até registrar o primeiro carro. Exercício 4. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Mostre que para todo s, t 0. γ s,t = Cov(N s, N t ) = min{s, t}, Exercício 5. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa. Mostre que 1 h + o(h) se k = 0 h + o(h) se k = 1 Pr(N h = k) = Pr(N s+h N s = k) = Pr(N s+h = i + k N s = i) = o(h) se k 2 0 se k < 0.

7 Esse exercício completa a prova do teorema 5. Exercício 6. Uma loja possui duas entradas, uma pela rua A e outra pela rua B. Os fluxos de consumidores que chegam na loja a partir dessas duas entradas são processos de Poisson independentes com taxas de 1/2 consumidor por minuto e de 3/2 consumidores por minuto respectivamente. Qual é a probabilidade que um novo consumidor entre na loja durante um intervalo fixado de 3 minutos? Qual é o tempo médio entre chegadas de novos consumidores? Qual é a probabilidade que um dado consumidor entre pela rua A? Exercício 7. O fluxo de consumidores numa loja é descrito por um processo de Poisson com taxa de 25 consumidores por hora. Sabe-se que a proporção de consumidores do sexo feminino é de 80%. Qual é a probabilidade que nenhum consumidor homem entre nessa loja durante um intervalo de 15 minutos? Exercício 8. Consider the road network pictured in Figure. The inputs are Poisson processes with the rates indicated, and the probabilities of a vehicle choosing the indicated directions are written on the arrows. Describe the traffic flow on each branch of the network. 1=30 0,3 0,7 2=60 0,6 1,0 0,4 0,5 0,5 0,2 0,8 1,0 Exercício 9. Considere que o tráfego numa rodovia é conhecido. O número de veículos passando num sentido segue o processo de Poisson com taxa de 60 veículos por hora, sendo que 20% desses veículos são caminhões. O número de veículos passando no sentido contrário segue o processo de Poisson com taxa de 80 veículos por hora, sendo que 30% desses veículos são caminhões. Em geral, 10% de todos os veículos páram num restaurante que fica ao lado da rodovia. Assuma que o número de pessoas num caminhão é 1 e o número de pessoas num carro varia de 1 até 5 com as seguintes probabilidades 3/10, 3/10, 2/10, 1/10 e 1/10. Encontre o valor esperado do número de pessoas que chegam no restaurante num período de 1 hora. Exercício 10. Considerando as devidas adaptações na notação, resolva os exercícios 3, 4, 5, 6, 7 e 8 do capítulo 3 do livro-texto do curso [1]. Exercício 11. Seja (N t ) t 0 um processo de Poisson com taxa e seja B uma subconjunto de R + := [0, ). Nesse exercício, N B representa o número de eventos ocorridos no conjunto B. Por exemplo, se B = [0, t], então N B = N t ; se B = (s, s + t], então N B = N s+t N s ; se B = (s, t] (u, v], então N B = N t N s + N v N u. A 1,..., A n formam uma partição de B, tal que B = i A i e representa o comprimento de um subconjunto qualquer de R +. Mostre que Pr(N A1 = k 1,..., N An = k n N B = k) = para quaisquer k 1,..., k n N onde k = i k i. 3=30 k! k 1! k n! ( A1 B ) k1 ( An B ) kn, X. ÍNDICE DE NOTAÇÕES Segue abaixo uma lista da notação utilizada nessa seção: (X t ) t 0 processo estocástico em tempo contínuo. (N t ) t 0 processo de contagem em tempo contínuo. ϕ = N =: {0, 1, 2,...} espaço de estados do processo de contagem. i, j, k,... estados em ϕ. µ t := E(X t ) função média do processo. σ 2 t := Var(X t ) função variância do processo. γ s,t := Cov(X s, X t ) função de autocovariância do processo. ϱ s,t função de autocorrelação do processo. (N t ) t 0 processo de Poisson com taxa, PP(). τ 1, τ 2,... idd Exp() tempos entre ocorrências sucessivas de eventos no PP(). N t := max{k 0 : T k t} estado do PP() no tempo t T 0 = 0 e T k = k i=1 τ i = min{t > 0 : N t = k}, k 1, tempo de espera até a ocorrência do k-ésimo evento no PP(). (T k ) k 0 tempos de espera no PP(). p k (t) := Pr(N t = k) probabilidade de [N t = k].

8 REFERÊNCIAS [1] HOEL, P.; PORT, S.; STONE, C. Introduction to Stochastic Processes. Illinois: Waveland Press, 1987. [2] GRIMMETT, G.; STIRZAKER, D. Probability and Random Processes, 3rd edition. New York: Oxford University Press, 2001. [3] ROSS, S. Introduction to Probability Models, 8th edition. San Diego: Academic Press, 2003. [4] FELLER, W. An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol I. New York: John Wiley, 1957. [5] RIZZO, M. Statistical Computing with R. New York: Chapman & Hall/CRC Press, 2008.