Teoria dos ircuitos e Fundamentos de Electrónica Teoria dos ircuitos
Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais As grandezas de variação alternada sinusoidal podem representar-se na forma u(t)=u )=U M cos( s(ωt+α u ) em que u(t) é o valor instantâneo da grandeza; U M é a amplitude ou valor máximo; m (ωt+α u ) é a fase,, que se exprime em radianos; ω é a frequência angular α u é a fase na origem do tempo.
Evolução temporal da fase fase ω é o declive da recta α u 0 T T 2π t 2π ω= T f = T ω =2πf
Amplitudes omplexas Im ut () = U cos( ω t+α ) M U = U e α M j u u U M αu Re
Amplitudes omplexas ut () = U cos( ω t+α ) M U = U e α M j u u Im U M j t Ue ω αu Re Vector girante em velocidade angular ω
Amplitudes omplexas ut () = Re{ Ue jωt } Re u(t) u(t)=u M cos(ωt π/4) Im ω π/4 U t
Amplitudes omplexas Utilidade it () i( t) i2( t) i () t = 4cos ω 2 2 ( t) ( t ) i () t = 3cos ω +π 2 it () = i() t + i() t =? Somam-se as amplitudes complexas: { jωt} { jωt} {( ) jωt} { jωt} 2 2 it ( ) = Re Ie + Re Ie = Re I + I e = Re Ie I = I+ I2
Amplitudes omplexas Exemplo: Im I 36,9º I 2 Re I = 4A = = j90º I2 j3 3e A = + = j36,9º I I I2 5 e A I ( ) it ( ) = 5cos ω t+ 36,9º A
Amplitudes omplexas Derivação: u () t = U cos( ω t+α ) M u j U = UMe α u du dt d = Re = ω dt { jωt} Re{ jωt U } e j Ue onclusão: A derivação de u (t) em ordem a t corresponde a multiplicar a amplitude complexa U por jω.
Amplitudes omplexas Exemplo: du u ( t) = 5cos( ω t+ 30º ) i () t = =? dt Fazendo ω= 2π f = 34 rad/seg ( para f = 50 Hz) = 50 μf U = 5e j30º 6 j30º j20º I = jω U = j34 50 0 5e = 78,5 e ma Logo: ( ) i ( t) = 78,5cos ω t+ 20º ma
Amplitudes omplexas Primitivação É a operação inversa de derivação du du i( t) = = i( t) dt dt u( t) = { Primitiva de i( t) } = i( t) dt A primitivação de i (t) corresponde a dividir a amplitude complexa por jω. I
Amplitudes omplexas Exemplo: u() t = i() t dt? = j0 U = I com I =e A jω U j90º = =63, 7e V logo, 6 j34 50 0 u () t =637, cos( ωt 90º) V ( f ) ω= 2π f = 34rad/seg para = 50 Hz = 50 μf i ( t) = I cos( ω t), I = A M M Im U Escalas A 50 V I Re
onceito de indutância Linhas de força do campo magnético u L (t) i L (t) Numa indutância pura despreza-se a resistência do fio condutor. A tensão aos terminais é proporcional à derivada da corrente. A constante de proporcionalidade chama-se coeficiente de auto-indução.
onceito de indutância u L (t) i L (t) L () dil () t u t = L dt O coeficiente de auto-indução exprime-se em henry ou nos seus múltiplos e submúltiplos. Se a tensão e corrente forem alternadas sinusoidais tem-se a relação vectorial equivalente: U L = jωli L A impedância correspondente será: Z L U = L = jωl I L
parâmetro R G = / R Elementos lineares Relação tensão corrente u () t = Ri () t R R i () t = Gu () t R R Energia armazenada Não armazena. Só S dissipa ao ritmo da potência de Joule. dil ul = L dt 2 L WL() t = LiL() t 2 il() t = ul() t dt L u = i () t dt 2 W() t = u() t du 2 i = dt
ircuito R u G i R u R Equação de valores instantâneos: u u u Ri i t dt G = R + = + () u Equação vectorial correspondente: UG = UR + U = RI + I = R j I jω ω UG = Z I Z = R j ω Impedância do circuito R
ircuito R Propriedades u i i R u R Tensão de entrada u i (t) alternada sinusoidal. A amplitude complexa da corrente será: I = i u u O R U j ω A tensão de saída u O terá a amplitude complexa: jω U = I = U U = U jω R + + jωr jω O i O i
ircuito R Propriedades u i i R u R Para frequências suficientemente altas de modo que ωr>> tem-se: U U = U O i i u u O + jωr jωr Passando agora para valores instantâneos: uo() t = ui() t dt R A tensão na saída é proporcional à primitiva da tensão de entrada. Diz-se que o circuito funciona como integrador.
ircuito R Propriedades u i i R u R Para frequências suficientemente altas de modo que ωr>> tem-se: U U = U O i i u u O + jωr jωr Mas para frequências suficientemente baixas de modo que ωr<< tem-se: U = U U + jωr O i i A tensão na saída é igual à tensão de entrada. Diz-se que o circuito funciona como filtro passa-baixo.
ircuito R Tensão de saída pela resistência u i i u u R R u O Trocando a posição da resistência com a do condensador a corrente i(t) não se altera. omo consequência, não se altera a impedância de entrada do circuito em regima sinusoidal. O que vai ser diferente será a tensão de saída u o (t), para a mesma tensão de entrada u i (t).
ircuito R Propriedades i Tensão de entrada u i (t) alternada sinusoidal. A amplitude complexa da corrente será: u i u u R R u O I = R U i j ω A tensão de saída u O terá agora a amplitude complexa: R jωr U = RI = U U = U R + + jωr jω O i O i
ircuito R Propriedades u i i u u R R u O Para frequências suficientemente baixas de modo que ωr<< tem-se: jωr U = U jωru + jωr O i i Passando agora para valores instantâneos: () o () dui t u t = R dt A tensão na saída é proporcional à derivada da tensão de entrada. Diz-se que o circuito funciona como diferenciador.
ircuito R Propriedades u i i Para frequências suficientemente baixas de modo que ωr<< tem-se: jωr U = U jωru + jωr u u R R u O O i i Mas para frequências suficientemente altas de modo que ωr<< tem-se: jωr U = U U + jωr O i i A tensão na saída é igual à tensão de entrada. Diz-se que o circuito funciona como filtro passa-alto.