Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES

PAR ORDENADO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA... 4 RELAÇÃO... 8 DOMÍNIO E IMAGEM... 12 CONTRA-DOMÍNIO... 13 RELAÇÃO INVERSA... 17 PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA... 18 FUNÇÕES... 22 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 27 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO... 34 DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO... 34 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO... 37 FUNÇÃO CONSTANTE... 43 RESPOSTAS... 44 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 51 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES e FUNÇÕES

PAR ORDENADO Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim, {1; 2}, {7, -3} ou {a, b} indicam pares. Lembrando o conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter os elementos não gera um par diferente, assim, temos: {1, 2} = {2, 1} {7, 3} = { 3. 7} {a, b} = {b, a} Em matemática, existem situações em que há a necessidade de distinguir dois pares pela ordem de seus elementos. Ex.1: Imaginemos que o time de futebol da escola será formada por 10 atletas (titulares e reservas) escolhidos entre os alunos do 1º e 2º anos. Podemos indicar a quantidade de alunos escolhidos de cada série no seguinte esquema: anotamos entre parênteses primeiro o número de alunos selecionados no 1º ano e depois o do 2º ano. que (7, 3) e (3, 7) são dois PARES ORDENADOS diferentes. Ex.2: No sistema de equações x y 3 x y 1 x = 2 e y = 1 é a solução ao passo que x = 1 e y = 2 não é solução. Se representássemos por um conjunto, teríamos: { 2, 1} é solução e {1, 2} não seria solução e aí há uma contradição pois {2, 1} = {1, 2}. Por causa disso, dizemos que a solução é o PAR ORDENADO (2, 1) em que fica subentendido que o primeiro valor se refere à incógnita x e o segundo é referente à incógnita y. Admitiremos a noção de PAR ORDENADO como conceito primitivo. Podemos formar a idéia de par ordenado, imaginando-o como um conjunto de dois elementos considerando-os numa dada ordem. Para lembrar que a ordem está sendo considerada, na representação do par ordenado, utilizamos parênteses e não chaves como nos conjuntos em geral e para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha: Então (3, 7) indicará que foram escolhidos 3 alunos do 1ºano e 7 do 2º ano e (7, 3) nos dirá que 7 alunos são do 1º ano e 3 são oriundos do 3º ano. (5, 5) indicaria, por exemplo, que foram escolhidos 5 alunos de cada série, etc. Observamos, neste caso, que (3, 7) e (7, 3) representam dois modos diferentes de selecionar os alunos para o time de futebol. Em (7, 3) e (3, 7) temos as mesmas quantidades, porém em ordens diferentes. Por isso, dizemos (a, b) = (c, d) a = c e b = d Ou seja, impomos que dois pares ordenados são iguais se, e somente se, tiverem os primeiros termos iguais entre si e os segundos termos também iguais entre si. Veja, a seguir, alguns exemplos: CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Ex.1: (a, b) = (3, 7) a = 3 e b = 7 Ex.2: (a, b) = (7, 3) a = 7 e b = 3 Ex.3: (a, b) = (5, 5) a = 5 e b = 5 Note que em um par ordenado, podemos ter termos iguais. PRODUTO CARTESIANO Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}, vamos formar os pares ordenados que têm o primeiro elemento em A e o segundo elemento em B. Observe o esquema em que cada flecha representa um par: O conjunto formado pelos pares ordenados obtidos é denominado PRODUTO CARTESIANO DE A POR B e o indicamos por A x B onde lemos A cartesiano B. Desta forma, temos então: A x B = {(1,1); (1, 2); (1,3); (1,4);(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3, 4)} De forma genérica, o produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto A x B formado pelos pares ordenados que trazem o primeiro elemento extraído de A e o segundo de B ou: A x B = {(x, y) x A e y B} (Lemos: A cartesiano B é igual ao conjunto formado por pares ordenados x, y tal que x pertence a A e y pertence a B) Observações: 1. Se A B então A x B B x A, ou seja, o produto cartesiano não é comutativo 2. Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então A x B é um conjunto finito com m n elementos Veja a mesma formação, agora numa tabela: 3. Se A ou B for infinito e nenhum dos dois for vazio, então A x B é um conjunto infinito. Ex.1: Dados A = {a, e, i} e B = {p, q}, determinar: a) A X B b) B X A c) A 2 d) B 2 Solução: a) A X B = {(a, p); (a, q); (e, p); (e, q); (i, p); (i, q)} MATEMÁTICA I 3 RELAÇÕES e FUNÇÕES

b) B X A = {(p, a); (p, e); (p, i); (q, a); (q, e); (q, i)} c) A 2 = A X A = {(a, a); (a, e); (a, i); (e, a); (e, e); (e, i); (i, a); (i, e); (i, i)} d) B 2 = B X B = {(p, p); (p, q); (q, p); (q, q)}. Ex.2: Se A tem 4 elementos e B tem 9 elementos, quantos elementos tem: a) A X B b) B X A c) A 2 d) B 2 Solução: a) 49 36 elementos. b) 94 36 elementos. c) 44 16 elementos. d) 99 81 elementos. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA No plano cartesiano acima, temos: O número a é a abscissa do ponto P. O número b é a ordenada do ponto P. O eixo OX é chamado de eixo das abscissas. O eixo OY é chamado de eixo das ordenadas. O ponto O é a origem e tem coordenadas (0, 0). Pares ordenados de números reais podem ser representados por pontos em um plano chamado de PLANO CARESIANO. O Plano Cartesiano é determinado por duas retas orientadas perpendiculares num ponto chamado de origem. Cada ponto deste plano será associado à um par ordenado (a, b) de números reais da seguinte forma: 1. Sobre a reta horizontal, chamada de eixo OX, marcamos o ponto referente ao número a. 2. Traçamos a reta y paralela à reta y passando por a. 3. Sobre a reta vertical, chamada de eixo OY, marcamos o ponto referente ao número b. 4. Traçamos a reta x paralela à reta x passando por b. 5. O encontro entre x e y será o afixo do ponto P de coordenadas (a, b). A cada par de números reais fazemos corresponder um único ponto do plano e a cada ponto do plano, fazemos corresponder um único par ordenado de números reais. Essa correspondência é denominada de Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais (ou simplesmente Sistema Cartesiano Ortogonal). Ortogonal porque os eixos formam entre si um ângulo de 90º e Cartesiano é homenagem à René Descartes, um matemático considerado o pai da filosofia moderna Ex.: 1 Veja no plano cartesiano a seguir a localização de cada dos pontos abaixo: A (2, 4) B (-2, 3) C (-3, -3) D (1, -2) E (4, 0) F (0, 5) G (-2, 0) H (0, -4) CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Ex.2: Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}. Faça A x B e a seguir represente os pares ordenados num sistema cartesiano ortogonal. Solução A x B = {(1,1); (1, 2); (1,3); (1,4);(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3, 4)} 1) Represente corretamente no plano cartesiano abaixo, cada um dos pares ordenados a seguir: A (1, 1) D (-3, -2) G (0, -2) B (3, 2) E (1, -4) H (3, 0) C (-4, 5) F (0, 5) J (-4, 0) MATEMÁTICA I 5 RELAÇÕES e FUNÇÕES

2) Determine as coordenadas de cada dos pontos marcados no sistema abaixo. 4) Sendo A = {1. 2. 3. 4. 5} e B = {3, 4, 5, 7}. Represente num sistema ortogonal o conjunto A x B. A C E G J B D F H 3) Assim como na questão 160, localize os seis pontos abaixo no plano cartesiano. 5 47 12 L 3; 3 P ; - 10 5 M 0,5; 4 Q 0; 10 N 3; - 9 3 R ; 3 2 Também podemos representar graficamente produtos cartesianos formados a partir de conjuntos determinados por intervalos. Ex.1: Sendo A = {x R 1 < x 6 } e B = {y R 2 y 5 }, representar graficamente A x B. CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Ex.2: Sendo A = {x R 1 x 4 } e B = {y R y = 2 }, representar graficamente A x B. Ex.3: Sendo A = {x R 1 x 4 } e B = {y R 2 y 4 }, representar graficamente A x B. b) B x A c) A x A 5) Sendo A = {x 1 x 6 } e B = {x -2 x < 3 }, representar graficamente: a) A x B. MATEMÁTICA I 7 RELAÇÕES e FUNÇÕES

RELAÇÃO Quando começamos a falar de produto cartesiano, citamos dois conjuntos, A e B e formamos A x B. Naquele exemplo, tínhamos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4} e o A x B apresentava 12 elementos. Destes 12 elementos, vamos formar agora o conjunto R dos pares ordenados que têm o primeiro termo em A e o segundo termo em B tais que o 1º termo é menor que o 2º. Veja no diagrama a seguir como ficaria este conjunto. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7, 9}, determinar as relações de A em B: a) S = {(x, y) A x B x + y = 6} b) M = {(x, y) A x B xy 6} Solução: Em a), a relação S é formada pelos pares ordenados (x, y) onde x A e y B, com a soma dos termos x + y = 6. Estes pares são (1, 5), (3, 3) e (5, 1), então, S = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)} Pares com soma igual a 6 R = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)} Este conjunto R, que é um subconjunto de A x B, é exemplo de uma relação de A em B. Em b), a relação M é formada pelos pares ordenados (x, y) onde x A e y B, com o produto dos termo menor ou igual a 6. Nesta condição, os pares são (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1) e (5, 1) então, M = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 1), (5, 1)} De modo geral, denominamos relação de A em B a todo subconjunto de A x B. R é relação de A em B R A x B Veja, agora, outros exemplos que ilustram relações. Pares com produto menor ou igual a 6 CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

d) B 2 7) Determine A x B e B x A em cada caso abaixo: a) A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {9} A x B = B x A = 6) Dados A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, forme todos os pares ordenados de: a) A x B b) A = {5} e B = {7} A x B = b) B X A B x A = c) A 2 MATEMÁTICA I 9 RELAÇÕES e FUNÇÕES

c) A = {4, 8, 12} e B = Ø A x B = 9) Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, forme as seguintes relações: a) K = {(x, y) A x B x + y = 12} B x A = b) L = {(x, y) A x B x + y 15} 8) Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem 10 elementos: a) quantos elementos tem A x B? c) M = {(x, y) A x B x + y < 8} b) quantos elementos tem B x A? 10) Dados A = {3, 6, 9, 12} e B = {1, 3, 5, 7, 9}, determine T = = {(x, y) A x B x 2 + y 2 < 50} c) Os conjuntos A x B e B x A são iguais? Justifique. CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11) Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} A 2 e n(a 2 ) = 9, represente, pelos elementos, o conjunto A 2. (Veja a resolução desta questão nas respostas) 13) Considerando A B, {(0, 5), ( 1, 2), (2, 1)} A x B e n(a x B) = 12, represente A x B pelos seus elementos. 12) Se {(1, 2), (3, 0)} A 2 e n(a 2 ) = 16, então represente A 2 pelos seus elementos. 14) Sendo A = {x Z 2 < x 4} e B o conjunto dos múltiplos de 3 compreendidos entre 7 e 35, quantos elementos tem A x B? MATEMÁTICA I 11 RELAÇÕES e FUNÇÕES

15) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada por R = { (x, y) A 2 mdc (x, y) = 2 }. DOMÍNIO E IMAGEM Seja R uma relação de A em B que, a partir de agora representaremos R: A B. Chamamos de DOMÍNIO de R o conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes à relação R. O domínio de uma relação será representado por D, assim, x D y, y B, x yr (Lemos: x é parte do domínio se, e somente se existe y pertencente a B tal que o par ordenado x, y pertence à relação R) 16) Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o plano cartesiano da relação R de A em A dada por R = { (x, y) A 2 são primos entre si }. Chamamos de IMAGEM de R o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) pertencentes a R. A imagem será representada por Im e é sempre um subconjunto de B. y Im x, x A, x yr (Lemos: y é parte da imagem se, e somente se, existe x pertencente a A tal que o par ordenado (x, y) pertence à relação R) Em outras palavras, podemos dizer que o domínio é formado por todos os valores que x assume e a imagem são os valores admitidos por y. Quando representado pelo diagrama de Venn, o domínio é o conjunto formados pelos elementos de onde saem as flechas e a imagem é o conjunto dos elementos que recebem flecha. Veja, a seguir, alguns exemplos: CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Ex. 1: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos R: A B como uma relação que associa cada elemento de A à sua metade em B. Observe a figura: CONTRA-DOMÍNIO Numa relação R: A B dada por R = {(x, y) (x, y) A B}, o conjunto B é chamado de contra-domínio. Em outras palavras, o contra-domínio é o conjunto formado por todos os valores que y pode assumir. 17) Determine Domínio e Imagem de cada uma das relações abaixo: a) A = {(1; 1), (1; 3), (2; 4)} D = Im = Os elementos destacados no conjunto A formam o domínio e os elementos destacados no conjunto B, formam a imagem. Note que, assim, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um sub-conjunto de B. Ex.2: Seja A = {x R 3 < x 4} e B = {x R 1 x < 3}, qual o domínio e imagem da relação R = {(x, y) A B y = x 1} Resolução: b) B = {( 2; 4), ( 1; 1), (3; 7), (2; 1)} D = Im = c) C = {(2; 1), (1; 3), (5; 2)} D = Im = d) D = {(1 + 2; 2; 2 ), (1 3; 1)} D = Im = MATEMÁTICA I 13 RELAÇÕES e FUNÇÕES

e) E = {(3; 1 2 ), (5 2 ; 1), (3 2 ; 0)} D = b) R = {(x, y) A B x 2 = y} Im = 18) Em cada uma das relações de A em B abaixo, pede-se: I) Enumerar os pares ordenados que formam as relações. II) Representar por meio de diagrama de Venn e flechas. III) Fazer a representação no plano cartesiano. IV) Estabelecer Imagem. V) Estabelecer Domínio. Para tal, considere A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4}. a) R = {(x, y) A B x + y = 2} D = Im = c) R = {(x, y) A B x = y} D = Im = D = Im = CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO

d) R = {(x, y) A B x + y > 2} 19) Dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, enumere os pares ordenados, construa o gráfico cartesiano e determine a imagem da relação R: A A onde: a) R = {(x; y) mdc(x, y) = 2} D = Im = e) R = {(x, y) A B (x y) 2 = 1} Im = b) R = {(x; y) x e y são primos entre si} Im = D = Im = MATEMÁTICA I 15 RELAÇÕES e FUNÇÕES

20) Se R é a relação binária de A em B tal que A = { x R 1 x 6} e B = { y R 1 y 4} definida por R = {(x; y) A x B x = 2y}, pede-se a) A representação cartesiana de A X B. 21) Se R e S são relações binárias de A em B sendo A = {x Z 2 x 5} e B = { xz 2 x 3} definidas por R = {(x; y) 2 divide x y} e S = {(x; y) (x 1) 2 = (y 2) 2 }, pede-se: a) As representações cartesianas de R e S. b) A representação cartesiana de R. c) Domínio e imagem de R CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO

b) Domínio e Imagem de R e S. Ex.1: Se A = {2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7}, quais são os elementos de R e R -1 sabendo que R = {(x; y) A x B x < y} Solução: c) R S. RELAÇÃO INVERSA Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto R 1 = {(y, x) B x A (x, y) R} Como R -1 é um subconjunto de B x A, então R -1 é uma relação binária de B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R. (y, x) R 1 (x, y) R Decorre desta definição que R -1 é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par. Observando os diagramas, podemos descrever os pares ordenados. R = {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7), (4; 7), (5; 7)} R 1 = {(3; 2), (5; 2), (7; 2), (5; 3), (7; 3), (7; 4), (7; 5)} MATEMÁTICA I 17 RELAÇÕES e FUNÇÕES

Ex.2: Se A = { x R 1 x 4} e B = { y R 2 x 8}, representar no plano cartesiano as relações R e R -1 sendo R = { (x; y) A x B y = 2x}. 22) Enumerar os elementos de R -1, relação inversa de R, nos seguintes casos: a) R = {(1; 3), (3; 1), (2; 3)} b) R = {(1; -1), (2; -1), (3; -1), (-2; 1)} PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA As seguintes propriedades da relação inversa são evidentes e podemos percebe-las simplesmente observando os dois exemplos anteriores. c) R = {(-3; -2), (1; 3), (-2; -3), (3; 1)} P1: A imagem de uma relação é o domínio de sua inversa. P2: O domínio de uma relação é a imagem de sua inversa. P3: (R -1 ) -1 = R CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO

23) Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de R e R -1, relações binárias de A = { x N x 10 }. (Dica: faça R e R -1 no mesmo plano usando cores distintas) a) R = {(x; y) A 2 x + y = 8} c) R = {(x; y) A 2 y = (x 3) 2 + 1} d) R = {(x; y) A 2 y = 2 x } b) R = {(x; y) A 2 x + 2y = 10} MATEMÁTICA I 19 RELAÇÕES e FUNÇÕES

24) A = {x R 1 x 6 } e B = {y R 2 y 10 }. c) R = {(x; y) A x B y = x + 2 } Dados os conjuntos A e B acima e as relações R a seguir, pede-se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas. a) R = {(x; y) A x B x = y } d) R = {(x; y) A x B x + y =7 } b) R = {(x; y) A x B y = 2x } 25) Considere a relação R: Z Z R = { (x; y) Z 2 x + y = 3} Escreva: a) Im (R) CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG CAMPUS OURO PRETO

b) D (R) b) D (R) c) Nesta relação, existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? c) Nesta relação existe algum elemento do domínio que não possui imagem? E existe algum elemento que possui mais de uma imagem? d) Faça a representação cartesiana desta relação. d) Faça a representação cartesiana desta relação. 26) Vamos responder as mesmas perguntas propostas na questão anterior, agora para a relação R = { (x; y) 2 y = x 2 } Escreva: a) Im (R) MATEMÁTICA I 21 RELAÇÕES e FUNÇÕES

FUNÇÕES Dados dois conjuntos não vazios A e B *, uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e somente para todo x A existe um único (x, y) f. f é uma função de A em B ( x A, y B (x; y) f) Vamos considerar os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias: R = {(x; y) A x B y = x + 1} S = {(x; y) A x B y 2 = x 2 } T = {(x; y) A x B y = x} V = {(x; y) A x B y = (x -1) 2-1} W = {(x; y) A x B y = s} Começaremos pela relação R: É importante notar que: Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B; Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B. Usando o conceito de domínio e imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que: f : A B é uma função se todo elemento do domínio possui somente uma imagem. Veja, a seguir, alguns exemplos que ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não. Desta forma temos: R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) } Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento y B tal que (x; y) R. Para o elemento 3 A, não existe y B tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento de A que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B. * Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados por números reais, ou seja, A e B estão contidos em R. CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado. Veja a relação V agora: V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) } S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)} Para cada elemento x A, com exceção do 1, existe um só elemento y B tal que (x; y) S. Para o elemento 1, existem dois elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1) S e (1, 1) S. Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) V. Então S É UMA FUNÇÃO de A em B. Vamos encerrar esta série com a relação W.: Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. Agora, a relação T: W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) W. T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) T. Então T É UMA FUNÇÃO de A em B. Então W É UMA FUNÇÃO de A em B. Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade: Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) pertence à relação, logo são funções de A em B. MATEMÁTICA I 23 RELAÇÕES e FUNÇÕES

Quando analisamos uma relação a partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B: 1. Deve sair flecha de TODOS os elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de cada elemento de A. Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 22 desta apostila. Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem. c) d) Função? Justifique: Função? Justifique: Vamos identificar, nos diagramas a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso. a) Função? Justifique: e) Função? Justifique: b) Função? Justifique: f) Função? Justifique: CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG CAMPUS OURO PRETO

b) A = [-2; 2] e B = Função? Justifique: c) A = [0; 4] e B = Função? Justifique: Podemos verificar também se uma relação é ou não função a partir de sua representação gráfica. Para tal, basta verificarmos se todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem. Vamos identificar, nos gráficos a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso. a) A = [-1; 2] e B = Função? Justifique: EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124 27) Assim como foi feito no exemplo da página 24, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a) MATEMÁTICA I 25 RELAÇÕES e FUNÇÕES

b) f) c) 28) Dentre os gráficos abaixo, identifique aqueles que apresentam ou não apresentam função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio dado. a)d = [1; 4] d) b) D = [-4; 3] e) c) D = [-7; 7] CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG CAMPUS OURO PRETO

d) D = [-4; 4] h) D = e) D = IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Dada uma função f: A B sendo f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função. f) D = Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a função f: A definida por f(x) = 2x, temos: Para x = 1, f1 21 2 Para x = 2, f2 22 4 Para x = 3, f3 23 6 Para x = 4, f4 2 4 8 g) D = A imagem desta função é Im(f) = {2; 4; 6; 8} MATEMÁTICA I 27 RELAÇÕES e FUNÇÕES

Ex.: Determinar a imagem da função f: D R definida por f(x) = x 3 x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2 f 2 2 3 210 8 2 10 4 29) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a) Para x = -1 f 1 1 3 1 10 1110 10 Para x = 0 3 f 0 0 0 10 0 0 10 10 Para x = 1 3 f 1 1 1 10 1110 10 Para x = 2 3 f 2 2 2 10 8 2 10 16 b) Logo, Im(f) = {4; 10; 16} Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem. c) Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem. CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG CAMPUS OURO PRETO

30) Sendo f: A, uma função definida por f(x) = 3x 2 + 1, determine a imagem de f sabendo que 2 A 5; 5; ; 3; 3 1 3 c) f 2 d) f1 2 31) Seja f: a função definida por 2 fx. Calcule: x 2 1 f 1 a) 1 1 32) Se fx, qual é o valor de x x 1 f(1) + f(2) + f(3)? 1 b) f 2 MATEMÁTICA I 29 RELAÇÕES e FUNÇÕES

33) Determine a imagem de cada função: 1 a) f: A dada por fx x e x 1 1 A ; ; 1; 2; 3 3 2 34) Na função f: definida por f(x) = 7x 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18? 35) Na função f: definida por f(x) = x 2 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0? b) f: D dada por fx x 1 1 D 2; 1; 0; 1; 2 e CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO

x 1 36) Uma função definida por fx tem 2x 1 imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x? 37) Dada fx x 1, calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 2. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 Exercícios 17 a 22 Imagem a partir de um Gráfico Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contra-imagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem. Veja nos exemplos a seguir. Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos. a) Im = [a; b] MATEMÁTICA I 31 RELAÇÕES e FUNÇÕES

b) 38) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a) Im = [a; b] c) Im = [a; b[ - {0} b) d) Im = [-2; 0[ ]1; 3[ c) e) Im = {1; 3} CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG CAMPUS OURO PRETO

d) g) e) h) f) i) MATEMÁTICA I 33 RELAÇÕES e FUNÇÕES

j) DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Considerando que toda função de A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio. Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções: Domínio = conjunto de partida k) É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo (eixo horizontal). DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio: l) Ex.1: f(x) = 2x Notemos que 2x R para todo x R, temos, então D = R Ex.2: f(x) = x 2 Notemos que x 2 R para todo x R, temos, então D = R Ex.3: x f 1 x 1 Notemos que x diferente de zero, temos, então, D = R. R se, e somente se, x é real CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Ex.4: x f x Notemos que x R se, e somente se, x é real e não negativo, então D = R + d) fx x 1 Ex.: 5 x f Notando que então, D = R 3 x 3 x R para todo x R, temos, 39) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir: a) fx 3x 2 e) fx 1 x 1 b) fx 1 x 2 f) fx x 2 x 2 c) fx x 1 x 2 4 g) 3 f x 2x 1 MATEMÁTICA I 35 RELAÇÕES e FUNÇÕES

h) fx 3 1 2x 3 Ex.1: D = [a; b] Ex.: 2 i) fx 3 x 2 x 3 D = [a; b] Ex.: 3 Domínio a partir de um Gráfico Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. Ex.: 4 D = De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função. Veja nos exemplos a seguir. D = * CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG CAMPUS OURO PRETO

d) 40) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a) b) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 127 Exercícios 24, 25 e 26 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de R, dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas cartesianas os pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f. c) Ex.1: Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução: Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos: Para x = 0 y f0 20 3 3 Para x = 1 y f1 21 3 1 Para x = 2 y f2 22 3 1 Para x = 3 y f3 23 3 3 Para x = 4 y f4 2 4 3 5 Para x = 5 y f5 25 3 7 MATEMÁTICA I 37 RELAÇÕES e FUNÇÕES

O gráfico de f é formado pelos pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7). Ex.3: Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = R Resolução: Temos, mais uma vez, a mesma lei dos exemplos anteriores, y = f(x) = 2x 3, mas o domínio é formado por todos os números reais. Assim, além do segmento AF, devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo: Para x = 6 y f6 26 3 9 Para x = -1 y f1 21 3 5 O gráfico é, neste caso, a reta AF que não tem fim de um lado nem de outro. Ex.2: Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = {x R 0 x 5}. Resolução: Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados entre eles, no segmento de reta AF. Veja, por exemplo: Para x = 0,5 y f0,5 20,5 3 2 Para x = 2,25 y f2,25 22,25 3 1, 5 CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG CAMPUS OURO PRETO

41) Faça o gráfico da função f(x) = 6 x nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5} 42) Faça o gráfico da função x casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} x f nos 2 b) sendo D = {x 1 x 5} b) sendo D = {x -2 x 2} c) sendo D = c) sendo D = MATEMÁTICA I 39 RELAÇÕES e FUNÇÕES

2 43) Faça o gráfico da função x x casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} f nos c) sendo D = Para x = -2, y = Para x = -1, y = Para x = 0, y = Para x = 1, y = Para x = 2, y = 44) Faça o gráfico da função fx x nos casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4} b) sendo D = {x -2 x 2} b) sendo D = +. CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG CAMPUS OURO PRETO

x 1 45) Faça o gráfico da função fx com 2 domínio D = R. (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x)) 46) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[ MATEMÁTICA I 41 RELAÇÕES e FUNÇÕES

47) Faça o gráfico de f: [-1; 5], definida 5 x por fx. 2 48) Faça o gráfico de f: [-2; 2], definida 2 x por fx. 2 CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG CAMPUS OURO PRETO

FUNÇÃO CONSTANTE Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k: f:, com f(x) = k ( x ) Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k. Ex.2: Construir o gráfico da função f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja: Observe que o domínio é D(f) = imagem é Im(f) = { k }. e a 49) Faça o gráfico da função f: dado por f(x) = - 1. Ex.1: Construir o gráfico da função f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja: 50) Faça o gráfico da função 1, se x 0 f: dado por f x. -1 se x 0 MATEMÁTICA I 43 RELAÇÕES e FUNÇÕES

RESPOSTAS b) 1) c) 2) A(-3, 5) B(1, 3) C(0, 2) D(3, 1) E(-2, 0) F(4, -1) G(-3, -2) H(-2, -2) J(-2, 0) 3) 4) 5) a) 6) a) A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} b) B X A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} c) A 2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} d) B 2 = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} 7) a) A x B = {(1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9)} B x A = {(9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4), (9, 5),} b) A x B = {(5, 7)} B x A = {(7, 5)} c) A x B = Ø B x A = Ø 8) a) 50 b) 50 c) Não pois o produto cartesiano não admite a propriedade comutativa. A x B = B x A se, e somente se A = B ou se um dos conjuntos for vazio. 9) a) K = {(2, 10), (4, 8), (6, 6), (8, 4)} b) L = {(5, 10), (6, 10), (7, 8), (7, 10), (8, 8), (8, 10)} c) M = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 2)} 10) T = {(3, 1), (3, 3), (3, 5), (6, 1), (6, 3)} CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11) (Resolução) O número de elementos de A 2 é igual ao quadrado de elementos de A, portanto n(a 2 ) = [n(a)] 2 [n(a)] 2 = 9 n(a) = 3 Se A é um conjunto de 3 elementos, (1, 2) A 2 e (4, 2) A 2, concluímos que A = {1, 2, 4} Assim sendo, A 2 = A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 4)} 12) A 2 = {(-2; -2), (-2; 0), (-2; 1), (-2; 3), (0; -2), (0; 0), (0; 1), (0; 3), (1; -2), (1; 0), (1; 1), (1; 3), (3; -2), (3; 0), (3; 1), (3; 3)} 13) A x B = {(-1; -1), (-1; 0), (-1; 2), (-1; 5), (0; -1), (0; 0), (0; 2), (0; 5), (2; -1), (2; 0), (2; 2), (2; 5)} 14) 54 15) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)} c) D = {1, 2, 5} Im = {-3, 1, 2 } d) D = { 1 3, 1 2 } e) Im = {1, 2 } D = {3, 2 5, 2 3 } Im = { 2 1, -1, 0} 18) a) R = {(-2; 4), (-1; 3), (0; 2), (1; 1) 16) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3, 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5, 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)} D = {-2; -1; 0; 1} Im = {1; 2; 3; 4} b) R = {(-2; 4), (2; 4), (-1; 1), (1; 1)} 17) a) D = {1, 2} Im = {1, 3, 4} b) D = {-2, -1, 2, 3} Im = {-7, 1, 4} D = {-2; -1; 1; 2} Im = {1; 4} MATEMÁTICA I 45 RELAÇÕES e FUNÇÕES

c) R = {(-2; -2), (-2; 2), (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1), (2; -2), (2; 2)} D = A Im = {-3; -2; -1; 1; 2; 3} 19) a) R = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 6), (6; 2), (6; 4)} D = {-2; -1; 1; 2} Im = {-2; -1; 1; 2} d) R = {(-1; 4), (0; 3), (0; 4), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)} Im = {2; 4; 6} b) R = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 5)} D = {-1; 0; 1; 2} Im = {1; 2; 3. 4} e) R = {(-2; -3), (-2; -1), (-1; -2), (0; -1), (0; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 3)} 20) a) Im = A CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG CAMPUS OURO PRETO

b) b) R= {(0; 5), (2; 4), (4; 3), (6; 2), (8; 1), (10; 0) } R -1 = {(5; 0), (4; 2), (3; 4), (2; 6), (1; 8), (0; 10) } 21) a) c) d = [2; 6] e Im = [1; 3] c) R= {(0; 10), (1; 5), (2; 2), (3; 1), (4; 2), (5; 5), (6; 10)} R -1 = {(10; 0), (5; 1), (2; 2), (1; 3), (2; 4), (5; 5), (10; 6)} b) D = A e Im = B c) R S = Ø 22) a) R -1 = {(2; 1), (1; 3), (3; 2)} b) R -1 = {(-1; 1), (-1; 2), (-1; 3), (1; -2)} c) R -1 = {(-2; -3), (3; 1), (-3; -2), (1; 3)} 23) a) R = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} R -1 = {(0; 8), (1; 7), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 7), (8; 0)} 23) (Cont.) d) R= {(0; 1), (1; 2), (2; 4), (3; 8)} R -1 = {(1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)} 23) (Cont.) 24) a) MATEMÁTICA I 47 RELAÇÕES e FUNÇÕES

b) d) pois todo número possui apenas um quadrado c) d) 27) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. 25) a) Im (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} b) D (R) = {-3, -2, -1, 0,1, 2, 3} c) O 4, por exemplo, não possui imagem e o 2 possui duas imagens que são -1 e 1. d) b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. 26) a) Im (R) = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36,... } b) D (R) = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,...} c) Não pois qualquer número pode ser elevado ao quadrado. Não f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. 28) a) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG CAMPUS OURO PRETO

b) Função c) Função d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. e) Função f) Função g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem. h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. 29) a) Im = {-1; 0; 1} b) Im = {-1} c) Im = {-1, 2} 30) Im f 7 ; 10; 13 6 3; 76 3 31) a) 1 b) 5 8 32) c) 3 2 3 4 33) a) Im f 2 2 d) 2 10 5 ; ; 2 3 2 Im f 1; 2; 3; 4 b) 34) Resolução: f x 7x 3 e 7x 3 18 7x 21 x 3 f x 18 35) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1 f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2 c) Im = [-2; 2] d) Im = {y -4 x -2 ou -1 < x 4} e) Im = {y x -1} f) Im = {y x > 2 ou x = 1} g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4} h) Im = [1; 4[ i) Im = [-4; 3[ j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} k) Im = [-2; 3] 39) a) D b) D 2 ou D c) Resolução x 1 fx 2 x 4 2 x 4 0 x x 2 x 2 4 x 2 D x x 2 e x 2 d) D x x 1 e) D x x 1 f) D x x 2 e x 2 g) D 3 h) D 2 D 3 i) 40) a) [-3; 4[ b) [-3; 3] - {-1; 1} c) * d) * 41) a) 36) D f 2 ; 7 0; 2; 4 ; 5 2 3 37) x = 3 38) a) Im = {-2, 0, 2} b) Im = MATEMÁTICA I 49 RELAÇÕES e FUNÇÕES

b) 43) a) b) c) c) 42) a) 44) a) b) b) c) 45) CÁSSIO VIDIGAL 50 IFMG CAMPUS OURO PRETO

46) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São Paulo, Ática, 2004 MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 1988 IEZZI, Gelson e outros; Matemática, Volume único. São Paulo, Atual, 2002 47) 48) VÍDEOS SUGERIDOS NESTA APOSTILA Pág. 05 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoesentre-conjuntos-1/ Pág. 09 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/relacoesentre-conjuntos-2/ 49) Pág. 25 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceitode-funcao 50) Pág. 38 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/conceitode-funcao-2 MATEMÁTICA I 51 RELAÇÕES e FUNÇÕES