ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS Paulo S. Varoto 7
. - Classificação de Sinais Sinais dinâmicos são geralmente classificados como deterministicos e aleatórios, como mostra a figura abaixo: Periódicos Determinísticos Transientes Sinais Caóticos Estacionários Aleatórios Não Estacionários Sinal Caótico: Sinal de aparência aleatória controlado por processo determinístico Sinal Não Estacionário: Possui parâmetros dependentes do tempo Sinal Aleatório: Muitos Componentes em frequência 8
. - Média Temporal Seja a função x(t) na variável tempo mostrada abaixo: x(t) x dt A média temporal x é definida por: T Tempo x = T lim xt ( ) dt T 0 T Observações: Flutuações (em termos de valor médio) diminuem à medida em que T aumenta A média temporal è comumente chamada de componente DC de um sinal 9
.3 - Média Temporal Quadrática e RMS A média temporal (MS) é definida por: MS = x = T lim xt ( ) T 0 T dt x (t) x dt T Tempo A Root Mean Square é definida por: A RMS = lim xt ( ) T 0 T T dt 0
.4 - O Espectro em Frequência É um gráfico das amplitudes componentes de um sinal como função do parâmetro frequência (ciclos/s) A C D Amplitude f a f b f c f d Frequência Características principais : Indica frequências discretas que estão relacionadas com características operacionais de um dado equipamento Oferece uma distribuição de amplitudes que pode ser importante na tomada de decisões sobre um sistema
Exemplo: Análise de um sinal senoidal Seja o sinal senoidal dado pela seguinte equação: Onde: x (t) = D + cos (ω t + φ ) D - Offset do sinal - Amplitude ω - Frequência do sinal φ - Fase do sinal senoidal Graficamente: Amplitude.5 0 4 6 8 0 Tempo [s]
a) Média Temporal x = D+ graficamente: sen( ωt + ϕ) ω T D.8 Média Temporal Amplitude.6.5.4. 0 4 6 8 0 Tempo T [s] A parcela oscilante decresce com o aumento do período T. A média temporal é obtida diretamente quando ω T é múltiplo de π. Sinais senoidais tem média temporal nula quando a média ( average ) dos sinais é realizado em um período T do sinal. Este resultado é útil na seleção de tempos de average de instrumentos a fim de se eliminar contaminações do sinal. 3
b) Temporal Mean Square : A RMS É dada pela seguinte equação: A sen T sen RMS = D + D ( ω + ϕ ) ϕ ωt + sen T sen ( ω + ϕ) ϕ + ωt graficamente: 3.5 Root Mean Square A RMS Amplitude 3.5.5 0 4 6 8 0 Tempo T [s] 4
Conforme ωt a equação acima reduz-se a A RMS = D + = D + RMS Para = 0 a amplitude RMS A RMS é igual ao valor médio D; ou seja: A RMS = D Para D = 0, temos ARMS = RMS = = onde RMS é a amplitude senoidal RMS. Logo: 0707. O valor global de RMS, A RMS e a amplitude senoidal RMS, RMS são duas grandezas completamente diferentes! A amplitude de pico e o RMS estão relacionados como visto acima para sinais senoidais exclusivamente! Então, em hipótese alguma pode-se converter uma amplitude A RMS para uma amplitude de pico ou RMS equivalente para um sinal arbitrário usando-se esta última relação. 5
c) O Espectro em Frequência Pode ser representado de tres formas diferentes: D D / D -(/) ω ω ω Amplitude Média Quadrática RMS 6
.5 - Representação Complexa de Funções Reais e ± jθ = cos( θ ) ± j sen( θ ) Relações de Euler : cos( θ ) = sen ( θ ) = e e jθ + e jθ e j jθ jθ Forma Polar: r ( ω + φ ) jφ ω A = Ae = { Ae } e r da = jω { Ae jφ } e j( ω t+ φ) dt r d A jφ j( ω t+ φ) = ω { Ae } e dt j t j t Exemplo: Forma Polar: x( t ) = cos( ω t + φ ) jω t * jω t x( t) = X e + X e com jφ X = a+ jb= a + b e = * Complexo conjugado de X e jφ 7
.6 - Fasores e Funções Senoidais Reais Considere o seguinte sinal no tempo: x( t ) = cos( ω t + φ ) = cos( θ ) onde : amplitude do sinal ω : frequência circular do sinal (rad/s) φ : ângulo de fase do sinal θ = ω t + φ : argumento Esta função real pode ser expressa como: x t e j e j t e j e j t ( ) = φ ω + φ ω = jωt * jωt Xe + X e + S. A. H. -S. H. onde: X = a+ jb= a + b e jφ = e jφ X * = a jb= a + b e jφ = e jφ a = cos( φ ) b = sen ( φ ) b tan( φ ) = a 8
.3 - Sinais Períodicos Sinal periódico: x (t + T) = x (t) Frequência Circular: ω o = π (/T) = π f o.3. - Séries de Fourier para Sinais Periódicos Qualquer sinal real, periódico e contínuo possuindo um número finito de descontinuidades pode ser escrito como: x( t)= p= X p e jpω o t onde X p representa o p-ésimo coeficiente da série de Fourier, possuindo partes real e imaginária e dado por X p = T t + T t jpω x( τ ) e oτ dτ Estas duas últimas equações constituem o par de transformada de Fourier para sinais periódicos 9
Características: A primeira equação para x (t) representa uma soma para todas as frequências discretas que são múltiplas da frequência fundamental ω o Os coeficientes da série X p são obtidos mediante uma integração sobre um período completo (geralmente começando em 0 ou -T/) Estes coeficientes da série de Fourier representam uma medida da correlação entre a função x (t) e a função exponencial num período fundamental T. Eles ocorrem em pares complexos conjugados (X p e X * p ) componente de frequência de ordem p ou harmônico p Im Re S A H a p -φ p X o φ p X p b p -pω o -b p Frequência pω o a p X * p = X -p S H 0
Outras propriedades úteis da Série de Fourier: Somente metade dos coeficientes X p precisam ser calculados, visto que ocorrem aos pares complexos conjugados Quando x (t) é uma função par, ou seja, x (-t) = x (t) somente coeficientes reais a p resultam da decomposição. Neste caso a função x (t) correlaciona-se com a componente cos ω t da série Quando x (t) é uma função ímpar, ou seja, x (-t) = - x(t) somente coeficientes reais b p resultam da decomposição. Neste caso a função x(t) correlaciona-se com a componente sin ω t da série O Espectro em Frequência da função periódica x(t) corresponde à um gráfico onde são mostrados os componentes de frequência (ou harmônicos) X p como função de frequências discretas pω o. Esta representação gráfica pode ser dada em termos dos a p e b p ou em em termos do módulo e fase de X p (mais usual!) como função da frequência.
Relações importantes: Média: É obtida fazendo-se p = 0 na expressão de X p Xo = T t + T x t ( τ ) dτ Então, X o é o valor médio do sinal periódico! Média Quadrática: É conhecida por Fórmula de Parseval e é dada por A RMS = Xo + X p p= Esta expressão pode ser simplificada para A p RMS = X o + = X o + p p= p= RMS
Exemplo: Séries de Fourier de uma onda quadrada Considere a onda quadrada periódica mostrada abaixo. x ( t ) A / 0.5 0 0.5 ( t ) Os coeficientes da Série de Fourier para este sinal são dados pela seguinte expressão Xp onde z = pπ /. A sen( pπ / ) A = sinc z ( p / ) = ( ) π De forma similar, a fórmula de Parseval fica sen() z sinc () z = z MS A p = + sinc 4 π p= 3
Coeficientes da Série de Fourier para onda periódica quadrada Xp/A 0.5 0.637 0.7 6 4 0 4 6 0.5 0. Amplitude dos coeficientes da Série de Fourier para onda periódica quadrada ω Xp /A 0.637 0.5 0. 0.7 6 4 0 4 6 ω 4
.4 - Transientes Considere o pulso retangular de amplitude A, duração T e periodicidade T o mostrado abaixo. x ( t ) T o = β T To = β T π π ω o = = To β T 0.5 0 0.5 t Componentes X p da Série de Fourier X p = AT To sen( pπ / β) ( pπ / β) = AT To sinc ( z ) z = pπ β Objetivo: Vamos analizar esta onda para valores crescentes de β, ou seja, vamos isolar o pulso retangular e usar a séries de Fourier para descrever seu conteúdo em frequência 5
(a) Valores de X p para β = β = ω o = π /T X p / A 0.5 0 ω 6 4 0 4 6 ω o ω o ω o ω o ω o ω o 0.5 (b) Valores de X p para β = 0 β = 0 ω o = π /5T X p / A 0. 0 p = -30 p = -0 p = -0 0.05 p = 0 p = 0 ω 30 0 0 0 0 0 30 0.05 p = 30 ω =- π / T ω = -π / T ω = π / T ω = π / T 6
Observações importantes: Quando β = 0, as amplitudes de X p são da ordem de / 5 daquelas correspondentes à β = Onze componentes de frequência X p estão entre ω = 0 e ω = π / T, mostrando que os componentes em frequência estão muito mais próximos quando β = 0 Quando o argumento z da função sinc (z) é múltiplo de π, componentes de frequência com amplitude zero ocorrem em fequências fixas Então, torna-se evidente que o método das Séries de Fourier é inadequado para uma análise direta a medida em que β aumenta, ou seja, a medida em que o pulso centrado em t = 0 vai ficando cada vez mais isolado, tornando-se um sinal transiente! Precisamos então efetuar uma modificação no procedimento de cálculo para adequar o método à sinais transientes! Este procedimento novo recebe o nome de Transformada de Fourier para Sinais Transientes e cuja formulação será apresentada a seguir. 7