Lista de Eercícios Matemática Instrumental Função do Primeiro Grau Função Composta Função Eponencial Professor: Anderson Benites FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função é chamada de função do 1º grau (ou função afim) se sua sentença for dada por f() = a + b, sendo a e b constantes reais com a. é a variável independente. = f() é a variável que dependente de. Função Afim: f() = a + b a > f() = a + b a < f() = - a + b 8 7 6 = + 1 = - + 3 5 3 1 - -1-1 1 3-1 - -1 1 3-1 - - A função é crescente, pois a > ; - A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de correspondente a um aumento do valor de ; - A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, o ponto de intersecção da reta com o eio ; - A função é decrescente, pois a < ; - Coeficiente angular é a = -1; - Coeficiente linear é b = ; - Zero da função é, pois + = - = -.(-1) - Zero da função é o valor de para qual a função se anula. - Estudo do sinal: - Estudo do sinal: =
- - - - - - - +++++++ +++++++ - - - - - - - f() < imagem negativa f() = imagem nula f() > imagem positiva f() < { R > } f() = { R = } f() > { R < } Função Linear: f() = a a > a < 1 = 3 8 6 - -1 1 3 - - 3 1 - -1-1 1 3 - -3 - -5 = -3-6 -7-8 -9-1 - A função é crescente, pois a > ; - Coeficiente angular é a = 3; - A função é decrescente, pois a < ; - Coeficiente linear é b = (neste caso); - Coeficiente angular é a = - 3; - Zero da função é ; - Estudo do sinal: - Coeficiente linear é b = ; - Zero da função é ; - Estudo do sinal:
- - - - - - - +++++++ +++++++ - - - - - f() < { R < } f() = { R = } f() > { R > } f() < { R > } f() = { R = } f() > { R < } Função Constante f() = b 5 = 3 1 - -1 1 3 - A função é constante, pois a =, com isso, não a inclinação; - Coeficiente angular é, pois a = ; - Coeficiente linear é b = ; - Não temos Zero da função: - Não temos Estudo do sinal. Gráficos de funções afins: Funções com o mesmo coeficiente angular 8 f() = + 3 Podemos perceber que as funções f, g e h possuem o mesmo coeficiente angular: f() = + 3 a = 6 g() = h() = - 3
g() = a = h() = - 3 a = Então, as funções têm como gráfico retas paralelas. Definição: Se f: IR IR é tal que f() = a + b e g: IR IR é tal que g() = a + b, segue a = a e b b as retas serão paralelas. Funções de mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear 3 g() = - 3 1-3 - -1 1 3 5 6-1 Podemos perceber que as funções f e g possuem o mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear: f() = - 3 a = 1 e b = 3 g() = - 3 a = 1 e b = 3 f() = - 3 - -3 - -5-6 Então, as funções têm como gráfico retas coincidentes. Definição: Se f: IR IR é tal que f() = a + b e g: IR IR é tal que g() = a + b, segue a = a e b = b as retas serão coincidentes. = - 3 Funções de mesmo coeficiente angular diferentes - - -6 f() = - 6-3 - -1 1 3 5 6 Podemos perceber que as funções f e g possuem o coeficiente angular diferente: f() = - 6 a = g() = - 3 a = 1 Então, as funções têm como gráfico retas concorrentes, ou seja, possuem um só ponto em comum P(3, ). Definição: -8-1
Se f: IR IR é tal que f() = a + b e g: IR IR é tal que g() = a + b, segue a a as retas serão concorrentes.
EXERCÍCIOS 1) Dada a função afim f() = - + 3, determine: 1 1 a) f(1) b) f() c) f f d) f 3 ) A tabela seguinte nos fornece o espaço em função do tempo para um carro que se movimenta numa rodovia. Determine a função horária do espaço e responda qual será a posição do carro 7 horas depois de iniciar o movimento 3) Numa eperiência, são medidos a massa e o volume de várias amostras de álcool, a graus Celsius. Os resultados obtidos encontram-se na tabela abaio. V (cm 3 ) 5 1 15 5 3 35 m (g) 8 1 16 8 a) Verifique se o volume (V) e a massa (m) são diretamente proporcionais. Em caso afirmativo, calcule a constante de proporcionalidade (K). b) Escreva a função matemática que relaciona a massa ao volume para essa eperiência. c) Construa o gráfico da massa em função do volume. d) Determine a massa de 6 cm 3 de álcool. e) Calcule o volume de 6 g de álcool. ) O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$75., e que, depois de 6 anos de uso, é R$ 1.,, qual seu valor após anos de uso, em reais? 5) Um comerciante teve uma despesa de R$3, na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$5,, o lucro final L será dado em função das unidades vendidas. Responda: a) Qual a lei dessa função f; b) Para que valores de têm f() <? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de haverá um lucro de R$315,? d) Para que valores de o lucro será maior que R$8,?
6) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fio de R$8, mais um custo variável de R$,5 por unidade produzida. Sendo o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de peças. b) calcule o custo para 1 peças. 7) O custo C de produção de litros de certa substância é dado por uma função linear de, com, cujo gráfico está representado abaio. Nessas condições, o custo de R$ 7, corresponde à produção de quantos litros? 8) Para ser aprovado, um aluno precisa ter média igual ou maior a 6. Se ele obteve notas 3 e 6 nas provas parciais (que têm peso 1, cada uma), quanto ele precisa tirar na nota final (que tem peso ) para ser aprovado? 9) A academia A cobra uma taa de matrícula de R$ 9, e uma mensalidade de R$ 5,. A academia B cobra uma taa de matrícula de R$ 7, e uma mensalidade de R$ 5,. A partir de quanto tempo a academia A se tornará mais vantajosa? 1) O preço de venda de um livro é de R$ 5, a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde a um valor fio de R$, mais R$ 6, por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de livros, e o lucro obtido na venda de 5 livros. 11) O salário de um vendedor é composto de uma parte fia no valor de R$ 8,, mais uma parte variável de 1% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 5,, calcule o valor de seu salário. 1) A figura representa uma mola ideal com uma de suas etremidades presa em uma parede vertical. Na primeira situação, a mola está relaada. Na segunda situação ela está sendo tracionada por uma força horizontal, crescente em módulo.
A tabela representa o comprimento (L) da mola em função da intensidade (F) das forças tensoras aplicadas nas suas etremidades. a) Complete a tabela dando a deformação () em função da força tensora. b) A intensidade da força tensora (F) e o comprimento (L) são diretamente proporcionais? Em caso afirmativo, qual a constante de proporcionalidade? c) A intensidade da força tensora (F) e a deformação () são diretamente proporcionais? Em caso afirmativo, qual a constante de proporcionalidade? Encontre a epressão matemática que relaciona F e. 13) O gráfico informa o custo mensal total (em reais) da produção de um solvente usado em indústrias químicas. Quanto pagará uma indústria que consumir um total de 15 litros de solvente? 1) A empresa de telefonia celular ABC oferece um plano mensal para seus clientes com as seguintes características: Para um total de ligações de até 5 minutos, o cliente paga um valor fio de R$,; Se os 5 minutos forem ecedidos, cada minuto de ecesso será cobrado pelo valor de R$1,5 (além dos R$, fios). a) Determine o valor pago por um cliente que utilizou o celular por 7 minutos em certo mês. b) Em certo mês, utilizando o plano descrito acima, o valor a ser pago por um cliente foi de R$11,5. Determine quantos minutos foram utilizados.
Função Composta 15) Dada f()= ²+ + 5, calcule o valor de f(f( 1)). 16) Sejam f e g funções reais, sendo que f() = e f(g()) = + 1. Determine a lei de formação da função g(). 17) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaio. Calcule f(g(1)) - g(f(1)). 18) Sejam as funções f()= 3 e g()= ² - +. Para qual valor de tem f(g()) = g(f())? 19) Sejam as funções compostas f(g()) = 1 e g(f())=. Sendo g()= + 1, calcule f(5) + g(). ) Suponha a função real g() = +1 e f() =. Encontre a função decorrente da composição de f(g()). 1) Os praticantes de eercícios físicos se preocupam com o conforto dos calçados utilizados em cada modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses calçados é diferente em vários países, porém eiste uma forma para converter essa numeração de acordo com os tamanhos. Assim, a função converte a numeração dos tênis fabricados no Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados Unidos, e a função f() = + 1 converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. Determine a função h que converte a numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos. Função do º Grau ) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. 3) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 13. ) Um azulejista usou azulejos quadrados e iguais para revestir 5m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo?
5) Estima-se que, daqui a anos, o número de pessoas que visitarão um determinado museu será dado por N() = 3² 1 + 3. a) Atualmente, qual é o número de pessoas que visitam o museu? b) Quantas pessoas visitarão o museu no 1º ano? c) Daqui a quantos anos será registrado o menor número de visitantes? d) Qual é esse menor número de visitantes? Função Eponencial 6) Determinar os valores de para os quais = 3. 7) Determinar os valores de para os quais = 1. 8) Resolver a equação 7 = 3. 9) Resolver a equação 65 = 5. 3) Determinar o valor de para o qual (1/3) = 3. 31) Determinar o valor de para o qual (/9) = 81/16. 3) Qual é o conjunto solução da equação eponencial 5 + = 15? 33) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem crescendo em relação ao tempo, contado em anos, aproimadamente, segundo a relação: P(t) = P(). -,5t. Sendo P() uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial. 3) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v. -,t, em que v é uma constante real. Se, após 1 anos, a máquina estiver valendo R$ 1.,, determine o valor que ela foi comprada. 35) A massa de substância radioativa em certa amostra é dada, pela epressão A(t) = 5.,9t, com t em anos e A(t) em gramas. Quantos gramas havia no início da contagem do tempo? E 1 anos depois? 36) Uma população de bactérias aumenta 5% em cada hora. No início eram 1 bactérias. a) Determine uma epressão para a função. b) Determine o número de bactérias ao fim de horas? 37) Uma casa popular na periferia de certa cidade brasileira vale atualmente R$.,, porém o abandono sofrido pelo imóvel e a ação do tempo, tem feito com que o mesmo se desvalorize 1% a cada ano sem nenhuma reforma. Desta forma, após quanto tempo o imóvel valerá R$ 16.,?
38) As matas ciliares desempenham importante papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua recuperação é o plantio de mudas. O gráfico mostra o número de mudas ( )=. t ( < 1 > ) a serem plantadas no tempo t (em anos), numa determinada região. De acordo com os dados, calcule o número de mudas a serem plantadas, quando t = anos.