Aula 5 Senado Federal Parte 2

Aula 5 Senado Federal Parte Estatístca... Classe... 8 Lmtes de classe... 8 Ampltude de um ntervalo de classe... 9 Ampltude total da Dstrbução... 9 Ponto médo de uma classe... 9 Tpos de frequêncas... 10 Meddas de Posção... 15 Médas... 15 Propredades da méda artmétca... 19 Cálculo Smplfcado da Méda Artmétca... 1 Medana (Md)... 35 Moda... 49 Moda Bruta... 51 Processo de Czuber... 51 Processo de Kng... 5 Propredades da Moda... 53 Meddas de dspersão ou varabldade... 55 Desvo Absoluto Médo (Dm)... 56 Desvo padrão e Varânca... 61 Propredades da Varânca... 68 Propredades do Desvo padrão... 69 Método smplfcado para o desvo padrão e varânca... 71 Medda de dspersão relatva... 77 Coefcente de Varação de Pearson (CV P )... 77 Relação das questões comentadas nesta aula... 80 Gabartos... 93 1

Estatístca A Estatístca, ramo da Matemátca Aplcada, teve orgem na hstóra do homem. Desde a Antgudade, város povos regstravam o número de habtantes, de nascmentos, de óbtos, dstrbuíam equtatvamente terras ao povo. Na Idade Méda colham-se nformações, geralmente com fnaldades trbutáras ou bélcas. No níco do século XVIII o estudo de tas fatos fo adqurndo feção verdaderamente centífca. A palavra fo proposta pela prmera vez no século XVII, em latm, por Schmetzel na Unversdade de Lena e adotada pelo acadêmco alemão Godofredo Achenwall. As tabelas tornaram-se mas completas, surgram as representações gráfcas e o cálculo das probabldades, e a Estatístca dexou de ser uma smples catalogação de dados numércos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população), partndo da observação de partes do todo (amostras). Podemos dzer, então, que a Estatístca é uma parte da Matemátca Aplcada que fornece métodos para a coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados para a utlzação dos mesmos na tomada de decsões. A coleta, organzação e a descrção dos dados estão a cargo da Estatístca Descrtva. A análse e a nterpretação dos dados fcam a cargo da Estatístca Inferencal. O aspecto essencal da Estatístca é o de proporconar métodos nferencas, que permtam obter conclusões que transcendam os dados obtdos ncalmente. Vamos à prmera fase de um processo estatístco. Imagne que você fo o encarregado para fazer uma pesqusa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são mutos alunos, você decdu realzar uma pesqusa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feto uma coleta de dados relatvos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a segunte tabela de valores: 166 160 161 150 16 160 165 167 164 160 16 161 168 163 156 173 160 155 164 168 155 15 163 160

155 155 169 151 170 164 154 161 156 17 153 157 156 158 158 161 Obvamente, quando você começa a sua pesqusa, os seus dados não estão organzados. A esses dados desorganzados denomnamos dados brutos. A esse tpo de tabela, cujos elementos não foram numercamente organzados, denomnamos tabela prmtva. O próxmo passo, após realzar a coleta dos dados, é organzar esses dados em ordem crescente ou decrescente. Denomnamos os dados dspostos em ordem crescente ou decrescente de rol. Em suma, um rol é um arranjo de dados numércos brutos em ordem crescente ou decrescente. Colocar os dados brutos em rol é uma das fases da Estatístca Descrtva. À dferença entre o maor e o menor número do rol chama-se ampltude total dos dados. Então vamos lá... Coloquemos os dados em ordem crescente! 150 155 156 160 161 16 164 168 151 155 156 160 161 163 165 169 15 155 157 160 161 163 166 170 153 155 158 160 161 164 167 17 154 156 158 160 16 164 168 173 Um pouco melhor ou não? Agora, podemos saber, com relatva facldade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maor (173 cm); que a ampltude total de varação fo de 173 150 = 3 cm. 01. (Economsta - Insttuto de Prevdênca do Estado de Santa Catarna FEPESE/006) Verfque os conjuntos A, B, C e D abaxo, no formato de rol e assnale a alternatva correta. 3

a) A ampltude total do conjunto C é gual a 0,8. b) Não é possível calcular a ampltude total do conjunto D, pos estamos dante de um rol decrescente. c) A ampltude de todos os conjuntos é gual a 7. d) A ampltude total do conjunto A é,1. e) A ampltude total do conjunto B é o dobro da ampltude total do conjunto A. Resolução O prmero passo é organzar os conjuntos A, B, C e D em formato de rol. Tanto faz organzar em ordem crescente ou decrescente. Por questão de costume, organzare em ordem crescente. A 0,05 0,5 1 3 5 5,1 B 0,5 0,5 1 3 7 10 10,35 C 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 D 1 3 3 4 5 A ampltude total de um conjunto é a dferença entre o maor elemento e o menor elemento. Assm: a) A ampltude total do conjunto C é gual a 0,07 0,01 = 0,06. A letra A é, portanto, falsa. b) A ampltude total do conjunto D é 5 1 = 4. A letra B é, portanto, falsa. c) A ampltude de todos os conjuntos é gual a 10,35 0,01 =10,34. A letra C é, portanto, falsa. d) A ampltude total do conjunto A é gual a 5,1 0,05 = 5,05. A letra D é, portanto, falsa. e) A ampltude total do conjunto B é gual a 10,35 0,5 = 10,1. Portanto a ampltude total do conjunto B é o dobro da ampltude total do conjunto A e a alternatva E é verdadera. Letra E 4

0. (Audtor Interno do Poder Executvo- Secretaras de Estado da Fazenda e da Admnstração 005 FEPESE) Os pesos de 80 pacentes nternados em um hosptal estão relaconados na tabela abaxo. Com referênca a essa tabela, determne a ampltude total. Assnale a únca alternatva correta. a) 49 b) 53 c) 79 d) 80 e) 97 Resolução A ampltude total de um conjunto é a dferença entre o maor elemento e o menor elemento. O maor elemento desse conjunto é 99 (4ª coluna e 6ª lnha) e o menor elemento é 50 (9ª coluna e 7ª lnha). Assm a ampltude total é 99 50 = 49. Letra A Vamos começar um estudo pormenorzado das dstrbuções de frequêncas, seus elementos e propredades. Voltemos ao exemplo ncal de nossa aula para entendermos as próxmas explcações. 5

Imagne que você fo o encarregado de fazer uma pesqusa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são mutos alunos, você decdu realzar uma pesqusa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feto uma coleta de dados relatvos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a segunte tabela de valores: 166 160 161 150 16 160 165 167 164 160 16 161 168 163 156 173 160 155 164 168 155 15 163 160 155 155 169 151 170 164 154 161 156 17 153 157 156 158 158 161 Denomnamos os dados dspostos em ordem crescente ou decrescente de rol. 150 155 156 160 161 16 164 168 151 155 156 160 161 163 165 169 15 155 157 160 161 163 166 170 153 155 158 160 161 164 167 17 154 156 158 160 16 164 168 173 Denomnamos frequênca o número de alunos que fca relaconado a um determnado valor da varável. Obtemos, assm, uma tabela que recebe o nome de dstrbução de frequênca. Por exemplo, temos 4 alunos com 161 cm de altura. Portanto 4 é a frequênca do dado 161 cm. Vamos relaconar cada dado com a sua frequênca correspondente. Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. 150 1 158 167 1 151 1 160 5 168 6

15 1 161 4 169 1 153 1 16 170 1 154 1 163 17 1 155 4 164 3 173 1 156 3 165 1 157 1 166 1 Total 40 O processo dado é anda nconvenente, já que exge muto espaço, mesmo quando o número de valores da varável é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mas acetável, pela própra natureza da varável contínua, é o agrupamento em város ntervalos. Assm, se um dos ntervalos for, por exemplo, 154 158 (154 x< 158), em vez de dzermos que a estatura de 1 aluno é 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, dremos que 9 alunos têm estaturas entre 154, nclusve, e 158 cm, exclusve. Deste modo, estaremos agrupando os valores da varável em ntervalos, sendo que, em Estatístca, prefermos chamar os ntervalos de classes. O símbolo será muto utlzado e sgnfca que ncluímos o lmte nferor do ntervalo e excluímos o lmte superor do ntervalo. Chamando de frequênca de uma classe o número de valores da varável pertencentes à classe, os dados da tabela acma podem ser dspostos como na próxma tabela, denomnada dstrbução de frequênca com ntervalos de classe: Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas (cm) Frequênca 150 154 4 154 158 9 158 16 11 16 166 8 166 170 5 170 174 3 7

Total 40 Ao agruparmos os valores da varável em classes, ganhamos em smplcdade, mas perdemos em pormenores. Não sabemos mas qual a altura exata de cada um dos alunos. O que pretendemos com a construção dessa nova tabela, é realçar o que há de essencal nos dados e, também tornar possível o uso de técncas analítcas para sua total descrção, até porque a Estatístca tem por fnaldade específca analsar o conjunto de valores, desnteressando-se por casos solados. Analsemos, agora, detalhadamente, cada um dos elementos de uma dstrbução de frequêncas. Elementos de uma dstrbução de frequênca Estaturas de 40 alunos Ponto dos Concursos Estaturas (cm) Frequênca 150 154 4 154 158 9 158 16 11 16 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 Classe É cada um dos grupos ou ntervalos obtdos a partr do agrupamento ou conjunto de dados. Por exemplo, a tercera classe é 158 16. Lmtes de classe Denomnamos lmtes de classe os extremos de cada classe. O menor número é o lmte nferor da classe ( l nf ) e o maor número, o lmte superor da classe ( l sup ). Na segunda classe, por exemplo, temos: 8

l nf = 154 e l sup = 158 Ampltude de um ntervalo de classe Ampltude de um ntervalo de classe ou, smplesmente, ntervalo de classe é a medda do ntervalo que defne a classe. É obtda pela dferença entre os lmtes superor e nferor dessa classe e desgnamos por h. Assm, h= l l Por exemplo, na tercera classe da tabela acma, temos: sup nf h = 16 158 = 4 Ampltude total da Dstrbução Ampltude total da dstrbução (AT) é a dferença entre o lmte superor da últma classe (lmte superor máxmo) e o lmte nferor da prmera classe (lmte nferor mínmo). Em nosso exemplo, temos: AT = l l máx mín AT = 174 150 = 4 AT = 4cm É evdente que, se as classes possuem o mesmo ntervalo, verfcamos a rela AT = K h. Essa expressão é de fácl compreensão, vsto que são 6 classes e que a ampltude de cada classe é gual a 4. Assm, a ampltude total é gual a 6 x 4 = 4. Ponto médo de uma classe Ponto médo de uma classe ( x ) é, como o própro nome ndca, o ponto que dvde o ntervalo de classe em duas partes guas. Para obtermos o ponto médo de uma classe, calculamos a méda artmétca dos lmtes da classe. x lm = nf + lm sup Assm, o ponto médo da quarta classe, em nosso exemplo é: 9

x lm + lm 16 + 166 = = = 164 nf4 sup4 4 x4 x4 = 164cm O ponto médo de uma classe é o valor que a representa. Se as ampltudes dos ntervalos de classes forem constantes (como aconteceu no nosso exemplo), podemos calcular os pontos médos das classes da segunte manera: ) Calculamos o prmero ponto médo. ) Para calcular os próxmos pontos médos, basta adconar a ampltude de cada classe ao ponto médo da classe anteror. Dessa forma, como o prmero ponto médo é 15 cm, o próxmo ponto médo é 15 + 4 = 156. O tercero ponto médo é 156 + 4 = 160 cm. Estaturas (cm) X 150 154 15 154 158 156 158 16 160 16 166 164 166 170 168 170 174 17 Tpos de frequêncas Frequêncas smples ou absolutas ( f ) São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüêncas smples é gual ao número total dos dados. k = 1 f = n O símbolo sgnfca somatóro. Nesse caso, como k = 6 (número de classes), então 10

í 1 6. 4 9 11 8 5 3 40 Frequêncas relatvas ( fr ) São os valores das razões entre as frequêncas smples e a frequênca total, normalmente expressas em porcentagem. fr = f n Lembre-se que para transformar qualquer fração para a forma percentual devemos multplcá-la por 100%. No nosso exemplo, a freqüênca relatva da tercera classe é: f3 11 fr3 = = 100% = 7,5% fr3 = 7,5% 40 40 Evdentemente o somatóro das frequêncas relatvas é gual a 1 (100%). O propósto das frequêncas relatvas é o de permtr a análse ou facltar as comparações de cada classe com o total de observações. Frequênca absoluta acumulada crescente abaxo de ( fac ) É o total das frequêncas de todos os valores nferores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. fac = f1+ f +... + f O procedmento para o cálculo desta frequênca é o segunte: ) Repete-se a frequênca absoluta da prmera classe. ) Para calcular a próxma frequênca acumulada, devemos somar a frequênca acumulada anteror com a frequênca absoluta da classe correspondente. 11

Estaturas (cm) f fac 150 154 4 4 154 158 9 13 158 16 11 4 16 166 8 3 166 170 5 37 170 174 3 40 Total 40 O que sgnfca exstrem 4 alunos com estatura abaxo de 16 cm (lmte superor da tercera classe). Frequênca absoluta acumulada decrescente ( fad ) É o total das frequêncas de todos os valores superores ao lmte nferor do ntervalo de uma dada classe. fad = f + f + 1 +... + f k O procedmento para o cálculo desta frequênca é o segunte: ) Repete-se a frequênca absoluta da últma classe. ) Para calcular a próxma frequênca acumulada (de baxo para cma), devemos somar a frequênca acumulada anteror com a frequênca absoluta da classe correspondente. 1

Estaturas (cm) f fad 150 154 4 40 154 158 9 36 158 16 11 7 16 166 8 16 166 170 5 8 170 174 3 3 Total 40 O que sgnfca exstrem 7 alunos com estatura gual ou superor a 158 cm (lmte nferor da tercera classe). Podemos representar essas frequêncas acumuladas na forma percentual (frequênca relatva acumulada) dvdndo pelo total de observações (n) e multplcando por 100%. 03. (Economsta - Insttuto de Prevdênca do Estado de Santa Catarna FEPESE/006) Em uma pesqusa realzada em uma empresa prestadora de servços de lmpeza, obteve-se a dstrbução de freqüênca apresentada na tabela que segue. Analse os dados e assnale a alternatva correta. a) Somente 5% dos empregados recebem o saláro com valor superor a R$ 1.400,00. b) O valor médo de saláro da empresa é de R$ 799,00. c) A porcentagem de empregados que ganham saláros dentro da prmera classe estabelecda é de 10%. 13

d) A porcentagem de empregados que ganham menos que R$ 1.100,00 por mês é de 50 %. e) 5% dos empregados recebem um saláro entre R$ 1.100,00 e R$ 1.00,00. Resolução O total de empregados é gual a 96 (basta somar as frequêncas das classes). a) Quantos empregados recebem saláro com valor superor a R$ 1.400,00? A resposta dessa pergunta é a frequênca da últma classe: quatro. Como queremos expressar essa quantdade em termos percentuas, devemos dvd-la pelo total de empregados. Falsa 4 100% 4,17% 96 b) Anda não estudamos valor médo. Esta alternatva também é falsa. c) Para calcular a porcentagem de empregados que ganham saláros dentro da prmera classe, devemos dvdr a frequênca da prmera classe por 96 e multplcar por 100%. Falsa 8 100% 8,34% 96 d) Os empregados que ganham menos que R$ 1.100,00 pertencem à prmera, segunda, tercera e quarta classes. Temos 8 + 10 + 16 + 14 = 48 empregados (frequênca acumulada crescente). Para expressar esse número em termos percentuas, devemos dvdr por 96 e multplcar por 100%. Verdadero! 48 100% 50% 96 14

e) São 5 empregados que recebem o saláro entre R$ 1.100,00 e R$ 1.00,00 e esse número, em termos percentuas é Falsa Meddas de Posção 5 100% 6,04% 96 Letra D Nos tens anterores, vmos como resumr um conjunto de dados em tabelas de frequênca e também como representá-los grafcamente. Agora, a partr dos valores assumdos por uma varável quanttatva, vamos estabelecer meddas correspondentes a um resumo da dstrbução de tas valores. Estabeleceremos um valor médo ou central e um valor ndcatvo do grau de varabldade ou dspersão em torno do valor central. Como valores centras vamos estudar a méda, a medana (e outras meddas separatrzes como o decl, quartl, percentl, etc) e a moda. Médas Uma dea bastante mportante é a de méda. Estudaremos apenas a méda artmétca. Vejamos um exemplo. Sabendo-se que a produção letera dára de uma vaca, durante uma semana, fo de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 ltros, temos para produção méda da semana: Logo, x = 14 ltros. 10 + 14 + 13+ 15 + 16 + 18 + 1 98 x = = = 14 7 7 Ou seja, para calcular a méda artmétca de uma lsta de números, devemos somar os valores e dvdr pela quantdade de dados. x = x + x + x + + x n 1 3... n Em suma, méda artmétca para o rol é o quocente da dvsão da soma dos valores da varável pelo número deles: 15

Sem ntervalos de classe x = n x Dados agrupados Consderamos a dstrbução relatva a 34 famílas de quatro flhos, tomando para varável o número de flhos do sexo masculno. Nº de mennos f 0 1 6 10 3 1 4 4 Neste caso, como as frequêncas são números ndcadores da ntensdade de cada valor da varável, elas funconam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a méda artmétca ponderada, dada pela fórmula: x f x = n O modo mas prátco de obtenção da méda ponderada é abrr, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos x f. x f x f 0 0 1 6 6 10 0 3 1 36 4 4 16 xf = 78 16

A prmera lnha nos dz que exstem famílas com nenhum flho homem, totalzando 0 flhos. A segunda lnha nos dz que exstem 6 famílas com 1 flho homem, totalzando 6 flhos homens. A tercera lnha nos dz que exstem 10 famílas com flhos homens, totalzando 0 flhos homens. E assm sucessvamente. No total, essas 34 famílas, possuem juntas 78 flhos homens. Temos, então: Isto é, xf 78 x = = =,3 n 34 x =,3 mennos Observação: Sendo x uma varável dscreta, como nterpretar o resultado obtdo, mennos e 3 décmos de menno? O valor médo,3 mennos sugere, neste caso, que o maor número de famílas tem mennos e mennas, sendo, porém, a tendênca geral de uma leve superordade numérca em relação ao número de mennos. Com ntervalos de classe Neste caso, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo, e determnamos a méda artmétca ponderada por meo da fórmula Onde x é o ponto médo da classe. x f x = n Ora, quando temos dados dstrbuídos em classes perdemos nformações. Não temos mas as alturas exatas de cada um dos alunos. Olhe, por exemplo, para a segunda classe da tabela segunte. Temos 9 alunos com a altura entre 154 (nclusve) e 158 cm. Não sabemos a altura de cada um dos 9 alunos. Convenconamos que os 9 alunos possuem 156 cm (ponto médo da classe). 17

Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas (cm) Frequênca 150 154 4 154 158 9 158 16 11 16 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 Vamos, ncalmente, abrr uma coluna para os pontos médos e outra para os produtos x f. Estaturas (cm) f x x f 150 154 4 15 608 154 158 9 156 1404 158 16 11 160 1760 16 166 8 164 131 166 170 5 168 840 170 174 3 17 516 Total 40 xf = 6440 Neste caso, 18

xf 6440 x = = = 161 cm n 40 Vamos agora conhecer algumas propredades mportantíssmas sobre méda artmétca para que possamos garantr alguma eventual questão teórca sobre este assunto e aprovetar para aprendermos um método mas fácl para calcular méda artmétca em dstrbuções de frequêncas. Propredades da méda artmétca ) A méda artmétca sempre exste e é únca. ) Somando-se (ou subtrando-se) uma constante c de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. ) Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante c, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. v) A soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nula. v) A soma dos quadrados dos desvos tomados em relação à méda artmétca é um valor mínmo. Vamos verfcar essas propredades através de exemplos. Consderemos a sequênca de dados (,4,6,8,10,10,1,1), calculemos sua méda e verfquemos as propredades acma: + 4 + 6 + 8 + 10 + 10 + 1 + 1 x = 8 x = 8 Consderemos uma constante c=. Adconando essa constante a todos os valores da sequênca acma, temos a sequênca (4,6,8,10,1,1,14,14). E a nova méda será: Observe que x' = x+. 4+ 6+ 8+ 10+ 1+ 1+ 14+ 14 x ' = 8 x ' = 10 Multplquemos agora a constante c= e obtemos a sequênca (4,8,1,16,0,0,4,4) cuja méda é: 19

Observe que x'' = x. 4 + 8 + 1 + 16 + 0 + 0 + 4 + 4 x '' = 8 x '' = 16 Anda trabalhando na sequênca (,4,6,8,10,10,1,1). Sabemos que a méda artmétca desse conjunto de dados é x = 8. Denomnamos desvo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. Para o exemplo dado, temos: d1 = x1 x= 6 d5 = x5 x= d = x x= 4 d6 = x6 x= d3 = x3 x= d7 = x7 x= 4 d = x x= 0 d = x x= 4 4 4 8 8 Faclmente verfcamos que a soma dos desvos em relação à méda é gual a zero. De fato, d = 6 4 + 0+ + + 4= 0 Fnalmente, verfquemos a 5ª propredade. Calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação à méda artmétca: d = ( 6) + ( 4) + ( ) + 0 + + + 4 + 4 d = 96 A propredade nos dz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínmo. Isso porque, se construrmos um conjunto dos desvos d ' formado pela dferença entre os elementos x do conjunto e uma constante que não seja a méda, ou seja, um conjunto dos desvos em torno de um valor qualquer dferente da méda e, feto sso, acharmos o conjunto ( d ') e em seguda calcularmos o seu somatóro ( d '), este últmo valor será maor do que 96. Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação ao número 5 (dferente da méda artmétca 8). ( d ') = ( 3) + ( 1) + 1 + 3 + 5 + 5 + 7 + 7 ( d ') = 168 0

. Assm, ( d ') > ( d ) De posse dessas propredades, vamos aprender um método smplfcado (através de uma questão resolvda) para o cálculo da méda artmétca em dstrbuções de frequêncas. Esse método só é váldo nos casos em que as ampltudes das classes são constantes! Cálculo Smplfcado da Méda Artmétca 04. (PETROBRAS 008 Admnstrador Júnor CESGRANRIO) A tabela abaxo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectvas frequêncas. Não há observações concdentes com os extremos das classes. Classes (em kgf) Frequêncas 40 50 50 60 5 60 70 7 70 80 8 80 90 3 O peso médo do conjunto de pessoas, em kgf, é (A) 60 (B) 65 (C) 67 (D) 70 (E) 75 Resolução I Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. 1

Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. O ponto médo é a méda artmétca dos extremos da classe. Por exemplo, o ponto médo da prmera classe é 40 + 50 90 = = 45. Classes (em kgf) Frequêncas x x.f 40 50 45 90 50 60 5 55 75 60 70 7 65 455 70 80 8 75 600 80 90 3 85 55 Basta-nos agora somar os valores da coluna x f e dvdr pela quantdade de observações. x xf 90 + 75 + 455 + 600 + 55 1675 = = = = 67kgf n + 5+ 7+ 8+ 3 5 Letra C Resolução II Baseado nas propredades da méda artmétca que descrev na anterormente, podemos agora resolver essa questão usando um artfíco: calcular a méda com o auxílo da varável transformada. Este método que re descrever só poderá ser utlzado se as ampltudes de TODAS classes forem guas. No nosso exemplo, as ampltudes de todas as classes são guas a 10 kgf (50 40 = 60 50 =... = 90 80 = 10). Méda artmétca ) Somando-se (ou subtrando-se) uma constante qualquer de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou

dmnuída) dessa constante. ) Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante qualquer, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. A mudança de varável será feta da segunte forma: subtraremos certa constante a todos os valores da varável. Assm, a méda artmétca também será subtraída. Em seguda, dvdremos por outra constante todos os valores obtdos. Assm, a méda artmétca será dvdda por essa constante. A constante que remos subtrar será qualquer um dos pontos médos. A constante que remos dvdr será a ampltude das classes. Daremos orgem a uma varável Y defnda por Y X X h =, onde X é o ponto médo de uma classe qualquer e h é ampltude das classes. Daremos preferênca ao ponto médo da prmera classe! Dessa forma, a varável transformada será Assm, Y X 45 10 =. Y 1 45 45 = = 0 Y 10 55 45 = = 1 Y3 10 65 45 = = 10 Y 4 75 45 = = 3 Y5 10 85 45 = = 4 10 Não fo concdênca!! Se fzermos essa mudança de varável (subtrar o ponto médo da prmera classe e dvdr pela ampltude das classes), a varável transformada sempre assumrá os valores 0,1,,3,4,... Construímos a segunte tabela: y Frequêncas 0 1 5 7 3 8 4 3 3

Calcularemos a méda artmétca da varável transformada Y. Para sso, multplcaremos os valores obtdos pelas suas respectvas frequêncas: y Frequêncas y.f 0 0 1 5 5 7 14 3 8 4 4 3 1 A méda será y yf 0 + 5 + 14 + 4 + 1 55 = = = =, kgf n + 5+ 7+ 8+ 3 5. Essa é a méda da varável transformada Y! Se Y X 45 =, então concluímos que X = 10 Y + 45. 10 Agora aplcamos as propredades da méda artmétca. A méda de X será a méda de Y multplcada por 10 e adconada 45 undades. Se X = ay + b, então X = ay + b X = 10, + 45 = 67kgf. Letra C Dexe-me resumr o método (admtndo que escolheremos o prmero ponto médo para a mudança de varável e que as ampltudes de todas as classes são guas): ) Construa a coluna da varável transformada Y, consttuída pelos números naturas 0,1,,3,4,5... (Você não precsa fazer o cálculo para descobrr os valores da varável Y. Eles sempre assumrão esses valores.) 4

) ) Multplque os valores da varável transformada pelas respectvas frequêncas, some os valores e dvda por n (n é o somatóro das frequêncas). Assm, calculamos a méda da varável transformada. Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. Vamos resolver novamente a questão utlzando o dspostvo prátco. Classes (em kgf) Frequêncas 40 50 50 60 5 60 70 7 70 80 8 80 90 3 Abrmos a coluna da varável transformada e multplcamos pelas respectvas frequêncas. Classes (em kgf) Frequêncas y y.f 40 50 0 x0=0 50 60 5 1 5x1=5 60 70 7 7x=14 70 80 8 3 8x3=4 80 90 3 4 3x4=1 y yf 0 + 5 + 14 + 4 + 1 55 = = = =, kgf n + 5+ 7+ 8+ 3 5 Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos (10) e adconamos o ponto médo da prmera classe (45). X = 10, + 45 = 67kgf 5

Vamos calcular novamente a méda artmétca das estaturas dos 40 alunos do Ponto dos Concursos. Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas (cm) Frequênca 150 154 4 154 158 9 158 16 11 16 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 Já que as ampltudes são constantes (154 150 =... = 174-170 = 4 ), podemos aplcar o dspostvo prátco com o auxílo da varável transformada. Abrmos a coluna da varável transformada e multplcamos pelas respectvas frequêncas. Estaturas (cm) f y y f 150 154 4 0 4 x 0 = 0 154 158 9 1 9 x 1 = 9 158 16 11 11 x = 16 166 8 3 8 x 3 = 4 166 170 5 4 5 x 4 = 0 170 174 3 5 3 x 5 =15 Total 40 y f = 90 6

yf 90 y = = =, 5 n 40 Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos (4) e + 154 adconamos o ponto médo da prmera classe (150 15 = ). X = 4, 5 + 15 = 161cm. 05. (Audtor IBGE CESGRANRIO 010) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de frequêncas das dades de um grupo de cranças. Classes (em anos) f 0-5 - 4 4-6 4 6-8 8-10 7 A méda das dades dessas cranças, em anos, é (A) 5,0 (B) 5, (C) 5,4 (D) 5,6 (E) 5,8 Resolução Já que as ampltudes são constantes ( 0 = 4 =... = 10 8 = ), podemos calcular a méda artmétca com o auxílo da varável transformada. 7

) Construa a coluna da varável transformada Y, consttuída pelos números naturas 0,1,,3,4,5... ) Multplque os valores da varável transformada pelas respectvas frequêncas, some os valores e dvda por n (n é o somatóro das frequêncas). Assm, calculamos a méda da varável transformada. ) Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. y f y f 0 5 0 1 4 8 3 6 4 7 8 Total 0 44 y yf 44 = = =, n 0 Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos () e 0+ adconamos o ponto médo da prmera classe ( = 1). X =, + 1= 5,4. Letra C 06. (Estatístco Pref. Manaus 004 CESGRANRIO) Analse as afrmatvas a segur, a respeto da méda artmétca. I - a soma dos resíduos em relação à méda artmétca é sempre gual a zero; II - é em relação à méda artmétca que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma; 8

III - é em relação à méda artmétca que a soma dos quadrados dos resíduos é mínma. Está(ão) correta(s) a(s) afrmatva(s): (A) II, somente. (B) I e II somente. (C) I e III somente. (D) II e III somente. (E) I, II e III. Resolução Questão puramente teórca! Uma dgna aula sobre méda artmétca. Vamos analsar cada um dos tens: I. A soma dos resíduos em relação à méda artmétca é sempre gual a zero. (VERDADEIRO) Já justfque essa propredade com um exemplo. E-lo novamente. Consderemos a sequênca de dados (,4,6,8,10,10,1,1). A méda artmétca é dada por x = + 4 + 6 + 8 + 10 + 10 + 1 + 1 8 x = Sabemos que a méda artmétca desse conjunto de dados é x = 8. Denomnamos desvo ou resíduo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. Para o exemplo dado, temos: 8 d = x x= 6 d = x x= 1 1 5 5 d = x x= 4 d = x x= 6 6 d = x x= d = x x= 4 3 3 7 7 d = x x= 0 d = x x= 4 4 4 8 8 9

Faclmente verfcamos que a soma dos desvos em relação à méda é gual a zero. De fato, d = 6 4 + 0+ + + 4= 0. Obvamente essa não fo uma demonstração matemátca. Apenas lustre a propredade através de um exemplo. De fato, qualquer que seja a dstrbução de dados, a soma dos desvos em relação à méda sempre é gual a zero! II - é em relação à méda artmétca que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma. (FALSO) A proposção é falsa, pos é em relação à medana (estudaremos anda nesta aula) que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma. III - é em relação à méda artmétca que a soma dos quadrados dos resíduos é mínma. (VERDADEIRO) Voltemos ao nosso exemplo: a sequênca (,4,6,8,10,10,1,1). Os desvos em relação à meda já foram calculados. Para calcular a soma dos quadrados, devemos elevar cada resíduo ao quadrado e depos somar. d = ( 6) + ( 4) + ( ) + 0 + + + 4 + 4 d = 96 A propredade nos dz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínmo. Isso porque, se construrmos um conjunto dos desvos d ' formado pela dferença entre os elementos x do conjunto e uma constante que não seja a méda, ou seja, um conjunto dos desvos em torno de um valor qualquer dferente da méda e, feto sso, acharmos o conjunto ( d ') e em seguda calcularmos o seu somatóro ( d '), este últmo valor será maor do que 96. Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação ao número 5 (dferente da méda artmétca 8). ( d ') = ( 3) + ( 1) + 1 + 3 + 5 + 5 + 7 + 7 ( d ') = 168 30

Assm, ( d') > ( d). Letra C 07. (MPE-RO CESGRANRIO 005) A tabela apresenta uma dstrbução de frequênca dos saláros dos 00 empregados de certa empresa. Saláro (R$) Frequênca 60 50 50 50 1040 100 1040 1560 30 1560-600 0 O saláro médo, aproxmadamente, vale: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1430,00 Nessa questão as ampltudes não são constantes!! Portanto, não poderemos calcular a méda artmétca com o auxílo da varável transformada. Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. 31

Lembre-se que para calcular o ponto médo das classes, basta calcular a méda artmétca dos extremos das classes, por exemplo, o prmero ponto médo é 60 + 50 = 390. Saláro (R$) x f x.f 60 50 390 50 19.500 50 1040 780 100 78.000 1040 1560 1300 30 39.000 1560-600 080 0 41.600 x xf 19.500 + 78.000 + 39.000 + 41.600 178.100 = = = = 890,50 n 00 00 Letra C 08. (TCE/SC 006 FEPESE) Para um estudo sobre bolsas escolares a serem dstrbuídas em determnada regão realzou-se uma pesqusa com 50 famílas, apurando-se o número de flhos de cada uma delas. Os dados estão representados na tabela abaxo: Assnale a alternatva que representa a méda do número de flhos na pesqusa realzada. a) 1,94 3

b) 0,34 c) 1,6 d) 0,6 e) 1,34 Resolução Neste caso, como as frequêncas são números ndcadores da ntensdade de cada valor da varável, elas funconam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a méda artmétca ponderada, dada pela fórmula: x f x = n O modo mas prátco de obtenção da méda ponderada é abrr, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos x f. x f x f 0 14 0 1 16 16 11 3 7 1 4 8 67 A prmera lnha nos dz que exstem 14 famílas com nenhum flho, totalzando 0 flhos. A segunda lnha nos dz que exstem 16 famílas com 1 flho, totalzando 16 flhos. A tercera lnha nos dz que exstem 11 famílas com flhos, totalzando flhos homens. E assm sucessvamente. No total, essas 50 famílas, possuem juntas 67 flhos. Temos, então: 33

67 50 1,34 Letra E 09. (TCE/SC 006 FEPESE) Na Fgura 1 é possível vsualzar o resultado de uma pesqusa sobre o tempo despenddo pelos funconáros de uma empresa no deslocamento de suas resdêncas até o local de trabalho. Assnale a alternatva que representa o tempo médo que os funconáros levam para se deslocarem de suas resdêncas até a empresa. a) 9,84 mnutos b) 7,84 mnutos c) 5,84 mnutos d) 8 mnutos e) 4 mnutos Resolução Podemos resolver essa questão pelo método tradconal (pelos pontos médos) ou pelo método smplfcado. Nesta questão, os valores são tão pequenos (e, além dsso, são nteros) que não vale a pena fazer pelo método smplfcado. Teríamos apenas trabalho em construr a dstrbução de frequêncas. O ponto médo da 34

prmera classe é. segunda classe é 6. tercera classe é 10. quarta classe é 14. Devemos multplcar cada ponto médo pela sua frequênca, somar esses valores e dvdr pelo total de observações (19+3+33+16=100). Assm, Medana (Md) 19 6 3 10 33 14 16 100 Letra B 7,84 A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. Dados não-agrupados Dada uma sére de valores, como, por exemplo: 5,10,13,1,7,8,4,3,9. De acordo com a defnção de medana, o prmero passo a ser dado é o da ordenação (colocar os dados brutos em rol) dos valores. 3,4,5,7,8,9,10,1,13. Em seguda, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à dreta e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o número 8, já que, nessa sére, há 4 elementos acma dele e quatro abaxo. Temos então, Md=8. 35

Se, porém a sére dada tver um número par de termos, a medana será, por defnção, qualquer dos números compreenddos entre os dos valores centras da sére. Convenconou-se utlzar o ponto médo. Assm, a sére de valores,6,7,10,1,13,18,1 tem para medana a méda artmétca entre 10 e 1. Logo, 10 + 1 Md = = 11 Md = 11 Verfcamos que, estando ordenados os valores de uma sére e sendo n o número de elementos da sére, o valor medano será: - o termo de ordem n + 1, se n for ímpar. n n - a méda artmétca dos termos de ordem e + 1, se n for par. Observações: ) O valor da medana pode concdr ou não com um elemento da sére. Quando o número de elementos da sére é ímpar, há concdênca. O mesmo não acontece, porém, quando esse número é par. ) A medana depende da posção e não dos valores dos elementos na sére ordenada. Essa é uma das dferenças marcantes entre a medana e a méda (que se dexa nfluencar, e muto, pelos valores extremos). ) A medana é também desgnada por valor medano. Dados Agrupados Sem ntervalos de classe Neste caso, é o bastante dentfcar a frequênca acumulada medatamente superor à metade da soma das freqüêncas. A medana será aquele valor da varável que corresponde a tal frequênca acumulada. X f fac 4 6 8 36

6 10 18 8 1 30 10 9 39 Verfcamos faclmente que o número de elementos da dstrbução é ímpar. Desta forma, temos apenas uma posção central. Posção central: 39 + 1 = 0 Temos então que a medana será o termo da 0ª posção. Através da frequênca acumulada temos que Md=8. X f fac 4 6 8 6 10 18 8 1 30 10 10 40 Neste segundo exemplo, o número de elementos da dstrbução é par, e, como vmos, teremos duas posções centras: 40 =0 e 0 + 1 = 1 Novamente, através da frequênca acumulada verfcamos que as duas posções centras são guas a 8. Assm, 8+ 8 Md = = 8. E como últmo exemplo: X f fac 4 6 8 37

6 10 18 8 1 30 10 6 36 Como o número de elementos é par, teremos duas posções centras. 36 =18 e 18 + 1 = 19. O termo de posção 18 é gual a 6 e o termo de posção 19 é gual a 8. Temos então que a medana será 6+ 8 Md = = 7. 10. (Economsta - Insttuto de Prevdênca do Estado de Santa Catarna FEPESE/006) Ao fazer um levantamento amostral do preço de combustível em 5 postos de abastecmento, foram obtdos os seguntes valores (em reas) para o ltro da gasolna:,57;,36;,60;,37 e,44. Dante desses dados assnale a frase correta: a) A dferença entre a méda e a medana é de R$ 0,03. b) A méda é uma medda que não leva em contra todos os valores do conjunto que está sendo analsado, entretanto, para os dados apresentados é uma alternatva para a análse estatístca dos resultados, pos a ampltude total do conjunto de dados é bastante pequena. c) A medana dos dados obtdos é R$,60. d) A méda é uma medda preferda nos estudos estatístcos, pos ela não é afetada pelos maores valores do conjunto de valores dados. e) Como todos os valores obtdos são dferentes pode-se afrmar que os dados obtdos tem 5 valores modas. Resolução Para calcular a méda artmétca basta somar os valores e dvdr por 5. 38

,57,36,60,37,44 5,468 Para calcular a medana devemos dspor os dados em rol (ordem crescente ou decrescente) e verfcar o termo que fca no meo. Logo, a medana é,44. Rol:,36 ;,37 ;,44 ;,57 ;,60 a) A dferença entre a méda e a medana é de,468,44 = 0,08. A alternatva A é falsa. Porém, o gabarto ofcal fo justamente esta alternatva. Consderando que a moeda Real trabalha com casas decmas, consderando a méda,47, então a dferença sera,47 -,44 = 0,03. Esta é a alternatva menos errada. b) O cálculo da méda leva em consderação todos os valores do conjunto. Falsa c) Falsa, pos a medana é,44. d) Falsa. A méda é afetada pelos maores valores do conjunto de valores dados. Por exemplo, temos os saláros de 5 pessoas: R$ 00,00 ; R$ 150,00 ; R$ 400,00 ; R$ 550,00 ; R$ 4.700,00 A méda é gual a R$ 5.00,00 (valor bastante afetado pelo valor extremo R$ 4.700,00). Estatístca: a cênca que dz que se eu com um frango e tu não comestes nenhum, teremos comdo, em méda, meo frango cada um. Ptgrll Italano (1893-1975)-Escrtor e) Anda não estudamos moda estatístca. Mas já adantando: quando todos os dados são dferentes, a dstrbução é denomnada amodal (sem moda). Falsa. Em tempo: moda é o termo que aparece com maor frequênca em um rol. Letra A (gabarto ofcal (menos errada)). E quanto ao cálculo da medana em dstrbuções de frequêncas? Vejamos através das próxmas questões resolvdas. 39

11. (PETROBRAS 008 Admnstrador Júnor CESGRANRIO) A tabela abaxo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectvas frequêncas. Não há observações concdentes com os extremos das classes. Classes (em kgf) Frequêncas O valor kgf, do peso conjunto de (A) 67 (B) 68 (C) 69 (D) 70 (E) 71 Resolução 40 50 50 60 5 60 70 7 70 80 8 80 90 3 aproxmado, em medano do pessoas é A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. No cálculo da medana em uma dstrbução de frequênca não teremos a preocupação de determnarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja maor ou gual ao valor de n. n 5 No nosso caso, n=+5+7+8+3=5. Assm, = = 1,5. Devemos construr a coluna de frequênca absoluta acumulada crescente. 40

E como se constró essa coluna? Para a prmera classe devemos smplesmente repetr a frequênca absoluta. Para as outras, devemos somar a frequênca absoluta da classe com a frequênca acumulada anteror. Dexe-me mostrar no exemplo: Classes (em kgf) Frequêncas Fac 40 50 50 60 5 +5=7 60 70 7 7+7=14 70 80 8 8+14= 80 90 3 3+=5 Ou seja, Classes (em kgf) Frequêncas Fac 40 50 50 60 5 7 60 70 7 14 70 80 8 80 90 3 5 Para determnar a classe medana, devemos comparar cada uma das frequêncas acumuladas com o valor 1,5. Quando encontrarmos o prmero valor que for maor ou gual a 1,5 teremos determnado a classe medana. Classes (em kgf) Frequêncas Fac 41

40 50 50 60 5 7 60 70 7 14 70 80 8 80 90 3 5 Classe medana (14 > 1,5) Estamos prontos para aplcarmos a fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: n facant Md l = nf + h f Lmte nferor da classe medana ( l nf = 60 ). n = 1,5 Frequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 7 ). Frequênca absoluta da classe medana ( f = 7 ) Ampltude da classe medana ( h = 70 60 = 10 ) A medana é dada por: n facant 1,5 7 Md = lnf + h= 60 + 10 67,85 68cm f 7 Letra B 1. (Audtor IBGE CESGRANRIO 010) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de frequêncas das dades de um grupo de cranças. 4

Classes (em anos) f 0-5 - 4 4-6 4 6-8 8-10 7 A medana da dstrbução de frequêncas apresentada é (A) 5,5 (B) 5,6 (C) 5,7 (D) 5,8 (E) 5,9 Resolução Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja n n 0 maor ou gual ao valor de. No nosso caso, n = 0. Logo, = = 10. Devemos construr a coluna de frequênca absoluta acumulada crescente. Classes (em anos) f Fac 0-5 5-4 7 4-6 4 11 43

6-8 13 8-10 7 0 Vamos procurar a classe medana. Basta olhar para a coluna de frequêncas n acumuladas e comparar com o valor = 10. A prmera frequênca acumulada que for maor ou gual a 10 caracterzará a classe medana. Verfcamos faclmente que 11>10. Classes (em anos) f Fac 0-5 5-4 7 4-6 4 11 6-8 13 Classe medana (11 > 10) 8-10 7 0 Coloque em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana ( l nf = 4 ). n = 10 Frequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 7 ). 44

Frequênca absoluta da classe medana ( f = 4 ) Ampltude da classe medana ( h = 6 4= ) A medana é dada por: n facant 10 7 Md = lnf + h = 4+ = 5,5 f 4 Letra A (MPE-RO CESGRANRIO 005) O enuncado a segur refere-se às questões de números 13 e 14. A tabela apresenta uma dstrbução de frequênca dos saláros dos 00 empregados de certa empresa. Saláro (R$) Frequênca 60 50 50 50 1040 100 1040 1560 30 1560-600 0 13. O saláro medano vale, aproxmadamente: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 45

(D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1 430,00 Resolução Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. n Para descobrr a classe medana devemos calcular. Como n = 00, temos n que = 100. E o que fazer agora? Construr a coluna das frequêncas acumuladas. Saláro (R$) Frequênca fac 60 50 50 50 50 1040 100 150 1040 1560 30 180 Classe medana (150 > 100) 1560-600 0 00 Novamente em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana ( l nf = 50 ). n = 100 Frequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 50 ). Frequênca absoluta da classe medana ( f = 100 ) 46

Ampltude da classe medana ( h = 1040 50 = 50 ). Observe que nessa questão as ampltudes não são constantes. Para o cálculo da medana deveremos utlzar a ampltude da classe medana!! Cudado... A medana é dada por: n facant 100 50 Md = lnf + h = 50 + 50 = 780 f 100 Letra B 14. O tercero quartl, aproxmadamente, vale: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1 430,00 Resolução O método para calcular o tercero quartl (e as outras meddas separatrzes como decs, percents e os outros quarts) é muto parecdo com o da medana. Em tempo: os decs dvdem a dstrbução em 10 partes de mesma frequênca. Os percents dvdem a dstrbução em 100 partes de mesma frequênca. Os quarts dvdem a dstrbução em 4 partes de mesma frequênca. A medana dvde a dstrbução em partes de mesma frequênca. n 3n Dferença: ao nvés de calcularmos o valor calcularemos. O 4 denomnador é gual a 4 porque trata-se de um quartl (dvdmos a dstrbução em quatros partes). O numerador é 3n porque estamos calculando o tercero quartl. Então, a únca cosa que va mudar na fórmula, é que ao nvés de n 3n utlzarmos utlzaremos. E para calcular a classe do tercero quartl 4 deveremos procurar a frequênca acumulada que é maor ou gual a 3 n. A 4 fórmula do tercero quartl fcará 47

3n facant Q 4 3 = lnf + h f Já que n = 00, então 3 n 3 = 00 = 150. 4 4 E o que fazer agora? Construr a coluna das frequêncas acumuladas. Saláro (R$) Frequênca fac 60 50 50 50 50 1040 100 150 1040 1560 30 180 Classe do tercero quartl (150=150) 1560-600 0 00 Novamente em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana ( l nf = 50 ). 3 n = 150 4 48

Frequênca acumulada da classe anteror à classe do tercero quartl ( fac = 50 ). ANT Frequênca absoluta da classe do tercero quartl ( f = 100 ) Ampltude da classe do tercero quartl ( h = 1040 50 = 50 ). Observe que nessa questão as ampltudes não são constantes. Para o cálculo do tercero quartl deveremos utlzar a ampltude da classe do tercero quartl!! Cudado... O tercero quartl é dado por: 3n facant 4 150 50 Q3 = lnf + h= 50 + 50 = 1040 f 100 Letra D Moda Fo Karl Pearson quem ntroduzu em Estatístca pela prmera vez,no século XIX, o conceto de moda, talvez baseado no própro sgnfcado da palavra. A moda é defnda como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maor frequênca em um rol. Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode apresentar mas de uma moda. Neste caso dzemos ser plurmodal, caso contráro, será unmodal, ou anda, amodal (quando todos os valores das varáves em estudo apresentarem uma mesma frequênca). ) Para dados não agrupados em classe Para a dentfcação da moda em um conjunto ordenado de valores não agrupados em classe, basta verfcar, no conjunto, aquele valore que aparece com maor frequênca. Exemplos: X 1 ={1,,3,4,5,6} (Conjunto amodal) X ={10,10,1,13,18} M o =10 (Conjunto Unmodal) 49

X 3 ={100,100,00,00,300,600} M o =100 e M o =00 (Conjunto bmodal) ) Para dados agrupados não agrupados em classe Quando os dados estverem dspostos em uma Tabela de Frequênca, não agrupados em classe, a localzação da moda é medata, bastando para sso, verfcar na tabela, qual o valor predomnante. Estatura (m) Freq. 1,60 3 1,6 8 1,64 1 1,70 0 1,73 10 1,80 7 1,83 3 1,88 1 Na tabela o valor modal é 1,70m, sto porque é o resultado que apresenta o maor número de alunos (0). ) Dados agrupados em classe Tratando-se de dados agrupados em classe, a moda não é percebda tão faclmente como nos casos anterores. Para tal, utlzamos dversos processos na sua obtenção. Mas qualquer que seja o processo adotado, o prmero passo é dentfcar a classe que contém a maor frequênca. A esta classe denomnamos classe-modal. Aprenderemos a determnar a moda da dstrbução de frequêncas pelo método da moda bruta, pelo Método de Czuber e pelo Método de Kng. Se a questão não especfcar qual das fórmulas a ser empregada, pedndo apenas que se calcule a moda, usaremos a fórmula de Czuber. 50

Consequentemente, só empregaremos a fórmula de Kng quando assm for solctado expressamente. Moda Bruta De todos os processos, este é o mas elementar, bastando, para sso, tomar o ponto médo da classe modal (aquela que contém a maor frequênca). Na próxma tabela, verfcamos, de medato, que a dstrbução possu apenas uma Moda e, que ela está contda na classe 4 6 chamada Classe Modal. Logo, o ponto médo da classe modal o caso, Nota 5, é conhecda como Moda Bruta. Notas Classe f 0 7 4 16 4 6 34 6 8 17 8 10 16 f = 110 Processo de Czuber O processo utlzado por Czuber leva em consderação as frequêncas anteror e posteror à Classe Modal. M oc = Moda (Processos de Czuber) Δ = f f 1 máx ant Δ = f f máx post h = ampltude do ntervalo de classe l = Lmte nferor da classe modal Assm, a moda de Czuber é dada por 51

Δ 1 MoC = l + h Δ+Δ 1 Observação: A demonstração desta fórmula fo colocada por mm no ste do Ponto dos Concursos no lnk http:///artgos3.asp?prof=49&art=5103&dpag=4 No nosso exemplo, Δ 1 = 34 16 = 18 Δ = 34 17 = 17 h = l = 4 Logo, 18 MoC = 4 + 5,085 18 17 = + Mo = 5,085 C Processo de Kng No processo proposto por Kng, é consderada a nfluênca sobre a classe modal das freqüêncas das classes anteror e posteror. A nconvenênca deste processo é justamente não levar em consderação a frequênca da classe modal. f post MoK = l + h fant + fpost No nosso exemplo, f post = 17 fant = 16 h = l = 4 Logo, 5

17 MoK = 4 + 5,0303 17 16 = + Mo = 5,0303 K Propredades da Moda Somando-se (ou subtrando-se) uma constante c de todos os valores de uma varável, a moda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante c, a moda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. 15. (AFRFB 009 ESAF) Consdere a segunte amostra aleatóra das dades em anos completos dos alunos em um curso preparatóro. Com relação a essa amostra, marque a únca opção correta: 9, 7, 5, 39, 9, 7, 41, 31, 5, 33, 7, 5, 5, 3, 7, 7, 3, 6, 4, 36, 3, 6, 8, 4, 8, 7, 4, 6, 30, 6, 35, 6, 8, 34, 9, 3, 8. a) A méda e a medana das dades são guas a 7. b) A moda e a méda das dades são guas a 7. c) A medana das dades é 7 e a méda é 6,08. d) A méda das dades é 7 e o desvo-padrão é 1,074. e) A moda e a medana das dades são guas a 7. Resolução Méda artmétca: x x = n 105 x = 8,43 37 Rol: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 30, 31, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 39, 41. A medana será o termo de ordem 37 + 1 = 19º. Logo, a medana é 7. 53

A moda é defnda como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maor frequênca em um rol. A moda é 7. Letra E 16. (AFRF 1998) Os dados seguntes, ordenados do menor para o maor, foram obtdos de uma amostra aleatóra, de 50 preços (X) de ações, tomadas numa bolsa de valores nternaconal. A undade monetára é o dólar amercano. 4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,1 1,11,1,1,13,13,14, 15,15,15,16,16,18,3. Assnale a opção que corresponde ao preço modal. a) 8 b) 3 c) 7 d) 10 e) 9 Resolução Questão muto fácl! Basta verfcar o valor de maor frequênca. Faclmente verfca-se que a moda é 8, pos ele tem a maor frequênca (aparece mas vezes). Letra A 17. (AFRF/ESAF/1996) Para efeto desta questão, consdere os seguntes dados. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 01.01.90 Classes de Idades (anos) f Pontos Médos (PM) 19,54,5 4,59,5 9 7 9,534,5 3 3 54

34,539,5 9 37 39,544,5 18 4 44,549,5 1 47 49,554,5 7 5 Total 100 Marque a opção que representa a moda das dades dos funconáros em 1º/01/90. a) 35,97 b) 36,6 c) 36,76 d) 37,03 e) 37,31 Resolução O prmero passo é determnar a classe modal (maor frequênca). A classe modal é a quarta classe 34,539,5, cuja frequênca é 9. A frequênca anteror à classe modal é 3, e temos que Δ 1 =9 3 = 6. A frequênca posteror à classe modal é 18 e temos que Δ =9 18 = 11. O lmte nferor da classe modal é 34,5 e a ampltude da classe modal é 5. Assm, a moda de Czuber será Letra B 1 MoC = l + h Δ+Δ 1 Meddas de dspersão ou varabldade Dscutmos dversas maneras de obter um valor que fosse representatvo para os demas em um dado conjunto. Mutas vezes apenas os cálculos ou apresentações de um valor específco para um conjunto qualquer não são sufcentes para caracterzar uma dstrbução ou um conjunto de valores. O grau ao qual os dados numércos tendem a dspersar-se (afastar-se) em torno de um valor chama-se varação ou dspersão dos dados. Dspõe-se de váras meddas de dspersão. Estudaremos as mas mportantes. Δ 6 Mo C = 34,5 + 5 = 36, 6 6+ 11 55

Desvo Absoluto Médo (Dm) Aprendemos que a soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nula. Assm, não nos mportara crar uma medda de dspersão que utlze a soma algébrca dos desvos, pos essa, como sabemos, é sempre zero. Temos duas alternatvas a tomar: trocar o snal dos desvos negatvos (calcular o módulo dos desvos) ou elevar os desvos negatvos ao quadrado (pos todo número elevado ao quadrado não é negatvo). Ao tomar a prmera posção, damos orgem ao desvo absoluto médo e ao tomar a segunda posção damos orgem à varânca. O desvo absoluto médo também é chamado apenas de desvo médo ou desvo absoluto. Desvo médo é a méda artmétca dos valores absolutos dos desvos da dstrbução, em relação a uma medda de tendênca central: méda ou medana. Na presente aula lmtar-nos-emos apenas em relação à méda artmétca. Dm = n = 1 X n X Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: Dm = n = 1 X X f n Denomnamos desvo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. (,4,6,8,10,10,1,1) A méda artmétca dessa lsta de números é gual a 8. Por exemplo, o desvo em relação à méda do prmero número é 8 = - 6. d = x x= 6 d = x x= 1 1 5 5 d = x x= 4 d = x x= 6 6 d = x x= d = x x= 4 3 3 7 7 d = x x= 0 d = x x= 4 4 4 8 8 56

Para calcular o desvo absoluto médo, devemos consderar o valor absoluto (módulo) dos valores acma obtdos. d d d d = 6 d = 1 5 = 4 d = 6 = d = 4 3 7 = 0 d = 4 4 8 Dam = n Onde d é a dferença entre cada valor e a méda artmétca. d Dam = 6+ 4+ + 0+ + + 4+ 4 8 Dam = 3 Vejamos um exemplo do cálculo do desvo absoluto médo em uma dstrbução de frequêncas. O prmero passo é calcular a méda artmétca da dstrbução (se possível utlzando o método smplfcado). Em seguda, devemos calcular cada desvo em relação à méda, tomar seus valores absolutos, multplcar cada resultado pela frequênca da classe, somar todos os valores e dvdr por n. Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: Dam = n = 1 X X f n 57

18. (AFRF 00./ESAF) O atrbuto do tpo contínuo X, observado como um ntero, numa amostra de tamanho 100, obtda de uma população de 1000 ndvíduos, produzu a tabela de freqüêncas segunte: Classes Frequênca (f) 9,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 0 69,5-79,5 6 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 Assnale a opção que corresponde ao desvo absoluto médo do atrbuto X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 Resolução O prmero passo, como fo dto, é calcular a méda artmétca da dstrbução. Já que as ampltudes são constantes (guas a 10), então poderemos utlzar o método breve. Lembrando que devemos abrr uma coluna para a varável transformada y, que é formada pela sequênca dos números naturas. Classes (f) y 9,5-39,5 4 0 39,5-49,5 8 1 49,5-59,5 14 58

59,5-69,5 0 3 69,5-79,5 6 4 79,5-89,5 18 5 89,5-99,5 10 6 Para calcular a méda artmétca, devemos multplcar os valores da varável transformada pelas suas respectvas frequêncas. Somar os valores e dvdr por n. Classes (f) y y.f 9,5-39,5 4 0 0 39,5-49,5 8 1 8 49,5-59,5 14 8 59,5-69,5 0 3 60 69,5-79,5 6 4 104 79,5-89,5 18 5 90 89,5-99,5 10 6 60 350 y = = 3,5 100 Essa é a méda da varável transformada. Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. x= y h+ x 1 59

x = 3,5 10 + 34,5 Para calcular o desvo absoluto médo, devemos calcular o módulo da dferença entre cada ponto médo e a méda artmétca. x = 69,5 Calculamos o prmero ponto médo, que é a méda artmétca entre 9,5 e 39,5. Logo, o prmero ponto médo é gual a 34,5. Para calcular os próxmos pontos médos, basta adconar a ampltude das classes. Ou seja, o próxmo ponto médo é gual a 34,5 + 10 = 44,5. Classes (f) X 9,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 44,5 49,5-59,5 14 54,5 59,5-69,5 0 64,5 69,5-79,5 6 74,5 79,5-89,5 18 84,5 89,5-99,5 10 94,5 A méda artmétca é gual a 69,5. O desvo da prmera classe é 34,5 69,5 = - 35. O módulo desse desvo é 35. Faremos da mesma manera o cálculo nas próxmas classes. Classes (f) X X-X 9,5-39,5 4 34,5 35 39,5-49,5 8 44,5 5 49,5-59,5 14 54,5 15 59,5-69,5 0 64,5 5 69,5-79,5 6 74,5 5 60

79,5-89,5 18 84,5 15 89,5-99,5 10 94,5 5 O próxmo passo é multplcar cada desvo pela sua respectva frequênca. Classes (f) X X-X X-X.f 9,5-39,5 4 34,5 35 140 39,5-49,5 8 44,5 5 00 49,5-59,5 14 54,5 15 10 59,5-69,5 0 64,5 5 100 69,5-79,5 6 74,5 5 130 79,5-89,5 18 84,5 15 70 89,5-99,5 10 94,5 5 50 Estamos prontos para calcular o desvo absoluto médo. Basta somar os valores da últma coluna e dvdr por n. 1300 Dam = = 13 100 Letra E Desvo padrão e Varânca De todas as meddas de dspersão apresentadas até aqu, o Desvo Padrão é o mas utlzado, e cuja defnção nada mas é do que a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. O conceto de desvo padrão está ntmamente lgado ao estudo da varânca. Essas duas meddas de dspersão apresentam uma 61

peculardade: teremos que prestar atenção se questão será com amostras ou com a população. Suponhamos que desejamos conhecer alguma cosa sobre determnada população por exemplo, a méda salaral, o desvo padrão das alturas, o percentual de ntenções de voto para um determnado canddato - e essa população é composta de mlhares (talvez mlhões) de elementos, de tal modo que sera muto dfícl pesqusar o valor correto, pos sera nvável pesqusar todos os elementos. Nesse caso, temo de recorrer aos valores encontrados em uma amostra!! Seja qual for o caso, o fato é que, em mutas stuações, precsamos obter as nformações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro populaconal, é desconhecdo. O que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamente nos dá uma dea do valor correto (populaconal) do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estmador do parâmetro populaconal. Por exemplo, queremos saber a méda de dade dos estudantes do Ponto dos Concursos. Como há mutos estudantes, recorremos a uma amostra de, dgamos 150 alunos. A méda da amostra encontrada fo de 4 anos. Essa é a nossa estmatva! Mas a méda de dade dos estudantes do Ponto dos Concursos é realmente 4 anos? Não dá para saber, a não ser que todos os estudantes do Ponto fossem pesqusados. Portanto, são cosas dferentes o parâmetro populaconal e o estmador e, portanto, devem ser representados de maneras dferentes, por exemplo: X = méda amostral ( estmador) μ = méda populaconal ( parâmetro populaconal) E não é só uma dferença de valores!! O parâmetro populaconal é, em geral, um valor fxo. O estmador depende da amostra. A prncpal propredade desejável de um estmador é a de que esse estmador, na méda, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetr a experênca nfntas vezes, o valor médo das estmatvas encontradas em cada expermento sera o valor correto do parâmetro populaconal. A esperança (trataremos a esperança com detalhes neste curso) do estmador deve ser o parâmetro populaconal. Se sso ocorre, dzemos que o estmador é não vesado (não vcado). Se, entretanto, o estmador erra, em méda, dzemos que ele é vesado (vcado). Pos bem, o desvo padrão é a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. 6

No caso do rol (população), aplcaremos a segunte fórmula: Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: São fórmulas muto parecdas com a do desvo absoluto médo. A dferença é que no lugar de tomar os valores absolutos dos desvos, devemos elevar os desvos ao quadrado. E do resultado fnal, extrar a raz quadrada. E se estvermos trabalhando com amostras. A únca dferença é que o denomnador da fórmula não será n! Será n-1!! é um estmador não vcado (não vesado) da varânca. Utlzaremos a segunte notação: se estvermos trabalhando com população, a letra ndcadora do desvo padrão será a letra grega sgma σ. O desvo padrão amostral será desgnado pela letra latna s. Lembrando mas uma vez: se estvermos trabalhando com amostras, na fórmula do desvo padrão (e também da varânca que veremos adante) o denomnador deverá ser trocado por n-1. E quanto as fórmulas da varânca?? Se você sabe como calcular o desvo padrão, automatcamente já sabe calcular a varânca. Basta não extrar a raz quadrada. Varânca populaconal Varânca Amostral 1 Em suma, a varânca é o quadrado do desvo padrão e o desvo padrão é a raz quadrada da varânca!!! 63

Vejamos alguns exemplos. 19. (Audtor IBGE - CESGRANRIO 010) No últmo mês, Alípo fez apenas 8 lgações de seu telefone celular cujas durações, em mnutos, estão apresentadas no rol abaxo. 5 11 8 3 8 7 4 O valor aproxmado do desvo padrão desse conjunto de tempos, em mnutos, é (A) 3,1 (B),8 (C),5 (D), (E),0 Resolução Nesse caso, não estamos trabalhando com uma amostra. Pos Alípo fez apenas 8 lgações de seu telefone celular. Então, na fórmula do desvo-padrão o denomnador será o própro n (o número de elementos da população). Estamos trabalhando com um parâmetro populaconal. ( x ) x σ = n Devemos, portanto, calcular a méda artmétca dos elementos da população e fnalmente aplcarmos a fórmula do desvo-padrão populaconal. 5+ + 11+ 8+ 3+ 8+ 7+ 4 μ = = 6 8 x x x ( x x) 5 5 6 = -1 (-1) = 1 6 = -4 (-4) = 16 11 11 6 = 5 5 = 5 8 8 6 = = 4 64

3 3 6 = -3 (-3) = 9 8 8 6 = = 4 7 7 6 = 1 1 = 1 4 4 6 = - (-) = 4 E o desvo-padrão será 1+ 16+ 5+ 4+ 9+ 4+ 1+ 4 64 σ = = = 8. 8 8 Podemos calcular o valor aproxmado da 8 utlzando o método de Newton- Raphson. Para aprender com detalhes o método de Newton-Raphson basta acessar o lnk que dsponblze no ste do Ponto: http:///artgos3.asp?prof=49&art=4951&dpag=4. Em resumo, o método de Newton-Raphson dz que toda raz quadrada pode ser aproxmada por uma fração em que o numerador é formado por uma soma de dos números: o própro número e o quadrado perfeto mas próxmo. Já no denomnador, você va multplcar a raz quadrada do quadrado perfeto por. No nosso caso, o quadrado perfeto mas próxmo de 8 é 9 (3 ). Então o numerador será 8+9. E no denomnador sempre devemos multplcar a raz quadrada do quadrado perfeto por. 8+ 9 17 σ = 8 =,83 3 6 Letra B 0. (PETROBRAS 008 Admnstrador Júnor CESGRANRIO) Do total de funconáros de uma empresa, fo retrada uma amostra de ses ndvíduos. A tabela abaxo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos, por cada um deles. X 1 X X 3 X 4 X 5 X 6 3 7 3 1 A varânca dessa amostra é (A) 3,7 65

(B) 4,0 (C) 4,4 (D) 5,0 (E) 5,5 Resolução ( x ) x s = n 1 é um estmador não vcado (não vesado) da varânca. Lembre-se que quando trabalhamos com amostras (desvo padrão e varânca) o denomnador das fórmulas serão sempre n-1. Voltemos agora à nossa questão. X 1 X X 3 X 4 X 5 X 6 3 7 3 1 Queremos calcular a varânca dessa amostra. Prmeramente calculemos a méda dessa amostra. 3+ 7+ + + 3+ 1 x = = 3 6 Calculemos agora os quadrados dos desvos dos valores da amostra em relação à méda. x x x ( x x) 3 3-3 = 0 0 = 0 7 7-3 = 4 4 = 16-3 = -1 (-1) = 1-3 = -1 (-1) = 1 66

3 3-3 = 0 0 = 0 1 1 3 = - (-) = 4 Assm, a varânca amostral é dada por: ( x ) x 0+ 16+ 1+ 1+ 0+ 4 s = = = = 4, 4 n 1 6 1 5 Letra C Está lembrado da nossa pesqusa com uma amostra de 40 alunos do Ponto, em que pesqusamos a estatura deles? Vamos calcular o desvo padrão e a varânca dessa amostra. Estaturas de 40 alunos do Ponto Estaturas (cm) f x 150 154 4 15 154 158 9 156 158 16 11 160 16 166 8 164 166 170 5 168 170 174 3 17 Total 40 Já tvemos a oportundade de calcular a méda artmétca x = 161 cm. Para calcular o desvo padrão e a varânca, devemos calcular o quadrado dos desvos em relação a méda. Por exemplo: o prmero ponto médo é gual a 15, portanto seu desvo é gual a 15 161 = -9. Devemos calcular (-9) = 81. Em seguda devemos multplcar esses valores pelas suas respectvas frequêncas. Obtemos a segunte tabela: 67

f x ( x X ) ( ) x X f 4 15 81 34 9 156 5 5 11 160 1 11 8 164 9 7 5 168 49 45 3 17 11 363 40 = 140 Lembrando que no cálculo dessas duas meddas de dspersão, ao trabalhar com amostras, devemos colocar n-1 no denomnador. n ( ) X X f = 1 140 S = = = 31,79 n 1 40 1 S = 31,79 = 5,638 (Tente calcular um valor aproxmado do desvo padrão utlzando o método de Newton-Raphson). Esse exemplo fo um pouco trabalhoso!! Por sso, aprenderemos algumas propredades do desvo padrão e da varânca e um método smplfcado para o cálculo dessas meddas. O desvo padrão goza de algumas propredades parecdas com as da méda artmétca. Propredades da Varânca ) Somando-se ou subtrando-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca fcará multplcada ou dvdda por essa constante. 68

Por exemplo, se os valores trplcam, a varânca é multplcada por 9 (3 ). Se os valores são quadruplcados, a varânca é multplcada por 16 (4 ). Em relação à adção e à subtração, tem-se que a varânca não é nfluencada. Isso porque a varânca é uma medda de dspersão se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles contnuarão dspersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posção. É válda, portanto, a segunte relação: var( ax + b) = a var( X ) Temos propredades muto parecdas o desvo padrão. Propredades do Desvo padrão ) Somando-se ou subtrando-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvo padrão não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvo padrão fcará multplcado ou dvddo por essa constante. Isso porque o desvo-padrão, da mesma forma que a varânca, é uma medda de dspersão. Por exemplo, magne que a méda artmétca das dades de 100 pessoas é gual a 0 anos. Daqu a 5 anos, todas as pessoas fcarão 5 anos mas velhas. Ou seja, nós adconamos 5 às dades de todas as 100 pessoas. Dessa forma, a méda artmétca que hoje é gual a 0 anos, daqu a 5 anos será 0+5=5 anos. Da mesma manera, se trplcarmos as dades de todas as 100 pessoas, ou seja, se multplcamos todas as dades por 3, a méda artmétca também será multplcada por 3. A méda que orgnalmente era gual a 0 anos será gual a 0x3=60 anos. Nesse exemplo das 100 pessoas, daqu a 5 anos as dades estarão gualmente espalhadas. Por exemplo, se seu rmão é 4 anos mas velho do que você, ele sempre será 4 anos mas velho do que você. Suas dades estarão sempre com o mesmo grau de afastamento. Assm, a adção e a subtração não alteram o desvo-padrão e a varânca. São váldas, então, as seguntes expressões: 69

) dp( ax + b) = a dp( X ) 1. (PETROBRAS 006 Admnstrador Pleno CESGRANRIO) Se Y = X+1 e a varânca de X vale, a varânca de Y é gual a: (A) (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9 Resolução É mportantíssmo conhecermos algumas propredades da varânca: ) Somando-se ou subtrando-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca fcará multplcada ou dvdda por essa constante. Por exemplo, se os valores trplcam, a varânca é multplcada por 9 (3 ). Se os valores são quadruplcados, a varânca é multplcada por 16 (4 ). Em relação à adção e à subtração, tem-se que a varânca não é nfluencada. Isso porque a varânca é uma medda de dspersão se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles contnuarão dspersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posção. É válda, portanto, a segunte relação: var( ax + b) = a var( X ) Assm, var(x 1) var( X) 4 8 + = = =. Poderíamos racocnar da segunte manera: Como chegamos à varável Y a partr da varável X? Multplcamos os valores de X por e em seguda adconamos 1 ao resultado encontrado. 70

Assm, a varânca (que é gual a ) multplcada por 4 é gual a 8. Letra D Método smplfcado para o desvo padrão e varânca Há casos em que é muto trabalhoso calcular a méda artmétca, em seguda calcular os desvos em relação à méda, elevar esses valores ao quadrado, etc. Ufa! Cansou só de ler... Por sso, exste um método smplfcado para o cálculos dessas meddas de dspersão. Esse método dspensa o cálculo dos desvos!! O método é descrto a partr das seguntes fórmulas: Fórmula Desenvolvda do desvo padrão para dstrbução de frequêncas No caso de estarmos trabalhando com os elementos uma população: 1 No caso de estarmos trabalhando com os elementos de uma amostra: 71

1 S = X f n 1 ( X ) f Smplfcado????? Este método está parecendo muto complcado!!!! Calma... Se não fosse smplfcado eu nem falara nele... Para começar: qual a dferença entre e? Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Como é que vamos utlzar essas fórmulas? No lugar de trabalhar com a varável orgnal, trabalharemos com a varável transformada. Sm, aquela mesma da méda artmétca, que é formada pela sucessão dos números naturas. Então, na fórmula, no lugar de trabalhar com a varável X, trabalharemos com a varável transformada Y (0,1,,3,4...). Calculamos o desvo padrão e a varânca da varável transformada. Na méda artmétca, para fazer o camnho da volta, nós multplcávamos a méda da varável transformada pela ampltude da classe e depos adconávamos o prmero ponto médo. Aqu é bem mas fácl!! O camnho da volta: Desvo padrão: basta multplcar pela ampltude. Varânca: basta multplcar pelo quadrado da ampltude. n Vamos calcular novamente o desvo padrão e a varânca dos 40 alunos do ponto com o método smplfcado. Utlzaremos a fórmula desenvolvda juntamente com a varável transformada: 1 S= X f n 1 ( X ) f n 7

No lugar da varável X, utlzaremos a varável Y formada pela sucessão dos números naturas. Estaturas de 40 alunos do Ponto Estaturas (cm) f x 150 154 4 15 154 158 9 156 158 16 11 160 16 166 8 164 166 170 5 168 170 174 3 17 Total 40 f x y y f y y f 4 15 0 0 0 0 9 156 1 9 1 9 11 160 4 44 8 164 3 4 9 7 5 168 4 0 16 80 3 17 5 15 5 75 40 = 90 = 80 Qual o sgnfcado de cada uma das colunas desta tabela? Dê uma olhada na fórmula: 1 S = X f n 1 ( X ) f n 73

Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Já que estamos trabalhando com a varável transformada: Você deve elevar Y ao quadrado (coluna 5), multplcar pela frequênca (coluna 6) e em seguda somar os valores (coluna 6 últma lnha). Você deve multplcar Y pela frequênca (coluna 4), somar esses valores (coluna 4 últma lnha) e elevar o resultado ao quadrado. Cálculo da Varânca da Varável Transformada y 1 Sy = y f n 1 [ ] ( y ) f 1 S y = 80 0,5 = 1,9871 39 n O valor 0,5 fo obtdo elevando 90 ao quadrado e dvdndo o resultado por 40. O camnho da volta: Varânca: basta multplcar pelo quadrado da ampltude. Assm, S = 1,9871 4 = 31, 79 E o desvo padrão é a raz quadrada da varânca. S = 31,79 = 5,638. (Audtor do Governo do Estado do Amapá FGV/ 010) Os dados a segur são as quantdades de empregados de cnco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A varânca da quantdade de empregados dessas cnco empresas é gual a: (A) 0,8. (B) 1,. (C) 1,6. 74

(D),0. (E),4. Resolução Podemos calcular a varânca dessa população pelo método tradconal ou pelo método smplfcado. Método Smplfcado 1 Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Nesse caso, as frequêncas são todas guas a 1. Logo, a fórmula fca assm: 1 Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, em seguda somar os valores. Você deve somar os valores e elevar o resultado ao quadrado. Assm, 6 5 8 5 6 186 6 5 8 5 6 900 1 5 186 900 5 1 5 6 1, Letra B 3. (AFRF 1998/ESAF) Os dados seguntes, ordenados do menor para o maor, foram obtdos de uma amostra aleatóra, de 50 preços (X) de ações, tomadas numa bolsa de valores nternaconal. A undade monetára é o dólar amercano. 4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10, 11,11,1,1, 13,13,14, 15,15,15,16,16,18,3. 75

Os valores seguntes foram calculados para a amostra: X = 490 e ( X ) X = 668. 50 Assnale a opção que corresponde à medana e à varânca amostral, respectvamente (com aproxmação de uma casa decmal). a) 9,0 e 14,0 b) 9,5 e 14,0 c) 9,0 e 13,6 d) 8,0 e 13,6 e) 8,0 e 15,0 Resolução Quanto à medana não há problema: são 50 preços (número par). Assm, a medana será a méda artmétca entre o 5º e o 6º termos. A medana é gual a 9. E quanto à varânca amostral? A ESAF fo muto generosa!! Prvlegou quem saba a fórmula desenvolvda. Quem não saba... Snto muto! Pos calcular os desvos, elevá-los ao quadrado, depos somar...acabou o tempo da prova! ( X ) X = 668 50 Esse fo o presente da ESAF!! ( ) 1 X S = X n 1 n Agora, lembre-se que tratando de amostras o denomnador deve ser n-1. S = 668 50 1 1 S =13,6 Letra C 76

Uma observação mportante: já que a varânca é o quadrado do desvo padrão, então a sua undade de medda será o quadrado da medda do desvo padrão. Logo, se estamos trabalhando com alturas em metros, então a undade da varânca será m ; se estamos trabalhando com massas em kg, a undade da varânca será kg,... 4. (Companha Catarnense de Águas e Saneamento Economsta 006 FEPESE) Sobre meddas de dspersão, é correto afrmar: a) O desvo padrão é meddo em quadrados da undade da varável orgnal. b) O desvo padrão é a raz quadrada da covarânca entre duas varáves. c) A varânca tem relação lnear com os afastamentos da méda. d) Maor varânca sgnfca que a méda da amostra é mas elevada. e) A varânca não é expressa em undades da varável orgnal. Resolução a) O desvo padrão é meddo na mesma undade da varável. Falso. b) O desvo padrão é a raz quadrada da varânca da varável orgnal. Falso. c) A varânca não tem relação lnear com os afastamentos (desvos) da méda, pos elevamos os desvos ao quadrado. Falso. d) Maor varânca sgnfca maor afastamento em relação à méda. Falso. e) Verdadero. Letra E Medda de dspersão relatva De uma manera geral, as meddas de dspersão relatvas nos oferecem um grau maor de confabldade do que as absolutas. Além dsso, permte-nos comparar dversas dstrbuções, mesmo sendo referentes a fenômenos dstntos. E os resultados analítcos são efetuados entre uma Medda de Dspersão Absoluta e uma medda de tendênca central (méda, medana,...), e seu resultado fnal é expresso em termos relatvos ou percentuas. Coefcente de Varação de Pearson (CVP) S CVP = X 77

Esta medda de varação relatva ou percentual proposta por Pearson nada mas é do que um quocente entre o desvo padrão de cada dstrbução com suas respectvas médas artmétcas. O coefcente de varação de Pearson tem uma relação dreta com a característca de homogenedade de um conjunto. Se estvermos realzando uma comparação entre duas dstrbuções dstntas, aquele que apresentar menor coefcente de varação será o conjunto mas homogêneo. Exemplo: Suponhamos que determnado fornecedor A de parafusos tenha envado ao Departamento de Compras de uma empresa uma amostra de 000 parafusos, com meddas de seu comprmento em mlímetros varando entre 101 e 113 mlímetros. O Departamento de Compras efetuou uma análse em suas médas e calculou seu respectvo desvo padrão, encontrando as seguntes especfcações: a) Comprmento médo do parafuso: 107,9 mm b) Desvo Padrão:,7 mm Admtndo-se um fornecedor B, que apresentou um lote deste mesmo parafuso com o mesmo número de peças, com méda de 108 mlímetros e desvo padrão de 1,08 mlímetros, qual o lote que você escolhera se fosse o comprador? Resolução Aplcando-se o Coefcente de Varação de Pearson, temos: CV PA,7 = =,5% 107,9 CV PB 1, 08 = = 1% 108 O resultado fnal denota claramente que o lote do Fornecedor B apresenta menor dspersão relatva do que do Fornecedor A. Logo, pela análse do coefcente de varação, o lote escolhdo sera do fornecedor B, pos ele é mas homogêneo. 5. (Analsta Fnancero Badesc 006 FEPESE) Com base nas nformações abaxo, assnale a alternatva verdadera: 78

a) a méda artmétca de y é menor do que a moda de y. b) a medana de x é menor do que a medana de y. c) a varabldade, medda pelo desvo-padrão das séres, é menor na sére x do que na y. d) a varabldade, medda pelo coefcente de varação das séres, é menor na sére x do que na sére y. Resolução A méda artmétca de y é 5/5=5. A moda de y é gual a 4. A medana de y é gual 4. A medana de x é gual a 5. A méda de x é gual a 30/5=6. a) Falsa, pos 5 > 4. b) Falsa, pos 5 > 4. c) Falsa, pos o desvo padrão de x é maor do que o desvo padrão de y. d) Verdadera. O coefcente de varação é obtdo dvdndo o desvo padrão pela méda artmétca. Assm, o coefcente de varação de x é gual a 3,/6=0,533... e o coefcente de varação de y é gual a 3/5=0,6. Letra D 79