Optimização e Decisão 06/0/008 Método do Simplex Vânio Correia - 5567 Domingos Massala - 58849 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Generalidades do Método do Simplex Procedimento algébrico iterativo para resolver problemas de programação linear. Fácil implementação computacional Boa ferramenta de cálculo para problemas com muitas variáveis (limitação do método gráfico). Apresenta-se num formato especial (Forma canónica) Restrições sob a forma de igualdade Introduz novas variáveis variáveis de folga A função objectivo transforma-se num constrangimento Processo iterativo através do método tabular 008
Exemplo Empresa de fabrico de alcatifas A Productos B Recurso disponível Máquina 3 4 Máquina 7 3 4 Margem contribuição ( ) 40 30 Objectivo: Determinar e que maximizam o lucro Variáveis de Decisão: Quantidade de alcatifas a produzir do tipo j, j; j,. 008 3
Exemplo (Formulação) Formulação do problema MaxZ + 40 30 3 + 4 7 +, 0 4 Formulação do problema através do método do Simplex Z 40 30 3 + 4 + 3 7 + + 4,, 3, 4 0 0 4 Notar que a função objectivo é apresentada em forma de restrição 3 e 4 são as variáveis de folga (Slack variables) 008 4
Exemplo (Solução Inicial) Método do Simplex na forma tabular V. Variáveis não Básicas Básicas Z 3 4 bj Z -40-30 0 0 0 Quadro inicial 3 0 3 4 0 4 0 7 0 4 Solução básica inicial Variáveis básicas 3 4 4 Z 0 0 Variáveis não básicas 0 008 5
Exemplo (Iteração 0) V. Básicas Variáveis não Básicas Z 3 4 bj Z -40-30 0 0 0 3 0 3 4 0 4 0 7 0 4 4 3 4 7 Valor mínimo Coluna pivot Número pivot Linha Pivot Troca de variáveis Básica/Não Básica Sai 4: b a b < 4 a Entra : ( 40 > 30 ) 008 6
Exemplo (ª Iteração) Processo de eliminação de Gauss (Condensação de Gauss) V. Variáveis não Básicas Básicas Z 3 4 bj Z 0-8.57 0 5.7 80 3 0 0 3.4-0.4 6 0 0.9 0 0.4 L + 40*L3 L 3*L3 Solução Básica Variáveis básicas Z 80 3 6 Variáveis não básicas 4 0 0 Teste de Optimalidade Há coeficientes negativos na linha correspondente à função objectivo, logo, a solução não é óptima! Recorrer à nova iteração. 008 7
Exemplo (ª Iteração) V. Básicas Variáveis não Básicas Z 3 4 Z 0-8.57 0 5.7 80 3 0 0 3.4-0.4 6 0 0.9 0 0.4 Troca de variáveis Básica/Não Básica Sai 3:.9 < 7 bj Entra : Única possibilidade 6 3.4 0.9.9 Valor mínimo 7 V. Básicas Variáveis não Básicas Z 3 4 Z 0 0 5.9 3. 5.45 0 0 0.3-0.4.9 0 0-0.09 0.8.45 bj Não há coeficientes negativos na linha correspondente à função objectivo, Logo, a solução é óptima! 008 8
Exemplo (conclusão) Solução Óptima Variáveis básicas.9.45 Z max 5.45 Variáveis não básicas 3 4 0 0 008 9
Outros casos a considerar Igualdade entre os coeficientes negativos na linha referente à variável de decisão Escolha arbitrária da variável que entra (N.Básica para Básica) Igualdade nas razões bj/aj que definem a variável que sai Escolha arbitrária da variável que sai Várias soluções óptimas O Simplex acha apenas uma delas. Acham-se as outras prosseguindo o algoritmo, com a escolha de uma variável não básica de coeficiente zero como variável básica 008 0
Casos Particulares Constrangimentos de igualdade Não há uma solução inicial óbvia. Recorremos ao uso de variáveis artificiais e ao MÉTODO DO GRANDE M. Lado direito da desigualdade apresenta valor com sinal negativo Multiplicar a inequação por -. Constrangimentos funcionais na forma de > Usar as surplus variables e as variáveis artificiais/método do Grande M. Problema de Minimização de Z Maximizar -Z 008
Análise Pós-Óptima Reoptimização Quando se altera ligeiramente o problema, pode-se obter uma nova solução a partir do quadro final do Simplex. Preço Sombra (Shadow price) Para um dado recurso j, dá-nos uma medida do aumento de Z variando ligeiramente a quantidade (disponibilidade) do recurso bj. Para o exemplo analisado, os preços sombra são y*5.9 e y*3.. Os preços sombra são parte da ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 008
Análise de Sensibilidade Identificar os parâmetros sensíveis (aqueles que não se podem alterar sem que causem alteração à solução óptima) Parâmetros bj podem ser analisados usando os preço sombra Parâmetros cj podem ser analisados graficamente para problemas de duas variáveis Parâmetros aij podem igualmente ser analisados graficamente 008 3
Obrigado pela atenção 008 4