CAPÍTULO CÁLCULO VECTORIAL.1. Grandeas escalares e vectoriais. Noção de Vector. As grandeas físicas podem ser escalares ou vectoriais. As grandeas massa, comprimento, tempo ficam completamente definidas pelo seu valor numérico e por uma unidade: kg, por eemplo. São grandeas escalares. As grandeas escalares combinamse de acordo com as regras de álgebra ordinária. Pelo contrário, a acção de um corpo sobre outro (uma força) só fica caracteriada pelas suas intensidade, direcção e pelo seu sentido. Trata-se de uma grandea vectorial. Os vectores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direcção e sentido, e que se combinam segundo certas regras específicas: a álgebra vectorial. Representação gráfica Considere-se o sistema ortonormado representado na figura. Os vectores representam-se graficamente por segmentos orientados. Nos diagramas, escolhida uma escala, o comprimento de um vector é proporcional ao seu módulo; a direcção e o sentido do vector representam a direcção e o sentido da grandea em causa. ˆk ĵ î r P(,, ) Estática 003/04 Pág. 10
Vector livre / vector aplicado Um vector utiliado para representar uma força que actua num determinado ponto material tem bem definido o seu ponto de aplicação, o ponto material. É um vector aplicado; não pode ser deslocado sem modificar as condições do problema. Outras grandeas físicas, e.g. os momentos, são representadas por vectores que se podem deslocar paralelamente a si mesmos, livremente no espaço. São vectores livres. inalmente, há ainda outras grandeas físicas, e.g. as forças actuantes em corpos rígidos, que são representadas por vectores que se podem deslocar ao longo da sua linha de acção. São vectores desliantes. Dois vectores P e P de mesma intensidade, direcção e sentido são ditos iguais quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação. O vector oposto ou simétrico de um determinado vector P é definido como sendo um vector com a mesma intensidade e direcção de P, e sentido oposto ao de P. Representa-se por P. Os vectores P e P são designados vectores directamente opostos. A soma de dois vectores directamente opostos é o vector nulo, 0. P + (- P ) 0 Estática 003/04 Pág. 11
.. Método gráfico de adição de vectores. A adição de vectores efectuase segundo a regra do paralelogramo. O vector soma é a diagonal do paralelogramo. Propriedades Como o paralelogramo construído com os vectores P e Q não depende da ordem segundo a qual são tomados, verifica-se que a adição de dois vectores é comutativa: P + Q Q + P Ou alternativamente pela regra do triângulo. O vector soma obtem-se unindo a origem de um vector com a etremidade do outro. (Propr. Comutativa) Subtrair um vector é somar ao primeiro vector o oposto do segundo vector. P - Q P + (-Q ) Adição de três ou mais vectores A adição de três ou mais vectores pode ser obtida pela aplicação repetida da regra do paralelogramo ou do triângulo aos sucessivos pares de vectores, até que todos os vectores tenham sido substituídos por um único vector. Se os vectores iniciais forem coplanares (i.e., contidos no mesmo plano), será facil obter a sua soma graficamente. Estática 003/04 Pág. 1
A adição de três vectores P, Q e S será, por definição, obtida pela adição inicial dos vectores P e Q e, adicionando posteriormente S ao vector P + Q Aplicação sucessiva da regra do triângulo: regra do polígono para a adição de vectores. O resultado permanece inalterado se os vectores Q e S forem substituídos pela sua soma Q + S, o que eprime o facto da adição vectorial ser uma operação associativa: P + Q + S ( P + Q ) + S P + ( Q + S ) A ordem pela qual os vários vectores são somados é irrelevante. Estática 003/04 Pág. 13
Produto de um escalar por um vector Define-se o produto kp, de um escalar k por um vector P, como um vector com: a mesma direcção e sentido de P (se k for positivo) ou direcção igual e sentido oposto ao de P (se k for negativo), e em qualquer caso, a intensidade igual ao produto de P pelo valor absoluto de k. As propriedades e os resultados apresentadas para vectores são válidos para qualquer sistema de vectores, em particular para os vectores que representam forças. Na sequência utiliaremos forças físicas em ve de vectores com o objectivo de tornar este curso mais intuitivo. Resultante de várias forças concorrentes Considere-se um ponto material A sujeito à acção de diversas forças. Como todas elas passam pelo ponto A, são chamadas forças concorrentes. Pela utiliação repetida da regra do paralelogramo (regra do polígono) obtém-se o vector R, que representa a força resultante das forças concorrentes, i.e. uma força única que produ o mesmo efeito que as forças originais sobre o ponto material A. regra do polígono ordem irrelevante Estática 003/04 Pág. 14
.3. Componentes cartesianas de vectores. Sistema de coordenadas cartesianas. Versores. Se duas ou mais forças actuantes sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força resultante, reciprocamente, uma única força que actua sobre um ponto material pode ser substituída por duas ou mais forças que, juntas, tenham o mesmo efeito sobre o ponto material. A estas forças chamamos componentes da força original, e este processo de substituição denomina-se decomposição da força em componentes. acilmente se verifica que para cada força eiste um número infinito de conjuntos possíveis de componentes. Contudo, na maioria dos problemas é conveniente decompor a força em componentes normais entre si, que são as mais utiliadas: as componentes rectangulares, onde um vector se eprime como a soma de dois vectores perpendiculares entre si. Estática 003/04 Pág. 15
orças no Plano ( dimensões): A força é decomposta nas componentes, segundo o eio O, e, segundo o eio O, no caso bidimensional. O paralelogramo desenhado para obtenção das duas componentes é um rectângulo, e e são denominadas componentes cartesianas. Nos casos que envolvem apenas duas dimensões (i.e., podem ser formulados e resolvidos num plano) os eios O e O são escolhidos segundo duas direcções perpendiculares quaisquer, escolhidas convenientemente para cada problema. Ao sistema ortogonal de eios chama-se Sistema de Coordenadas Cartesianas -D. Se definirmos agora dois vectores de intensidade ou módulo 1, orientados respectivamente segundo os eios O e O; são denominados vectores unitários ou versores, e representados por î e ĵ, respectivamente. Estática 003/04 Pág. 16
Relembrando a definição do produto de um escalar por um vector podemos então escrever iˆ e então temos + iˆ + onde os escalares e podem ser positivos ou negativos, dependendo do sentido dos vectores e coincidir ou não com o sentido do vector unitário (i.e., do eio) correspondente. Os valores absolutos de e são respectivamente iguais às intensidades das forças componentes Não esquecer: e e e. componentes escalares da força componentes vectoriais de Denominando a intensidade da força e θ o ângulo entre e o eio O, medido sempre a partir do semi-eio positivo e no sentido anti-horário, as componentes escalares de eprimimem-se como cos θ e sin θ e tem-se que + e tanq As relações obtidas são válidas para quaisquer ângulos θ entre 0º e 360º, que definem os sinais e os valores absolutos das componentes escalares e. Estática 003/04 Pág. 17
orças no Espaço (3 dimensões): Consideremos agora a força aplicada na origem O do Sistema de Coordenadas Cartesianas 3-D,, e. Para definir a direcção de, considera-se o plano OBAC que contém simultaneamente e um eio, neste caso, o eio vertical. O ângulo φ, que o plano OBAC forma com o plano O, define a orientação do plano OBAC, enquanto que a direcção de nesse plano é definida pelo ângulo θ, que forma com o eio O. A força é decomposta numa componente vertical, e numa componente horiontal h. Temos uma força no plano OBAC, e podemos escrever as componentes escalares cos θ h sen θ h encontra-se no plano O, pelo que pode ser decomposta Mas em duas componentes cartesianas e O e O, respectivamente. Tem-se então, segundo os eios h cos φ sen θ cos φ sen φ sen θ sen φ h Estática 003/04 Pág. 18
Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD, pode escrever-se OA) ( OB) + ( BA) + donde se obtem h ( h OC OD + DC + ( ) ( ) ( ) + + Denominando θ e θ respectivamente os ângulos que forma com os eios O e O, podemos escrever cos θ cos θ cos θ Os três ângulos θ, θ e θ definem a direcção da força. Os cosenos de θ, θ e θ são conhecidos por cosenos directores da força, e obtém-se como cos θ cos θ cos θ Introduindo os vectores î, ĵ e, orientados segundo os eios O, O e O, respectivamente, a força escreve-se + + onde as componentes escalares e são definidas atrás. iˆ + +, triedro positivo de eios ortogonais Substituindo as componentes escalares, e obtemos ( cosθ iˆ cosθ cosθ ) ˆ + + λ com ˆ λ cosθ iˆ + cosθ + cosθ orça como produto de escalar por vector unitário da direcção de. Estática 003/04 Pág. 19
.4. Método analítico de adição de vectores Quando pretendemos adicionar três ou mais forças, torna-se complicado obter uma solução gráfica, pelo que convém utiliar uma solução analítica, através da decomposição de cada força nas suas componentes cartesianas. Se considerarmos, por eemplo, a acção de três forças complanares sobre um ponto material, A. Determinaremos a sua resultante, definida por R P+ Q+ S Â i i. R R + R pela soma das suas componentes cartesianas., Decompondo cada força nas suas componentes cartesianas, temos ou seja R R + R R iˆ+ R Piˆ+ P + Qiˆ+ Q + Siˆ+ S ( ) ˆ ( ) P + Q + S i + P + Q + S R P + Q + S R P + Q + S ou, de forma compacta, para o caso bidimensional, R Â R Â Estática 003/04 Pág. 0
Genericamente, no espaço tridimensional, as componentes escalares R, R e R da resultante R de várias forças que actuam sobre um ponto material obtém-se pela adição algébrica das correspondentes componentes escalares das forças iniciais. R ou seja R + R + R ( iˆ + + ) ( ) iˆ + ( ) ( ) + R R R O módulo da resultante R e os ângulos θ, θ e θ formados com os eios coordenados são obtidos analogamente: R R + R + e os cosenos directores da resultante R R cos θ R R cos θ R R cos θ R R.5. Produto escalar ou interno de dois vectores O produto escalar ou interno de dois vectores, P e Q, é definido como sendo o produto dos módulos de P e Q pelo coseno do ângulo θ formado por P e Q (θ 180º). P Q PQ cosθ Muito importante: o resultado não é um vector, mas um escalar. Estática 003/04 Pág. 1
Em termos das suas componentes cartesianas, o produto escalar de dois vectores, P e Q, escreve-se ( P iˆ + P ˆ j + P ) ( Qiˆ + Q ˆ j + Qk ) P Q + P Q P Q P Q ˆ + (prop. distrib) e.g. iˆ iˆ 1 iˆ 0 1 0 1 iˆ 0 O produto escalar de dois vectores é comutativo, i.e., P Q Q P O produto escalar é também distributivo, i.e., P ( Q1 + Q ) P Q1 + P Q Determinação do ângulo formado por dois vectores Dados os mesmos vectores P e Q, escritos em termos das suas componentes: P P iˆ + P ˆ j + P Q Q iˆ + Q + Q igualando as epressões obtidas atrás para o seu produto escalar, tem-se P Q PQcosθ P Q + P Q + P Q que nos permite escrever cos θ P Q + P Q + P Q PQ Estática 003/04 Pág.
Projecção de um vector sobre um eio Consideremos um vector P que forma um ângulo θ com um eio ou recta orientada OL. A projecção de P sobre o eio OL é definida como sendo o escalar P cosθ P OL. Se considerarmos que o vector Q está orientado segundo o eio OL, o produto escalar entre P e Q escreve-se P Q PQcosθ P Q OL de onde se dedu ou ainda P OL P OL P Q P Q Q + P Q Q + P Q P ˆ λ P cosθ + P cosθ + P cosθ.6. Produto vectorial ou eterno de dois vectores O produto vectorial ou eterno de dois vectores, P e Q, representado pela epressão matemática V P Q é definido como sendo o vector V que satisfa as seguintes condições: Estática 003/04 Pág. 3
1. A linha de acção de V é perpendicular ao plano que contém os vectores, P e Q ;. O módulo de V é o produto dos módulos de P e Q pelo seno do ângulo θ formado por P e Q (θ 180º). V PQ senθ 3. O sentido de V é tal que uma pessoa colocada na etremidade de V observará como sendo anti-horária a rotação θ que tra o vector P sobre o vector Q. Os três vectores P, Q e V formam um triedro positivo ou directo. NOTA: Se P e Q não tiverem, inicialmente, o mesmo ponto de aplicação, deverão ser colocados com as origens no mesmo ponto. Determinemos os produtos vectoriais dos diversos pares possíveis de vectores unitários î, ĵ e. iˆ iˆ 0 iˆ iˆ iˆ 0 iˆ iˆ iˆ 0 Estática 003/04 Pág. 4
Determinação do sinal do produto vectorial ou eterno de dois vectores unitários: será positivo se se seguirem um ao outro no sentido antihorário e negativo em caso contrário. Em termos das suas componentes cartesianas, o produto vectorial de dois vectores, P e Q, escreve-se ( ˆ ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ˆ ) V P Q Pi + P j + Pk Qi + Q j + Qk ( P ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ Q PQ i PQ PQ j PQ PQ k - + - + - (prop. distrib) As componentes cartesianas do produto vectorial V são então: V V V P Q P Q P Q P Q P Q P Q O produto vectorial V pode ser epresso através de um determinante. Da 3ª condição resulta que o produto vectorial não é comutativo: Q P ( P Q) A propriedade associativa também não se verifica no produto vectorial. Em geral, por eemplo: ( P Q) S P ( Q S ) ( iˆ ) iˆ ( ) Mas o produto vectorial é distributivo, i.e., verifica-se a seguinte relação, de etrema importância neste curso de Estática: P ( Q1 + Q ) P Q1 + P Q Estática 003/04 Pág. 5
.7. Produto misto de três vectores O produto misto de três vectores, S, P e Q, é definido como sendo o produto escalar de S pelo produto vectorial de P e Q ; é dado pela epressão ( P Q) PQ cosθ S Estática 003/04 Pág. 6