Gestão de Finanças

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SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM COMERCIAL ADMINISTRAÇÃO REGIONAL DO SENAC EM MINAS GERAIS PRESIDENTE DO CONSELHO REGIONAL Lázaro Luiz Gonzaga ADAPTAÇÃO E ATUALIZAÇÃO DO CONTEÚDO Ricardo Luiz Barbosa SENAC. DR. MG. Matemática financeira / Gustavo Batista Nogueira. Belo Horizonte: SENAC MINAS / SEMD, 2007. 46p. Inclui bibliografia; SENAC. DR. MG. Administração Financeira 2. ed. / Vera Lúcia Braga. Belo Horizonte: SENAC MINAS / SEMD. 2008. 103p. Il. Inclui Bibliografia; SENAC. DR. MG. Viabilidade Econômica Financeira. Vera Lúcia Braga. Belo Horizonte: SENAC MINAS / SEMD. 2008. 51p; SENAC. DR. MG. Controle financeiro. 2.ed./ Vera Lúcia Braga. Belo Horizonte: SENAC MINAS / SEMD, 2008. 57p. Il. Inclui bibliografia. DIRETOR REGIONAL Luciano de Assis Fagundes CAPA Alex de Souza Carvalho GMP/SEMD - Setor de Material Didático PROJETO GRÁFICO Ricardo Tadeu Profeta GMP/SEMD - Setor de Material Didático DIAGRAMAÇÃO E TRATAMENTO DE IMAGEM Patrícia Regina da Silva Coelho GMP/SEMD - Setor de Material Didático REVISÃO LINGUÍSTICA E TRATAMENTO METODOLÓGICO Elaine Fátima de Souza GMP/SEMD - Setor de Material Didático Reimpressão, 2013 2ª edição, 2011 SENAC.DR.MG. Gestão de finanças. 2 ed. / Ricardo Luiz Barbosa. Belo Horizonte: SENAC/MG/SEMD, 2011. 142p. il. Inclui Bibliografia. Capitalização; Amortização; Contabilidade; Controle financeiro; Capital de giro; Custos; Preço de venda; Controle orçamentário; Viabilidade financeira. Ficha elaborada de acordo com as normas do SICS - Sistema de Informação e Conhecimento do Senac SENAC/DR.MG.2011 Setor de Material Didático - SEMD Rua Tupinambás, nº 1086 - Centro CEP 30.120-070 - Belo Horizonte - Minas Gerais 0800 7244440 - FAX.: (0xx31) 3048-9174 Home page: www.mg.senac.br

SUMÁRIO Matemática Financeira...7 Capitalização Simples...7 Taxas Proporcionais...11 Taxas Equivalentes...11 Descontos Simples...15 Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora...16 Desconto Racional ou Por Dentro...17 Capitalização Composta...21 Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes...24 Cálculo de Taxas Equivalentes na Capitalização Composta...25 Taxa Nominal...27 Taxa Efetiva...27 Taxa Aparente e Taxa Real...28 Séries de Pagamentos...32 Renda Postecipada...32 Renda Antecipada...33 Renda Diferida...34 Séries de Depósitos...36 Renda Postecipada...36 Renda Antecipada...37 Fluxo de Caixa...39 Objetivos... 40 Causas do Desequilíbrio do Fluxo de Caixa... 40 Sistemas de Amortização de Empréstimos...46 Sistema de Amortização Constante...46 Sistema de Amortização Francês...47 Noções de Contabilidade...48 Balanço Patrimonial...49 Formação do Balanço Patrimonial...50 Situações Líquidas Patrimoniais...50 Escrituração Contábil...52 Utilidade da Escrituração Contábil...52 Aspecto Legal...52 Aspecto Gerencial...52 Aspecto Social...53

Peças Contábeis...53 Plano de Contas...53 Conta...53 Grupos e Subgrupos que Compõem o Ativo...58 Grupos que Compõem o Passivo...59 Contas que Compõem o Patrimônio Líquido...59 Grupos que Compõem o Resultado...59 Demonstrativo de Resultado do Exercício - DRE...60 Demonstração de Lucros ou Prejuízos Acumulados...61 Lançamentos Contábeis...61 Como Fazer Lançamentos Contábeis...61 Controles Financeiros...67 Controle de Caixa...67 Operações Realizadas pelo Caixa...67 Estrutura do Caixa...68 Controle Bancário...68 Operações Realizadas pelo Banco...68 Controle de Estoque...68 Manutenção do Estoque...69 Funções do Setor de Controle de Estoques...69 Importância do Setor de Controle de Estoque...70 Ciclo do Setor de Compras e Estoque...70 Controle de Impostos...70 Planejamento Tributário...71 Controle de Comissões...71 Formulários...72 Gestão do Capital de Giro...80 Capital de Giro ou Capital Circulante...80 Capital de Giro Líquido...80 Fundamentos de Custos...88 Influência dos Custos nas Áreas...88 Evolução dos Sistemas de Custos...88 Sistema Artesiano...88 Revolução Industrial...88 Sistema de Produção em Série...89 Revolução Industrial Japonesa...89

Objetivos...90 Controle de Custos...90 Tomada de Decisões Estratégicas...91 Terminologia/Classificação de Custos...91 Terminologia de Custos...91 Classificação dos Custos...93 Formação do Preço de Venda...96 Terminologias...96 Determinação do Preço de Venda...96 Denominador Mark-up...96 Indicador Preço de Mercado...97 Planejamento e Controle Orçamentário...101 Orçamento Empresarial...101 Finalidades e Características...102 Limitações...103 Centros de Responsabilidades...103 Planejamento, Execução e Controle do Orçamento...104 Análise de Viabilidade Financeira...116 Estudo de uma Empresa Ativa...116 Técnicas de Análise de Investimentos...116 Análise de Balanço...124 Capital de Giro Líquido...124 Alavancagem...129 Risco Financeiro...129 Risco Operacional...129 Alavancagem Operacional...129 Alavancagem Financeira...129 Planejamento Financeiro...130 Estrutura de Capital...132 Plano de Negócio...136 Avaliação do Plano de Negócio...141 Referências...142

Matemática Financeira A Matemática Financeira estuda a variação de uma determinada quantia (capital) no decorrer do tempo. A variação dessa quantia dependerá da taxa de juros a qual estiver aplicada e do tempo de aplicação. A taxa de juros pode incidir sempre sobre o capital inicial (Capitalização Simples) ou sobre o capital mais os juros acumulados no período (Capitalização Composta). A diferença entre os dois sistemas de capitalização ficará mais clara no decorrer do capítulo. Ao longo do nosso estudo trabalharemos com alguns conceitos e seus respectivos símbolos (letras), que podem variar em outras obras. C i t J M capital taxa tempo (período de capitalização) juros montante Capitalização Simples Regime de Capitalização Simples é o regime de remuneração do capital em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. Tomemos um exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, durante três meses. Calcule o montante e os juros resultantes dessa aplicação. Primeira Solução Temos que: C = R$1.000,00 i = 10% a.m t = 3 meses M 3 = valor a ser encontrado J 3 = valor a ser encontrado Tomaremos como M 0 o montante inicial, M 0 = 1.000 M 2 = 1.100 + 100 M 1 = 1.000 + 10% de 1.000 M 2 = 1.200 M 1 = 1.000 + 100 M 3 = 1.200 + 10% de 1.000 M 1 = 1.100 M 3 = 1.200 + 100 M 2 = 1.100 + 10% de 1.000 M 3 = 1.300 senac minas 7

Concluímos que o Montante (capital aplicado mais os juros resultantes da sua aplicação) vale R$1.300,00. Se a aplicação de R$1.000,00 resultou em um montante de R$1.300,00, podemos concluir que os juros obtidos (rendimento) durante os três meses equivalem a R$ 300,00 (J 3 = R$ 300,00). Observação Foi fácil perceber que a taxa de juros simples de 10% a.m incidiu sempre sobre o capital inicial de R$1.000,00. Essa é a principal característica da capitalização simples. Segunda Solução Temos que: C = R$1.000,00 i = 10% a.m t = 3 meses M 3 = valor a ser encontrado J 3 = valor a ser encontrado Dado que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, podemos calcular os juros resultantes da aplicação de forma mais direta: 10% ao mês, durante três meses, equivalem a 30% de R$ 1.000,00. J 3 = 0,3 1.000 = R$ 300,00 J = C i t O montante total é o capital aplicado mais os juros obtidos na aplicação. M = C + J M 3 = 1.000 + 300 M 3 = R$ 1.300,00 Equações Da resolução do problema anterior, conseguimos duas equações importantes a serem sempre usadas: J t = C. i. t M t = C + J t Vamos deduzir mais uma: M = C + J M = C + C. i. t Colocando C em evidência, temos: M t = C. (1 + i. t) 8 senac minas

"Resolução " de Exercícios a. Determine os juros resultantes da aplicação de um capital de R$400,00 durante sete meses, a uma taxa de juros simples de 5% ao mês. Temos que: C = 400 t = 7 meses 5 i = 5% = = 0,05 100 J = valor a ser encontrado J t = C. i. t J = 400. 0,05. 7 J = R$ 140,00 b. Determine o montante resultante da aplicação de um capital de R$300,00, durante seis meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Temos que: C = 300 t = 6 meses 2 i = 2% = = 0,02 100 M = valor a ser encontrado M t = C. (1 + i. t) M = 300. 1,12 M = 300. (1 + 0,02. 6) M = R$ 336,00 M = 300. (1 + 0,12) c. Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 4% ao mês, durante 10 meses, resulta em um montante de R$1.120,00. Temos que: C = valor a ser encontrado t = 10 meses 4 i = 4% = = 0,04 100 M = 1.120 M t = C. (1 + i. t) 1.120 = C. (1 + 0,04. 10) 1.120 = C. (1 + 0,4) 1.120 = C. 1,4 C = 1.120 1,4 C = R$ 800,00 senac minas 9

d. Durante quanto tempo um capital de R$900,00 deve ficar aplicado a uma taxa de juros simples de 8% ao mês para que resulte em um montante de R$2.340,00? Temos que: C = 900 t = valor a ser encontrado 8 i = 8% = = 0,08 100 M = 2.340 Sabemos que M = C + J 2.340 = 900 + J 1.440 = 900. 0,08. t J = M C J = 2.340 900 J = 1.440 1.440 = 72. t t = 1.440 72 t = 20 meses J t = C. i. t e. Um capital de R$500,00 foi aplicado durante nove meses, resultando em um montante de R$635,00. Calcule a taxa mensal de juros simples à qual o capital foi aplicado. Temos que: C = 500 t = 9 meses i = valor a ser encontrado M = 635 Sabemos que M = C + J 635 = 500 + J 135 = 500. i. 9 J = M C 135 = 4.500. i J = 635 500 i = 135 4.500 J = 135 3 i = 0,03 = = 3% 100 J t = C. i. t i = 3% a.m Observação A taxa de juros e o tempo devem estar sempre na mesma unidade de medida (período). Caso isso não aconteça é preciso encontrar uma taxa equivalente ou modificar o tempo. 10 senac minas

Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre seus respectivos períodos. Tomemos duas taxas proporcionais i 1 e i 2 e seus respectivos períodos n 1 e n 2, temos então: (i 1 / i 2 ) = (n 1 / n 2 ) )) Exemplo 1 Dada a taxa de 36% ao ano, calcule a taxa proporcional trimestral. Considerando i 1 = 36% e sabendo que um ano equivale a quatro trimestres, encontraremos a taxa proporcional trimestral i 2 da seguinte maneira: 36 4 = i i 1 2 = 9% a.t. )) Exemplo 2 Dada a taxa de 2% ao bimestre, calcule a taxa proporcional semestral. Considerando i 1 = 2% e sabendo que um semestre equivale a três bimestres, encontraremos a taxa proporcional semestral i 2 da seguinte maneira: 2 1 = i2 = 6% a.s. i 3 Taxas Equivalentes Duas taxas expressas em períodos diferentes serão equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, resultarem em montantes iguais. )) Exemplo Vamos calcular o montante resultante da aplicação de um capital de R$4.000,00 durante um ano, às taxas simples de 2% ao mês e 12% ao semestre. C = 4.000 C = 4.000 i = 2% = 0,02 i = 12% = 0,12 t = 1 ano = 12 meses t = 1 ano = 2 semestres M 1 = 4.000 (1 + 0,02. 12) = R$ 4.960,00 M 2 = 4.000 (1 + 0,12. 2) = R$ 4.960,00 Conclui-se, então, que as duas taxas são equivalentes, pois os montantes resultantes são iguais. Podemos também observar que as taxas mencionadas acima são proporcionais. 2 12 = 1 6 Observação Na capitalização simples, duas taxas proporcionais também serão equivalentes. senac minas 11

)) Exemplo Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$2.000,00 a uma taxa de juros simples de 7% ao mês, durante 5 bimestres. C = 2.000 i = 7% a.m t = 5 bimestres M = valor a ser encontrado Observe que a taxa e tempo estão em unidades de medida (períodos) diferentes. A taxa é dada ao mês e o tempo é dado em bimestres. Devemos transformar o tempo para meses ou encontrar a taxa equivalente (ou proporcional) bimestral. 1ª solução Modificando o tempo em função do período da taxa C = 2.000 i = 7% a.m = 0,07 t = 5 bimestres = 10 meses M = valor a ser encontrado M t = C. (1 + i. t) M = 2.000. 1,7 M = 2.000. (1 + 0,07. 10) M = R$ 3.400,00 M = 2.000. (1 + 0,7) 2ª solução Modificando a taxa em função do tempo C = 2.000 i = 7% a.m t = 5 bimestres M = valor a ser encontrado Antes de calcular o montante devemos encontrar a taxa bimestral equivalente (ou proporcional) à taxa de 12% ao mês. Tomando a taxa de 7% como i 1 temos: (i 1 / i 2 ) = (n 1 / n 2 ) 7 1 = i2 = 14% ao bimestre i 2 i = 7% ao mês é equivalente a 14% ao bimestre = 0,14 M t = C. (1 + i. t) M = 2.000. 1,7 M = 2.000. (1 + 0,14. 5) M = R$ 3.400,00 M = 2.000. (1 + 0,7) 12 senac minas

"Exercícios " 1. Um capital de R$3.400,00, aplicado durante um semestre, a uma taxa de juros simples de 3% ao bimestre, resulta em qual montante? 2. Determine os juros resultantes da aplicação de um capital de R$2.700,00 durante três anos, a uma taxa de juros simples de 1% ao mês. 3. Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, durante um semestre, resulta em um montante de R$872,00. 4. Durante quanto tempo um capital de R$9.500,00 deve ficar aplicado a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês para que resulte em um montante de R$11.875,00? 5. Um capital de R$640,00 foi aplicado durante seis trimestres, resultando em um montante de R$1.100,80. Calcule a taxa mensal de juros simples à qual o capital foi aplicado. 6. Em quanto tempo um capital duplica de valor à taxa de 20% a.a. na capitalização simples? 7. Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de um ano e quatro meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. Calcule a taxa mensal dessa aplicação. 8. Um investidor depositou R$300.000,00 por 4 meses, à taxa simples de 8% ao mês. Sabendo que sobre os juros incide uma taxa de 25% de Imposto de Renda, calcule: a. o valor dos juros; b. o Imposto de Renda retido; c. o valor líquido do resgate; d. a taxa efetiva mensal de rendimento; 9. (UFMG) - Um banco anuncia empréstimo à taxa de 20% a.m. Porém, a prática do banco é cobrar juros no momento do empréstimo. Qual é a taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco? 10. Uma geladeira é vendida à vista por R$1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira com uma entrada de R$200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? 11. (Técnico em Contabilidade CRC 2001) - Uma pessoa aplica R$4.000,00 por sete meses e R$6.000,00 por um ano à mesma taxa de juros simples. Se n é o número de meses que essa pessoa deve aplicar R$10.000,00 à mesma taxa de juros anterior para que o montante obtido seja igual ao da soma das duas aplicações iniciais, então calcule o valor de n. 12. (Técnico em Contabilidade CRC 2000) - Em uma aplicação financeira, recebeu-se de juros o corresponde a 1/5 do valor aplicado, num período de quatro meses. Sabendo-se que o regime é de capitalização simples, calcule a taxa de juros quadrimestral da aplicação. senac minas 13

13. (Correios/Técnico Operacional Júnior/2001) - Se um capital aplicado a juros simples, à determinada taxa mensal, dobra de valor em 20 meses, o tempo necessário, em meses, para que esse capital, aplicado à mesma taxa, seja triplicado é: 14. (BDMG/Técnico de Desenvolvimento/2004) - Pedro comprou uma geladeira, cujo preço à vista é R$780,00, em duas prestações, que foram pagas em 30 e 60 dias da data da compra. A loja cobrou juros de 6% a.m. A primeira parcela paga foi de R$400,00. Calcule o valor da segunda parcela. 15. (CREA/Assistente Administrativo/2004) - Sabe-se que 60% de um capital foi aplicado, durante três meses, a uma taxa de 12% a.m. O restante foi aplicado a uma taxa de 15% a.m, durante seis meses. Sendo o montante total recebido de R$945,60, calcule o valor do capital aplicado. 16. Dois capitais foram aplicados a juros simples, o primeiro à taxa de 10% a.a e o segundo à taxa de 20% a.a. Calcule os capitais sabendo que, somados, valem R$600,00 e que os juros totais produzidos pelos dois em um ano é de R$80,00. 17. Dada a taxa 3% ao mês determine a taxa proporcional bimestral, trimestral, quadrimestral, semestral e anual. 18. Dada a taxa de 48% ao ano determine a taxa proporcional mensal, bimestral, trimestral, quadrimestral e semestral. 19. Dada a taxa de 8% a.a, determine a taxa proporcional trimestral. GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 R$3.706,00 R$972,00 R$800,00 10 meses 4% a.m 5 anos 2,5% a.m a. R$96.000,00 b. R$24.000,00 c. R$72.000,00 d. 6% a.m 09 10 11 12 13 14 15 16 25% 5% a.m 10 meses 20% a.q 40 meses R$452,40 R$600,00 R$400,00 R$200,00 14 senac minas

Descontos Simples É muito comum contrair uma dívida que deverá ser paga em uma data futura. Nessas condições, o devedor fornece ao credor um documento chamado título de crédito, que é usado para formalizar uma dívida que não pode ser paga imediatamente. Essa dívida será paga, com ou sem juros, em uma data especificada (data de vencimento do título). Os três tipos de títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são: Nota Promissória, Duplicata e Letra de Câmbio. Nota Promissória: é um título de crédito emitido pelo devedor, muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira. Uma Nota Promissória deve conter o valor da quantia a ser paga (geralmente acrescida de juros), a data em que deve ser paga (data de vencimento do título), o nome e a assinatura do devedor, e o nome do credor (pessoa que recebe a quantia a ser paga). Duplicata: é um título de crédito emitido por uma pessoa jurídica na venda de mercadorias ou na prestação de serviços. O título é emitido contra o cliente (devedor) e deve ter por base a nota fiscal dos serviços prestados. Deve conter o valor nominal do título (quantia a ser paga), a data de vencimento, o nome do devedor e a pessoa jurídica. Letra de Câmbio: é um título de crédito emitido por uma instituição financeira (instituição de crédito, financiamento e investimento) em operações de crédito direto para pessoas física ou jurídica. No ato de um empréstimo o devedor dá à financeira contratada uma nota promissória como garantia. A financeira, então, emite Letras de Câmbio que serão pagas por ela mesma (financeira) às taxas de juros menores que as taxas cobradas nas notas promissórias. A diferença entre essas taxas é o lucro bruto da financeira. Na Letra de Câmbio o nome do credor não vem declarado, pois ela é um título ao portador. No caso do pagamento do título de crédito ser efetuado antes da data de seu vencimento, haverá um abatimento sobre o valor nominal do título. Esse abatimento (diferença) recebe o nome de desconto. Trabalharemos com alguns conceitos e seus respectivos símbolos (letras), que podem variar em outras obras. D Desconto N Valor Nominal do Título (valor futuro ou valor de resgate) A Valor Atual do Título (valor pago pelo título antes da data de seu vencimento) t Período i Taxa Estudaremos os dois tipos de descontos simples: o desconto Comercial ou Por Fora, e o desconto Racional ou Por Dentro. senac minas 15

Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora Desconto Comercial é o desconto equivalente ao juro simples, cobrado sobre o valor nominal do título, a uma taxa prefixada, no período que decorre da transação ao vencimento do título. D = N.i.t Calculado o desconto, temos que o Valor Atual (valor pago pelo título) é obtido subtraindo-se do Valor Nominal o desconto. A = N D )) Exemplo 1 O portador de uma nota promissória de R$5.000,00, precisando de dinheiro, resolveu trocar o título 120 dias antes do seu vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor da quantia resgatada pelo portador, sabendo que a taxa de desconto comercial usada foi de 6% ao mês. Temos que: N = R$5.000,00 t = 120 dias = 4 meses D = valor a ser calculado A = valor a ser calculado i = 6% a.m D = N.i.t D = 5000. 0,06. 4 D = R$ 1.200,00 A = N D A = 5000 1200 A = R$3.800,00 O título de R$5.000,00 foi resgatado por R$3.800,00 a uma taxa de desconto comercial de 6% a.m, faltando 4 meses para o seu vencimento. )) Exemplo 2 Uma nota promissória de R$6.500,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$5.720,00. Calcule o prazo de antecipação do vencimento, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% a.m. Temos que: N = R$6.500,00 i = 4% a.m D = valor a ser calculado t = valor a ser calculado A = R$ 5.720,00 16 senac minas

É óbvio concluir que o desconto é a diferença entre o valor nominal da promissória e o valor atual. D = N A D = 6500 5720 D = R$ 780,00 D = N.i.t 780 = 6500. 0,04. t 780 = 260. t 780 t = 260 t = 3 meses O título de R$ 6.500,00 foi resgatado por R$5.720,00 a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m, faltando 3 meses para o seu vencimento. )) Exemplo 3 Uma duplicata de R$3.000,00 foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento, por R$2.910,00. Calcule a taxa de desconto comercial usada na transação. Temos que: N = R$ 3.000,00 t = 2 meses A = R$2.910,00 D = valor a ser calculado i = valor a ser calculado É óbvio concluir que o desconto é a diferença entre o valor nominal da promissória e o valor atual. D = N A D = 3000 2910 D = R$ 90,00 D = N.i.t 90 = 3000. i. 2 90 = 6000. i i = 90 6000 i = 0,015 = 1,5% am O título de R$3.000,00 foi resgatado por R$2.910,00, faltando 2 meses para o seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,5% a.m. Desconto Racional ou Por Dentro Desconto Racional é o desconto equivalente ao juro simples cobrado sobre o valor atual do título, a uma taxa prefixada, no período que decorre da transação ao vencimento do título. D = A.i.t senac minas 17

Calculado o desconto, temos que o Valor Atual (valor pago pelo título) é obtido subtraindo-se do Valor Nominal o desconto. A = N D Deparamo-nos com o seguinte problema: para calcular o valor atual, precisamos saber o valor do desconto, mas, para calcular o desconto, precisamos saber o valor atual. Usaremos, então, um artifício algébrico para deduzirmos uma equação que nos permita calcular o valor do desconto racional. Das equações D = A.i.t e A = N D temos: D = (N D).i.t D = N.i.t D.i.t D + D.i.t = N.i.t D.(1 + i.t) = N.i.t D = N. i. t (1 + i. t) )) Exemplo 1 O portador de uma nota promissória de R$5.000,00, precisando de dinheiro, resolveu trocar o título 120 dias antes do seu vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor da quantia resgatada pelo portador, sabendo que a taxa de desconto racional usada foi de 6% ao mês. Temos que: N = R$5.000,00 t = 120 dias = 4 meses D = valor a ser calculado A = valor a ser calculado i = 6% a.m D = (N.i.t) (1 + i.t) D = (5000. 0,06. 4) (1 + 0.06. 4) D = 1200 1,24 D = R$ 967,74 A = N D A = 5000 967,74 A = R$4.032,26 O título de R$5.000,00 foi resgatado por R$4.032,26 a uma taxa de desconto racional de 6% a.m, faltando 4 meses para o seu vencimento. 18 senac minas

)) Exemplo 2 Uma nota promissória de R$6.500,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$5.803,57. Calcule o prazo de antecipação do vencimento, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% a.m. Temos que: N = R$6.500,00 i = 4% a.m A = R$5.803,57 D = valor a ser calculado t = valor a ser calculado É óbvio concluir que o desconto é a diferença entre o valor nominal da promissória e o valor atual. D = N A D = 6500 5803,57 D = R$ 696,43 D = A.i.t 696,43 = 5803,57. 0,04. t 696,43 = 232,14. t t = 696,43 232,14 t = 3 meses O título de R$6.500,00 foi resgatado por R$5.803,57 a uma taxa de desconto racional de 4% a.m, faltando 3 meses para o seu vencimento. )) Exemplo 3 Uma duplicata de R$3.000,00 foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento por R$2.912,62. Calcule a taxa de desconto comercial usada na transação. Temos que: N = R$3.000,00 t = 2 meses A = R$2.912,62 D = valor a ser calculado i = valor a ser calculado É óbvio concluir que o desconto é a diferença entre o valor nominal da promissória e o valor atual. D = N A D = 3000 2912,62 D = R$ 87,38 D = A.i.t 87,38 = 2912,62. i. 2 87,38 = 5825,24. i 87,38 i = 5825,24 i = 0,015 = 1,5% a.m Observação O título de R$3.000,00 foi resgatado por R$2.912,62, faltando 2 meses para o seu vencimento, a uma taxa de desconto racional de 1,5% a.m. Se o tipo de desconto não vier especificado em algum problema, considerar o Desconto Comercial ou Por Fora. senac minas 19

"Exercícios " 1. Um lojista vendeu uma mercadoria por R$1.500,00 através de uma duplicata. Necessitando de dinheiro um mês antes do vencimento, resolve trocar a duplicata. Considerando a taxa de desconto comercial de 20%, quanto receberá pela duplicata? 2. Um lojista vendeu uma mercadoria por R$1.500,00 através de uma duplicata. Necessitando de dinheiro um mês antes do vencimento, resolve trocar a duplicata. Considerando a taxa de desconto racional de 20%, quanto receberá pela duplicata? 3. Um título de R$45.000,00 foi descontado por fora a uma taxa de 10% a.m, 90 dias antes do vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor recebido pelo portador do título. 4. Um título de R$45.000,00 foi descontado por dentro a uma taxa de 10% a.m, 90 dias antes do vencimento. Calcule o valor do desconto e o valor recebido pelo portador do título. 5. Um título foi descontado por fora a 48% a.a, um bimestre antes do vencimento, dando um desconto de R$2.400,00. Calcule o valor nominal do título. 6. Um título foi descontado por dentro a 15% a.m, um semestre antes do vencimento, dando um desconto de R$3.600,00. Calcule o valor nominal do título. 7. Uma nota promissória de R$12.000,00 foi descontada 5 meses antes do seu vencimento, por R$7.800,00. Calcule a taxa de desconto comercial usada na operação. 8. Uma duplicata de R$5.700,00 foi descontada 2 meses antes do seu vencimento por R$ 4.750,00. Calcule a taxa de desconto racional usada na operação. 9. Um título de R$850,00, descontado por fora, à taxa de 3,5% a.m, é resgatado por R$790,50. Calcule o tempo de antecipação do vencimento do título. 10. Um título de R$20.000,00 sofre um desconto por dentro de R$5.714.29, à taxa de 8% a.m. Calcule o tempo de antecipação do vencimento do título. 11. Uma nota promissória sofre um desconto simples comercial de R$90.00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. Caso fosse um desconto simples racional, calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. GABARITO 01 02 03 04 05 06 R$1.200,00 R$1.250,00 R$31.500,00 R$34.615,38 R$30.000,00 R$7.600,00 07 08 09 10 11 7%am 10%am 2 meses 5 meses R$78,26 20 senac minas

Capitalização Composta Regime de capitalização composta é o regime de remuneração do capital em que a taxa de juros incide sempre sobre o montante anterior (capital mais os juros acumulados no período). Tomemos um exemplo: Um capital de R$1.000,00 é aplicado a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, durante três meses. Calcule o montante e os juros resultantes dessa aplicação. 1ª solução Temos que: C = R$1.000,00 i = 10% a.m t = 3 meses M 3 = valor a ser encontrado J 3 = valor a ser encontrado Tomaremos como M 0 o montante inicial: M 0 = 1.000 M 2 = 1.100 + 110 M 1 = 1.000 + 10% de 1.000 M 2 = 1.210 M 1 = 1.000 + 100 M 3 = 1.210 + 10% de 1.210 M 1 = 1.100 M 3 = 1.210 + 121 M 2 = 1.100 + 10% de 1.100 M 3 = 1.331 Concluímos que o montante (capital aplicado mais os juros resultantes da sua aplicação) vale R$1.331,00. Se a aplicação de R$1.000,00 resultou em um montante de R$1.331,00, podemos concluir que os juros obtidos (rendimento) durante os três meses equivalem a R$ 331,00 (J 3 = R$ 331,00). Observação Foi fácil perceber que a taxa de juros de 10% a.m incidiu sempre sobre o montante anterior (capital mais o juro acumulado no período). Essa é a principal característica da Capitalização Composta. Vamos agora deduzir a equação para o cálculo do montante, no regime de Capitalização Composta. M 0 = C M 2 = C. (1 + i). (1 + i) M 1 = M 0 + M 0. i M 2 = C. (1 + i) 2 M 1 = C + C. i M 3 = M 2 + M 2. i M 1 = C. (1 + i) M 3 = M 2. (1 + i) M 2 = M 1 + M 1. i M 3 = C. (1 + i) 2. (1 + i) M 2 = M 1. (1 + i) M 3 = C. (1 + i) 3 Podemos então, concluir que M = C. (1 + i)t t senac minas 21

"Resolução " de Exercícios a. Determine os juros resultantes da aplicação de um capital de R$400,00 durante sete meses, a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês. Temos que: C = 400 t = 7 meses 5 i = 5% = = 0,05 100 J = valor a ser encontrado t M = C. (1 + i) M t M = 400. (1 + 0,05) 7 = C + J 562,84 = 400 + J M = 400. (1,05) 7 J = 562,84 400 M = 400. 1,4071 J = R$ 162,84 M = R$ 562,84 b. Determine o montante resultante da aplicação de um capital de R$300,00 durante seis meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Temos que: C = 300 t = 6 meses 2 i = 2% = = 0,02 100 M = valor a ser encontrado M t = C. (1 + i) t M = 300. 1,1261 M = 300. (1 + 0,02) 6 M = R$ 337,83 M = 300. (1,02) 6 c. Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, durante 10 meses, resulta em um montante de R$1.120,00. Temos que: C = valor a ser encontrado t = 10 meses 4 i = 4% = = 0,04 100 M = 1.120 M t = C. (1 + i) t 1.120 = C. (1 + 0,04) 10 1.120 = C. (1,04) 10 1.120 = C. 1,4802 C = 1.120 1,4802 C = R$ 756,65 22 senac minas

d. Durante quanto tempo um capital de R$900,00 deve ficar aplicado a uma taxa de juros simples de 8% ao mês para que resulte em um montante de R$4.194,86? Temos que: C = 900 t = valor a ser encontrado 8 i = 8% = = 0,08 100 M = 4.194,86 Sabemos que M = C. (1 + i) t 4.194,86 = 900. (1 + 0,08) t 4.194,86 = 900. (1,08) t 4.194,86 900 4,661 = (1,08) t = (1,08) t Devemos agora, aplicar uma propriedade conhecida de logaritmos: Log b (am ) = m log b a log 4,661 = log ( 1,08 ) t log 4,661 = t. log 1,08 log 4,661 t = log 1,08 t = 0,6685 0,0334 t = 20 meses e. Um capital de R$500,00 foi aplicado durante nove meses, resultando em um montante de R$652,38. Calcule a taxa mensal de juros simples à qual o capital foi aplicado. Temos que: C = 500 t = 9 meses i = valor a ser encontrado M = 652,38 Sabemos que M t = C. (1 + i) t 652,38 = 500. (1 + i) 9 652,38 500 = (1 + i) 9 1,3048 = (1 + i) 9 1,03 = 1 + i i = 1,03 1 3 i = 0,03 = 100 9 1, 3048 = 1 + i i = 3% a.m Observação Assim, como na capitalização simples, a taxa de juros e o tempo devem estar sempre na mesma unidade de medida (período). Caso isso não aconteça, é preciso encontrar uma taxa equivalente ou modificar o tempo. senac minas 23

Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes Os conceitos sobre taxas proporcionais e equivalentes, vistos no capítulo Capitalização Simples, são os mesmos para a Capitalização Composta. Taxas Proporcionais: duas taxas são proporcionais quando a razão entre elas é igual à razão entre seus respectivos períodos. Tomemos duas taxas proporcionais i 1 e i 2 e seus respectivos períodos n 1 e n 2, temos então: (i 1 / i 2 ) = (n 1 / n 2 ) Taxas Equivalentes: duas taxas expressas em períodos diferentes serão equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, resultarem em montantes iguais. Vimos também no mesmo capítulo Capitalização Simples que duas taxas proporcionais também serão equivalentes. Será que isto ocorre na capitalização composta? Vejamos o exemplo a seguir: )) Exemplo Vamos calcular o montante resultante da aplicação de um capital de R$4.000,00 durante um ano, às taxas simples de 2% ao mês e 12% ao semestre. Podemos também observar que as taxas mencionadas acima são proporcionais. 2 12 = 1 6 Vejamos se as duas taxas, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo tempo, resultam em montantes também iguais: C = 4.000 C = 4.000 i = 2% = 0,02 i = 12% = 0,12 t = 1 ano = 12 meses t = 1 ano = 2 semestres M 1 = 4.000 (1 + 0,02) 12 = R$ 5.072,97 M 2 = 4.000 (1 + 0,12) 2 = R$ 5.017,60 Conclui-se, então, que as duas taxas não são equivalentes, pois os montantes resultantes são diferentes. Conclusão: na Capitalização Composta, duas taxas proporcionais não são equivalentes. 24 senac minas

Cálculo de Taxas Equivalentes na Capitalização Composta O cálculo de taxas equivalentes deve ser feito através da seguinte equação: (1 + i 1 ) n = (1 + i 2 ) n onde i 1 e i 2 são as taxas equivalentes e n é o período de capitalização. Observação O período de capitalização usado na equação pode ser qualquer um (a sua escolha), desde que esteja expresso de acordo com o período de cada taxa. Tomemos dois exemplos: )) Exemplo 1 Dada a taxa composta de 24% ao ano, determine a taxa equivalente bimestral. É preciso encontrar a taxa bimestral i 2 equivalente à taxa i 1 = 24% a.a (1 + i 1 ) n = (1 + i 2 ) n Consideraremos o período n = 1 ano (1 + i 1 ) 1 ano = (1 + i 2 ) 1 ano (1 + 0,24) 1 ano = (1 + i 2 ) 1 ano O período n = 1 ano na taxa i 2 deverá ser transformado em bimestres (1 ano = 6 bimestres), pois a taxa i 2 está ao semestre. Temos então: (1 + 0,24) 1 = (1 + i 2 ) 6 1,24 = (1 + i 2 ) 6 6 1,24, = 1 + i 2 1,0365 = 1 + i 2 i 2 = 1,0365 1 i 2 = 0,0365 = 3,65% ao bimestre )) Exemplo 2 Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$2.000,00 a uma taxa de juros compostos de 12% ao mês, durante 5 bimestres. C = 2.000 i = 12% a.m t = 5 bimestres M = valor a ser encontrado Observe que a taxa e o tempo estão em unidades de medida diferentes. A taxa é dada ao mês e o tempo é dado em bimestres. senac minas 25

Devemos transformar o tempo para meses ou encontrar a taxa equivalente bimestral. 1ª solução Modificando o tempo em função do período da taxa C = 2.000 i = 12% a.m = 0,12 t = 5 bimestres = 10 meses M = valor a ser encontrado M t = C. (1 + i) t M = 2.000. 3,106 M = 2.000. (1 + 0,12) 10 M = R$ 6.212,00 M = 2.000. (1,12) 10 2ª Solução Modificando a taxa em função do tempo É preciso encontrar a taxa bimestral i 2 equivalente à taxa i 1 = 12% a.m (1 + i ) n = (1 + i 2 ) n Consideraremos o período n = 1 bimestre (1 + i 1 )1 bimestre = (1 + i 2 ) 1 bimestre (1 + 0,12) 1 bimestre = (1 + i 2 ) 1 bimestre O período n = 1 bimestre na taxa i 1 deverá ser transformado em meses (1 bimestre = 2 meses), pois a taxa i 1 está ao mês. Temos então: (1 + 0,12) 2 = (1 + i 2 ) 1 1,12 2 = 1 + i 2 1,2544 = 1 + i 2 i 2 = 1,2544 1 i 2 = 0,2544 = 25,44 100 = 25,44% i 2 = 25,44% ab (ao bimestre) Retornando ao exercício, temos: C = 2.000 i = 12% ao mês é equivalente a 25,44% ao bimestre = 25,44 100 = 0,2544 t = 5 bimestres M = valor a ser encontrado Nota M t = C. (1 + i) t M = 2.000. 3,106 M = 2.000. (1 + 0,2544) 5 M = R$ 6.212,00 M = 2.000. (1,2544) 5 Ficou evidente que, na capitalização composta, encontrar um taxa equivalente demanda mais trabalho. Nos casos em que a taxa e o tempo estiverem em unidades de medida (períodos) diferentes é aconselhável tentar modificar o tempo. 26 senac minas

Taxa Nominal Taxa Nominal é uma taxa referente a um período (tempo) diferente do período de capitalização. )) Exemplo 24% a.a, capitalizados mensalmente; 2% a.b, capitalizados semestralmente; 12% a.a, com capitalização trimestral; A taxa nominal tem, geralmente, periodicidade anual e aparece em contratos financeiros. Na resolução de problemas em que aparecem taxas nominais, usa-se a taxa proporcional na unidade de tempo da capitalização. Tomemos as taxas citadas acima: 24% a.a, capitalizados mensalmente = 24 12 = 2% a.m, (pois, 1 ano tem 12 meses); 2% a.b, capitalizados semestralmente = 2 3 = 6% a.s, (pois, 1 semestre tem 3 bimestres); 12% a.a, com capitalização trimestral = 12 4 = 3% a.t, (pois, 1 ano tem 4 trimestres). Tomemos outro exemplo: Determine o montante resultante da aplicação de um capital de R$2.500,00, durante 3 anos, a uma taxa de juros 24% ao ano, capitalizados bimestralmente. C = 25000 i = 24% a.a, capitalizados bimestralmente = 24 = 4% a.b, (pois, 1 ano tem 6 bimestres) 6 t = 3 anos = 18 bimestres M = valor a ser encontrado M t = C. (1 + i) t M = 2500. 2,0258 M = 2500. (1 + 0,04) 18 M = R$ 5.064,50 M = 2500. (1,04) 18 Taxa Efetiva A Taxa Efetiva expressa a remuneração sobre o capital, ou seja, é a taxa realmente utilizada em uma operação. Quando o período de capitalização não for expresso, têm-se uma taxa efetiva e a capitalização ocorre na unidade de tempo dada. )) Exemplo 1,5% a.m, 4% a.b, 12% a.a senac minas 27

Observação Nos problemas em que aparecem taxas nominais, a taxa proporcional encontrada é a taxa efetiva propriamente dita. Tomemos um exemplo: Dada uma taxa de juros composta de 6% a.a, capitalizados mensalmente, determine a taxa nominal, a taxa efetiva mensal e a taxa efetiva anual. Taxa Nominal = 6% a.a, capitalizados mensalmente. Taxa Efetiva Mensal = 6 = 0,5% a.m, (pois, 1 ano tem 12 meses). 12 Taxa Efetiva Anual - para encontrá-la devemos calcular a taxa anual i 2 equivalente à taxa i 1 = 0,5% a.m. (1 + i 1 ) n = (1 + i 2 ) n Consideraremos o período n = 1 ano (1 + i 1 ) 1 ano = (1 + i 2 ) 1 ano (1 + 0,005) 1 ano = (1 + i 2 ) 1 ano O período n = 1 ano na taxa i 1 deverá ser transformado em meses (1 ano = 12 meses), pois a taxa está ao mês. Temos então: (1 + 0,005) 12 = (1 + i 2 ) 1 1,0617 1 = i 2 1,005 12 = (1 + i 2 ) 1 i = 0,617 2 1,0617 = 1 + i 2 i = 6,17% ao ano 2 Taxa Efetiva Anual = 6,17% a.a Conclusão: uma taxa nominal de juros de 6% ao ano, capitalizados mensalmente, corresponde efetivamente a uma taxa de 6,17% ao ano. Taxa Aparente e Taxa Real Taxa Aparente é a taxa que vigora em uma operação financeira sem levar em consideração a inflação no período. Já a Taxa Real é calculada levando-se em conta essa inflação. Tomemos um exemplo: Mariana recebeu um aumento de 20% em seu salário. Calcule o aumento real recebido por Mariana, sabendo que a inflação no mesmo período foi de 15%. Podemos resolver esse exercício de duas maneiras: 28 senac minas

1ª solução Consideraremos o salário de Mariana igual a R$100,00 e o valor de uma mercadoria qualquer igual a R$100,00. Salário = R$100,00 Valor Mercadoria = R$100,00 Após o aumento de salário (20%) e após a inflação (15%) temos, Salário = R$120,00 Valor Mercadoria = R$115,00 Podemos observar que o salário de Mariana aumentou R$5,00 em relação ao preço da mercadoria. Esse será o aumento real no salário de Mariana. Calculando o aumento real percentual temos: R$ % 115 100 5 x X = 4,35% Concluímos que Mariana teve, no período, um aumento real de 4,35% em seu salário. 2ª solução Podemos usar a seguinte equação: (1 + a) = (1 + I).(1 + r) a Taxa Aparente I Inflação r Taxa Real (1 + a) = (1 + I).(1 + r) (1 + r) = 1,0435 (1 + 0,2) = (1 + 0,15).(1 + r) r = 1,0435 1 (1,2) = (1,15).(1 + r) 1,2 = (1 + r) 1,15 r = 0,0435 r = 4,35% Concluímos que Mariana teve, no período, um aumento real de 4,35% em seu salário. senac minas 29

"Exercícios " 1. Uma quantia de R$15.000,00, aplicada a uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m, durante um ano e meio, resulta em qual montante? 2. Aderbaldo aplica na poupança a quantia de R$6.500,00 à taxa de juros compostos de 0,5% ao mês. No final de dois anos, quanto ele receberá de juros? 3. Um capital de R$800,00 esteve aplicado por um semestre e gerou um montante de R$849,22. A que taxa mensal esteve aplicado a juros compostos? 4. Durante quanto tempo deve-se aplicar um capital de R$28.000,00 à taxa composta de 2% a.m, para que o mesmo produza R$6.131,84 de juros? 5. Um comerciante fez um empréstimo e pagou, após um ano, acrescido de juros compostos de 2% ao mês, a quantia de R$76.094,40. Qual o valor do empréstimo? 6. Uma loja anuncia um produto por R$898.88, com pagamento somente 60 dias após a compra, sem entrada. Porém, se o comprador resolvesse pagar à vista, o mesmo produto sairia por R$800,00. Calcule a taxa mensal de juros compostos praticada pela loja. 7. (Técnico em Contabilidade CRC 2001) - O valor a ser aplicado hoje para que se aufiram R$6.000,00 de juros ao fim de 5 anos com taxa de juros compostos de 12% a.a é igual a: 8. (Técnico em Contabilidade CRC 2003) - Um empréstimo é obtido sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de juros trimestral de 9,54%. Se os juros cobrados são iguais a 1/5 do valor do empréstimo, o tempo de duração deste é: 9. Um capital foi aplicado a uma taxa composta de 2% ao mês, durante 4 meses. O montante resultante foi reaplicado a uma outra taxa composta de 3% ao mês, durante 10 meses, resultando em um montante de R$1.745,56. Calcule o capital inicial. 10. Obtenha a taxa anual equivalente à taxa composta mensal de 3% ao mês. 11. Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de 30% a.a? 12. Dada a taxa composta de 12% ao trimestre determine a taxa equivalente bimestral. 13. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa de 10% ao ano, capitalizada semestralmente. 14. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa de 6% ao ano, com capitalização semestral. 15. Dada a taxa composta de 10% ao bimestre, com capitalização mensal, determine: a. A taxa nominal b. A taxa efetiva c. A taxa efetiva (equivalente) semestral d. A taxa efetiva (equivalente) trimestral 30 senac minas

16. Calcule a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros compostos de 8% ao ano com capitalização semestral. 17. Um capital de R$10.000,00, aplicado a uma taxa composta de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, produz um montante de R$11.268,25 em um ano. Qual é a taxa trimestral capaz de produzir o mesmo montante ao aplicarmos o mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo? 18. Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 5.000,00 durante 2 anos, a uma taxa composta de juros de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente. 19. Ana Maria recebeu um aumento de 10% em seu salário. Calcule o aumento real recebido por Ana Maria, sabendo que a inflação no mesmo período foi de 8%. 20. Helger comprou um apartamento e, após certo tempo, o vendeu com 30% de lucro sobre o preço de custo. Sabendo que a inflação no mesmo período foi de 10%, qual foi o lucro real obtido por Helger? 21. Qual o montante resultante da aplicação de um capital de R$8.000,00, a uma taxa composta de 10% ao semestre, durante cinco meses e 24 dias? 22. Qual o montante resultante da aplicação de um capital de R$600,00, a uma taxa de 18% ao ano, capitalizados bimestralmente, durante um ano e três meses? GABARITO 1 2 3 4 5 6 7 8 R$23.394,88 R$826,54 1% a.m 10 meses R$60.000,00 6% a.m R$7.870,49 2 trimestres 9 10 11 12 13 14 15 16 a. 10% a.b R$ 1.200,00 42,57% a.a 6,78% a.t 7,85% a.b 10,25% a.a 6,09% a.a b. 5% a.m c. 34,01% a.s d. 15,76% a.t 8,16% a.a 17 18 19 20 21 22 3,03% a.t R$7.969,24 1,85% 18,18% R$8.772,09 R$748,91 senac minas 31

Séries de Pagamentos Renda é uma sucessão de capitais disponíveis em épocas diferentes. Esses capitais podem ser uma série de pagamentos que objetivam quitar uma dívida atual ou uma série de depósitos que objetivam formar um valor futuro (montante). Quando o objetivo é formar um valor no futuro temos um processo de capitalização. Quando o objetivo é quitar uma dívida atual temos um processo de amortização. Esses pagamentos (ou depósitos) são denominados de termos, e podem ser constantes ou variáveis. O intervalo de tempo decorrido entre os vencimentos de dois termos consecutivos é denominado Período da Renda, e pode ser mensal, bimestral, anual, etc. As rendas podem ser periódicas (todos os períodos iguais) ou não-periódicas (períodos diferentes entre si). No nosso estudo abordaremos as séries de pagamentos ou depósitos constantes (termos iguais) e periódicas (todos os períodos iguais). Tomemos um simples exemplo: Áurea Vitória quer comprar uma TV de R$600,00 em quatro prestações mensais fixas. Calcule o valor das prestações sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 2% ao mês. Solução: Áurea Vitória pode optar por três tipos de financiamentos distintos. Calcularemos o valor das prestações para cada um desses tipos de financiamento: renda postecipada, renda antecipada e renda diferida. Renda Postecipada A primeira prestação (termo) é efetuada ao final do primeiro período (no nosso caso, ao final do primeiro mês). PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 meses PMT Prestação O valor das prestações pode ser calculado, usando-se a seguinte equação: PMT = C 1 (1 + i) n i 32 senac minas

onde PMT Valor da Prestação, C Valor Financiado, i Taxa de Financiamento e n Número de Prestações PMT = 600 1 (1 + 0,02) 4 0,02 PMT = R$157,58 Concluímos que Áurea Vitória pagará quatro prestações de R$ 157,58 pela TV, sendo a primeira prestação paga um mês após a compra. Renda Antecipada A primeira prestação (termo) é efetuada no ato da compra. PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 meses PMT Prestação O valor das prestações pode ser calculado usando-se a seguinte equação: PMT = C. (1 + i) 1 1 (1 + i) n i onde PMT Valor da Prestação, C Valor Financiado, i Taxa de Financiamento e n Número de Prestações PMT = 600. (1 + 0,02) 1 1 (1 + 0,02) 4 0,02 PMT = R$ 154,48 Concluímos que Áurea Vitória pagará quatro prestações de R$154,48 pela TV, sendo a primeira prestação paga no ato da compra. senac minas 33

Renda Diferida A primeira prestação (termo) é efetuada após um período de carência (prazo). Vamos supor que Áurea Vitória não disponha de dinheiro no momento. Sendo assim, pediu dois meses de carência para pagar a primeira prestação. Temos então: PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 5 6 meses Podemos observar que, após o período de carência (2 meses), Áurea Vitória ainda tem mais um mês de prazo para pagar a primeira prestação. A primeira prestação será paga a 3 meses da data da compra. PMT Prestação O valor das prestações pode ser calculado usando-se a seguinte equação: PMT = C. (1 + i) k 1 (1 + i) n i onde PMT Valor da Prestação, C Valor Financiado, i Taxa de Financiamento, k Período de Carência e n Número de Prestações PMT = 600. (1 + 0,02) 2 1 (1 + 0,02) 4 0,02 PMT = R$ 154,48 Concluímos que Áurea Vitória pagará quatro prestações de R$154,48 pela TV, sendo a primeira prestação paga a 3 meses da data da compra (carência de 2 meses). Observação A dedução dessas equações deriva da soma dos termos de uma progressão geométrica finita, e não é o objetivo do nosso estudo. 34 senac minas

"Exercícios " 1. Um carro no valor de R$19.990,00 será pago em 36 prestações mensais fixas, sendo a primeira prestação paga no ato da compra do veículo. Qual o valor das prestações, sabendo que a revendedora cobra juros de 0,99% a.m? 2. Uma Harley Davidson foi comprada nas seguintes condições: 48 prestações mensais fixas, sem entrada, com 4 meses de carência e com juros de 2,5% a.m. Se a Harley Davidson custa R$80.00,00 à vista, qual será o valor das prestações? 3. Tomou-se um empréstimo de R$20.000,00 para pagamento em 18 prestações mensais, sucessivas e iguais, a juros de 5% a.m, sendo a 1ª prestação paga um mês após o empréstimo. Calcule o valor de cada prestação. 4. Uma dívida de R$50.000,00 foi paga em 36 prestações mensais fixas. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juros de 18% ao ano, com capitalização mensal e a primeira prestação paga a 6 meses da data do financiamento? 5. Um empréstimo de R$10.000,00 deve ser pago com juros de 15% a.m, em quinze parcelas mensais iguais, vencendo a primeira a 90 dias do empréstimo. Quais serão os valores das parcelas? 6. Uma loja anuncia a venda de um produto em 10 prestações mensais de R$ 150,00, sendo a primeira paga a cinco meses da data da compra. Se a taxa é de 2% a.m, qual o preço à vista do produto? 7. O preço de um lote é R$50.000,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 1% a.m, em 20 prestações mensais fixas, sendo a primeira paga a um mês da data do financiamento. Qual o valor da prestação? 8. Um apartamento foi comprado com uma entrada de R$60.000,00 e 120 prestações mensais consecutivas de R$2.324,56. A primeira prestação foi quitada um mês após a compra. Qual o preço à vista do apartamento, se a taxa do mercado imobiliário é 2,8% a.m.? 9. Jaime financiou uma quantia de R$8.000,00 à taxa de juros compostos de 120% ao ano, capitalizados mensalmente. Ao final do primeiro mês, Jaime pagou R$4.800,00 e ao final do segundo mês, pagou mais R$2.400,00. Calcule o valor que Jaime deverá pagar ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento. 10. Marina tomou um empréstimo à taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados mensalmente. O empréstimo deve ser pago em duas parcelas mensais de R$ 1.000,00, no 11º e 12º meses, respectivamente. Se Marina optar por pagar o empréstimo em um único pagamento no 13º mês, qual será o valor desse pagamento? GABARITO 01 02 03 04 05 R$656,31 R$3.179,51 R$1.710,92 R$1.947,32 R$2.261,70 06 07 08 09 10 R$1.244,78 R$1.662,46 R$140.000,00 R$2.200,00 R$2.090.90 senac minas 35

Séries de Depósitos Tomemos um simples exemplo: Pensando nas férias de fim de ano, o casal Áurea e Newton fará 4 depósitos mensais de R$500,00 na poupança, a uma taxa de juros de 0,5% a.m. Quanto o casal conseguirá juntar (valor futuro ou montante) ao final dos 4 depósitos? Solução: Essa sucessão de depósitos pode ser efetuada de duas maneiras a seguir: Renda Postecipada O valor futuro ou montante (quantia depositada, mais juros) está no foco do último pagamento. Podemos considerar os depósitos sendo realizados no fim de cada período (no nosso caso, o período é mês). PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 meses PMT Prestação M (valor futuro ou montante) M Valor Futuro ou Montante O valor futuro ou montante pode ser calculado usando-se a seguinte equação: M = PMT (1 + i) n 1 i onde PMT Valor do Depósito, M Valor Futuro ou Montante, i Taxa e n Número de Depósitos. M = 500 (1 + 0,005) 4 1 0,005 M = 500 (1,005) 4 1 0,005 M = R$ 2.015,05 Concluímos que Áurea e Newton conseguirão juntar R$2.015,05. 36 senac minas

Renda Antecipada O valor futuro ou montante (quantia depositada, mais juros) está no foco imediatamente posterior ao foco do último pagamento. Podemos considerar os depósitos sendo realizados no início de cada período (no nosso caso, o período é mês). PMT PMT PMT PMT 0 1 2 3 4 meses PMT Prestação M (valor futuro ou montante) M Valor Futuro ou Montante O valor futuro ou montante pode ser calculado usando-se a seguinte equação: M = PMT (1 + i) n 1 (1 + i) i onde PMT Valor do Depósito, M Valor Futuro ou Montante, i Taxa e n Número de Depósitos. M = PMT (1 + i) n 1 (1 + i) M = 500 (1 + 0,005) 4 1 (1 + 0,005) 0,005 M = 500 (1,005) 4 1 (1,005) M = R$2.025,13 0,005 i Concluímos que Áurea e Newton conseguirão juntar R$2.025,13. Observação A dedução dessas equações deriva da soma dos termos de uma progressão geométrica finita, e não é o objetivo do nosso estudo. senac minas 37

"Exercícios " 1. Pensando na sua viagem de fim de ano, Fábio depositou R$500,00 em 10/10/2007 e R$700,00 em 10/11/2007. Se a taxa de juros da aplicação era de 4% ao mês, quanto havia juntado Fábio em 10/12/2007? 2. Bruno e Mariana pretendem formar um capital para comprar um apartamento. Decidem, então, efetuar depósitos de R$1.000,00 no fim de cada mês, em um banco que está remunerando o capital, segundo uma taxa efetiva de juros de 0,8% ao mês. Quanto o casal terá acumulado após o 60º depósito? 3. Bruno e Mariana pretendem formar um capital para comprar um apartamento. Decidem, então, efetuar depósitos de R$1.000,00 no início de cada mês, em um banco que está remunerando o capital, segundo uma taxa efetiva de juros de 0,8% ao mês. Quanto o casal terá acumulado após 5 anos? 4. Desejando comprar um carro, quanto Luciano deverá depositar por mês na poupança, a uma taxa de 0,7% ao mês, durante um ano, de modo a retirar, logo após o último depósito, a quantia de R$24.000,00? 5. Desejando comprar um carro, quanto Luciano deverá depositar no início de cada mês na poupança, a uma taxa de 0,7% ao mês, para que, após o período de um ano, consiga acumular a quantia de R$24.000,00? 6. Guilherme deposita R$350,00 por mês em um fundo de investimentos que paga juros de 2% ao mês. Após efetuar o último depósito, o saldo era de R$10.647,65. Quantos depósitos foram efetuados por Guilherme? 7. Jonas comprou um lote e pretendia construir uma casa na faixa de R$80.000,00, após um período de 3 anos. Negociou com o gerente de sua agência bancária um investimento mensal a uma taxa de 1,4% ao mês. Quanto deverá depositar no início de cada mês para acumular a quantia desejada? 8. A banda Trio Parada Dura, formada por Mariana, Analice e Lílian, decidiu guardar dinheiro para comprar instrumentos novos. Resolveram, então, aplicar mensalmente: R$1.000,00 durante os cinco primeiros meses, R$2.000,00 durante os três meses seguintes e R$3.000,00 durante mais dois meses. Sabendo que as aplicações foram realizadas sempre ao fim de cada mês, a uma taxa de 1% ao mês, calcule o montante adquirido pela banda Trio Parada Dura ao final dos 10 meses de investimento. 9. Áurea Vitória costumava guardar na poupança, ao fim de cada mês, o que restava de seu salário. Durante o ano de 2007, seus depósitos foram efetuados da seguinte maneira: R$300,00 de janeiro a junho; R$400,00 de julho a outubro e R$600,00 nos meses de novembro e dezembro. Sabendo que Áurea Vitória depositava seu dinheiro a uma taxa de juros de 0,6% ao mês, quanto conseguiu acumular na poupança após o último depósito, feito em Dezembro de 2007? GABARITO 01 02 03 04 05 R$1.268,80 R$76.623,87 R$77.236,86 R$1.924,16 R$1.910,79 06 07 08 09 24 depósitos R$1.700,46 R$17.573,22 R$4.731,48 38 senac minas