Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil Disciplina: Análise Matricial de Estruturas Professor: Antônio Macário Cartaxo de Melo Aula 05 Assunto: Método dos Deslocamentos Introdução; Grau de indeterminação Cinemática; Formulação Matricial Básica: Introdução; Exemplo pórtico plano; Equações do método dos deslocamentos; Signi cado físico dos coe cientes da matriz de rigidez Objetivo: Apresentar conceitos básicos relativos ao método dos deslocamentos e os seus fundamentos Aula anterior: Método das Forças Conteúdo Introdução Grau de indeterminação cinemática: ² Exemplo: ² Existem deslocamentos de nós que não são conhecidos a prióri, e que são obtidos somente fazendo-se uma análise completa da estrutura Estes deslocamentos incógnitos são as grandezas cinematicamente indeterminadas e são às vezes chamadas de reduntantes cinemáticas O seu número representa o grau de indeterminação cinemática da estrutura, ou o número de graus de liberdade para os deslocamentos dos nós (G&W) ² Os graus de liberdade podem ser entendidos como os deslocamentos nodais necessários para descrição da deformada da estrutura ² Comparação entre os graus de indeterminação estática e cinemática: Figura Indeterminação cinemática em pórticos
Y Deslocamento Nodal Nó d d 5 d d d 6 d 4 Elemento d 8 d d 9 d 7 d d 0 X 4 Figura Modelo de um pórtico ² Pode ser visto que a remoção de restrições nos suportes (apoios) de uma estrutura serve para diminuir o grau de indeterminação estática, enquanto aumenta o grau de indeterminação cinemática (G&W) Formulação Matricial Básica Introdução: ² Incógnitas: deslocamentos (generalizados) dos nós do modelo estrutural; ² Sistema de equações: equações que traduzem as condições de equilíbrio segundo cada uma das direções dos deslocamentos dos nós; ² Não há necessidade de escolha de um sistema principal (isostática): método ideal para o propósito de automatização; Exemplo pórtico plano (Fig ): ² XYZ: sistema de referência global; ² Numeração dos elementos; ² Numeração dos pontos nodais; ² Numeração do deslocamentos globais d: Segundo a ordem crescente da numeração dos pontos nodais;
Em dada ponto nodal numeram-se os deslocamentos na seguinte ordem: Deslocamento linear na direção X; Deslocamento linear na direação Y; Rotação em torno do eixo Z ² Deslocamentosd ad 6 : deslocamentos nodais livres, não-restringidos ougraus de liberdade do modelo; ² Graude indeterminação cinemática: número total de graus de liberdade; ² Deslocamentos d 7 ad : deslocamentos nodais restringidos ou prescritos do modelo; ² Simpli cação: numeraram-se primeiro os deslocamentos livres e depois os deslocamentos prescritos; Equações do método dos deslocamentos ² Sistema força-mola: equação de equilíbrio kx=f: sendok a rigidez da mola Parax=,k é a força que deve ser aplicada para produzir este deslocamento unitário; ² relações entre deslocamentos e forças nodais podem ser estabelecidas na forma K d =f () ² K = matriz de rigidez global: tem coe cientes constantes na análise linear; ² f = vetor das forças nodais Inclui: Forças aplicadas externamente segundo as direções livres ou gdl (grandezas conhecidas) = forças nodais combinadas: Forças externas diretamente aplicadas nos pontos nodais; Cargas nodais equivalentes Reações de apoio (desconhecidas) ² d = vetor dos deslocamentos nodais: Composto por: deslocamentos livres (incógnitas) - graus de liberdade; deslocamentos restringidos ou prescritos (direções das reações de apoio): grandezas conhecidas Representa uma con guração da estrutura que pode corresponder a: uma mudança de forma (deformação);
d = d d =,0 d 4 = d = d 5 6 d =,0 d 7 = d = d 8 9 4 d 0 = d = d Figura Pórtico restringido e somente comd =;0 e/ou um deslocamentos de corpo rígido do modelo estrutural como um todo O termo grau de liberdade (dgl) é às vezes utilizado mesmo para deslocamentos que são restritos enquanto esta restrição não é introduzida Por exemplo, como será visto, na determinação da matriz de rigidez de uma barra de um pórtico plano, supõe-se que o elemento tem 6 gdl ( em cada nó) 4 Signi cado físico dos coe cientes da matriz de rigidez: ² Considere o pórtico plano mostrado na Fig?? ² Sejamk ij,d j e f i coe cientes genéricos da matrizes K, d ef, respectivamente; ² Considerando m deslocamentos nodais, pode-se escrever () na forma mx k ij d j =f i i=;:::;m () j= ou, lembrando quem=, k k k 6 k 7 k ; k k k 6 k 7 k ; k 6 k 6 k 66 k 67 k 6; k 6 7 k 7 k 7 k 7 k 7 4 k ; k ; k ;6 k ;7 k ; 8 >< 7 5 >: d d d 6 d 7 d 9 >= >< = >; 8 >: f f f 6 f 7 f 9 >= : () >; 4
k k k k 5 d =,0 k 6 k 4 d =,0 k 9 k 8 k, k 0, k 7 4 k, Figura 4 Coe cientes de rigidez parad =;0 ² Considere o caso particular: d =;0 e os demais gdl nulos (Figura a): Parai= na equação () k d =f =)k =f f é a força nodal (externa) na direção do gdl de ordem; O coe ciente k é numericamente igual à força generalizada a ser aplicada na direção para provocar um deslocamento generalizado unitário segundo essa direção, enquanto todos os demais deslocamentos são nulos; Para que isto ocorra, é necessário a aplicação de forças nas direções que se ligam ao nó, que contém o gdl, ie,k, k,k 4,k 5,k 6, k 7,k 8,k 9 ; Dimensão física dek : momento / rotação Parai=5 na equação () k 5 d =f 5 =)k 5 =f 5 f 5 é a força nodal na direção do gdl de ordem 5 provocada pelo bloqueio do ponto nodal para manter nulo o deslocamentod 5 ; O coe cientek 5 é numericamente igual à força restritiva na direção do gdl5, quando se impõe um deslocamento unitário na direçãoe se mantêm os demais deslocamentos nulos; Dimensão física dek 5 : força / rotação Caso geral - elemento dai-ésima linha e daj-ésima coluna: 5
O coe ciente k ij é numericamente igual à força generalizada que aparece na direção i, quando se aplica um deslocamento unitário generalizado na direçãoj e todos os demais deslocamento são nulos; Dimensão física dek ij : dimensão da força generalizada na direçãoi, dividida pela dimensão do deslocamento generalizado na direção j; Denominação dek ij : coe ciente de rigidez e representa a in uência (de rigidez) do deslocamento generalizado na direçãoj na força generalizada segundo a direção i Teoria de primeira ordem (linear) de pequenos deslocamentos: desprezase a interação entre momento etor e esforço axial em elemento de eixo reto=)k 4 ek 8 são nulos (Fig b); Os coe cientesk 0; ek ; ek ; são nulos: o ponto nodal foi impedido de se deslocar e efeitos da rotação imposta não passam para o nó 4=) diz-se que as direções do ponto nodal 4 estão desacopladas das direções do ponto nodal O coe cientek ii é sempre positivo, pois é numericamente igual à força generalizada segundo a direção i para provocar o deslocamento unitário segundo essa mesma direção (enquanto todos os demais deslocamentos são nulos); Pelo princípio da reciprocidade, k ij =k ji : Para um estado de deformação tal qued ad 6 sejam diferentes de zero, a terceira equação fornece k d +k d +k d +k 4 d 4 +k 5 d 5 +k 6 d 6 =f Esta equação representa o equilíbrio do ponto nodal na direção da rotação no planoxy ; f é a força nodal combinada (externa) aplicada na direção do gdl; Os coe cientes k j são as forças generalizadas restitutivas elásticas que aparecem na direção, devido à deformação dos elementos estruturais ligados a esse ponto; Da mesma forma que os gdl do ponto nodal4 estão desacoplados do ponto, os gdl do ponto estão desacoplados dos gdl do ponto nodal4 Assim, deslocamentos unitários em cada gdl do ponto nodal4, mantidos nulos os demais, não afetam o equilíbrio nas direções dos gdl do nó ² A Eq () representa o sistema de equações de equilíbrio do conjunto de todos os pontos nodais do modelo estrutural; ² A matriz de rigidezk é relativa a um dado conjunto de m deslocamentos nodais que resultam da escolha do modelo estrutural; ² Distintos conjuntos de deslocamentos nodais podem ser considerados; ² Será posteriormente mostrado que a matriz de rigidezk é singular Esta singularidade será eliminada com a introdução das condições de contorno 6